16．3 乘法公式
16．3.1 平方差公式
【学习目标】
1．掌握平方差公式．
2．会用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P112－113，掌握平方差公式，完成下列问题：
(1)根据条件列式：
a，b两数的平方差可以表示为 ；
a，b两数差的平方可以表示为 .
【提示】审题要仔细，特别注意类似“的”“比”“占”等这些关键字的位置．
(2)计算下列各式：(x＋2)(x－2)＝ ；
(1＋3a)(1－3a)＝ ；
(x＋5y)(x－5y)＝ .
观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是
项式；等式的左边都是两个数的 与两个数的 的
等式的右边是这两个数的 ；
(3)公式： .
语言叙述：两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 ．
【自学反馈】
1．计算：(1)(－a＋b)(a＋b)；
(2).
2．(3a－2b)( ＋2b)＝9a2－4b2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
(2)(－3m－0.5xy)．
【例2】计算：100×99.
活动2 跟踪训练
1．(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)．
2．(3x－y)(3x＋y)－(x－y)(x＋y)．
3．计算：(1)103×97；(2)59.8×60.2.
16．3.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【学习目标】
1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P114－115“探究、思考及例3、例4”，掌握完全平方公式，完成下列问题：
(1)根据条件列式：
a，b两数和的平方可以表示为 ；
a，b两数平方的和可以表示为 .
【提示】审题要仔细，特别注意类似“的”“比”“占”等这些关键字的位置．
(2)计算下列各式：
(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝ ；
(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝ ；
(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝ ；
(3)公式：(a＋b)2＝ ；
(a－b)2＝ .
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的 ，加上(或减去)它们的积的 倍．
(4)用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和．
(a＋b)2＝ ＋ ＋ .
【自学反馈】
1．计算：(1)(4m＋n)2；(2)；(3)(b－a)2.
2．( )2＝1－6x＋9x2.
3．阅读教材P115“思考”，完成下列问题：
填空：(－2)2＝ ；22＝ ；
(a)2 (－a)2.
【归纳总结】互为相反数的两个数(式)的同偶次幂 ．
4．计算：(－a－b)2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k值是多少？
【例2】计算：(1)(a＋b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x＋y)．
【例3】计算：9982.
活动2 跟踪训练
1．运用完全平方公式计算：
(1)(x＋6)2； (2)；
(3)(－2x＋5)2; (4)(a＋b－c)2.
2．计算：(1)1 0012； (2)(－m－2n)2.
第2课时 乘法公式的综合运用
【学习目标】
1．掌握添括号法则．
2．综合运用乘法公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P116，掌握添括号法则，完成下列问题：
(1)计算：①(a＋b)(a－b)＝ ；
②(a＋b)2＝ ；
③(a－b)2＝ ；
④a－2b－c一共有 项，各项分别是 ；
【提示】多项式的项要连同符号一起看作一个整体．
(2)去括号法则：a＋(b＋c)＝ ；
a－(b＋c)＝ ；
(3)反过来，就得到添括号法则：a＋b＋c＝a＋( )；a－b－c＝a－( )；
(4)法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项 符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项 符号．
【自学反馈】
1．下列等式中，不成立的是( )
A．a－b＋c＝－(－a＋b－c)
B．a－b＋c＝a－(b－c)
C．a－b＋c＝－(－a＋b)－c
D．a－b＋c＝a＋(－b＋c)
2．填空：
(1)3mn－2n2＋1＝2mn－( )；
(2)a＋b＋c－d＝a＋( )；
(3)a－b＋c－d＝a－( )；
(4)x＋2y－3z＝2y－( )．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】按要求将2x2＋3x－6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和；
(2)写成一个单项式与一个二项式的差．
【提示】每一题的答案不唯一，要分清每一项及其符号，第(1)题是添括号，括号前是正号；第(2)题括号前是负号．
【例2】计算：(1)(a－m＋2n)2；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；
(4)(x－2y－z)2.
活动2 跟踪训练
1．在下列( )里填上适当的项，使其符合(a＋b)·(a－b)的形式．
(1)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋( )][a－( )]；
(2)(2a－b－c)(－2a－b＋c)＝[( )＋( )][( )－( )]．
2．计算：(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；
(2)(a－2b－3c)2.
3．已知a＋b＝5，ab＝－6，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)(a－b)2.
【归纳总结】根据a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，和(差)的平方是可以互相转化的．16．3 乘法公式
16．3.1 平方差公式
【学习目标】
1．掌握平方差公式．
2．会用平方差公式简化并计算解决简单的实际问题．
【预习导学】
阅读教材P112－113，掌握平方差公式，完成下列问题：
(1)根据条件列式：
a，b两数的平方差可以表示为__a2－b2__；
a，b两数差的平方可以表示为__(a－b)2__.
【提示】审题要仔细，特别注意类似“的”“比”“占”等这些关键字的位置．
(2)计算下列各式：(x＋2)(x－2)＝__x2－4__；
(1＋3a)(1－3a)＝__1－9a2__；
(x＋5y)(x－5y)＝__x2－25y2__.
观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是
__二__项式；等式的左边都是两个数的__和__与两个数的__差__的
__积__等式的右边是这两个数的__平方差__；
(3)公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__.
语言叙述：两个数的__和__与这两个数的__差__的积，等于这两个数的__平方差__．
【自学反馈】
1．计算：(1)(－a＋b)(a＋b)；
(2).
解：(1)b2－a2.(2)y2－x2.
2．(3a－2b)(__3a__＋2b)＝9a2－4b2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
(2)(－3m－0.5xy)．
解：(1)原式＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4.
(2)原式＝－
＝－＝9m2－x2y2.
【例2】计算：100×99.
