(共8张PPT)
1.二分法的概念
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在
区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法称为二分
法.
8.1 二分法与求方程近似解
知识点 用二分法求方程的近似解
8.1.2 用二分法求方程的近似解
必备知识 清单破
2.用二分法求方程的一个近似解的操作流程
在以上操作过程中,如果存在c,使得f(c)=0,那么c就是方程f(x)=0的一个精确解.
1.所有零点都可以用二分法求近似解吗
2.用二分法求方程的近似解时,初始区间的选取是唯一确定的吗
知识辨析
1.不是.不变号零点不能用“二分法”求近似解.
2.不是.在选择区间时,要使区间的长度尽可能小,从而降低运算量.
一语破的
1.用二分法求方程近似解的适用条件
(1)在初始区间内函数图象是连续不断的;
(2)函数在初始区间的两个端点处的函数值异号,即是变号零点.
2.利用二分法求函数零点的注意事项
(1)要选好计算的初始区间,既要使这个区间包含函数的零点,又要使其长度尽量小.
(2)用列表法往往能更清晰地表达函数零点所在的区间.
(3)根据给定的精确度,及时检验区间端点的近似值是否相同,以决定是停止计算还是继续计
算.
关键能力 定点破
定点 用二分法求方程的近似解
求方程lg x= -1的近似解(精确到0.1).
典例
思路点拨 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x与y= -1的图象 确定函数零点所
在的初始区间 利用二分法依次计算 根据精确到0.1确定零点的近似值.
解析： 在同一平面直角坐标系中作出函数y=lg x与y= -1的图象,如图所示.
由图可知,方程lg x= -1有唯一的实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x- +1,则f(1)= >0,
用计算器计算,列表如下:
取值区间 中点值 中点函数近似值
(0,1) 0.5 -0.008 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0
(0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3
由表格知f(0.5)≈-0.008 1<0, f(0.531 25)≈0.033 3>0,且0.5与0.531 25精确到0.1的近似值都为
0.5,故此方程的近似解为0.5.第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
基础过关练
题组一 函数的零点与方程的根
1.下列函数有变号零点的是( )
A. f(x)=3x B. f(x)=x2
C. f(x)=log3x D. f(x)=
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是 .
3.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为 .
题组二 函数零点(方程根)所在的区间
4. 函数f(x)=ln x+x-8的零点所在的区间为( )
A.(4,5) B.(5,6) C.(6,7) D.(7,8)
5.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)( )
A.在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
6.已知函数f(x)=(2m-1)·xm为幂函数,若函数g(x)=ln x+2f(x)-6,则g(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
题组三 确定零点的个数
7.函数f(x)=xlg x-1的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.函数f(x)=的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题组四 根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
9.设函数f(x)=2x+x-5在区间(k,k+1)(k∈Z)内有零点,则实数k=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知函数f(x)=x2-(m-1)x-m的一个零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(1,2) D.(2,3)
11.已知函数f(x)=有且仅有3个零点,则正数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.试写出一个实数a= ,使得函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点.
能力提升练
题组一 函数的零点与方程的根
1.(多选题)设实数a,b,c满足ea=ln b=1-c,则下列不等式可能成立的有( )
A.a
2. 已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.(1,2)
3.(多选题)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1A.-1C.x1x2= D.x3+x4=2
题组二 函数零点的个数及应用
4.函数f(x)=sin-|log3x|的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选题) 已知函数f(x)=则下列结论正确的有( )
A. x∈R, f(x)≥-3
B.函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点
C.方程f(x)+f(-x)=0有唯一的解
D.直线y=-x与函数f(x)的图象有3个交点
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数为 .
题组三 根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
7. 关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内,则k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知f(x)为偶函数,对任意的实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3.若函数f(x)的图象与函数g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则a的取值范围是( )
A.(3,5) B.(3,5] C.(5,7) D.(5,7]
9.已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=g(x)=f(x)-a.
(1)若函数g(x)恰有三个不同的零点,求实数a的值;
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和,当-1答案与分层梯度式解析
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
基础过关练
1.C 对于A,函数f(x)=3x>0恒成立,不存在零点,故A不符合题意;对于B,函数f(x)=x2存在零点x=0,但当x<0时, f(x)>0,当x>0时, f(x)>0,不是变号零点,故B不符合题意;对于C,函数f(x)=log3x存在零点x=1,且当01时, f(x)>0,故C符合题意;对于D,函数f(x)=不存在零点,故D不符合题意.故选C.
