第十六章 整式的乘法
16．1 幂的运算
16．1.1 同底数幂的乘法
【学习目标】
1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能熟练地进行运算．
2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P98－99“探究及例1”，完成练习．
【自学反馈】
1．同底数幂的概念：把下列式子化成同底数幂．
(－a)2＝__a2__；(－a)3＝__－a3__；
(x－y)2__＝__(y－x)2；(x－y)3＝__－__(y－x)3.
2．乘方的意义：an的意义是__n个a__相乘，我们把这种运算叫作乘方，乘方的结果叫幂，a叫作底数，n是指数．
3．思考：根据幂的意义解答．
52×53＝5×5×5×5×5＝5(__5__)；
32×34＝__3×3×3×3×3×3__＝3(__6__)；
a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a(__7__)；
am·an＝__am＋n__(m，n都是正整数)；
am·an·ap＝__am＋n＋p__(m，n，p都是正整数)；
同底数幂相乘，底数__不变__，指数__相加__．
4．计算：(1)103·102·104；(2)x5＋m·x2n＋1；
(3)(－x)2·(－x)3；(4)(a＋2)2(a＋2)3.
解：(1)109.(2)xm＋2n＋6.(3)－x5.(4)(a＋2)5.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：
(1)(－x)6·x10；
(2)－x6·(－x)10；
(3)10 000×10m×10m＋3；
(4)(x－y)3·(y－x)5.
解：(1)原式＝x6·x10＝x16.
(2)原式＝－x6·x10＝－x16.
(3)原式＝104·10m·10m＋3＝102m＋7.
(4)原式＝－(x－y)3·(x－y)5＝－(x－y)8.
【例2】已知ax＝2，ay＝3(x，y为整数)，求ax＋y的值．
解：ax＋y＝ax·ay＝2×3＝6.
活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)a·a3·a5；
(2)x·x2＋x2·x；
(3)(－p)5·(－p)4＋(－p)6·p3；
(4)(x＋y)2m(x＋y)m＋1；
(5)(x－y)3(x－y)2(y－x)；
(6)(－x)6x7·(－x)8.
解：(1)a9.(2)2x3.(3)0.(4)(x＋y)3m＋1.
(5)－(x－y)6.(6)x21.
2．已知xm＋n·xm－n＝x9，求m的值．
解：m＝4.5.
3．已知am＝3，am＋n＝9，求an的值．
解：an＝3.
【归纳总结】1.化归思想方法(也叫转化思想方法)是人们学习、生活、生产中的常用方法．当我们遇到新问题时，就应该想方设法地把新问题转化为原来熟知的问题，例如(－x)6·x10转化为x6·x10.
2．联想思维方法：联想能力是五大思维能力之一，例如看到am＋n就要联想到am·an，它是公式的逆用．
3．a·a3·a5的计算中，不要把“a”的指数1给漏掉了．
16．1.2 幂的乘方与积的乘方
【学习目标】
1．理解幂的乘方法则．
2．运用幂的乘方法则计算．
3．理解积的乘方法则．
4．运用积的乘方法则计算．
【预习导学1】
阅读教材P99－100“探究及例2”，理解幂的乘方法则，完成练习．
【自学反馈】
1．乘方的意义：52中，底数是__5__，指数是__2__，表示__有2个5相乘__．
2．(52)3的意义是：__有3个52相乘__．
3．根据幂的意义解答：
(52)3＝__52×52×52__(根据幂的意义)
＝__52＋2＋2__(根据同底数幂的乘法法则)
＝52×3；
(am)2＝__am·am__
＝__a2m__；
＝__amn__(乘法的意义)．
4．总结法则：(am)n＝__amn__(m，n都是正整数)．幂的乘方，__底数_不变，__指数__相乘．
5．计算：(1)(103)3； (2)(x2)3；
(3)－(xm)5; (4)(a2)3·a5.
解：(1)109.(2)x6.(3)－x5m.(4)a11.
【预习导学2】
阅读教材P100“探究及例3”，理解积的乘方的法则，完成练习．
【自学反馈】
1．下列各式正确的是( D )
A．(a5)3＝a8 B．a2·a3＝a6
C．x2＋x3＝x5 D．x2·x2＝x4
2．x5·x2＝__x7__，(x3)2＝__x6__，(a3)2·a4＝__a10__.
