17．2 用公式法分解因式
第1课时 运用平方差公式因式分解
【学习目标】
1．能直接利用平方差公式因式分解．
2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．
【预习导学】
阅读教材P128－129“思考及例1、例2”，完成下列问题：
(1)填空：4a2＝( )2；b2＝；
0．16a4＝( )2；a2b2＝( )2；
(2)因式分解：2a2－4a＝ ；
(x＋y)2－3(x＋y)＝ ；
(3)填空：(x＋2)(x－2)＝ ；
(y＋5)(y－5)＝ ；
(4)根据上述等式填空：x2－4＝ ；y2－25＝ ；
(5)公式：a2－b2＝ ．
【归纳总结】两个数的 ，等于这两个数的 与这两个数的 的积．
【自学反馈】
1．下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1)x2＋y2；(2)x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2.
2．分解因式：(1)a2－b2； (2)9a2－4b2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】分解因式：(a＋1)2－1.
【例2】求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
【例3】已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．
活动2 跟踪训练
1．分解因式：
(1)－1＋0.09x2； (2)(a＋2b)2－4(a－b)2.
2．计算：
…·
.
第2课时 运用完全平方公式因式分解
【学习目标】
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方式因式分解．
3．掌握利用完全平方公式因式分解的步骤．
【预习导学】
阅读教材P129－130“思考及例3、例4”，完成下列问题：
(1)填空：(a＋b)2＝ ；
(a－b)2＝ ；
(2)根据上面的式子填空：a2＋2ab＋b2＝ ；a2－2ab＋b2＝ ；
(3)形如a2＋ ＋b2与a2－ ＋b2的式子称为完全平方式．
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【归纳总结】两个数的 加上(或减去)这两个数的 的 倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
【自学反馈】
1．判断下列多项式是否为完全平方式，如果是，运用完全平方公式将其因式分解．
①b2＋b＋1；②a2－ab＋b2；③1＋4a2；
④a2－a＋.
2．分解因式：(1)x2＋12x＋36；(2)－2xy－x2－y2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】分解因式：
(1)a2＋ab＋b2；
(2)(a－b)2－6(b－a)＋9.
分析：有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止．
【例2】已知|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值．
【归纳总结】解这类题目，先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求解．
活动2 跟踪训练
1．如果x2＋mxy＋9y2是一个完全平方式，那么m的值是 .
2．利用因式分解计算：2022＋202×196＋982.
第3课时 较复杂的公式法因式分解
【学习目标】
熟练运用提公因式法和公式法分解因式．
【预习导学】
阅读教材P131“例5、例6”，完成下列问题：
(1)平方差公式：a2－b2＝ ；
(2)完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝ ；
a2－2ab＋b2＝ .
【自学反馈】
分解因式：
(1)－a4＋16； (2)ax2＋2a2x＋a3.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】因式分解：
(1)x2y－4y； (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
【例2】已知x＋＝4，
(1)求x2＋的值；
(2)求的值．
分析：这里需要活用公式，如x2＋＝－2，＝－4，将两个完全平方公式进行互相转化．
活动2 跟踪训练
因式分解：
(1)x2(x－y)＋y2(y－x)；
(2)a5－a；
(3)(a2－4a)2＋8(a2－4a)＋16；
(4)abx2＋2abxy＋aby2.17．2 用公式法分解因式
第1课时 运用平方差公式因式分解
【学习目标】
1．能直接利用平方差公式因式分解．
2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．
【预习导学】
阅读教材P128－129“思考及例1、例2”，完成下列问题：
(1)填空：4a2＝(__±2a__)2；b2＝；
0．16a4＝(__±0.4a2__)2；a2b2＝(__±ab__)2；
(2)因式分解：2a2－4a＝__2a(a－2)__；
(x＋y)2－3(x＋y)＝__(x＋y)(x＋y－3)__；
(3)填空：(x＋2)(x－2)＝__x2－4__；
(y＋5)(y－5)＝__y2－25__；
(4)根据上述等式填空：x2－4＝__(x＋2)(x－2)__；y2－25＝__(y＋5)(y－5)__；
(5)公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．
【归纳总结】两个数的__平方差__，等于这两个数的__和__与这两个数的__差__的积．
【自学反馈】
1．下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1)x2＋y2；(2)x2－y2；(3)－x2＋y2；(4)－x2－y2.