2.答案 -1和4
解析 依题意,得或
所以x=-1或x=4.
3.答案
解析 因为函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,所以f(x)=ln x,
又因为函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以h(x)=-ln x,
由-ln x=1可得x=.
4.C 因为函数y=ln x,y=x-8在(0,+∞)上都是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为f(6)=ln 6-2<0, f(7)=ln 7-1>0,所以f(x)的零点所在的区间为(6,7).故选C.
5.C 令f(x)=0,得x=ln x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x和y=ln x的图象,如图所示,
根据图象可知, f(x)在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点,故选C.
6.C 因为函数f(x)=(2m-1)xm为幂函数,所以2m-1=1,得m=1,
所以f(x)=x,所以g(x)=ln x+2x-6,易得g(x)=ln x+2x-6在(0,+∞)上单调递增,
因为g(1)=-4<0,g(2)=ln 2+4-6=ln 2-2<0,g(3)=ln 3+6-6=ln 3>0,g(4)=ln 4+2>0,
所以g(x)在(2,3)上有唯一零点.故选C.
7.B 令f(x)=xlg x-1=0,得lg x=,
在同一平面直角坐标系内画出函数y=lg x与y=的图象,如图所示:
由图可知,函数y=lg x和y=的图象在(0,+∞)上有唯一公共点,故f(x)的零点个数为1.故选B.
8.C 当x≥0时,令x2-3x+2=0,解得x=1或x=2;
当x<0时,令ex+x=0,则ex=-x,
在同一平面直角坐标系内画出函数y=ex与y=-x的图象,如图所示:
由图可知,函数y=ex和y=-x的图象在(-∞,0)上有一个公共点.
故f(x)的零点个数为3.故选C.
9.C 易知函数f(x)在定义域上单调递增,
因为f(1)=2+1-5=-2<0, f(2)=4+2-5=1>0,
所以f(x)在(1,2)内存在零点,故k=1.故选C.
10.C 令f(x)=x2-(m-1)x-m=0,即(x+1)(x-m)=0,解得x1=-1,x2=m.
因为函数f(x)的一个零点在区间(1,2)内,-1 (1,2),所以m∈(1,2),所以实数m的取值范围是(1,2).故选C.
11.B 对于y=-x2+ax+1,
易知其对应方程的判别式Δ=a2+4>0,且函数图象开口向下,
则方程-x2+ax+1=0必有一个负根,即函数y=-x2+ax+1在x<0时有一个零点,
所以y=sin,0≤x≤π有2个零点,
易知ax+∈(a>0),则aπ+∈[2π,3π),所以a∈.故选B.
12.答案 1(答案不唯一)
解析 不妨取a=1,则f(x)=x2+4x-1,
则f(1)=4, f(-1)=-4,即f(1)f(-1)<0,
因为f(x)=x2+4x-1的图象的对称轴为直线x=-2,
所以f(x)在(-1,1)上单调递增,
故f(x)=x2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点.
能力提升练
1.BC 在同一平面直角坐标系中画出函数y=ex,y=ln x,y=1-x的图象,如图,
根据图象可知,当ea=ln b=1-c∈(0,1)时,a1时,c2.B 由题图得,点(-1,0),(0,-1)在函数f(x)的图象上,所以解得
所以g(x)=ln x+2x+,其定义域为(0,+∞),
因为y=ln x,y=2x+在(0,+∞)上均单调递增,
所以g(x)=ln x+2x+在(0,+∞)上单调递增,
又g=ln++=-<0,
g=ln+1+=-ln 2>0,
g(1)=ln 1+2+=>0,
g(2)=ln 2+4+=+ln 2>0,
即gg<0,
所以函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在的区间为.故选B.
3.BCD 因为函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点,
所以f(x)=m有4个不同的解,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有4个不同的交点,
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
当x=0时, f(0)=1,由图象可得,0由|ln(-x)|=1,得x=-或x=-e,所以由图象可得-1由题及上述可得,|ln(-x1)|=|ln(-x2)|,-e≤x1<-1,-1由图象可得,x3,x4关于直线x=2对称,所以x3+x4=4,故D中结论错误.
故选BCD.
4.B 函数f(x)=sin-|log 3x|的零点个数,即函数y=sin与y=|log3x|的图象的交点个数破题关键,
在同一平面直角坐标系中画出函数y=sin和y=|log3x|的图象,如图所示:
由图可知,两函数的图象的交点个数为2,故函数f(x)的零点个数为2.
