(共12张PPT)
简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0,x表示时间,y表示相对
于平衡位置的偏离.
(1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离,称为振幅;
(2)往复运动一次所需的时间T= 称为这个运动的周期;
(3)单位时间内往复运动的次数f= = 称为运动的频率;
(4)ωx+φ称为相位,x=0时的相位φ称为初相位.
7.4 三角函数应用
知识点 简谐运动的物理量的描述
必备知识 清单破
1.函数y=3sin 的频率、相位、初相位各是什么
2.某实验室一天的温度y(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似地满足函数关系式:y=10-
2sin ,t∈[0,24),则该实验室这一天的温差为多少
3.波浪形曲线y=|cos 4x|的周期是多少
知识辨析
1.频率为 ,相位为 x- ,初相位为- .
2.温差为4 ℃.该实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,故温差为4 ℃.
3. .
一语破的
解三角函数应用问题的基本步骤
(1)审清题意:读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言,理解所反映的实际问题的背
景,提炼出相应的数学问题.
(2)建立函数模型:整理数据,引入变量,找出变化规律,运用已掌握的三角函数知识、物理知识
及其他相关知识建立关系式,即建立三角函数模型.
(3)求解函数模型:利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型,求得结果.
(4)得出结论:将所得结果翻译成实际问题的答案,并检验.
关键能力 定点破
定点 三角函数模型的应用
如图,这是一半径为4.8 m的水轮示意图,水轮圆心O距离水面2.4 m,已知水轮每60 s按逆
时针方向转动一圈,若当水轮上一点P从水中浮出时(图中点P0)开始计算时间,则 ( )
A.点P到水面的距离h(单位:m.在水面下,则h为负数)与时间t(单位:s)之间的函数关系式为h=
4.8sin
B.当点P第一次到达最高点时需要10 s
C.在水轮转动的一圈内,有10 s的时间,点P到水面的距离不低于4.8 m
D.当水轮转动50 s时,点P在水面下方,到水面的距离为2.4 m
典例
D
解析 对于A,设h=Asin(ωt+φ)+B A>0,ω>0,|φ|< ,则hmax=7.2,hmin=-2.4,
所以 解得
因为最小正周期T= =60,又ω>0,所以ω= ,则h=4.8sin +2.4,
当t=0时,h=0,
所以4.8sin φ+2.4=0,
即sin φ=- ,又|φ|< ,所以φ=- ,
所以h=4.8sin +2.4,故A错误;
对于B,当点P第一次到达最高点时, t- = ,解得t=20,
即当点P第一次到达最高点时需要20 s,故B错误;
对于C,由h≥4.8,得4.8sin +2.4≥4.8,即sin ≥ ,所以 +2kπ≤ t- ≤ +2
kπ,k∈Z,
所以10+60k≤t≤30+60k,k∈Z,当k=0时,10≤t≤30,即在水轮转动的一圈内,有20 s的时间,点P
到水面的距离不低于4.8 m,故C错误;
当t=50时,h=4.8sin +2.4=4.8sin +2.4=-2.4,故D正确.故选D.
应用三角函数模型解决实际问题时,首先要把实际问题抽象为数学问题,即建立三角函
数模型,然后对建立的三角函数模型进行分析研究,运用三角函数的有关知识进行推理、运
算,使问题得到解决.
学科素养 情境破
素养解读
素养 通过三角函数的应用发展数学建模、数学运算的素养
典例呈现
例题 如图所示,四边形ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮,其中AST是半径为90 m的扇
形,此扇形部分是一座小山,其余部分都是平地.开发商想在平地上建一个矩形停车场(图中矩
形PQCR),使矩形的一个顶点P在弧 上,相邻两边CQ,CR分别落在正方形的边BC,CD上,求
矩形停车场PQCR的面积的最大值和最小值.
解题思路 矩形PQCR面积变化的根源是一个顶点P在弧 上运动,此时取合适的角为自变
量,建立矩形PQCR的面积与此角的三角函数模型,利用三角函数知识求最大(小)值.
