7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
基础过关练
题组一 三角函数的周期
1.(教材习题改编)函数f(x)=sin(x∈R)的最小正周期是( )
A.2π B. C.3π D.π
2.函数y=-3tan的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
3. 下列函数中,最小正周期为π的函数是( )
A.y=sin x B.y=cos x
C.y=sin D.y=cos
4.下列说法正确的是( )
A.当x=时,sin≠sin x,所以不是f(x)=sin x的周期
B.当x=时,sin=sin x,所以是f(x)=sin x的一个周期
C.因为sin(π-x)=sin x,所以π是f(x)=sin x的一个周期
D.因为cos=sin x,所以是f(x)=cos x的一个周期
题组二 三角函数周期性的应用
5.“ω=2”是“π为函数f(x)=sin的最小正周期”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f =( )
A. B.- C.0 D.1
7.已知ω∈,,,1,2,3,4,若是函数f(x)=sin ωx的一个周期,则ω= .
8.若函数f(x)=xsin+1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= .
9.已知函数f(x)=sin,其中k≠0,当自变量x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时,至少含有一个周期,求最小正整数k的值.
答案与分层梯度式解析
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性
基础过关练
1.C 易得最小正周期T==3π.
2.B 函数y=-3tan的最小正周期为.故选B.
3.D 对于A,y=sin x的最小正周期T=2π,故A错误;
对于B,y=cos x的最小正周期T=2π,故B错误;
对于C,y=sin的最小正周期T==4π,故C错误;
对于D,y=cos=cos,所以最小正周期T==π,故D正确.故选D.
4.A f(x)=sin x的最小正周期为2π,故A正确;当x=0时,sin≠sin x,故B错误;sin(π-x)=sin x≠sin(-x),故π不是f(x)=sin x的一个周期,故C错误;cos=sin x≠cos(-x),故不是f(x)=cos x的一个周期,故D错误.故选A.
易错警示 周期函数的定义是对定义域内的每一个x来说的,只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)时,不能说T是f(x)的周期.
5.A 当ω=2时,函数f(x)=sin的最小正周期为π.当函数f(x)=sin的最小正周期为π时,ω=±2.
故“ω=2”是“π为函数f(x)=sin的最小正周期”的充分不必要条件.故选A.
6.A 由题意得f =f =f =sin=.故选A.
7.答案 4
解析 由题意得是的整数倍,
所以=为整数,又ω∈,
所以ω=4.
8.答案 3 038
解析 函数f(x)的最小正周期T==4,所以当k∈N*时, f(4k)=4k·sin+1=1, f(4k-1)=(4k-1)·sin+1=-(4k-1)+1=-4k+2, f(4k-2)=(4k-2)sin+1=1, f(4k-3)=(4k-3)·sin+1=4k-3+1=4k-2,因此f(4k-3)+f(4k-2)+f(4k-1)+f(4k)=2(k∈N*)破题关键,于是有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)=506×(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(2 025)=506×2+2 026=3 038.
9.解析 函数f(x)=sin的最小正周期T==.
由题意知T≤1,即≤1,
故|k|≥20π≈62.8,则最小正整数k的值为63.
(
1
)7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
题组一 正、余弦(型)函数的图象及简单应用
1.用“五点法”作函数y=2cos x-1在[0,2π]上的图象时,应取的五点为( )
A.(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
B.(0,1),,(π,-3),,(2π,1)
C.(0,1),(π,-3),(2π,1),(3π,-3),(4π,1)
D.(0,1),,,,-1,
2.(教材习题改编)函数y=sin在区间上的图象是 ( )
3.当x∈(0,2π)时,函数f(x)=sin x的图象与g(x)=|cos x|的图象的所有交点的横坐标之和为( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
4.在(0,2π)内,使sin x>cos x成立的x的取值范围为 .
5.若函数f(x)=cos(3x+φ)+a在[0,π]上的图象与x轴恰有3个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3(x1
题组二 正、余弦(型)函数的奇偶性
6.下列函数中,最小正周期是π的奇函数为( )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=tan 2x D.y=|sin x|
7.已知函数f(x)=sin(x+φ)-sin(x+7φ)为奇函数,则参数φ的值可能为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<π)是定义在R上的奇函数,则f(2)= .
题组三 正、余弦(型)函数图象的对称性
9.(教材习题改编)函数y=sin的图象( )
A.关于y轴对称
B.关于原点对称
C.关于直线y=x对称
D.关于直线y=-x对称
10. (多选题)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则( )
A.ω=2
B.f(x)的图象与y轴交于点
C.f(x)的图象关于直线x=对称
D.f(x)的图象关于直线x=对称
11.已知常数φ∈R,如果函数y=cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
题组四 正、余弦(型)函数的单调性及应用
12.若a=sin 46°,b=cos 46°,c=cos 36°,则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>b B.a>b>c
C.a>c>b D.b>c>a
13.函数f(x)=2的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
14.f(x)=sin在[0,π]上的单调递减区间为 .
