13．2 与三角形有关的线段
13．2.1 三角形的边
【学习目标】
1．掌握三角形三条边之间的关系．
2．通过观察和实际操作得知三角形具有稳定性．
3．稳定性在生产、生活中广泛应用．
【预习导学】
阅读教材P5－7，完成练习．
【合作探究1】
活动1 三角形的三边关系
1．三角形两边的和 第三边．
2．推论：由于a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b
3．利用三角形三边关系，可以确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形．
活动2 跟踪训练
1．下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3，4，8( )； (2)2，5，6( )；
(3)5，6，10( ); (4)5，6，11( )．
2．判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据刚才的解题经验，有没有更简便的判断方法？
活动3 典例精析
【例1】 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长．
【例2】用一根长为18 cm的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？
活动4 跟踪训练
1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取( )
A．10 cm的木棒 B．20 cm的木棒
C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒
2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为( )
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12 cm，则它的最短边长为( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．若五条线段的长分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，则以其中三条线段为边可构成 个三角形．
5．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为 ；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为 .
【自学反馈】
1．下列图中具有稳定性的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列设备中，没有利用三角形的稳定性的是( )
A．活动的四边形衣架 B．起重机
C．屋顶三角形钢架 D．索道支架
3．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了 ．
【合作探究2】
活动1 思考
1．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ ．__
2．观察下面的图片，有什么共同点？ ．
活动2 动手操作探究三角形的稳定性
观察下列三个图形，并回答问题．
(1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(4)从上面实验过程你能得出什么结论？
(5)还有什么发现？
活动3 理解三角形的稳定性
只要三角形三条边的 固定，这个三角形的 和 也就完全确定，三角形的这种性质叫作三角形的稳定性．
活动4 跟踪训练
1．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A．节省材料，节约成本 B．保持对称
C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮
2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
3．下列图形中哪些具有稳定性？请在图号后分别画“√”或“×”表示“有稳定性”或“没有稳定性”．
13．2.2 三角形的中线、角平分线、高
【学习目标】
1．三角形的中线、角平分线、高的概念．
2．三角形的中线、角平分线、高的画法．
【预习导学】
阅读教材P7—8，回答下列问题：
(1)在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作这个三角形的 ；
(2)在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作 ；
(3)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作 ．
【自学反馈】
1.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 ．如图①，AD是△ABC的中线，则BD＝ .
① ② ③
2．∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的 ．如图②，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝ .
3．三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的 ．如图③，AD是△ABC的高，则AD⊥ .
4．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？
5．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
【合作探究】
活动1 三角形的中线
1．三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它对边 的线段，叫作这个三角形的中线．如图， 是△ABC中BC边上的中线．
2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条中线相交于 点；
(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的 ；
(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的 ；
(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的 ．
3．三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的 ．
活动2 三角形的角平分线
1．以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线吗？
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 叫作三角形的角平分线．
如图， 是△ABC的角平分线，图中∠BAD＝∠ .
2.分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条角平分线相交于 点；
(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ；
(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ；
(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的 ．
活动3 三角形的高
1．用画图工具准确画出三角形的高．
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作 ，顶点和 之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．
如图，线段 是BC边上的高．
注意：画三角形的高时要标明垂直的记号和垂足的字母．
2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条高线相交于 点；
(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的 ；
(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的 ；
(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的 ．13．2 与三角形有关的线段
13．2.1 三角形的边
【学习目标】
1．掌握三角形三条边之间的关系．
2．通过观察和实际操作得知三角形具有稳定性．
3．稳定性在生产、生活中广泛应用．
【预习导学】
阅读教材P5－7，完成练习．
【合作探究1】
活动1 三角形的三边关系
1．三角形两边的和__大于__第三边．
2．推论：由于a＋b>c，根据不等式的性质，得c－b3．利用三角形三边关系，可以确定在已知两边的三角形中，第三边的取值范围，以及判断任意三条线段能否构成三角形．
活动2 跟踪训练
1．下列长度的三条线段能否组成三角形？
(1)3，4，8( 不能 )； (2)2，5，6( 能 )；
(3)5，6，10( 能 ); (4)5，6，11( 不能 )．
2．判断三条线段能否组成三角形，是否一定要检验三条线段中任何两条的和都大于第三条？根据刚才的解题经验，有没有更简便的判断方法？
解：用较短的两条线段的和与最长的线段比较，若和大，能组成三角形；反之，则不能．
活动3 典例精析
【例1】 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长．
解：设第三边的长为x，根据两边的和大于第三边得x＜2＋7即x＜9.根据两边的差小于第三边得x>7－2即x>5.∴x的值大于5且小于9，又∵x是奇数，∴x只能取7.
【例2】用一根长为18 cm的细铁丝围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为4 cm的等腰三角形吗？
解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm.
则x＋2x＋2x＝18，解得x＝3.6.
∴三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
(2)①当4 cm长为底边，设腰长为x cm，
则4＋2x＝18.解得x＝7.
