第十五章 轴对称
15．1 图形的轴对称
15．1.1 轴对称及其性质
【学习目标】
1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．
2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．
【预习导学】
阅读教材P62－64，了解轴对称图形、轴对称的概念、它们之间的区别和联系，以及轴对称的性质，完成下列问题：
(1)轴对称图形：
如果__一个平面图形__沿一直线折叠，__直线两旁__的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的__对称轴__；
(2)轴对称：
把__一个图形__沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形__重合__，那么就说__这两个图形__关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点；
(3)①经过线段__中点__并且__垂直于__这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线；
②成轴对称的两个图形__全等__；
③如果两个图形关于某条直线对称，那么__对称轴__是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线__；
④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的__垂直平分线．
【自学反馈】
1．下列图形中，不是轴对称图形的是( D )
A．角 B．等边三角形
C．线段 D．直角梯形
2．如图是轴对称图形的有__A，B，C，D__.
3．下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称__B与F，C与D__.
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．
(1)将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，则有△ABC≌__△A′B′C′，PA＝__PA′__，∠MPA＝__∠MPA′__＝__90°__；
(2)MN与线段AA′的关系为__MN垂直平分AA′__.
5．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？
解：区别为轴对称是指两个图形能以对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合．联系是都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝__2__cm，∠D＝ __95°__.
【例2】下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出轴对称图形的对称轴．
①等边三角形；②正方形；③圆；④菱形；⑤平行四边形．
解：①②③④是轴对称图形；⑤不是轴对称图形．①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；③圆的对称轴为过圆心的直线；④菱形的对称轴为两条对角线所在的直线．
【例3】指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．
(1)任意两个半径相等的圆；
(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；
(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．
解：(1)两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的中垂线．(2)把正方形分成两个三角形的那条对角线所在的直线和那条对角线的垂直平分线．(3)不是轴对称关系．
活动2 跟踪训练
1．图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( A )
2．等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的对称图形有__等腰梯形__．
3．请写出两个具有轴对称性的汉字__木、中(答案不唯一)__．
4．下列两个图形是轴对称关系的有__A，B，C__.
5．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是__21∶05__.
6．数的运算中会有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21，仿照这一形式，写出下列等式，并演算：12×462＝__264×21＝5_544__，18×891＝__198×81＝16_038__.
7．如图，在网格上是由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案(不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同)．
解：图略(答案不唯一)．
15．1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【学习目标】
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．理解互逆命题，互逆定理的概念．
【预习导学1】
阅读教材P65“探究”，理解线段垂直平分线的性质，完成下列问题：
(1)如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，△PAC≌__△PBC__，PA＝__PB__；
(2)线段垂直平分线上的__点__与这条线段两个端点的距离__相等__．
【自学反馈】
如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
解：AB＝AC＝CE，AB＋BD＝DE.
【预习导学2】
阅读教材P66－67，理解线段垂直平分线的判定，完成下列问题：
(1)如图，PA＝PB.
①若PC⊥AB，垂足为C，则 AC＝__BC__；
②若AC＝BC，则PC⊥__AB__；
(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的__垂直平分线上__；
(3)线段的垂直平分线是与这条线段两个端点距离__相等的所有点的集合__；
(4)①命题“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设是__一个点在线段的垂直平分线上__，结论是__这个点到线段两个端点的距离相等__；
②命题“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的题设是__一个点到线段两个端点的距离相等__，结论是__这个点在线段的垂直平分线上__；
③这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作__互逆命题__．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的__逆命题__；
④一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．以上两个命题均成立，所以以上其中一个命题称为定理，其成立的逆命题称为__逆定理__．这两个定理叫作__互逆定理__．
【自学反馈】
1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是( C )
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分∠AMB
2．如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM__是__(选填“是”或“不是”)线段BC的垂直平分线．
3．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等．
解：(1)逆命题：同位角相等，两直线平行．成立．(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．不成立．(3)逆命题：对应角相等的两个三角形全等．不成立．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于点D，若△ADB的周长为18，求DC的长．
解：∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.
设DC的长为x，则
AD＝AC－CD＝8－x.
∵△ADB的周长为AB＋AD＋BD＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，
∴x＝3，即DC的长为3 cm.
活动2 跟踪训练
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为( B )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．在锐角三角形ABC内一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( D )
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
3．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__15__.
4．到平面内不在同一直线上的三个点A，B，C的距离相等的点有__1__个．
5．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线．求证：∠ABD＝∠ACD.
证明：∵AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝DC.
∵AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
∴∠ABD＝∠ACD.
