14．2 三角形全等的判定
第1课时 用“SAS”判定三角形全等
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法——“边角边”．理解满足“边边角”的两个三角形不一定全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【预习导学】
阅读教材P32－34，掌握三角形全等的判定条件SAS，掌握证明格式，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( )
A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C
C．∠A＝∠C D．∠ABD＝∠EBC
2．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于点E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED的度数是( )
A．60° B．90° C．75° D．85°
3．有两边和一个角对应相等的两个三角形 全等(选填“一定”或“不一定”)．
4．如图，AC，BD相交于点O，AO＝CO，OD＝OB.求证：∠D＝∠B.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△ (SAS)．
∴∠D＝∠B( )．
5.如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：∠B＝∠C.
【归纳总结】1.利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的 ；在书写证明过程时相等的角应写在 ．
2．证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角、公共边”等．
3．明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形 全等．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB∥CD，AB＝CD. 求证：AD∥BC.
【例2】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．
活动2 跟踪训练
1．如图，AB＝AC，BE＝CD.求证：∠B＝∠C.
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
第2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法——“角边角”，判定方法——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【预习导学1】
阅读教材P34“探究3”和教材P35例2，理解和掌握全等三角形判定方法“ASA”，完成练习．
【自学反馈】
1．下列能确定△ABC≌△DEF的条件是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C.那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
解：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
【归纳总结】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形 ．(简写成“角边角”或“ASA”)
【预习导学2】
阅读教材P35－36，理解和掌握全等三角形判定方法“AAS”，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )
A．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙
2．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论中错误的是( )
A．DE＝DF B．AE＝AF
C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
【归纳总结】三角形全等的条件至少需要 相等的元素(其中至少需要一条边相等)．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM.
【归纳总结】有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角 的常用方法．
【例2】如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB.求证：AD＝AC.
活动2 跟踪训练
如图，PM＝PN，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
第3课时 用“SSS”判定三角形全等
【学习目标】
1．掌握三角形全等的判定(SSS)．
2．体会尺规作图．
3．掌握简单的证明格式．
【预习导学】
阅读教材P36－38“探究4及例3”，掌握三角形全等的判定条件SSS并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成练习．
【自学反馈】
1．下列命题正确的是( )
A．有一边对应相等的两个等边三角形全等
B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一边对应相等的两个直角三角形全等
2．在△ABC，△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则 .
3．若两个三角形全等，则它们的三边对应 ；反之，如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形 ．
4．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝ .
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌
△ADC.
【例2】如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
求证：△ACD≌△CBE.
【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
活动2 跟踪训练
1．如图，AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：∠DAB＝∠CBA；
(2)求证：∠ACD＝∠BDC.
2．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求证：AB∥DE.
第4课时 作一个角等于已知角
【学习目标】
1．利用尺规作图作一个角等于已知角．
2．过直线外一点作已知直线的平行线．
3．利用尺规作图作三角形．
【预习导学】
阅读教材P39－41，掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和理论依据，完成下列问题：
(1)用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“ 的两个三角形全等”，由“全等三角形的对应角相等”来得到，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明；
(2)过直线外一点作已知直线的平行线，是通过作一个角等于已知角的作图方法，构造同位角(或内错角)得到的，理论依据是“同位角(内错角)相等， ”．
【自学反馈】
通过线段和角的尺规作图，由全等三角形的哪些判定依据，能做出符合题意得唯一三角形？
(1)已知∠A，∠B和AB，作△ABC(依据： )；
(2)已知AB，BC和∠B，作△ABC(依据： )；
(3)已知AB，BC，AC，作△ABC(依据： )．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直
线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行．
【例2】如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.
活动2 跟踪训练
如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.
第5课时 用“HL”判定直角三角形全等
【学习目标】
1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．
【预习导学】
阅读教材P41－42“探究5及例6”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，完成下列问题：
(1)判定两直角三角形全等的这种特殊方法指的是 ；
(2)直角三角形独有的全等的判定方法是 (用简写)．
【自学反馈】
1．下列说法正确的是( )
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
2．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△ ，全等的根据是 .
3．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；( )
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )
(3)一个锐角和斜边对应相等；( )
(4)两直角边对应相等；( )
(5)一条直角边和斜边对应相等．( )
【归纳总结】直角三角形除了一般证三角形全等的方法之外，还有“ ”．“ ”可使证明过程简化，但前提是已知两个 三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.
(1)求证：AB＝CD；
(2)求证：AD∥BC.
【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
活动2 跟踪训练
1．如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.求证：ED⊥AC.
2．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.