题组五 正、余弦(型)函数的定义域与值域
15.函数y=cosx+,x∈的值域是( )
A. B. C. D.
16.函数y=sin2x-cos x的最大值为( )
A. B. C.1 D.
17.在[0,2π]内,函数f(x)=+ln的定义域是( )
A. B.
C. D.
18.已知 f(x)=sin在区间上既有最大值又有最小值,则α的取值范围为 .
19. 已知函数f(x)=2sin.
(1)求f 的值;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈时,求f(x)的最大值与最小值.
能力提升练
题组一 正、余弦(型)函数的奇偶性、图象的对称性
1.已知函数f(x)=cos(ω>0)的图象关于直线x=对称,当f(x)的最小正周期取得最大值时,距离原点最近的对称中心为( )
A. B.
C. D.
2.(多选题)已知函数f(x)=cos x+,则( )
A.f(x)的最小值为2
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的图象关于直线x=π对称
D.f(x)的图象关于点中心对称
3.(多选题)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:
①函数f(x)的最小正周期为π;
②函数f(x)的图象经过点;
③函数f(x)的图象关于点对称;
④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.
则这3个条件的序号可以是( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
题组二 正、余弦(型)函数的单调性与最值
4.若函数f(x)=3cos(ω>0)恒有f(x)≤f(2π),且f(x)在上单调递减,则ω的值为( )
A.- B. C. D.或
5. 已知函数f(x)=msin x+n(m,n∈R)的值域是[-1,3],则实数m的值等于( )
A.2 B.-2
C.±2 D.±1
6. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),且f(x)在区间上具有单调性,则ω的最大值为( )
A. B.4 C. D.8
7. (多选题)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则( )
A.f(x)在区间上单调递减
B.函数f(x)在区间上的最大值为
C.直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴
D.若f(x)+m=0在上有两个不相等的实根,则m的取值范围是(-2,-]
8. (多选题)已知函数f(x)=1-(x∈R),下列说法正确的是( )
A.函数f(x)是奇函数
B.函数f(x)的值域为
C.函数f(x)是周期为π的周期函数
D.函数f(x)在上单调递减
9.已知f(x)=-sin2x+sin x+a.
(1)当f(x)=0有实数解时,求实数a的取值范围;
(2)若对任意x∈R,恒有1≤f(x)≤,求实数a的取值范围.
题组三 正、余弦(型)函数性质的综合应用
10.已知函数f(x)=asinωx++b(ω>0)的图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为.
(1)若a=2,b=0.
①求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标;
②求函数f(x)在[0,2π]上的单调增区间;
(2)若f(x)在R上的最大值为6,最小值为0,求实数a,b的值.
11.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且过点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当α∈时, f(α)=,求f 的值;
(3)当x∈时,关于x的方程f(x)=a恰有两个不同的实数解,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
7.3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象与性质
基础过关练
1.B
2.A 当x=0时,y=sin=-<0,故排除B,D;当x=时,y=sin=sin 0=0,故排除C.故选A.
3.A 在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=sin x和g(x)=|cos x|在(0,2π)上的图象如下,
由图可得,函数f(x)=sin x的图象和g(x)=|cos x|的图象在(0,2π)上有两个交点.
当x∈时,sin x=cos x,则tan x=1,所以x=,
当x∈时,sin x=-cos x,则tan x=-1,所以x=,
故所有交点的横坐标之和为+=π.故选A.
4.答案
解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin x和y=cos x在(0,2π)内的图象,
∵sin x>cos x,
∴函数y=sin x的图象在函数y=cos x的图象上方的自变量区间就是sin x>cos x的解集,
结合图象得x的取值范围是.
温馨提示 作正弦函数、余弦函数的图象时,函数自变量要用弧度制,以保证自变量的值为实数.同时,在连线时要用平滑的曲线连接,不能用线段连接.
5.答案
解析 由已知得函数f(x)的最小正周期T=,
易知区间[0,π]包含=个周期,又函数f(x)在[0,π]上的图象与x轴恰有3个交点,且其横坐标分别为x1,x2,x3,
故结合“五点法”作图知,x3-x1=T=.
6.A 函数y=sin 2x的周期为=π,
设f(x)=sin 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又f(-x)=sin[2(-x)]=-sin 2x=-f(x),所以函数y=sin 2x为奇函数,故A正确;
函数y=cos 2x的周期为=π,
设g(x)=cos 2x,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又g(-x)=cos[2(-x)]=cos 2x=f(x),所以函数y=cos 2x为偶函数,故B错误;
函数y=tan 2x的周期为,故C错误;
设h(x)=|sin x|,其定义域为R,易知定义域关于原点对称,
又h(x+π)=|sin(x+π)|=|-sin x|=h(x),故函数y=|sin x|的周期为π,
又h(-x)=|sin(-x)|=|-sin x|=|sin x|=h(x),所以函数y=|sin x|为偶函数,故D错误.故选A.