第2课时 线段的垂直平分线的画法
【学习目标】
1．会作轴对称图形的对称轴．
2．会作线段的垂直平分线．
3．过一点作已知直线的垂线．
【预习导学】
阅读教材P67－68，掌握线段垂直平分线的画法，了解如何判断一个图形是否是轴对称图形，完成下列问题：
如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
题图 答图
解：如答图所示．
【自学反馈】
1．如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线，由于“__两点__确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点．根据__与A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上__，可以作出这样的两个点．
2．由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的__垂直平分线__，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的__对称轴__．同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
3．如图，经过直线外一点作这条直线的垂线，由作图痕迹可知：
(1)CD＝CE，则点__C__在线段DE的垂直平分线上；
(2)FD＝FE，则点__F__在线段DE的垂直平分线上；
(3)CF垂直平分__DE__.即CF垂直直线AB.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】尺规作图：如图，经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．
解：如图所示．
活动2 跟踪训练
作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
解：作图略．第十五章 轴对称
15．1 图形的轴对称
15．1.1 轴对称及其性质
【学习目标】
1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念．
2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．
【预习导学】
阅读教材P62－64，了解轴对称图形、轴对称的概念、它们之间的区别和联系，以及轴对称的性质，完成下列问题：
(1)轴对称图形：
如果 沿一直线折叠， 的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它的 ；
(2)轴对称：
把 沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形 ，那么就说 关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点；
(3)①经过线段 并且 这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线；
②成轴对称的两个图形 ；
③如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 ；
④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 ．
【自学反馈】
1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．角 B．等边三角形
C．线段 D．直角梯形
2．如图是轴对称图形的有 .
3．下图中哪两个图形放在一起可以组成轴对称 .
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．
(1)将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，则有△ABC≌ ，PA＝ ，∠MPA＝ ＝ ；
(2)MN与线段AA′的关系为 .
5．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝95°，则AE＝ cm，∠D＝ .
【例2】下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出轴对称图形的对称轴．
①等边三角形；②正方形；③圆；④菱形；⑤平行四边形．
【例3】指出下边哪组图形是轴对称的，并指出对称轴．
(1)任意两个半径相等的圆；
(2)正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；
(3)长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．
活动2 跟踪训练
1．图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是( )
2．等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的对称图形有 ．
3．请写出两个具有轴对称性的汉字 ．
4．下列两个图形是轴对称关系的有 .
5．小强站在镜前，从镜中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 .
6．数的运算中会有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21，仿照这一形式，写出下列等式，并演算：12×462＝ ，18×891＝ .
7．如图，在网格上是由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案(不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同)．
15．1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
【学习目标】
1．理解线段垂直平分线的性质和判定．
2．理解互逆命题，互逆定理的概念．
【预习导学1】
阅读教材P65“探究”，理解线段垂直平分线的性质，完成下列问题：
(1)如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，△PAC≌ ，PA＝ ；
(2)线段垂直平分线上的 与这条线段两个端点的距离 ．
【自学反馈】
如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
【预习导学2】
阅读教材P66－67，理解线段垂直平分线的判定，完成下列问题：
(1)如图，PA＝PB.
①若PC⊥AB，垂足为C，则 AC＝ ；
②若AC＝BC，则PC⊥ ；
(2)与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 ；
(3)线段的垂直平分线是与这条线段两个端点距离 ；
(4)①命题“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的题设是 ，结论是 ；
②命题“与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”的题设是 ，结论是 ；
③这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作 ．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的 ；
④一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．以上两个命题均成立，所以以上其中一个命题称为定理，其成立的逆命题称为 ．这两个定理叫作 ．
【自学反馈】
1．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是( )
A．MA＝MB，NA＝NB
B．MA＝MB，MN⊥AB
C．MA＝NA，MB＝NB
D．MA＝MB，MN平分∠AMB
2．如图，AB＝AC，MB＝MC，直线AM (选填“是”或“不是”)线段BC的垂直平分线．
3．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，AB＝AC＝8 cm，AB的垂直平分线交AC于点D，若△ADB的周长为18，求DC的长．
活动2 跟踪训练
1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．在锐角三角形ABC内一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC( )
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
3．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝ .
4．到平面内不在同一直线上的三个点A，B，C的距离相等的点有 个．
5．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线．求证：∠ABD＝∠ACD.
第2课时 线段的垂直平分线的画法
【学习目标】
1．会作轴对称图形的对称轴．
2．会作线段的垂直平分线．
3．过一点作已知直线的垂线．
【预习导学】
阅读教材P67－68，掌握线段垂直平分线的画法，了解如何判断一个图形是否是轴对称图形，完成下列问题：
如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
题图 答图
【自学反馈】
1．如图，已知线段AB，要作线段AB的垂直平分线，由于“ 确定一条直线”，所以作线段AB的垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个点．根据 ，可以作出这样的两个点．
2．由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的 ，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的 ．同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
3．如图，经过直线外一点作这条直线的垂线，由作图痕迹可知：
(1)CD＝CE，则点 在线段DE的垂直平分线上；
(2)FD＝FE，则点 在线段DE的垂直平分线上；
(3)CF垂直平分 .即CF垂直直线AB.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】尺规作图：如图，经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．
活动2 跟踪训练
作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？