3．如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？14．2 三角形全等的判定
第1课时 用“SAS”判定三角形全等
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法——“边角边”．理解满足“边边角”的两个三角形不一定全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【预习导学】
阅读教材P32－34，掌握三角形全等的判定条件SAS，掌握证明格式，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是( D )
A．∠A＝∠D B．∠E＝∠C
C．∠A＝∠C D．∠ABD＝∠EBC
2．如图，AO＝BO，CO＝DO，AD与BC交于点E，∠O＝40°，∠B＝25°，则∠BED的度数是( B )
A．60° B．90° C．75° D．85°
3．有两边和一个角对应相等的两个三角形__不一定__全等(选填“一定”或“不一定”)．
4．如图，AC，BD相交于点O，AO＝CO，OD＝OB.求证：∠D＝∠B.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△__COB__(SAS)．
∴∠D＝∠B(__对应角相等__)．
5.如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD.求证：∠B＝∠C.
证明：∵AB＝AC，
∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS)，
∴∠B＝∠C.
【归纳总结】1.利用SAS证明全等时，要注意“角”只能是两组相等边的__夹角__；在书写证明过程时相等的角应写在__中间__．
2．证明过程中注意隐含条件的挖掘，如“对顶角相等”“公共角、公共边”等．
3．明白有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形__不一定__全等．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB∥CD，AB＝CD. 求证：AD∥BC.
证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠1.
∵CD＝AB，BD＝DB，
∴△CDB≌△ABD
(SAS)．
∴∠3＝∠4.∴AD∥BC.
【例2】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论．
解：结论：AE＝CD，
AE⊥CD.
证明：延长AE交CD于点F，
∵AB＝CB，
∠ABC＝∠EBD，EB＝DB，
∴△ABE≌△CBD(SAS)，
∴AE＝CD，∠BAE＝∠BCD.
又∵∠AEB＝∠CEF，
∴∠CFE＝90°，即AE⊥CD.
活动2 跟踪训练
1．如图，AB＝AC，BE＝CD.求证：∠B＝∠C.
证明：∵AB＝AC，BE＝CD，
∴AB－BE＝AC－CD，
即AE＝AD，又∠A＝∠A，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B＝∠C.
2．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：BC＝DE.
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴BC＝DE.
第2课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法——“角边角”，判定方法——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【预习导学1】
阅读教材P34“探究3”和教材P35例2，理解和掌握全等三角形判定方法“ASA”，完成练习．
【自学反馈】
1．下列能确定△ABC≌△DEF的条件是( D )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
2．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C.那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．
解：△AOD≌△COB.
证明：在△AOD和△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)．
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？
解：不对，因为OB不是∠COB与∠C的夹边，不与OA对应．
【归纳总结】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形__全等__．(简写成“角边角”或“ASA”)
【预习导学2】
阅读教材P35－36，理解和掌握全等三角形判定方法“AAS”，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( B )
A．甲和乙 B．乙和丙
C．只有乙 D．只有丙
2．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论中错误的是( C )
A．DE＝DF B．AE＝AF
C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
【归纳总结】三角形全等的条件至少需要__三对__相等的元素(其中至少需要一条边相等)．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ.求证：HN＝PM.
证明：∵MQ⊥PN，
∴∠MQP＝∠MQN＝90°.
∵NR⊥MP，∴∠MRN＝90°，
∴∠RMH＋∠RHM
＝∠QHN＋∠QNH＝90°.
又∵∠RHM＝∠QHN，
∴∠PMQ＝∠QNH.
∵MQ＝NQ，
∴△PMQ≌△HNQ(ASA)．
∴HN＝PM.
【归纳总结】有直角三角形就有互余的角，利用同角(等角)的余角相等是证角__相等__的常用方法．
【例2】如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB.求证：AD＝AC.
证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAE＝90°，
∴∠CAD＋∠BAD＝∠BAE＋∠BAD，
∴∠CAB＝∠DAE.
∠B＝∠E，CB＝DE，
∴△ABC≌△AED(AAS)，
∴AD＝AC.
活动2 跟踪训练
如图，PM＝PN，∠M＝∠N.求证：AM＝BN.
证明：在△PAN和△PBM中，
∴△PAN≌△PBM(ASA)，∴PA＝PB，
∴PM－PA＝PN－PB，即AM＝BN.
第3课时 用“SSS”判定三角形全等
【学习目标】
1．掌握三角形全等的判定(SSS)．
2．体会尺规作图．
3．掌握简单的证明格式．
【预习导学】
阅读教材P36－38“探究4及例3”，掌握三角形全等的判定条件SSS并掌握简单的证明格式，了解三角形的稳定性，完成练习．
【自学反馈】
1．下列命题正确的是( A )
A．有一边对应相等的两个等边三角形全等
B．有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C．有一边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一边对应相等的两个直角三角形全等
2．在△ABC，△DEF中，若AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，则__△ABC≌△DEF__.