如图,连接AP,设∠PAB=θ(0°≤θ≤90°),延长RP交AB于M,则AM=90cos θ,MP=90sin θ,
∴PQ=MB=100-90cos θ,PR=100-90sin θ.
∴S矩形PQCR=PQ·PR
=(100-90cos θ)(100-90sin θ)
=10 000-9 000(sin θ+cos θ)+8 100sin θ·cos θ,0°≤θ≤90°.
令t=sin θ+cos θ,0°≤θ≤90°,
则sin θcos θ= ,
∴S矩形PQCR=10 000-9 000t+8 100×
=4 050 +950.
由于t=sin θ+cos θ= sin(θ+45°)(0°≤θ≤90°),∴1≤t≤ .
故当t= 时,S矩形PQCR取得最小值,为950 m2;
当t= 时,S矩形PQCR取得最大值,为(14 050-9 000 )m2.
思维升华
解三角函数应用问题的基本步骤7.4 三角函数应用
基础过关练
题组一 三角函数模型在物理中的应用
1.某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加完全抵消掉噪音.已知噪音的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相位为,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )
A.y=sin πx B.y=cos πx
C.y=-sin πx D.y=-cos πx
2.如图,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=2sin,t∈[0,+∞),φ∈(-π,π).已知当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,则在t=0时h的值为( )
A.-2 B.2 C.- D.
3.阻尼器是一种以提供运动的阻力,从而达到减振效果的专业工程装置.已知某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动,其离开平衡位置的位移s(m)和时间t(s)的函数关系式为s=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<π),若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1,t2,t3(0A. s B. s C.1 s D. s
4.已知某段电路中电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数解析式是I=5sin ωt(0<ω<100π),t∈[0,+∞),若t= s时的电流为3 A,则t= s时的电流为 A.
题组二 三角函数模型在实际生活中的应用
5.据长期观察,某学校周边6时到18时之间的车流量y与时间t满足如下函数关系式:y=Asin+300(A为常数,6≤t≤18).已知8:30(即t=8.5)时的车流量为500,则15:30(即t=15.5)时的车流量约为(参考数据:≈1.41)( )
A.441 B.159 C.473 D.127
6.(多选题)有一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道如图(1)所示.建立如图(2)所示的平面直角坐标系,h(单位:m)表示在时间t(单位:s)时过山车(看成质点)离地平面的高度.轨道最高点P距离地平面50 m,最低点Q距离地平面10 m,入口处M距离地平面20 m.当t=4 s时,过山车到达最高点P,当t=10 s时,过山车到达最低点Q.设h(t)=Asin(ωt+φ)+B,下列结论正确的是( )
A.函数h(t)的最小正周期为12
B.φ=
C.t=14 s时,过山车距离地平面40 m
D.一个周期内过山车离地平面的高度低于20 m的时长是4 s
7. 某校海洋研学小组的同学为了研究海水质点在竖直方向上的运动情况,通过数据采集和分析,发现海水质点在某一时间段内相对于海平面的位移y(米)与时间t(秒)的关系近似满足y=sin(ωt+φ),t∈[0,8],其中常数ω>0,|φ|<π.经测定,在t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰.在t∈[0,8]时,该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为( )
A.秒 B.2秒 C.秒 D.3秒
题组三 三角函数模型的建立及应用
8.如图,一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(P在水面以下时d取为负数),若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:s)之间的关系可以表示为( )
A.d=4sin+2
B.d=4sin+2
C.d=4sin+2
D.d=4sin+2
9.为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖位置为点P(x,y).若初始位置为点P0,秒针从P0(规定此时t=0)开始沿顺时针方向转动,若点P的纵坐标为y,t∈[0,60],则y<-时t的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.某旅游景区内有一家酒店为游客提供住宿和食物,工作人员发现有浪费食物的现象.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此酒店统计了每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来酒店入住的游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征,并且具有以下规律:①每年相同的月份,入住酒店的游客人数基本相同;②入住酒店的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;③2月份入住酒店的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.