7.C ∵f(x)是奇函数,且在x=0时有意义,∴f(0)=0破题关键,
若φ=,则f(0)=sin-sin π=sin≠0,故A错误;
若φ=,则f(0)=sin-sin=sin-sin2π-=2sin≠0,故B错误;
若φ=,则f(0)=sin-sin=sin-sin2π+=sin-sin=0,
又f(x)=sin-sin=sin-sinx+2π+=sin-sin=sinx++sin,
所以f(-x)=sin+sin=-sinx--sin=-f(x),且f(x)的定义域为R,关于原点对称,所以f(x)是奇函数,故C正确;
若φ=, 则f(0)=sin-sin=sin-sin=2sin=2≠0,故D错误.故选C.
8.答案 0
解析 因为f(x)=cos(πx+φ)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,所以f(0)=cos φ=0,解得φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,所以f(x)=cos=-sin πx,所以f(2)=-sin 2π=0.
9.A 函数y=sin的定义域为R,关于原点对称,
且y=sin=-cos x,
而函数y=-cos x是偶函数,
所以函数y=sin的图象关于y轴对称.
故选A.
10.AC 因为函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,所以=π,解得ω=2,故A正确;
令x=0,则f(0)=2cos=2cos=1,即函数图象与y轴交于点(0,1),故B错误;
因为f=2cos=2cos π=-2,且f(x)的最小正周期为π,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,不关于直线x=对称,故C正确,D错误.
故选AC.
11.C 因为函数y=cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,所以2×+φ=+kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,
所以当k=1时,φ=-,当k=2时,φ=-,当k=3时,φ=,所以|φ|的最小值为.故选C.
12.A a=sin 46°=cos(90°-46°)=cos 44°.因为函数y=cos x在(0,π)上单调递减,且36°<44°<46°,所以cos 36°>cos 44°>cos 46°,即c>a>b.故选A.
13.D f(x)=2=2,
易知f(x)是由y=2,t=cos复合而成的,因为y=2在定义域上单调递增,所以要想求f(x)的单调递减区间,只需求t=cos的单调递减区间,且保证cos≥0即可,
则2kπ≤3x-≤+2kπ,k∈Z,解得+≤x≤+,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).故选D.
14.答案 和
解析 f(x)=sin=-sin,
令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
则f(x)的单调递减区间为,k∈Z.
令A=,k∈Z,B=[0,π],
当k=0时,A=,则A∩B=;
当k=1时,A=,则A∩B=.
∴f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和.
15.B 因为x∈,所以x+∈,所以y=cos∈.故选B.
16.D y=sin2x-cos x=-cos2x-cos x+1.
令t=cos x,则t∈[-1,1],y=-t2-t+1=-+,所以当t=-时,函数y取得最大值,为.
故选D.
17.C 由题意得其中x∈[0,2π],即其中x∈[0,2π],解得≤x<,
即函数f(x)的定义域为.故选C.
18.答案 α>或<α≤π
解析 因为-≤x<α,所以-≤x+<α+,
因为函数f(x)=sin在x∈上既有最大值又有最小值,
所以α+>或≥α+>,解得α>或π≥α>.
19.解析 (1)因为f(x)=2sin,所以f=2sin=2sin=-2sin=-1.
(2)由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
(3)当x∈时,2x-∈,令t=2x-∈,则y=2sin t,
由y=2sin t,t∈的图象知,当t=-时,y=2sin t取得最小值,为-1,当t=时,y=2sin t取得最大值,为2,
所以当x∈时,f(x)的最大值为2,最小值为-1.
能力提升练
1.D 由已知得ω+=kπ(k∈Z),
即ω=6k-(k∈Z),
当k=1时,ω最小,为,则最小正周期T最大,
此时f(x)=cos,
令x+=kπ+,k∈Z,可得其图象的对称中心的横坐标为x=kπ-(k∈Z),
当k=0时,函数f(x)的图象的对称中心距离原点最近,此时对称中心为.故选D.
2.BCD ∵cos x≠0,∴x≠kπ+,k∈Z,令t=cos x,则t∈[-1,0)∪(0,1],易知y=t+在[-1,0)上单调递减,在(0,1]上单调递减,∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∴f(x)没有最小值,故A错误;
∵x≠kπ+,k∈Z,∴f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=cos(-x)+=cos x+=f(x),
∴f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故B正确;
f(π+x)=cos(π+x)+=-cos x-, f(π-x)=cos(π-x)+=-cos x-,∴f(π-x)=f(π+x),∴f(x)的图象关于直线x=π对称,故C正确;
f =cos+=sin x+,
-f =-
=sin x+,∴f =-f ,∴f(x)的图象关于点,0中心对称,故D正确.故选BCD.