解：原式＝＝10 000－
＝9 999.
活动2 跟踪训练
1．(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)．
解：原式＝216－1.
2．(3x－y)(3x＋y)－(x－y)(x＋y)．
解：原式＝8x2.
3．计算：(1)103×97；(2)59.8×60.2.
解：(1)9 991. (2)3 599.96.
16．3.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【学习目标】
1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．
2．熟练运用公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P114－115“探究、思考及例3、例4”，掌握完全平方公式，完成下列问题：
(1)根据条件列式：
a，b两数和的平方可以表示为__(a＋b)2__；
a，b两数平方的和可以表示为__a2＋b2__.
【提示】审题要仔细，特别注意类似“的”“比”“占”等这些关键字的位置．
(2)计算下列各式：
(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝__a2＋2a＋1__；
(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝__a2－2a＋1__；
(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝__m2－6m＋9__；
(3)公式：(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；
(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__.
语言叙述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的__平方和__，加上(或减去)它们的积的__2__倍．
(4)用图中的字母表示出图中白色和灰色部分面积的和．
(a＋b)2＝__a2__＋__2ab__＋__b2__.
【自学反馈】
1．计算：(1)(4m＋n)2；(2)；(3)(b－a)2.
解：(1)16m2＋8mn＋n2.(2)y2－y＋.
(3)b2－2ab＋a2.
2．(__1－3x__)2＝1－6x＋9x2.
3．阅读教材P115“思考”，完成下列问题：
填空：(－2)2＝__4__；22＝__4__；
(a)2__＝__(－a)2.
【归纳总结】互为相反数的两个数(式)的同偶次幂__相等__．
4．计算：(－a－b)2.
解：原式＝a2＋2ab＋b2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k值是多少？
解：依题意，得x2－10x＋25＝x2＋kx＋25.
∴k＝－10.
【例2】计算：(1)(a＋b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x＋y)．
解：(1)原式＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.
(2)原式＝[(1＋y)－2x][(1＋y)＋2x]＝(1＋y)2－4x2＝1＋2y＋y2－4x2.
【例3】计算：9982.
解：原式＝(1 000－2)2＝1 000 000－4 000＋4
＝996 004.
活动2 跟踪训练
1．运用完全平方公式计算：
(1)(x＋6)2； (2)；
(3)(－2x＋5)2; (4)(a＋b－c)2.
解：(1)x2＋12x＋36.(2)x2－xy＋y2.
(3)25－20x＋4x2.(4)a2＋b2＋c2＋2ab－2ac－2bc.
2．计算：(1)1 0012； (2)(－m－2n)2.
解：(1)1 002 001. (2)m2＋4mn＋4n2.
第2课时 乘法公式的综合运用
【学习目标】
1．掌握添括号法则．
2．综合运用乘法公式进行计算．
【预习导学】
阅读教材P116，掌握添括号法则，完成下列问题：
(1)计算：①(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；
②(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；
③(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__；
④a－2b－c一共有__3__项，各项分别是__a，－2b，－c__；
【提示】多项式的项要连同符号一起看作一个整体．
(2)去括号法则：a＋(b＋c)＝__a＋b＋c__；
a－(b＋c)＝__a－b－c__；
(3)反过来，就得到添括号法则：a＋b＋c＝a＋(__b＋c__)；a－b－c＝a－(__b＋c__)；
(4)法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项__都不变__符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项__都改变__符号．
【自学反馈】
1．下列等式中，不成立的是( C )
A．a－b＋c＝－(－a＋b－c)
B．a－b＋c＝a－(b－c)
C．a－b＋c＝－(－a＋b)－c
D．a－b＋c＝a＋(－b＋c)
2．填空：
(1)3mn－2n2＋1＝2mn－(__－mn＋2n2－1__)；
(2)a＋b＋c－d＝a＋(__b＋c－d__)；
(3)a－b＋c－d＝a－(__b－c＋d__)；
(4)x＋2y－3z＝2y－(__－x＋3z__)．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】按要求将2x2＋3x－6：
(1)写成一个单项式与一个二项式的和；
(2)写成一个单项式与一个二项式的差．
解：(1)(2)略．
【提示】每一题的答案不唯一，要分清每一项及其符号，第(1)题是添括号，括号前是正号；第(2)题括号前是负号．
【例2】计算：(1)(a－m＋2n)2；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；
(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；
(4)(x－2y－z)2.
解：(1)原式＝[(a－m)＋2n]2
＝(a－m)2＋4n(a－m)＋4n2
＝a2－2am＋m2＋4an－4mn＋4n2.
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
(3)原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]
＝(2x－y)2－9
＝4x2－4xy＋y2－9.
(4)原式＝[(x－2y)－z]2
＝(x－2y)2－2z(x－2y)＋z2
＝x2－4xy＋4y2－2xz＋4yz＋z2.
活动2 跟踪训练
1．在下列( )里填上适当的项，使其符合(a＋b)·(a－b)的形式．
(1)(a＋b－c)(a－b＋c)＝[a＋(__b－c__)][a－(__b－c__)]；
(2)(2a－b－c)(－2a－b＋c)＝[(__－b__)＋(__2a－c__)][(__－b__)－(__2a－c__)]．
2．计算：(1)(x＋y＋2)(x＋y－2)；
(2)(a－2b－3c)2.
解：(1)x2＋y2＋2xy－4.
(2)a2－4ab＋4b2－6ac＋12bc＋9c2.
3．已知a＋b＝5，ab＝－6，求下列各式的值：
(1)a2＋b2；
(2)(a－b)2.
解：(1)a2＋b2＝37.(2)(a－b)2＝49.
【归纳总结】根据a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，和(差)的平方是可以互相转化的．