3．填空：(2×3)3＝__216__，23×33＝__216__.
(－2×3)3＝__－216__，(－2)3×33＝ __－216__.
＝__anbn__.
4．总结法则：(ab)n＝__anbn__(n是正整数)．
积的乘方等于把积的__每一个因式__分别__乘方__，再把所得的幂
__相乘__．
推广：(abc)n＝__anbncn__(n是正整数)．
5．计算：(1)(ab)4； (2)(－2xy)3；
(3)(－3×102)3； (4)(2ab2)3.
解：(1)a4b4.(2)－8x3y3.(3)－2.7×107.
(4)8a3b6.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：
(1)[(－x)3]4； (2)(－24)3； (3)(－23)4； (4)(－a5)2＋(－a2)5.
解：(1)原式＝(－x)12＝x12. (2)原式＝－212.
(3)原式＝212. (4)原式＝a10－a10＝0.
【例2】若92n＝38，求n的值．
解：依题意，得(32)2n＝38，即34n＝38.
∴4n＝8.∴n＝2.
【例3】已知ax＝3，ay＝4(x，y为整数)，求a3x＋2y的值．
解：a3x＋2y＝a3x·a2y＝(ax)3·(ay)2
＝33×42＝27×16＝432.
【例4】一个正方体的棱长为2×102.
(1)它的表面积是多少？(2)它的体积是多少？
解：(1)依题意，得表面积为
6×(2×102)2＝6×(4×104)＝2.4×105.
(2)依题意，得体积为(2×102)3＝8×106.
【归纳总结】用科学记数法表示时，a×10n中的a是整数位只有
__一__位的数．
【例5】计算：(1)(x4·y2)3；
(2)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2.
解：(1)原式＝x12y6.
(2)原式＝a2nb6n＋a2nb6n＝2a2nb6n.
(3)原式＝(27a6＋9a6)2＝(36a6)2＝1 296a12.
【例6】计算： (1)×；
(2)0.12515×(215)3.
解：(1)原式＝×
＝1×＝.
(2)原式＝×(23)15＝＝1.
活动2 跟踪训练
1．计算：(1)(－x3)5； (2)a6·(a2)3·(a4)2；
(3)[(x－y)3]2； (4)x2x4＋(x2)3.
解：(1)－x15.(2)a20.(3)(x－y)6.(4)2x6.
2．填空：108＝(__104__)2；b27＝(__b3__)9；
(ym)3＝(__y3__)m；p2n＋2＝(__pn＋1__)2.
3．若xmx2m＝3，求x9m的值．
解：x9m＝27.
4．计算：(1)－(－3a2b3)4；
(2)－(y2)3·(x3y5)3·(－y)6；
(3)(－b2)3[(－ab3)3]2；
(4)(2a2b)3－3(a3)2b3.
解：(1)－81a8b12.(2)－x9y27.(3)－a6b24.(4)5a6b3.
5．计算：(1)(－0.25)2 024×(－4)2 025；
(2)－2100×0.5100×(－1)2 025－.
解：(1)－4. (2).
6．计算：(x2yn)2·(xy)n－1＝__xn＋3y3n－1__，(4a2b3)n＝__4na2nb3n__.第十六章 整式的乘法
16．1 幂的运算
16．1.1 同底数幂的乘法
【学习目标】
1．掌握同底数幂的乘法的概念及其运算性质，并能熟练地进行运算．
2．能利用同底数幂的乘法法则解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P98－99“探究及例1”，完成练习．
【自学反馈】
1．同底数幂的概念：把下列式子化成同底数幂．
(－a)2＝ ；(－a)3＝ ；
(x－y)2 (y－x)2；(x－y)3＝ (y－x)3.
2．乘方的意义：an的意义是 相乘，我们把这种运算叫作乘方，乘方的结果叫幂，a叫作底数，n是指数．
3．思考：根据幂的意义解答．
52×53＝5×5×5×5×5＝5( )；
32×34＝ ＝3( )；
a3·a4＝(a·a·a)·(a·a·a·a)＝a( )；
am·an＝ m，n都是正整数)；
am·an·ap＝ (m，n，p都是正整数)；
同底数幂相乘，底数 ，指数 ．
4．计算：(1)103·102·104；(2)x5＋m·x2n＋1；
(3)(－x)2·(－x)3；(4)(a＋2)2(a＋2)3.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：
(1)(－x)6·x10；
(2)－x6·(－x)10；
(3)10 000×10m×10m＋3；
(4)(x－y)3·(y－x)5.