∴等腰三角形的三边长为7 cm，7 cm，4 cm；
②当4 cm长为腰长，设底边长为x cm，可得
4×2＋x＝18.解得x＝10.
∵4＋4<10，
∴此时不能构成三角形．
综上所述，可围成等腰三角形，且三边长分别为7 cm，7 cm和4 cm.
活动4 跟踪训练
1．现有两根木棒，它们的长度分别为20 cm和30 cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，应在下列四根木棒中选取( B )
A．10 cm的木棒 B．20 cm的木棒
C．50 cm的木棒 D．60 cm的木棒
2．已知等腰三角形的两边长分别为3和6，则它的周长为( C )
A．9 B．12 C．15 D．12或15
3．已知三角形的三边长为连续整数，且周长为12 cm，则它的最短边长为( B )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
4．若五条线段的长分别是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，则以其中三条线段为边可构成__3__个三角形．
5．若等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为__17__；若等腰三角形的两边长分别是3和4，则它的周长为__10或11__.
【自学反馈】
1．下列图中具有稳定性的有( C )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列设备中，没有利用三角形的稳定性的是( A )
A．活动的四边形衣架 B．起重机
C．屋顶三角形钢架 D．索道支架
3．人站在晃动的公共汽车上，若你分开两腿站立，则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳，这是利用了 __三角形的稳定性__．
【合作探究2】
活动1 思考
1．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？__防止窗框变形．__
2．观察下面的图片，有什么共同点？__都具有三角形的形状．
活动2 动手操作探究三角形的稳定性
观察下列三个图形，并回答问题．
(1)把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(2)把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(3)在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
(4)从上面实验过程你能得出什么结论？
(5)还有什么发现？
解：(1)三角形木架形状不会改变．
(2)四边形木架形状会改变．
(3)四边形木架形状不会改变．
(4)这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性．
(5)还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．原因是斜钉一根木条后，四边形变成两个三角形，由于三角形有稳定性，所以斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变．
活动3 理解三角形的稳定性
只要三角形三条边的__长度__固定，这个三角形的__形状__和__大小也就完全确定，三角形的这种性质叫作三角形的稳定性．
活动4 跟踪训练
1．如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( C )
A．节省材料，节约成本 B．保持对称
C．利用三角形的稳定性 D．美观漂亮
2．如图，工人师傅砌门时，常用木条EF和EG固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( D )
A．两点之间线段最短 B．矩形的对称性
C．矩形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性
3．下列图形中哪些具有稳定性？请在图号后分别画“√”或“×”表示“有稳定性”或“没有稳定性”．
13．2.2 三角形的中线、角平分线、高
【学习目标】
1．三角形的中线、角平分线、高的概念．
2．三角形的中线、角平分线、高的画法．
【预习导学】
阅读教材P7—8，回答下列问题：
(1)在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫作这个三角形的__中线__；
(2)在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作__三角形的角平分线__；
(3)从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作__三角形的高__．
【自学反馈】
1.连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的__中线__．如图①，AD是△ABC的中线，则BD＝__CD__.
① ② ③
2．∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的__角平分线__．如图②，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝__∠CAD__.
3．三角形的高从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的__高__．如图③，AD是△ABC的高，则AD⊥__BC__.
4．三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？高与垂线呢？
解：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线；高是线段，垂线是直线．
5．一个三角形有几条高？几条中线？几条角平分线？
解：一个三角形有3条高，3条中线，3条角平分线．
【合作探究】
活动1 三角形的中线
1．三角形的中线：在三角形中连接一个顶点与它对边__中点__的线段，叫作这个三角形的中线．如图，__AD__是△ABC中BC边上的中线．
2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的中线，观察中线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条中线相交于__一__点；
(2)锐角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__；
(3)钝角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__；
(4)直角三角形的三条中线相交于三角形的__内部__．
3．三角形有三条中线，这三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的__重心__．
活动2 三角形的角平分线
1．以前所学的“角平分线”是一条射线，“三角形的角平分线”还是射线吗？
三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的__平分线__与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的__线段__叫作三角形的角平分线．
如图，__AD__是△ABC的角平分线，图中∠BAD＝∠__CAD__.
2.分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的角平分线，观察角平分线与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条角平分线相交于__一__点；
(2)锐角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__；
(3)钝角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__；
(4)直角三角形的三条角平分线相交于三角形的__内部__．
活动3 三角形的高
1．用画图工具准确画出三角形的高．
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作__垂线，顶点和__垂足__之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．
如图，线段__AD__是BC边上的高．
注意：画三角形的高时要标明垂直的记号和垂足的字母．
2．分别在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高，观察高与三角形的位置关系．
由作图可得出如下结论：
(1)三角形的三条高线相交于__一__点；
(2)锐角三角形的三条高线相交于三角形的__内部__；
(3)钝角三角形的三条高线相交于三角形的__外部__；
(4)直角三角形的三条高线相交于三角形的__直角顶点__．