故选B.
5.ABD 对于A,作出函数y=f(x)的图象如图①所示:
由图①可知, x∈R, f(x)≥f(2)=-3,故A正确;
对于B,当g(x)=0时, f(x)=sin x-1,则函数g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=sin x-1的图象的交点个数,令h(x)=sin x-1.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=h(x)的图象如图②所示:
由图②可知,函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点,故B正确;
对于C,根据题意,得-f(-x)=
在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象如图③所示:
由图③可知,函数y=f(x)和y=-f(-x)的图象有4个交点,即方程f(x)=-f(-x)有4个不同的解,故C错误;
对于D,在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=-x,如图④所示:
由图④可知,直线y=-x与函数y=f(x)的图象有3个交点,故D正确.故选ABD.
6.答案 2
解析 作出函数f(x)的图象,如图所示.
当0≤x≤1时,0≤≤,则0≤sin≤;
当x>1时,+1∈.
由g(x)=f(f(x))-=0,得f(f(x))=,
令t=f(x),则f(t)=.
当t>1时,无解;
当0≤t≤1时,sin=,
所以t=.
又f(x)是定义在R上的偶函数,
所以f =f =,所以函数g(x)有2个零点.
7.A 关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内可转化为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内破题关键,又f(2)=sin 2+2-3=sin 2-1<0,且f=sin+-3>sin+-3=-=0,
故由函数零点存在定理,得f(x)在上有零点,
又因为函数f(x)=sin x+x-3的唯一零点在区间(k∈Z)内,所以k=2.
故选A.
8.A 因为f(x)为偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=x3,
所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x3.
又f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2.
易得g(x)=log a|x|为偶函数,所以要想f(x)的图象与g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则只需f(x)的图象与函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象有3个交点破题关键.令h(x)=logax(a>0,且a≠1),由题意可知,a>1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和h(x)=logax(a>1)的图象,如图所示:
由图可得,若函数f(x)和h(x)的图象有3个交点,则需h(3)=loga3<1=f(1),h(5)=loga5>1=f(5),故39.解析 (1)根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示:
由图可知,当且仅当a=2或a=-2时,直线y=a与函数y=f(x)的图象有3个不同的交点,即函数g(x)恰有3个不同的零点,故a=2或a=-2.
(2)由(1)中f(x)的图象可知,当-1∴h(a)=-10-log3(7-a)+log3(7+a)+10=log3,
当-1∴h(a)∈(1-2log32,2log32-1),
故当-1(
1
)第8章 函数应用
8.1 二分法与求方程近似解
8.1.1 函数的零点
基础过关练
题组一 函数的零点与方程的根
1.下列函数有变号零点的是( )
A. f(x)=3x B. f(x)=x2
C. f(x)=log3x D. f(x)=
2.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点是 .
3.已知函数f(x)与g(x)=ex互为反函数,函数y=h(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称,则y=h(x)-1的零点为 .
题组二 函数零点(方程根)所在的区间
4.函数f(x)=ln x+x-8的零点所在的区间为( )
A.(4,5) B.(5,6) C.(6,7) D.(7,8)
5.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则f(x)( )
A.在区间(e-1,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(e-1,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(e-1,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D.在区间(e-1,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
6. 已知函数f(x)=(2m-1)·xm为幂函数,若函数g(x)=ln x+2f(x)-6,则g(x)的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
题组三 确定零点的个数
7.函数f(x)=xlg x-1的零点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.函数f(x)=的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题组四 根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
9.设函数f(x)=2x+x-5在区间(k,k+1)(k∈Z)内有零点,则实数k=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
10.已知函数f(x)=x2-(m-1)x-m的一个零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(1,2) D.(2,3)
11.已知函数f(x)=有且仅有3个零点,则正数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12.试写出一个实数a= ,使得函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点.
能力提升练
题组一 函数的零点与方程的根
1.(多选题)设实数a,b,c满足ea=ln b=1-c,则下列不等式可能成立的有( )
A.a2. 已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则函数g(x)=ln x-bx+a的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.(1,2)
3.(多选题)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有4个不同的零点x1,x2,x3,x4,且x1A.-1C.x1x2= D.x3+x4=2
题组二 函数零点的个数及应用
4.函数f(x)=sin-|log3x|的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(多选题)已知函数f(x)=则下列结论正确的有( )
A. x∈R, f(x)≥-3
B.函数g(x)=f(x)-sin x+1有且仅有2个零点
C.方程f(x)+f(-x)=0有唯一的解
D.直线y=-x与函数f(x)的图象有3个交点
6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=则函数g(x)=f(f(x))-的零点个数为 .
