14．3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
【学习目标】
1．掌握角的平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角的平分线的画法．
【预习导学】
阅读教材P48－50两个“探究”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角的平分线的画法，完成下列问题：
(1) 叫作角的平分线；
(2)角的平分线的性质是角的平分线上的点到角两边的距离 ．它的题设是 ，结论是 ．
【自学反馈】
1．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长为 cm.
2．如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
分析：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM＝DN，再证△DME≌△DNF，∴DE＝DF.
第2课时 角的平分线的判定
【学习目标】
1．掌握角的平分线的判定．
2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．
【预习导学】
阅读教材P50－51，掌握并理解三角形的角平分线的判定，完成练习．
【自学反馈】
1．到角的两边距离相等的点，在 ．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是 ．
2．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．
(1)如果一个点在角的平分线上，那么 _；
(2)如果一个点到角的两边的距离相等，那么 ；
(3)综上所述，角的平分线(顶点除外)是 的集合．
3．(1)三角形的三条角平分线相交于 点，它到 ；
(2)三角形内，到三边距离相等的点是 ．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，已知△ABC.求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB，BC，CA的距离相等．
【例2】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上．
活动2 跟踪训练
1．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
2．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等．
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
3．如图，OD平分∠POQ，在OP，OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于点M，CN⊥BD于点N.求证：CM＝CN.14．3 角的平分线
第1课时 角的平分线的性质
【学习目标】
1．掌握角的平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角的平分线的画法．
【预习导学】
阅读教材P48－50两个“探究”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角的平分线的画法，完成下列问题：
(1)__把一个角分成两个相等的角的射线__叫作角的平分线；
(2)角的平分线的性质是角的平分线上的点到角两边的距离__相等．它的题设是__角的平分线上的点__，结论是__到角两边的距离相等__．
【自学反馈】
1．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长为__15__cm.
2．如图，已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线OC.
解：略．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF.
证明：∵AB＝AC，
AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
活动2 跟踪训练
1．如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)
解：图略．作∠B的平分线交AC于点P.
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，且PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB于D，E，F三点．求证：PD＝PE＝PF.
证明：∵BP平分∠ABC，
PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.
同理证得PE＝PD.
∴PD＝PE＝PF.
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
分析：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM＝DN，再证△DME≌△DNF，∴DE＝DF.
解：DE＝DF.
理由：过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM＝DN，
∵∠AMD＝∠AND＝90°，
∴∠EAF＋∠MDN＝180°.
∴即∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF＝180°，
又∵∠EDF＋∠EAF＝180°，
即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF＝180°，
∴∠1＝∠4，∴△MDE≌△NDF(ASA)，
∴DE＝DF.
第2课时 角的平分线的判定
【学习目标】
1．掌握角的平分线的判定．
2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题．
【预习导学】
阅读教材P50－51，掌握并理解三角形的角平分线的判定，完成练习．
【自学反馈】
1．到角的两边距离相等的点，在__这个角的平分线上__．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是__∠AOB的平分线__．
2．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系．
(1)如果一个点在角的平分线上，那么__这个点到角两边的距离相等_；
(2)如果一个点到角的两边的距离相等，那么__这个点在这个角的平分线上__；
(3)综上所述，角的平分线(顶点除外)是__到角两边距离相等的所有点的集合．
3．(1)三角形的三条角平分线相交于__一__点，它到__三边的距离相等__；
(2)三角形内，到三边距离相等的点是__三条角平分线的交点__．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，已知△ABC.求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB，BC，CA的距离相等．
解：图略．作三个内角平分线交于一点P，点P即所求的点．
【例2】如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF，CF相交于点F.求证：点F也在∠BAC的平分线上．
证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，
∵BF，CF是∠CBD和∠BCE的平分线，
∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH.
∴点F也在∠BAC的平分线上．
活动2 跟踪训练
1．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE交于点O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC.
证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，
OE⊥AC，
∴OD＝OE.
∵∠BDO＝∠CEO＝90°，
∠BOD＝∠COE，
∴△BDO≌△CEO(ASA)．
∴OB＝OC.
2．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等．
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
解：(1)4处．(2)画图略．
3．如图，OD平分∠POQ，在OP，OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于点M，CN⊥BD于点N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分∠POQ，
∴∠AOD＝∠BOD.
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD(SAS)．
∴∠ADO＝∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM＝CN.