3.AB 若①正确,则=π,解得ω=2;
若②正确,则f(0)=cos φ+1=,解得cos φ=,
又|φ|<π,故φ=±;
若③正确,则+φ=+k1π,k1∈Z;
若④正确,则-+φ=k2π,k2∈Z.
对于A,ω=2,取φ=-,则-=,满足条件③,不满足条件④,正确;
对于B,ω=2,取φ=,则-+=0,满足条件④,不满足条件③,正确;
对于C,+==π
破题关键,解得k=,与k∈Z矛盾,错误;
对于D,ω+ω=ω=+k3π,k3∈Z,
则ω=,k3∈Z,
此时-+φ=-×+φ=-π+φ=k2π,k2,k3∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而由②知φ=±,故不成立,错误.故选AB.
4.D 由题意得当x=2π时, f(x)取得最大值,
所以2πω+=2kπ,k∈Z,则ω=k-,k∈Z.
由f(x)在上单调递减,得-≤T,所以T≥π,即≥π,又ω>0,
所以0<ω≤2,所以ω=或ω=,
经检验,ω=或ω=均满足条件.故选D.
5.C 当m>0时,由-1≤sin x≤1,得-m+n≤f(x)≤m+n,
因为f(x)的值域为[-1,3],所以解得m=2,n=1;
当m=0时,显然不符合题意;
当m<0时,由-1≤sin x≤1,得m+n≤f(x)≤-m+n,
因为f(x)的值域为[-1,3],所以解得m=-2,n=1.
综上,m=±2.故选C.
6.C 因为函数f(x)的图象过点(0,1),所以f(0)=2sin φ=1,解得sin φ=.
因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin,
当x∈时,ωx+∈,
因为f(x)在区间上具有单调性,
所以 ,k∈Z,
即+≥-+kπ且+≤+kπ,k∈Z,
则-+8k≤ω≤+4k,k∈Z,
因为-+8k≤+4k,所以k≤,
因为ω>0,所以当k=0时,ω∈;当k=1时,ω∈.
综上,ω∈∪,即ω的最大值为.
故选C.
7.ACD 因为f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,
所以f =2sin=0,故+φ=kπ,k∈Z,
因为0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin.
对于A,易知f(x)的单调递减区间为,k∈Z,因为 ,故f(x)在区间上单调递减,故A正确;
对于B,若x∈,则2x+∈,故当2x+=,即x=时, f(x)取得最大值,为2,故B错误;
对于C, f =2sin=2sin=-2,故C正确;
对于D,若x∈,则2x+∈,若f(x)+m=0在上有两个不相等的实根,则-=sin在上有两个不相等的实根,因此≤-<1,解得m∈(-2,-],故D正确.
故选ACD.
8.ABD f(x)=1-==,
其定义域为R,关于原点对称,
而f(-x)=====-f(x),故f(x)为奇函数,故A正确;
因为sin x∈[-1,1],所以2sin x∈,2sin x+1∈,∈,
所以f(x)=1-∈,故B正确;
f(x+π)====≠f(x),
所以f(x)不是周期为π的周期函数,故C错误;
因为y=sin x在上单调递减,y=2x在上单调递增,所以y=2sin x+1在上单调递减,
从而y=在上单调递增,则y=-在上单调递减,则f(x)=1-在上单调递减,故D正确.故选ABD.
9.解析 (1)由f(x)=0,得a=sin2x-sin x=-.
当sin x=-1时,amax=2;当sin x=时,amin=-.
故实数a的取值范围为.
(2)由1≤f(x)≤,得1≤-sin2x+sin x+a≤,则a≤sin2x-sin x+,且a≥sin2x-sin x+1对x∈R恒成立.
由sin2x-sin x+=+4≥4,得a≤4.
由sin2x-sin x+1=+≤3,得a≥3.
故3≤a≤4,即实数a的取值范围为[3,4].
10.解析 (1)若a=2,b=0,则f(x)=2sin(ω>0).
∵f(x)的图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为×=,∴ω=2,∴f(x)=2sin.
①令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称轴方程为x=+,k∈Z.
令2x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,
∴函数f(x)图象的对称中心的坐标是,k∈Z.
②令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,
又x∈[0,2π],∴所求单调递增区间为,,.
(2)当x∈R时,-1≤sin≤1.易知a≠0,
当a>0时,-a+b≤f(x)≤a+b,
由解得
当a<0时,a+b≤f(x)≤-a+b,
由解得
综上,a=3,b=3或a=-3,b=3.