【例2】已知ax＝2，ay＝3(x，y为整数)，求ax＋y的值．
活动2 跟踪训练
1．计算：
(1)a·a3·a5；
(2)x·x2＋x2·x；
(3)(－p)5·(－p)4＋(－p)6·p3；
(4)(x＋y)2m(x＋y)m＋1；
(5)(x－y)3(x－y)2(y－x)；
(6)(－x)6x7·(－x)8.
2．已知xm＋n·xm－n＝x9，求m的值．
3．已知am＝3，am＋n＝9，求an的值．
【归纳总结】1.化归思想方法(也叫转化思想方法)是人们学习、生活、生产中的常用方法．当我们遇到新问题时，就应该想方设法地把新问题转化为原来熟知的问题，例如(－x)6·x10转化为x6·x10.
2．联想思维方法：联想能力是五大思维能力之一，例如看到am＋n就要联想到am·an，它是公式的逆用．
3．a·a3·a5的计算中，不要把“a”的指数1给漏掉了．
16．1.2 幂的乘方与积的乘方
【学习目标】
1．理解幂的乘方法则．
2．运用幂的乘方法则计算．
3．理解积的乘方法则．
4．运用积的乘方法则计算．
【预习导学1】
阅读教材P99－100“探究及例2”，理解幂的乘方法则，完成练习．
【自学反馈】
1．乘方的意义：52中，底数是 ，指数是 ，表示 ．
2．(52)3的意义是： ．
3．根据幂的意义解答：
(52)3＝ (根据幂的意义)
＝ (根据同底数幂的乘法法则)
＝52×3；
(am)2＝
＝ ；
＝ (乘法的意义)．
4．总结法则：(am)n＝ (m，n都是正整数)．幂的乘方， 不变， 相乘．
5．计算：(1)(103)3； (2)(x2)3；
(3)－(xm)5; (4)(a2)3·a5.
【预习导学2】
阅读教材P100“探究及例3”，理解积的乘方的法则，完成练习．
【自学反馈】
1．下列各式正确的是( )
A．(a5)3＝a8 B．a2·a3＝a6
C．x2＋x3＝x5 D．x2·x2＝x4
2．x5·x2＝ ，(x3)2＝ ，(a3)2·a4＝ .
3．填空：(2×3)3＝ ，23×33＝ .
(－2×3)3＝ ，(－2)3×33＝ .
＝ .
4．总结法则：(ab)n＝ (n是正整数)．
积的乘方等于把积的 分别 ，再把所得的幂
．
推广：(abc)n＝ (n是正整数)．
5．计算：(1)(ab)4； (2)(－2xy)3；
(3)(－3×102)3； (4)(2ab2)3.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：
(1)[(－x)3]4； (2)(－24)3； (3)(－23)4； (4)(－a5)2＋(－a2)5.
【例2】若92n＝38，求n的值．
【例3】已知ax＝3，ay＝4(x，y为整数)，求a3x＋2y的值．
【例4】一个正方体的棱长为2×102.
(1)它的表面积是多少？(2)它的体积是多少？
【归纳总结】用科学记数法表示时，a×10n中的a是整数位只有
位的数．
【例5】计算：(1)(x4·y2)3；
(2)(anb3n)2＋(a2b6)n；
(3)[(3a2)3＋(3a3)2]2.
【例6】计算： (1)×；
(2)0.12515×(215)3.
活动2 跟踪训练
1．计算：(1)(－x3)5； (2)a6·(a2)3·(a4)2；
(3)[(x－y)3]2； (4)x2x4＋(x2)3.
2．填空：108＝( )2；b27＝( )9；
(ym)3＝( )m；p2n＋2＝( )2.
3．若xmx2m＝3，求x9m的值．
4．计算：(1)－(－3a2b3)4；
(2)－(y2)3·(x3y5)3·(－y)6；
(3)(－b2)3[(－ab3)3]2；
(4)(2a2b)3－3(a3)2b3.
5．计算：(1)(－0.25)2 024×(－4)2 025；
(2)－2100×0.5100×(－1)2 025－.
6．计算：(x2yn)2·(xy)n－1＝ ，(4a2b3)n＝ .