(1)函数模型f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)和f(x)=ax3+bx2+cx+d中,用哪一个来描述一年中入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的关系更合适,为什么 并求出f(x)的解析式;
(2)在第一问选择的模型的基础上,酒店在哪几个月份要准备至少400份(每人一份)的食物
答案与分层梯度式解析
7.4 三角函数应用
基础过关练
1.D 由题意得A=1,φ=,T==2,所以ω=π,所以噪音的声波曲线的解析式为y=sin=cos πx,所以用来降噪的声波曲线的解析式为y=-cos πx.故选D.
2.D 因为当t=2时,小球处于平衡位置,并开始向下运动,
所以×2+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,
又φ∈(-π,π),故φ=,故h=2sin,
故当t=0时,h=2sin=.
故选D.
3.D 因为t1+t2=2,t2+t3=6,所以函数s=sin(ωt+φ)的周期T=6-2=4,又T=,所以ω=,所以s=sin.
由s>0.5得sin>0.5,所以2kπ+因为-=,
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5 m的总时间为 s.故选D.
4.答案
解析 由题意得,5sin=3,所以sin=,
又因为0<ω<100π,所以0<<,
所以cos==,
所以t= s时的电流I=5sin=10sin·cos=10××=(A).
5.A 由题意可得500=Asin+300,可得200=Asin,解得A=200,
所以y=200sin+300,
当t=15.5时,y=200sin+300=200sin+300=100+300≈100×1.41+300=441.故选A.
6.ACD 由题意可知,=10-4=6,解得T=12,
又T=,ω>0,所以=12,解得ω=,
又解得A=20,B=30,
所以h(t)=20sin+30,
又h(0)=20,所以20sin φ+30=20,所以sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,
所以h(t)=20sin+30.
对于A,T=12,故A正确;
对于B,φ=-,故B错误;
对于C,h(14)=20sin+30=20sin+30=40,故C正确;
对于D,由h(t)<20,得20sin+30<20,即sin<-,故+2kπ所以一个周期内过山车离地平面的高度低于20 m的时长是(12+12k)-(8+12k)=4(s),故D正确.
故选ACD.
7.C 因为t=2秒时该质点第一次到达波峰,在t=8秒时该质点第三次到达波峰,
所以2T=8-2,解得T=3,所以ω==,
由题知,当t=2时,y=sin=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,
即φ=-+2kπ(k∈Z),因为|φ|<π,所以φ=-,
所以y=sin.
由sin=,得t-=+2kπ或t-=+2kπ,k∈Z,
解得t=+3k或t=+3k,k∈Z,
因为t∈[0,8],所以t=,,,,.
因此该质点相对于海平面的位移不低于0.5米的总时长为++=(秒).
故选C.
8.A 设d=Asin(ωt+φ)+B,
由题意可知,dmax=A+B=6,dmin=-A+B=-2,解得A=4,B=2,
所以d=4sin(ωt+φ)+2,
由题可知,最小正周期T==40,
则ω===,则d=4sin+2.
当t=0时,d=4sin φ+2=0,解得sin φ=-,
又因为-<φ<,所以φ=-,
故d=4sin+2,故选A.
9.B 设y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ),其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω≠0,由初始位置为点P0,可得sin φ=,cos φ=,A=1,则φ=.
又秒针旋转一周用时60秒,且秒针按顺时针方向旋转,即T==60,所以|ω|=,
又ω<0,所以ω=-,
则y=sin=cos=cos.
令cos<-,则+2kπ10.解析 (1)因为入住酒店的游客人数f(x)呈周期性变化,且在第一季度内有对称性特征,故选择f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),其中x=1,2,…,12.
根据①可知这个函数的周期是12;
由②可知f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;
由③可知f(x)在[2,8]上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,则=12,所以ω=,
由解得A=200,B=300,
当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,
则sin=-1,且sin=1,可得φ=-+2kπ,k∈Z,由|φ|<π,得φ=-.
所以入住酒店的游客人数f(x)与月份x之间的函数解析式为f(x)=200sin+300(x=1,2,…,12).
(2)由条件可知200sin+300≥400,化简得sin≥,
即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z,
因为x∈N*,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10,
即酒店在6,7,8,9,10月份要准备至少400份(每人一份)的食物.
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1
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