11.解析 (1)由题意得,函数f(x)的最小正周期T=2×=π,∴ω==2,∴f(x)=3sin(2x+φ).
∵f(0)=3sin φ=,∴sin φ=,
又0<φ<,∴φ=,∴f(x)=3sin.
(2)由(1)知f(x)=3sin,
∵f(α)=,∴f(α)=3sin=,
∴sin=.
∵<α<,∴<2α+<π,
∴cos=-=-,
∴f =3sin=3sin
=3sin=-3cos=.
(3)由(1)知f(x)=3sin,设u=2x+,
则当x∈时,u=2x+∈.
在同一平面直角坐标系中作出直线y=a与曲线y=3sin u,u∈的图象,如图所示.
由图可知,当-3∴实数a的取值范围是.
(
1
)第2课时 正切函数的图象与性质
基础过关练
题组一 正切(型)函数的图象及其应用
1.函数y=tan在一个周期内的图象是( )
A B
C D
2.与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程可能是( )
A.x= B.x= C.x= D.x=
3.(教材习题改编)使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合为 .
题组二 正切(型)函数的定义域、值域
4.(教材习题改编)函数y=tan的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
5.函数f(x)=tan x在上的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.-
6.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为 .
题组三 正切(型)函数的奇偶性、周期性、单调性、图象的对称性
7.设a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>c>b B.ab>c D.a8.设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个最小正周期可以是( )
A. B. C. D.
9.函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是( )
A.0 B.1 C.-1 D.
10.(多选题)已知函数f(x)=tan,则下列说法正确的是( )
A.函数f(x)的定义域为
B.函数f(x)的最小正周期为
C.函数f(x)在定义域上是增函数
D.函数f(x)图象的一个对称中心为
11. 已知f(x)=2 023sin x+2 024tan x-1,则 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)= .
能力提升练
题组 正切(型)函数的图象及性质
1. 函数f(x)=2x·tan x(-12.若函数f(x)=a-tan 2x在x∈上的最大值为7,最小值为3,则ab=( )
A. B. C. D.
3. 已知定义在上的函数f(x)=x3+tan x+2,则不等式f(x-2)+f >4的解集是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=-,若a=tan 171°,b=tan 188°,c=tan 365°,则 ( )
A.f(a)C.f(b)5.(多选题)若函数f(x)=则( )
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
6.当07.若函数y=tanωx+在上单调递减,且在上的最大值为,则ω= .
8.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第2课时 正切函数的图象与性质
基础过关练
1.A 当x=时,tan=0,故排除C,D;当x=时,tan=1,故排除B.故选A.
2.B 由2x+≠+kπ,k∈Z,得x≠+,k∈Z,
当k=0时,x≠,∴与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程可能是x=.故选B.
3.答案
解析 不等式3+tan 2x≥0可转化为tan 2x≥-.在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan x,x∈的图象和直线y=-,如图所示.
由图象得,在区间内,不等式tan x≥-的解集是,∴在函数y=tan x的定义域xx≠kπ+,k∈Z内,不等式tan x≥-的解集是xkπ-≤x令kπ-≤2x得-≤x<+(k∈Z),
∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
4.A 令2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+kπ,k∈Z.故选A.
5.D 由正切函数y=tan x的单调性可知,f(x)=tan x在上单调递增,
所以其最小值为tan=-.故选D.
6.答案 [-4,4]
解析 ∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1],
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].
易知函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
7.A 易知函数y=tan x在上单调递增且tan x>0,在上单调递增且tan x<0,
因为<1<<2<3<π,所以tan 20,所以a>c>b.故选A.
解题模板 解答比较函数值大小问题的常见思路:①判断各个函数值所在的区间;②利用函数的单调性直接求解.
8.B 由题意可知ω×-=(k∈Z),
∴ω=(k∈Z),则T==(k∈Z),
显然当k=1时,T=是f(x)的一个最小正周期.
不存在k∈Z,使得T=,或.故选B.
9.A 因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则=,解得ω=4,即f(x)=tan 4x,
故f=tan π=0.故选A.
10.AB 对于A,由3x+≠kπ+(k∈Z)可得x≠+(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为,故A正确;
对于B,函数f(x)的最小正周期T=,故B正确;
对于C,函数f(x)在定义域上不单调,故C错误;
对于D,因为3×+=,tan≠0,所以不是函数f(x)图象的对称中心,故D错误.故选AB.
11.答案 -5
解析 令g(x)=2 023sin x+2 024tan x,
易知y=sin x与y=tan x均为奇函数,
所以g(x)也为奇函数,故g(-x)=-g(x),
则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)
=g(-2)-1+g(-1)-1+g(0)-1+g(1)-1+g(2)-1
=-g(2)+g(2)-g(1)+g(1)+g(0)-5=-5.