解：(1)不能，不符合平方差公式．
(2)能，符合平方差公式．
(3)能，符合平方差公式．
(4)不能，不符合平方差公式．
2．分解因式：(1)a2－b2； (2)9a2－4b2.
解：(1).(2)(3a＋2b)(3a－2b)．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】分解因式：(a＋1)2－1.
解：原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)．
【例2】求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.
∵8n是8的n倍，
∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
【例3】已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．
解：依题意，得(x＋y)(x－y)＝6.
∴x＋y＝3.x＝，y＝.
活动2 跟踪训练
1．分解因式：
(1)－1＋0.09x2； (2)(a＋2b)2－4(a－b)2.
解：(1)(0.3x－1)(0.3x＋1)． (2)3a(4b－a)．
2．计算：
…·
.
解：原式＝·
…·
＝××××××…×
×××
＝.
第2课时 运用完全平方公式因式分解
【学习目标】
1．会判断完全平方式．
2．能直接利用完全平方式因式分解．
3．掌握利用完全平方公式因式分解的步骤．
【预习导学】
阅读教材P129－130“思考及例3、例4”，完成下列问题：
(1)填空：(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；
(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__；
(2)根据上面的式子填空：a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；a2－2ab＋b2＝__(a－b)2__；
(3)形如a2＋__2ab__＋b2与a2－__2ab__＋b2的式子称为完全平方式．
完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
【归纳总结】两个数的__平方和__加上(或减去)这两个数的__积__的__2__倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
【自学反馈】
1．判断下列多项式是否为完全平方式，如果是，运用完全平方公式将其因式分解．
①b2＋b＋1；②a2－ab＋b2；③1＋4a2；
④a2－a＋.
解：①②③不是完全平方式；
④是完全平方式．原式＝.
2．分解因式：(1)x2＋12x＋36；(2)－2xy－x2－y2.
解：(1)(x＋6)2.(2)－(x＋y)2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】分解因式：
(1)a2＋ab＋b2；
(2)(a－b)2－6(b－a)＋9.
分析：有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止．
解：(1)原式＝.
(2)原式＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2.
【例2】已知|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值．
解：依题意，得|b－4|＋＝0.
∴ ∴ ∴ab＝＝.
【归纳总结】解这类题目，先分解因式得到两个非负数的和，再根据绝对值和完全平方数的非负性求解．
活动2 跟踪训练
1．如果x2＋mxy＋9y2是一个完全平方式，那么m的值是__±6__.
2．利用因式分解计算：2022＋202×196＋982.
解：90 000.
第3课时 较复杂的公式法因式分解
【学习目标】
熟练运用提公因式法和公式法分解因式．
【预习导学】
阅读教材P131“例5、例6”，完成下列问题：
(1)平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；
(2)完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；
a2－2ab＋b2＝__(a－b)2__.
【自学反馈】
分解因式：
(1)－a4＋16； (2)ax2＋2a2x＋a3.
解：(1)(4＋a2)(2＋a)(2－a)．
(2)a(x＋a)2.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】因式分解：
(1)x2y－4y； (2)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
解：(1)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)．
(2)原式＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
【例2】已知x＋＝4，
(1)求x2＋的值；
(2)求的值．
分析：这里需要活用公式，如x2＋＝－2，＝－4，将两个完全平方公式进行互相转化．
解：(1)x2＋＝－2＝42－2＝14.
(2)＝－4＝42－4＝12.
活动2 跟踪训练
因式分解：
(1)x2(x－y)＋y2(y－x)；
(2)a5－a；
(3)(a2－4a)2＋8(a2－4a)＋16；
(4)abx2＋2abxy＋aby2.
解：(1)(x＋y)(x－y)2.
(2)a(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
(3)(a－2)4.
(4)ab(x＋y)2.
