8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
基础过关练
题组 不同函数增长的差异
1.已知三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如下表所示:
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 25 45 65 85 105
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.6
则与x呈对数型函数模型、指数型函数模型、幂函数型模型变化的变量依次是( )
A.y1,y2,y3 B.y3,y2,y1 C.y1,y3,y2 D.y3,y1,y2
2.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度会随着时间的变化而变化,请在下图中选择与容器相匹配的图象,A对应 ,B对应 ,C对应 ,D对应 .(填序号)
3.甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1, f2(x)=x2, f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).有以下结论:
①当x>1时,甲走在最前面;
②当x>1时,乙走在最前面;
③当01时,丁走在最后面;
④丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面;
⑤如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号为 .
4.若x∈(0,+∞),试分别写出使不等式:①log2x<2x答案与分层梯度式解析
8.2 函数与数学模型
8.2.1 几个函数模型的比较
基础过关练
1.B 由题表可知,y2随x的增大而迅速增大;y3随x的增大而增大,但是变化缓慢;y1相对于y2的变化要慢一些,相对于y3的变化要快一些.
故选B.
2.答案 ④;①;③;②
解析 A容器下粗上细,水的高度的变化先慢后快,故与④对应;B容器由下到上,先变粗,再变细,水的高度的变化为快—慢—快,故与①对应;C,D容器上下一样粗,水的高度的变化是均匀的,但C容器比较细,D容器比较粗,故水的高度的变化速度快的为C容器,对应③,变化速度慢的为D容器,对应②.
3.答案 ③④⑤
解析 四个函数的大致图象如图所示,根据图象易知,③④⑤正确.
4.解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x,y=x2,y=log2x的图象,可得22=4,24=42=16,下面借助图象解决问题.
①∵log2x<2x∴满足条件的自变量x的取值范围为(2,4).
②∵log2x4,
∴满足条件的自变量x的取值范围为(0,2)∪(4,+∞).
(
1
)(共10张PPT)
8.2 函数与数学模型
知识点 1 三种常见函数模型的增长差异
必备知识 清单破
函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xα(α>0)
性质 在(0,+∞)上的增减性 增 增 增
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐
趋于稳定 α(0<α≤1)值较小时,增长较慢;α(α>1)值较大时,增长较快
增长后的结果 当x足够大时,总有ax>xα>logax 注意:一般地,在描述现实问题的变化规律时,常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增
长”等术语表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式.
解决实际问题通常按照以下程序进行:实际问题 建立数学模型 求解数学模型
解决实际问题.
知识点 2 利用函数模型解决实际问题
1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么
2.用函数模型预测的结果和实际结果是否必须相等
知识辨析
1.关键是确定变量间的关系,不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较,还要看函数的变
化趋势.
2.不是.用函数模型预测的结果和实际结果可以有误差,好的函数模型预测的结果与实际结果
误差较小.
一语破的
利用函数模型解决实际问题的关键是选择和建立恰当的函数模型,一方面,可根据实际
问题提供的两个变量的数量关系确定函数模型,另一方面,可利用函数图象的直观性确定函
数模型.在确定函数模型时,要根据实际情况灵活选取,要认真审题,读懂题意,理解题干所反映
的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学问题,注意培养直观想象与数学建模的核心素养.
此外,用得到的函数模型进行拟合时,可能误差较大或不符合客观实际,因此要对所得函数模
型进行检验,切忌盲目下结论.
关键能力 定点破
定点 利用函数模型解决实际问题
某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,其注意力指数p与
听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象
的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)的图象的一部分.根据专家研
究,当注意力指数p大于或等于80时,听课效果最佳.
(1)求p=f(t)的函数关系式;
(2)若一道数学难题,讲解需要22分钟,则老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完
请说明理由.