能力提升练
1.B 函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
又f(-x)=-2x·tan(-x)=2x·tan x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除A,C;
又f(1)=2×1×tan 1=2tan 1>0,故排除D.故选B.
2.B ∵x∈,∴b>-,∴2x∈.
∵函数f(x)在x∈上的最大值为7,最小值为3,∴2b<,即b<.
根据正切函数y=tan x在上单调递增,得f(x)=a-tan 2x在上单调递减,
∴f =a+3=7, f(b)=a-tan 2b=3,解得a=4,tan 2b=,∵2b∈,∴2b=,∴b=,
∴ab=4×=.故选B.
3.C 由f(x-2)+f>4,得f(x-2)-2>-,
令g(x)=f(x)-2=x3+tan x,x∈,其定义域关于原点对称,又g(-x)+g(x)=-x3-tan x+x3+tan x=0,故g(x)为奇函数,
则f(x-2)-2>-等价于g(x-2)>-g=g,
因为y=x3,y=tan x在上均单调递增,
所以g(x)在上单调递增,
所以解得4.A f(x)=-=-(e2x+e-2x),其定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=-(e-2x+e2x)=f(x),
所以函数f(x)为偶函数,
令t=x2+1,其在(0,+∞)上单调递增,
又y=在(0,+∞)上单调递减,
所以函数y=在(0,+∞)上单调递减,
令u=e2x,易知其在(0,+∞)上单调递增,
当x∈(0,+∞)时,u∈(1,+∞),
易知函数y=u+在(1,+∞)上单调递增,
所以函数y=e2x+e-2x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)=-(e2x+e-2x)在(0,+∞)上单调递减.
f(a)=f(tan 171°)=f(-tan 9°)=f(tan 9°),
f(b)=f(tan 188°)=f(tan 8°),
f(c)=f(tan 365°)=f(tan 5°),
因为tan 5°故选A.
5.AD 当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-所以f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图中实线部分所示.
由图可得f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
6.答案 -4
解析 因为0又0设t=tan x,t∈(0,1),则原函数可转化为g(t)==,
当t=时,函数g(t)取得最大值,为-4,
所以f(x)的最大值为-4.
7.答案 -
解析 因为函数y=tan在上单调递减,所以ω<0,≥π,所以-≤ω<0①.
因为函数y=tan在上的最大值为,所以-ω+=+kπ,k∈Z,即ω=--3k,k∈Z②.由①②得ω=-.
8.解析 (1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是-+kπ,-+kπ∪+kπ,+kπ,k∈Z.
(
1
)(共30张PPT)
1.周期函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都
有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
2.最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么,这个最小的正
数就叫作f(x)的最小正周期.
3.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为 ,函
数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为 .
7.3 三角函数的图象和性质
7.3.1 三角函数的周期性 7.3.2 三角函数的图象与性质
必备知识 清单破
知识点 1 周期函数
1.借助三角函数线画y=sin x,x∈R的图象
第一步:如图所示,在x轴上任取一点O',以O'为圆心,单位长为半径作圆.从这个圆与x轴的
交点A起把圆分成12等份.把x轴上从0到2π这一段分成12等份(取自变量x的值).
第二步:在单位圆中画出对应于 , , ,…, 的角及相应的正弦线(等价于“列表”),
把角x的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正弦线的终点就是正弦函
数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到正弦函数y=sin x在[0,2π]
上的图象.
知识点 2 三角函数的图象
第四步:将函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象向左、右平移(每次2π个单位),就可以得到正弦函
数y=sin x,x∈R的图象.
正弦函数的图象叫作正弦曲线.由图可知,画正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象通常用“五点
法”,图象上起关键作用的五个点为(0,0), ,(π,0), ,(2π,0).
2.画y=cos x,x∈R的图象
由cos x=sin ,知函数y=cos x,x∈R与函数y=sin ,x∈R是同一个函数.如图所
示,余弦函数y=cos x的图象可由正弦函数y=sin x的图象向左平移 个单位得到.余弦函数的图
象叫作余弦曲线.
3.借助三角函数线画y=tan x的图象
第一步:作平面直角坐标系,并在平面直角坐标系y轴左侧作单位圆O'.把单位圆O'的右半
圆分成8等份,把x轴上从- 到 这一段分成8等份(取自变量x的值).
第二步:在单位圆中画出对应于- ,- ,- ,0, , , 的角及相应的正切线(等价于“列
表”),把角x的正切线向左、右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重合,则正切线的终点
就是正切函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:连线.用光滑曲线把这些正切线的终点连接起来,就得到正切函数y=tan x在x∈
上的图象.
第四步:将y=tan x,x∈ 的图象向左、右平移(每次π个单位),就可得到正切函数y=
tan x的图象,并把它称为正切曲线.