3．若两个三角形全等，则它们的三边对应__相等__；反之，如果两个三角形的三边对应相等，则这两个三角形__全等__．
4．已知AB＝3，BC＝4，CA＝6，EF＝3，FG＝4，要使△ABC≌△EFG，则EG＝__6__.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：△ABC≌
△ADC.
证明：∵AB＝AD，
CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
【例2】如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE.
求证：△ACD≌△CBE.
证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB.
∵AD＝CE，CD＝BE，
∴△ACD≌△CBE(SSS)．
【例3】如图，AB＝AD，DC＝BC，∠B与∠D相等吗？为什么？
解：∠B＝∠D.
理由：连接AC，
∵AD＝AB，AC＝AC，DC＝BC，
∴△ADC≌△ABC(SSS)，
∴∠B＝∠D.
活动2 跟踪训练
1．如图，AD＝BC，AC＝BD.
(1)求证：∠DAB＝∠CBA；
(2)求证：∠ACD＝∠BDC.
证明：(1)∵AD＝BC，
DB＝CA，AB＝BA，
∴△DAB≌△CBA(SSS)．
∴∠DAB＝∠CBA.
(2)同理可证得△DAC≌△CBD(SSS)，
∴∠ACD＝∠BDC.
2．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)求证：AB∥DE.
证明：(1)∵BE＝CF，
∴BE＋CE＝CF＋EC.
∴BC＝FE.
∵AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF(SSS)．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE.
第4课时 作一个角等于已知角
【学习目标】
1．利用尺规作图作一个角等于已知角．
2．过直线外一点作已知直线的平行线．
3．利用尺规作图作三角形．
【预习导学】
阅读教材P39－41，掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和理论依据，完成下列问题：
(1)用尺规作图作一个角等于已知角的依据是“__三边对应相等__的两个三角形全等”，由“全等三角形的对应角相等”来得到，可通过添加辅助线构造全等三角形加以证明；
(2)过直线外一点作已知直线的平行线，是通过作一个角等于已知角的作图方法，构造同位角(或内错角)得到的，理论依据是“同位角(内错角)相等，__两直线平行__”．
【自学反馈】
通过线段和角的尺规作图，由全等三角形的哪些判定依据，能做出符合题意得唯一三角形？
(1)已知∠A，∠B和AB，作△ABC(依据：__ASA__)；
(2)已知AB，BC和∠B，作△ABC(依据：__SAS__)；
(3)已知AB，BC，AC，作△ABC(依据：__SSS__)．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直
线过△ABC的顶点A，并且与边BC平行．
解：如图所示．
【例2】如图，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α.
解：如图所示．
活动2 跟踪训练
如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，这两角的夹边等于线段a.
解：如图所示．
第5课时 用“HL”判定直角三角形全等
【学习目标】
1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．
2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．
【预习导学】
阅读教材P41－42“探究5及例6”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，完成下列问题：
(1)判定两直角三角形全等的这种特殊方法指的是__直角边，斜边__；
(2)直角三角形独有的全等的判定方法是__HL__(用简写)．
【自学反馈】
1．下列说法正确的是( C )
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
2．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△__DFE__，全等的根据是__HL__.
3．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；( AAS )
(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；( AAS或ASA )
(3)一个锐角和斜边对应相等；( AAS )
(4)两直角边对应相等；( SAS )
(5)一条直角边和斜边对应相等．( HL )
【归纳总结】直角三角形除了一般证三角形全等的方法之外，还有“__HL__”．“__HL__”可使证明过程简化，但前提是已知两个__直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.
(1)求证：AB＝CD；
(2)求证：AD∥BC.
证明：(1)∵AB⊥BD，
CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，∴AB＝CD.
(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB，
∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.
【例2】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.
证明：连接CD.
∵AD⊥AC，BC⊥BD，
∴∠A＝∠B＝90°.
∵AC＝BD，
DC＝CD，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD(HL)，
∴AD＝BC.
活动2 跟踪训练
1．如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.求证：ED⊥AC.
证明：易得Rt△AED≌
Rt△BAC(HL)，
∴∠E＝∠CAB.
∵∠E＋∠EDA＝90°，
∴∠CAB＋∠EDA＝90°，
∴∠DFA＝90°，∴ED⊥AC.
2．如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.
证明：易得Rt△AED≌Rt△CFB(HL)，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE.
易得△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠BAC＝∠DCA，∴AB∥DC.
3．如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？
解：需添加AC＝DB或∠1＝∠2或∠E＝∠F均可，理由依次为SAS，AAS，ASA.