题组三 根据函数零点(方程根)的情况求参数的值或范围
7.关于x的方程sin x+x-3=0的唯一解在区间(k∈Z)内,则k的值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.已知f(x)为偶函数,对任意的实数x都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时, f(x)=x3.若函数f(x)的图象与函数g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1)的图象恰有6个交点,则a的取值范围是( )
A.(3,5) B.(3,5] C.(5,7) D.(5,7]
9.已知f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且当x>0时, f(x)=g(x)=f(x)-a.
(1)若函数g(x)恰有三个不同的零点,求实数a的值;
(2)记h(a)为函数g(x)的所有零点之和,当-1答案与分层梯度式解析
8.1.2 用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.D 根据二分法的原则,函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,即函数的零点是变号零点时,才能将区间[a,b]一分为二,逐步得到零点的近似值.对各图象分析可知,选项A,B,C都符合条件.对于选项D,由于零点左右两侧的函数值不变号,因此不能用二分法求函数零点的近似值,故选D.
2.B 不能用二分法求零点的函数,要么没有零点,要么零点两侧的函数值同号破题关键.
对于A, f(x)=2x有唯一零点x=0,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点;
对于B, f(x)=x2+2x+2=(x+)2有唯一零点x=-,但f(x)=(x+)2≥0恒成立,故不可用二分法求零点;
对于C, f(x)=x+-3有两个不同零点x=,且每个零点左右两侧的函数值都异号,故可用二分法求零点;
对于D, f(x)=ln x+3有唯一零点x=e-3,且函数值在零点两侧异号,故可用二分法求零点.故选B.
3.B f(1)=2+1-8=-5<0, f(5)=25+5-8=29>0,
取区间[1,5]的中点值x1==3,则f(3)=23+3-8=3>0,
取区间[1,3]的中点值x2==2,则f(2)=22+2-8=-2<0,
故此时可确定近似解所在的区间为[2,3].
故选B.
4.C 根据题意, f(1.438)=0.165>0, f(1.406 5)=-0.052<0,且1.438与1.406 5精确到0.1的近似值都为1.4,∴方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解为1.4.
故选C.
5.答案 4
解析 将26枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那13枚金币里面.从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,放在天平上,若天平平衡,则拿出的那一枚一定是假币;若天平不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面.将这6枚金币平均分成两份,放在天平上,则假币一定在质量小的那3枚金币里面.从这3枚金币中任意拿出2枚放在天平上,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币;若天平不平衡,则质量小的那一枚是假币.
综上,最多称4次就可以发现这枚假币.
6.解析 (1)当m=-4时, f(x)=2x2-8x-1,
则函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=2,
所以函数f(x)在(-1,1)上单调递减,
由f(-1)=9, f(1)=-7,可得f(-1)f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(-1,1)上存在唯一零点x0,
因为f(0)=-1<0,所以f(-1)f(0)<0,可得x0∈(-1,0).
因为f(-0.5)=>0,所以f(-0.5)f(0)<0,可得x0∈(-0.5,0).
因为f(-0.25)=>0,所以f(-0.25)f(0)<0,可得x0∈(-0.25,0).
因为f(-0.125)=>0,所以f(-0.125)f(0)<0,可得x0∈(-0.125,0).
因为f(-0.062 5)<0,
所以f(-0.062 5)f(-0.125)<0,可得x0∈(-0.125,-0.062 5).
因为-0.125与-0.062 5精确到0.1的近似值都为-0.1,所以方程的近似解为-0.1.
(2)易知函数f(x)在[-1,1]上单调递减,
由f(x)在区间[-1,1]上存在零点,得
即解得-13≤m≤3,
所以实数m的取值范围是[-13,3].
7.证明 ∵f(1)>0,
∴f(1)=3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.
∵a+b+c=0,∴a=-b-c,-b-2c>0,
∴-b-c>c,即a>c.
∵f(0)>0,∴f(0)=c>0,∴a>0.
取区间[0,1]的中点值,
则f =a+b+c=a+(-a)=-a<0.