知识点 3 三角函数的性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R x x∈R且x≠ +kπ,k∈Z
值域 [-1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
周期性 最小正周期T=2π 最小正周期T=π
递增区间 - +2kπ, +2kπ (k∈Z) [2kπ+π,2kπ+2π]
(k∈Z) kπ- ,kπ+ (k
∈Z)
递减区间 2kπ+ ,2kπ+ (k∈Z) [2kπ,π+2kπ](k∈
Z) 无
对称轴 直线x=kπ+ (k ∈Z) 直线x=kπ(k∈Z) 无
对称中心 (kπ,0)(k∈Z) +kπ,0 (k ∈Z) (k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
1.函数f(x)的周期可能只有一个吗
2.所有的周期函数都有最小正周期吗
3.已知sin =sin ,那么 是函数y=sin x的一个周期吗
4.已知sin =sin ,那么4π是函数y=sin 的一个周期吗
5.当x∈R时,函数y=sin x的图象与函数y=cos x 的图象的形状是否完全相同
6.正切函数在其定义域内是增函数吗
知识辨析
1.不可能.并不是每一个函数都是周期函数,但若函数具有周期性,则其周期一定不唯一.
2.不是.如f(x)=c(c为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,但不存在最小正周期.
3.不是.因为对任意实数x,sin 与sin x并不一定相等.
4.不是.因为sin =sin =sin ,所以12π是函数y=sin 的一个周期,即自变量x
本身加的非零常数才是周期.设f(x)=sin ,若4π是函数f(x)的一个周期,则f(x+4π)=f(x),即sin
=sin ,显然不成立.
5.是.只是位置不同.
6.不是.正切函数在整个定义域内不具备单调性.
一语破的
求函数周期的方法
(1)定义法:紧扣周期函数的定义,寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常
数T.该方法主要适用于抽象函数.
(2)公式法:对形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0)的函数,可利
用T= 来求周期.特别注意:y=|Asin(ωx+φ)|(A≠0,ω≠0)的最小正周期T= .
(3)图象法:可画出函数的图象,借助图象判断函数的周期.求含绝对值的函数的周期时一般采
用此法.
关键能力 定点破
定点 1 函数的周期性
在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos 2x+ ,④y=tan 2x- 中,最小正周期为π的是
( )
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
典例
A
解析 对于①,y=cos|2x|=cos 2x,
∴y=cos|2x|的最小正周期为 =π;
对于②,∵y=cos x的最小正周期为2π,
∴y=|cos x|的最小正周期为π;
对于③,y=cos 的最小正周期为 =π;
对于④,y=tan 的最小正周期为 .
综上,①②③的最小正周期为π.
1.利用三角函数的图象解不等式的步骤
(1)画出正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象 对于正切函数,画出其在 上的图象 ;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集 对于正切函数,写出不等式在 上的解集 ;
(3)根据诱导公式一写出不等式在定义域内的解集.
2.利用三角函数的图象解决方程解的问题
对于含有三角函数(同时含有幂型函数、指数型函数、对数型函数中的一种)的方程的
解的问题,一般无法直接求解,常把它转化为三角函数的图象与其他函数图象的交点问题,通
过图象直观地解决问题.
定点 2 三角函数图象的应用
利用正弦曲线,求满足 典例1
解析 作出y=sin x在[0,2π]上的图象,如图所示.
根据特殊角的正弦值,可知直线y= 与y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点的横坐标为 和 ,直
线y= 与y=sin x,x∈[0,2π]的图象的交点的横坐标为 和 .
观察图象可知,在[0,2π]上,当 所以 求方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0的解的个数.
典例2
思路点拨 令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|log2x|,作出函数f(x),g(x)的图象,观察两个函数图象的交
点个数即可得方程解的个数.
解析 由方程sin x+2|sin x|-|log2x|=0,得sin x+2|sin x|=|log2x|.
令f(x)=sin x+2|sin x|,g(x)=|log2x|.
在同一平面直角坐标系内作出f(x)=sin x+2|sin x|和g(x)=|log2x|的图象,如图所示,
易知f(x)与g(x)的图象有4个交点,故原方程有4个解.
1.三角函数的奇偶性
判断与三角函数有关的函数的奇偶性时,先判断其定义域是否关于原点对称,有时需要
运用诱导公式将函数式化简,然后验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x).
(1)对于y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若为奇函数,则φ=kπ(k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ+ (k∈Z).
(2)对于y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),若为奇函数,则φ=kπ+ (k∈Z);若为偶函数,则φ=kπ(k∈Z).
(3)y=tan x是奇函数,其图象关于原点对称.若y=tan(ωx+φ)(ω≠0)是奇函数,则φ= (k∈Z).