典例
信息提取 ①注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间满足函数关系;②当t∈(0,14]时,曲线
是开口向下,最高点为(12,82),且过点(14,81)的二次函数图象的一部分;当t∈(14,40]时,曲线是
函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)且过点(14,81)的图象的一部分;③注意力指数p大于或等于80
时,听课效果最佳.
数学建模 本题以学生上课注意力集中情况为情境,构建注意力指数p与听课时间t的函数模
型,利用待定系数法求解函数模型,进而解决实际问题.
解析: (1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入,得81=c(14-12)2+82,解得c=-,
∴p=f(t)=- (t-12)2+82,t∈(0,14];
当t∈(14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1),得81=loga(14-5)+83,解得a= ,
∴p=f(t)=lo (t-5)+83,t∈(14,40].
综上,p=f(t)=
(2)当t∈(0,14]时,令- (t-12)2+82≥80,解得12-2 ≤t≤12+2 ,
又0∴12-2 ≤t≤14;
当t∈(14,40]时,令lo (t-5)+83≥80,
解得t≤32,
又14∴14综上,当t∈[12-2 ,32]时,学生听课效果最佳.
∵32-(12-2 )=20+2 >22,
∴老师能够经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完.
素养解读 数学建模主要考查数学建模能力及分析、解决问题的能力,是综合提升数学学科
素养的重要载体.我们要理解常见函数的增长差异,在实际情境中,会建立、选择适当的函数
模型来刻画现实问题.学习时要逐渐培养从模仿到自主,从局部到整体的过程,积累独立思考
和合作交流的经验.8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
题组一 用已知函数模型解决实际问题
1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系:f(x)=已知某家庭去年一月至四月的煤气使用量及煤气费如下表所示:
月份 一月 二月 三月 四月
煤气使用量x/m3 4 5 25 35
煤气费f(x)/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了22 m3的煤气,则其煤气费为( )
A.12.5元 B.12元 C.11.5元 D.11元
2.我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭,成功将卫星互联网技术试验卫星发射升空.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系是v=alg(a是参数).当M=5 000m时,v大约为(参考数据:lg 2≈0.301 0)( )
A.2.097a B.3.699a C.3.903a D.4.699a
3.在如今这个5G时代,6G研究方兴未艾,在第九届未来信息通信技术国际研讨会上传出消息,未来6G速率有望达到1 Tbps,并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技,有望打造出空天地融合的立体网络,预计6G数据传输速率有望比5G快100倍,时延达到亚毫秒级水平.香农公式C=Wlog21+是被广泛公认的通信理论基础和研究依据,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比从9提升至161,则最大信息传递率C会提升到原来的(精确到0.1,参考数据:log23=1.58,log25=2.32)( )
A.2.4倍 B.2.3倍
C.2.2倍 D.2.1倍
4.某化工企业积极探索先进技术来减少排放的废气中所含有的污染物的浓度.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度为r1,则第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度rn符合函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*).已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度r0=2(单位:mg/m3),第一次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度r1=1.94(单位:mg/m3).
(1)求p的值,并写出第n次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度rn的函数模型;
(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物浓度不能超过0.08(单位:mg/m3),则至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标 (参考数据:lg 2≈0.3)
5.为了进一步增强市场竞争力,某企业计划在2024年利用新技术生产某款手机,经市场调研,生产此款手机全年需投入固定成本100万,每生产x(单位:千部)手机,需另投入可变成本R(x)万元,且R(x)=经市场调研知,每部手机售价0.2万元,且全年生产的手机当年能全部销售完.(利润=销售额-固定成本-可变成本)
(1)求2024年的利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千部)的函数关系式;
(2)当2024年的年产量(单位:千部)为多少时,企业所获利润最大 最大利润是多少
题组二 构建函数模型解决实际问题
6.某科技公司为了解决芯片短板问题,计划逐年加大研发资金投入.若该公司计划在2024年全年投入芯片制造方面的研发资金为60亿元,在此基础上,计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元的年份是 年.(参考数据:lg 1.09≈0.037,lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
7.2023年10月17日,雅万高铁正式开通运营,标志着印度尼西亚迈入高铁时代,中国和印度尼西亚共建“一带一路”取得重大标志性成果.中国高铁正在成为共建“一带一路”和国际产能合作的重要项目.国内某车辆厂决定从传统型、智能型两种型号的高铁列车车厢中选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种型号车厢的有关数据如下表:
型号 年固定 成本/ 百万元 每节车厢 成本/ 百万元 每节车厢 售价/ 百万元 每年最多 生产的车厢 节数
传统型 20 m 10 200
智能型 40 8 18 120
已知2≤m≤8(m∈R),每销售n节智能型车厢时,需上交0.1n2百万元用于当地基础建设.假设生产的车厢当年都能销售完.
