15．3 等腰三角形
15．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【学习目标】
1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
【预习导学】
阅读教材P78－79“探究与例1”，掌握等腰三角形的性质并学会运用，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，标出各部分名称．
2．(1)如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则 AB__＝__AC；
(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段 重合的角
__AB__与__AC__ __∠B__与__∠C__
__BD__与__CD__ __∠BAD__与__∠CAD__
__AD__与__AD__ __∠ADB__与__∠ADC__
(3)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个__底角__相等(简写成 “__等边对等角__”)；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的__中线__、底边上的__高__互相重合(简写成“三线合一”)；
③等腰三角形是轴对称图形，__对称轴__是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．
3．在△ABC中，若AB＝AC，则∠__B__＝∠__C__.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．
(1)∵AD⊥BC，
∴∠1＝∠__2__，
__BD__＝__CD__；
(2)∵AD是中线，
∴__AD__⊥__BC__，∠__1__＝∠__2__；
(3)∵AD是角平分线，
∴__AD__⊥__BC__，__BD__＝__CD__.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
解：①当∠A为顶角时，
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝130°，
∴∠C＝50°.∴∠A＝80°.
②当∠C为顶角时，则∠A＝∠B，
∵∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝65°.
③当∠B为顶角时，则∠A＝∠C，
∵∠A＋∠B＝130°，∴∠A＝∠C＝50°.
综上所述，∠A的度数为50°，65°或80°.
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝2∠2.
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°.
∴∠2＋∠C＝∠C＋∠DBC＝90°.
∴∠DBC＝∠2.
∴∠BAD＝2∠DBC.
活动2 跟踪训练
1．等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是__22__cm.
2．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是__40°__.
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为__60°或120°__.
4．已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm，则它的底边长为__4__cm.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE∥BC，求证：AE平分△ABC的外角∠DAC.
证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C.
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠DAE＝∠EAC，
即AE平分△ABC的外角∠DAC.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于点D，
易得△ABO≌△ACO(SSS)，
∴AO平分∠BAC.
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC.
∴AO⊥BC.
第2课时 等腰三角形的判定
【学习目标】
1．探索等腰三角形的判定方法．
2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．
【预习导学】
阅读教材P80－81“思考、例2与例3”，掌握等腰三角形的判定方法，会画等腰三角形，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，完成练习．
【自学反馈】
1．定义：如果一个三角形有__两边__相等，这个三角形为等腰三角形．
2．如果一个三角形有__两角__相等，那么这两个角所对的__边__也相等(简写成“等角对等边”)．
3．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是__等腰三角形__．
4．阅读下面的证明过程，完成问题：
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.
解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.
解二：作△ABC的角平分线AD.
数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正．
(1)请简要说明解一辅助线作法错在哪里；
(2)根据解二的辅助线作法，完成证明过程．
解：(1)无法得出A在BC的中垂线上．
(2)作∠A的平分线AD交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD，
又∵∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.
证明：连接BC.∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠DBC＝∠ACD＋∠DCB.
∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.
【例2】如图，O为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，DE过点O且DE∥BC交AB，AC分别于点D，E.求证：DE＝BD＋CE.
证明：∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB.
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB.
∴∠DBO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC.∴DB＝DO，EC＝EO.
∵DE＝DO＋EO，∴DE＝BD＋CE.
活动2 跟踪训练
1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝__3__cm.
,
2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝__55°__.
3．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形．
证明：∵CE∥AD，
∴∠CEB＝∠A.
∵∠A＝∠B，
∴∠CEB＝∠B.
∴△CEB是等腰三角形．
4．如图，△ABC中，BA＝BC，D是AB延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E.求证：△DBE是等腰三角形．
证明：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C.
∵DF⊥AC，
∴∠DFA＝∠EFC＝90°，
∠A＋∠D＝90°，
∠C＋∠FEC＝90°.
∴∠D＝∠FEC.
∵∠BED＝∠FEC，∴∠D＝∠BED.
∴BE＝BD，即△DBE是等腰三角形．
15．3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
【学习目标】
理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．
【预习导学】
阅读教材P82“探究及例4”，完成下列问题：
(1)等边三角形的性质：
①定义：等边三角形的__三条边__都相等；
②等边三角形的三个角都__相等__，并且每一个角都等于__60°__.
(2)等边三角形的判定：
①定义：__三条边__都相等的三角形为等边三角形；
②三个角都__相等__的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的__等腰三角形__是等边三角形．
【自学反馈】
1．在等边三角形ABC中，∠__A__＝∠__B__＝∠__C__＝__60°__.
2．在三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝60°，则BC＝__2__.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE＝∠DCA＝60°，AB＝AC.
∵AE＝CD，∴△ABE≌△CAD(SAS)．
(2)解：∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠DAC.
∵∠BAF＋∠DAC＝∠BAC＝60°，
∠BFD＝∠ABE＋∠BAF，
∴∠BFD＝∠BAF＋∠DAC＝60°.
活动2 跟踪训练
如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？
解：△OEF是等边三角形．理由略．
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【学习目标】
掌握30°角的直角三角形的性质．
【预习导学】
阅读教材P83“探究及例5”，完成练习．
【自学反馈】
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的__直角边__等于__斜边__的一半．
2．在Rt△ABC中，若∠BCA＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝__2__.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∠B＝60°，∠A＝30°，AB＝2BC.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝AB.
证明：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∴∠DCB＝60°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝30°.在Rt△ACD中，∠ACD＝30°.
∴AD＝AC＝AB.
活动2 跟踪训练
如图，一棵大树在一次强台风中离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为( B )
A．10 m
B．15 m
C．25 m
D．30 m15．3 等腰三角形
15．3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
【学习目标】
1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
【预习导学】
阅读教材P78－79“探究与例1”，掌握等腰三角形的性质并学会运用，完成练习．
【自学反馈】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，标出各部分名称．
2．(1)如图，把一张长方形纸片按图中的虚线对折，剪下阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则 AB AC；
(2)把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
重合的线段 重合的角
与 与
与 与
与 与
(3)等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个 相等(简写成 “ ”)；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的 、底边上的 互相重合(简写成“三线合一”)；
③等腰三角形是轴对称图形， 是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在的直线．
3．在△ABC中，若AB＝AC，则∠ ＝∠ .
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上．
(1)∵AD⊥BC，
∴∠1＝∠ ，
＝ ；
(2)∵AD是中线，
∴ ⊥ ，∠ ＝∠ ；
(3)∵AD是角平分线，
∴ ⊥ ， ＝ .
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】已知△ABC是等腰三角形，且∠A＋∠B＝130°，求∠A的度数．
【例2】如图，已知AB＝AC，BD⊥AC于点D.求证：∠BAD＝2∠DBC.
活动2 跟踪训练
1．等腰三角形有两条边长为4 cm和9 cm，则该三角形的周长是 cm.
2．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 .
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为 .
4．已知等腰三角形的腰长比底边多2 cm，并且它的周长为16 cm，则它的底边长为 cm.
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE∥BC，求证：AE平分△ABC的外角∠DAC.
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为△ABC内一点，且OB＝OC.求证：AO⊥BC.
第2课时 等腰三角形的判定
【学习目标】
1．探索等腰三角形的判定方法．
2．掌握等腰三角形性质与判定的综合应用．
【预习导学】
阅读教材P80－81“思考、例2与例3”，掌握等腰三角形的判定方法，会画等腰三角形，并能综合运用等腰三角形的有关知识解决问题，完成练习．
【自学反馈】
1．定义：如果一个三角形有 相等，这个三角形为等腰三角形．
2．如果一个三角形有 相等，那么这两个角所对的 也相等(简写成“等角对等边”)．
3．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，那么△ABC的形状是 ．
4．阅读下面的证明过程，完成问题：
如图，在△ABC中，∠B＝∠C，求证：AB＝AC.
解一：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D.
解二：作△ABC的角平分线AD.
数学老师看了两种辅助线的作法后，说：解二是正确的，而解一的作法需要订正．
(1)请简要说明解一辅助线作法错在哪里；
(2)根据解二的辅助线作法，完成证明过程．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.
【例2】如图，O为∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，DE过点O且DE∥BC交AB，AC分别于点D，E.求证：DE＝BD＋CE.
活动2 跟踪训练
1．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝ cm.
,
2．如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ .
3．如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形．
4．如图，△ABC中，BA＝BC，D是AB延长线上一点，DF⊥AC于点F，交BC于点E.求证：△DBE是等腰三角形．
15．3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质和判定
【学习目标】
理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法．
【预习导学】
阅读教材P82“探究及例4”，完成下列问题：
(1)等边三角形的性质：
①定义：等边三角形的 都相等；
②等边三角形的三个角都 ，并且每一个角都等于 .
(2)等边三角形的判定：
①定义： 都相等的三角形为等边三角形；
②三个角都 的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的 是等边三角形．
【自学反馈】
1．在等边三角形ABC中，∠ ＝∠ ＝∠ ＝ .
2．在三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝60°，则BC＝ .
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BFD的度数．
活动2 跟踪训练
如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内任意一点，OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
【学习目标】
掌握30°角的直角三角形的性质．
【预习导学】
阅读教材P83“探究及例5”，完成练习．
【自学反馈】
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的 等于 的一半．
2．在Rt△ABC中，若∠BCA＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝ .
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
【合作探究】
活动1 典例精析
【例】如图，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB.求证：AD＝AB.
活动2 跟踪训练
如图，一棵大树在一次强台风中离地面5 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这样的大树在折断前的高度为( )
A．10 m
B．15 m
C．25 m
D．30 m