2.三角函数的图象的对称性
(1)对于函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的图象的对称性问题,解题时一般将ωx+φ看成一个整
体,令ωx+φ=kπ+ (k∈Z),可求出函数图象的对称轴方程;令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求出函数图象
定点 3 三角函数的奇偶性及其图象的对称性
的对称中心的横坐标.
(2)对于函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0),其图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ,k∈Z求得,即x= ,k
∈Z;图象的对称中心的横坐标由ωx+φ= +kπ,k∈Z求得,对称中心为 ,k∈Z.
(3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),令ωx+φ= ,k∈Z,求解x即可得其图象的对称中心的横坐
标.
(1)判断函数f(x)=sin 的奇偶性;
(2)求函数f(x)=2sin 的图象的对称中心;
(3)若f(x)=sin(2x+φ)的图象的对称轴为直线x= ,且φ∈ ,求φ的值.
典例
解析 (1)易知函数f(x)的定义域为R, 关于原点对称,因为f(x)=sin =-cos ,
所以f(-x)=-cos =-cos =f(x),
所以函数f(x)=sin 是偶函数.
(2)令 + =kπ(k∈Z),解得x=- +2kπ(k∈Z),故函数f(x)的图象的对称中心为 (k∈
Z).
(3)由题意得f =sin =±1,
所以 +φ=kπ+ (k∈Z),所以φ=kπ- (k∈Z).因为φ∈ ,所以φ=- .
1.三角函数单调区间的求解策略
求函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A>0,ω≠0)的单调区
间时,一般将ωx+φ看成一个整体,代入y=sin x,y=cos x或y=tan x相应的单调区间所对应的不等
式,求解即可.
注意:当ω<0时,一般先利用诱导公式将x的系数变为正值,再求函数的单调区间;当A<0时,要注
意单调性与A>0时相反.
2.利用三角函数的单调性比较大小
(1)依据诱导公式把几个三角函数化为同名三角函数.
(2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内.
(3)依据三角函数的单调性比较大小.
定点 4 三角函数的单调性
(1)函数y=3tan 的单调递减区间为 ;
(2)函数y=1+sin ,x∈[-4π,4π]的单调递减区间为 .
典例1
(k∈Z)
,
,
解析 (1)y=3tan =-3tan x- ,令kπ- < x- 得2kπ- 故y=3tan 在区间 2kπ- ,2kπ+ (k∈Z)上单调递减.
(2)y=1+sin =1-sin .
令2kπ- ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z),
解得4kπ- ≤x≤4kπ+ (k∈Z),
又∵x∈[-4π,4π],
∴函数y=1+sin 的单调递减区间为 , , .
比较下列各组值的大小.
(1)tan 126°与tan 496°;
(2)cos ,sin ,-cos .
典例2
解析： (1)tan 126°=-tan 54°,tan 496°=tan 136°=-tan 44°.
因为当0°tan 44°,
所以-tan 54°<-tan 44°,
即tan 496°>tan 126°.
(2)sin =cos ,-cos =cos ,
因为函数y=cos x在(0,π)上单调递减,且0<π- < - < <π,
所以cos >cos >cos ,
即-cos >sin >cos .
常见的与三角函数有关的函数的值域(最值)的类型及解法
(1)形如y=asin x(或y=acos x)的函数,可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性求解其值域(最
值),要注意对a 的正负的讨论.
(2)形如y=Asin(ωx+φ)+B(或y=Acos(ωx+φ)+B或y=Atan(ωx+φ)+B)(其中A,ω,φ为常数,且A>0,ω≠
0)的函数,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ)或tan(ωx+φ))的范
围,最后求得值域(最值).
(3)形如y=asin2x+bsin x+c(或y=acos2x+bcos x+c)(a≠0)的函数,可利用换元思想,设t=sin x(或t=
cos x),转化为二次函数y=at2+bt+c后求值域(最值).注意t的范围需要根据定义域来确定.
(4)形如y= (ac≠0)的函数,可以用分离常数法求解,也可以利用正弦
定点 5 三角函数的值域或最值
函数(或余弦函数)的有界性建立关于y的不等式后反解出y.
求下列函数的值域:
(1)f(x)= cos ,x∈ ;
(2)y=cos2x+2sin x-2,x∈R.
典例
思路点拨 (1)将2x+ 看成一个整体,利用余弦函数的单调性求解.
(2)先把函数解析式转化为只含sin x的形式,再把sin x看成一个整体,将问题转化为求二次函
数的值域.
解析 (1)∵- ≤x≤0,∴- ≤2x+ ≤ ,∴- ≤cos ≤1,
∴-1≤ cos ≤ ,
即f(x)的值域是[-1, ].
(2)y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2,
令sin x=t,则y=-(t-1)2,t∈[-1,1],
∴y∈[-4,0],∴函数y=cos2x+2sin x-2,x∈R的值域为[-4,0].