(1)设该厂投资传统型和智能型两种型号车厢的年利润分别为y1百万元、y2百万元,分别求出y1、y2与每年生产的车厢节数x之间的函数关系式;
(2)①分别求出生产两种型号车厢的最大年平均利润;
②要使生产两种型号车厢的年平均利润最大,该厂应该选择生产哪种型号车厢
题组三 建立拟合函数模型解决实际问题
8.为了巩固拓展脱贫攻坚的成果,振兴乡村经济,某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货,既方便了人们购物和交流,又有效地解决了农产品销售困难的问题.为了支持家乡的发展,越来越多的人注册成为某电商平台的会员来进行购物和交流.已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示:
建立平台年数x 1 2 3
会员人数y/千 14 20 29
为了描述建立平台年数x(x∈N*)与该平台会员人数y(千)的关系,现有以下三个函数模型可供选择:
①y=+b(t>0);②y=dlogcx+e(d>0,c>1);
③y=kax+m(k>0,a>1).
(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型,并说明理由,同时求出该函数的解析式;
(2)根据(1)中选择的函数模型,预测会员人数超过1 002千时平台建立年数x的最小值.(参考数据:ln 2≈0.693,ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)
9.某公司为了提升销售利润,准备制订一个激励销售人员的奖励方案,公司规定奖励方案中的奖金总额y(万元)是销售利润x(万元)的函数,并且满足如下条件:①图象如图所示;②销售利润x为30万元时,奖金总额y为3万元.现有以下三个函数模型供选择:A.y=kx+b(k>0),B.y=k·1.5x+b(k>0),C.y=klog2+n(k>0).
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型,并说明理由;
(2)根据(1)中选择的函数模型解决下列问题:
(i)若奖金总额不少于9万元,则销售利润至少应为多少万元
(ii)奖金总额能否超过销售利润的
答案与分层梯度式解析
8.2.2 函数的实际应用
基础过关练
1.A 由题表得C=4.
根据三月和四月的数据,得解得A=5,B=0.5,所以f(x)=所以f(22)=12.5.故选A.
2.B 因为M=5 000m,所以v=alg=alg(1+5 000)≈alg 5 000=a(lg 5+lg 1 000)=a(3+lg 5)=a(3+1-lg 2)=a(4-lg 2)≈a(4-0.301 0)=3.699a.故选B.
3.C 当=9时,最大信息传递率C1=Wlog2(1+9)=Wlog210=W(1+log25),
当=161时,最大信息传递率C2=Wlog2(1+161)=Wlog2162=Wlog2(2×34)=W(log22+log234)=W(1+4log23),
所以==≈2.2.故选C.
4.解析 (1)由题意可得,r0=2,r1=1.94,
故当n=1时,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)×50.5+p,解得p=-0.5,
所以rn=2-0.06×50.5n-0.5 (n∈N*).
(2)由(1)及题意可得,rn=2-0.06×50.5n-0.5≤0.08,化简并整理,得50.5n-0.5≥=32,
两边取对数,得0.5n-0.5≥,
解得n≥2×+1≈5.3,
因为n∈N*,所以n≥6.
综上所述,至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标.