∵f(0)>0, f(1)>0, f <0,
∴函数f(x)在区间和上各至少有一个零点,
又f(x)为二次函数,最多有两个零点,
∴f(x)=0在区间[0,1]内有两个不等的实数根.
(
1
)(共13张PPT)
1.函数的零点的概念
一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.因此,函数y=f(x)的零
点就是方程f(x)=0的实数解.从图象上看,函数y=f(x)的零点,就是它的图象与x轴交点的横坐
标.
2.函数零点存在定理
若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间
(a,b)上有零点.
8.1 二分法与求方程近似解
知识点 函数的零点
8.1.1 函数的零点
必备知识 清单破
1.函数的零点是函数图象与x轴的交点吗
2.在函数f(x)中,已知f(a)f(b)<0,能否得到函数f(x)在(a,b)内有零点
3.若函数f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),能否确定f(a)f(b)<0
4.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,能否确定零点是唯一
的
知识辨析
1.不是.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数解,因此,函数的零点不是点,而是一个实数,为
函数图象与x轴的交点的横坐标.
2.不能.如:函数f(x)= ,满足f(-1)f(1)<0,但f(x)的图象在[-1,1]上不是一条连续不断的曲线,所以
不能得到f(x)在(-1,1)内有零点.
3.不能.如:函数f(x)=x2在区间(-1,1)内有零点,但f(-1)f(1)>0.
4.不能.能判定f(x)在(a,b)内有零点,但不能确定零点是唯一的.如: f(x)=x(x-1)(x-2),区间为[-1,
3],满足条件,但f(x)在[-1,3]内有0,1,2三个零点.若添加条件“f(x)在区间[a,b]上单调”,则零点
能唯一确定.
一语破的
设x1,x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,令f(x)=ax2+bx+c(a>0),则x1,
x2的分布情况如表所示:
关键能力 定点破
定点 1 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布问题
根的分布 图象 等价条件
x1kmx1,x2∈ (k1,k2)
根的分布 图象 等价条件
只有一根 在(k1, k2)内
或
或
根的分布 图象 等价条件
已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.
(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求实数m的取值
范围;
(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.
典例
思路点拨 根据一元二次方程根的分布情况,借助函数的图象,从判别式、对称轴位置、端
点的函数值等方面列出关于参数的不等式(组),求解得出参数的取值范围.
解析 令f(x)=x2+2mx+2m+1.
(1)依题意得函数f(x)=x2+2mx+2m+1的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,
画出函数f(x)的大致图象,如图①所示:
图①
由图象得 解得- (2)根据题意,可知函数f(x)的图象与x轴的两个交点的横坐标均在区间(0,1)内,画出函数f(x)的
大致图象,如图②所示:
图②
由图象得
解得- ∴实数m的取值范围是 .
1.判断函数f(x)的零点个数的主要方法
(1)转化为解相应的方程,根据方程的解进行判断.
(2)画出函数y=f(x)的图象,判断它与x轴的交点个数,从而判断零点的个数.
(3)利用函数零点存在定理进行判断,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,
且在区间(a,b)上单调,满足f(a)·f(b)<0,则函数f(x)在区间(a,b)上有且仅有一个零点.
(4)转化成两个函数图象的交点个数问题.
2.有关函数零点个数的应用问题,通常利用转化法和数形结合思想求解.
定点 2 函数零点个数的判断及应用
已知函数f(x)= 若函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,则实数m的取
值范围是 .
典例
思路点拨 作出函数图象,分析图象,结合已有知识逐步求解.
(-∞,-1)
解析： 令t=f(x),则函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1=2t2+3mt+1.
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
由图象可知:
当t<0时,函数t=f(x)有1个零点;
当t=0时,函数t=f(x)有3个零点;
当0当t=1时,函数t=f(x)有3个零点;
当t>1时,函数t=f(x)有2个零点.
要使关于x的函数y=2[f(x)]2+3mf(x)+1有6个不同的零点,
则函数y=2t2+3mt+1有两个根t1,t2,且01,或t1=0,t2=1.
令g(t)=2t2+3mt+1,
将t=1代入2t2+3mt+1=0中,得m=-1,
此时g(t)=2t2-3t+1,对应方程的另一个根为t= ,不满足t1=0,t2=1.
若01,结合函数g(t)=2t2+3mt+1的图象得 解得m<-1.
故实数m的取值范围是(-∞,-1).