5.解析 (1)依题意知,W(x)=0.2×1 000×x-R(x)-100=200x-R(x)-100,
当0当x≥50时,W(x)=200x--100=-+5 100.
故W(x)=
(2)若0当x=30时,W(x)max=1 500;
若x≥50,则W(x)=-+5 100≤-2+5 100=4 940,
当且仅当x=,即x=80时,等号成立,
所以当x=80时,W(x)max=4 940.
又1 500<4 940,所以当2024年的年产量为80千部时,企业所获利润最大,最大利润是4 940万元.
6.答案 2030
解析 依题意,设还需要n(n∈N*)年,该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元,
则60(1+9%)n>100,故nlg 1.09>lg,
所以n>=≈≈5.997,
又n∈N*,所以还需要6年,即2030年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过100亿元.
7.解析 (1)由题意可得y1=(10-m)x-20,其中0≤x≤200,x∈N,y2=(18-8)x-40-0.1x2=-0.1x2+10x-40,其中0≤x≤120,x∈N.
(2)生产传统型车厢的年平均利润(百万元)为=10-m-,其中0生产智能型车厢的年平均利润(百万元)为=10-,其中0令f(x)==10-m-,其中0g(x)==10-,其中0①易知函数f(x)在(0,200]上单调递增,则f(x)max=f(200)=-m.
由基本不等式可得g(x)=10-≤10-2=6,
当且仅当=,即x=20时,等号成立,
所以生产传统型车厢的最大年平均利润为百万元,生产智能型车厢的最大年平均利润为6百万元.
②f(x)max-g(x)max=-m-6=-m,
当2≤m<3.9时, f(x)max-g(x)max>0,即f(x)max>g(x)max,此时投资传统型车厢可获得最大年平均利润,且最大年平均利润为(9.9-m)百万元;
当m=3.9时, f(x)max-g(x)max=0,即f(x)max=g(x)max,此时投资两种车厢可获得的最大年平均利润一样,且最大年平均利润为6百万元;
当3.98.解析 (1)最恰当的函数模型是③.理由如下:
从题表中的数据可知,所选函数必须满足两个条件:一是增函数;二是增长速度越来越快.
因为模型①为减函数,模型②的增长速度越来越慢,所以不能选择模型①和②,而模型③符合两个条件,所以选择模型③.
将(1,14),(2,20),(3,29)代入y=kax+m(k>0,a>1),得解得
所以函数的解析式为y=8+2,x∈N*.
(2)由(1)知y=8+2,x∈N*,
根据题意,得8+2>1 002,所以>125,
即x>125==≈≈11.89,又x∈N*,所以满足题意的x的最小值为12.
9.解析 (1)最合适的函数模型是C.理由如下:
由题图可知,y随x的增大而增大,且增大的越来越缓慢.
模型A,y=kx+b(k>0),因为k>0,所以y随x的增大而增大,易知增大的速度不变,与题图不符;
模型B,y=k·1.5x+b(k>0),因为k>0,所以y随x的增大而增大,易知增大的速度逐渐变快,与题图不符;
模型C,y=klog2+n(k>0),因为k>0,所以y随x的增大而增大,易知增大的速度逐渐变慢,符合题意.所以最合适的函数模型是C.
(2)由题图知,图象过点(0,0),所以klog22+n=0,即k+n=0,
又因为销售利润x为30万元时,奖金总额y为3万元,所以klog24+n=3,即2k+n=3,
联立解得所以y=3log2-3.
(i)若奖金总额不少于9万元,则y=3log2-3≥9,即log2≥4,即+2≥16,解得x≥210,
所以销售利润至少应为210万元.
(ii)设3log2-3≥,即log2≥+1,
因为y=log2与y=+1的图象有交点(-15,0),(0,1),且函数y=log2的增长速度比函数y=+1慢,
所以当x>0时,y=log2的图象恒在y=+1图象的下方,所以log2≥+1无解,
所以奖金总额不会超过销售利润的.
(
1
)
