18．5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【学习目标】
1．理解分式方程的意义．
2．了解解分式方程的基本思路和方法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
【预习导学】
阅读教材P164－166，完成下列问题：
(1)分母中 未知数的方程叫作整式方程；
(2) 中含有未知数的方程叫作分式方程；
(3)判断下列说法是否正确：
①＝5是分式方程；②＝是分式方程；③＝1是分式方程；④＝是分式方程．
【自学反馈】
1．解分式方程的一般步骤是(1) ；(2) ；(3) ；(4) ．
2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；
③＝；④＝－1；
⑤＝；⑥2x＋＝10；
⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】解方程：＝.
【例2】解方程：－1＝.
活动2 跟踪训练
1．解方程：
(1)＝； (2)＝＋1；
(3)＝； (4)－＝0.
2．解分式方程：(1)＝－2；
(2)＋1＝；
(3)＝1－.
【归纳总结】
解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的实际应用
【学习目标】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．
【预习导学】
阅读教材P167－168，完成下列问题：
(1)列方程解应用题的一般步骤是
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
(2)类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是
① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ；
⑥ ．
【自学反馈】
某政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
解：甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖 ，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖 ；两台挖土机一天共挖 ；两台一天完成另一半．所以方程为 ；解得x＝ ，即乙单独挖需 天．
【合作探究】
1．甲、乙两人分别从相距36 km的A，B两地相向而行，甲从A出发到1 km时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5 km，求两人的速度．
分析：
路程 速度 时间
甲 18＋1×2 x＋0.5
乙 18 x
等量关系：t甲＝t乙．
2．A，B两地相距135 km，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5 h，小汽车比大汽车晚到30 min.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
3．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，规定日期是几天？18．5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【学习目标】
1．理解分式方程的意义．
2．了解解分式方程的基本思路和方法．
3．理解分式方程可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根的方法．
【预习导学】
阅读教材P164－166，完成下列问题：
(1)分母中__不含有__未知数的方程叫作整式方程；
(2)__分母__中含有未知数的方程叫作分式方程；
(3)判断下列说法是否正确：
①＝5是分式方程；②＝是分式方程；③＝1是分式方程；④＝是分式方程．
解：①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程．因为分母中含有未知数．③是分式方程．因为分母中含有未知数．④是分式方程．因为分母中含有未知数．
【自学反馈】
1．解分式方程的一般步骤是(1)__去分母__；(2)__解整式方程__；(3)__验根__；(4)__小结_．
2．下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
①＝；②＋＝7；
③＝；④＝－1；
⑤＝；⑥2x＋＝10；
⑦x－＝2；⑧＋3x＝1.
解：①⑤⑥是整式方程，因为分母中没有未知数．
②③④⑦⑧是分式方程，因为分母中含有未知数．
【合作探究】
活动1 典例精析
【例1】解方程：＝.
解：方程两边乘x(x－3)，得2x＝3(x－3)．
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.
∴原分式方程的解为x＝9.
【例2】解方程：－1＝.
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3.解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0.
∴x＝1不是原方程的解．
∴原分式方程无解．
活动2 跟踪训练
1．解方程：
(1)＝； (2)＝＋1；
(3)＝； (4)－＝0.
解：(1)方程两边乘2x(x＋3)，得x＋3＝4x.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，2x(x＋3)≠0.
∴x＝1是方程的解．
(2)方程两边乘3(x＋1)，得3x＝2x＋3x＋3.
解得x＝－.
检验：当x＝－时，3(x＋1)≠0.
∴x＝－是方程的解．
(3)方程两边乘x2－1，得2(x＋1)＝4.解得x＝1.
检验：当x＝1时，x2－1＝0，
∴x＝1不是方程的解．∴原方程无解．
(4)方程两边乘x(x＋1)(x－1)，得
5(x－1)－(x＋1)＝0.解得x＝.
检验：当x＝时，x(x＋1)(x－1)≠0.
∴x＝是原方程的解．
2．解分式方程：(1)＝－2；
(2)＋1＝；
(3)＝1－.
解：(1)方程两边乘2x－2，得2x＝3－2(2x－2)．
解得x＝.
检验：当x＝时，2x－2≠0.
∴x＝是原方程的解．
(2)方程两边乘x－2，得x－3＋x－2＝－3.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，x－2≠0.
∴x＝1是原方程的解．
(3)方程两边乘(2x－1)(x＋2)，得
2x(x＋2)＝(2x－1)(x＋2)－2(2x－1)．
解得x＝0.
检验：当x＝0时，(2x－1)(x＋2)≠0.
∴x＝0是原方程的解．
【归纳总结】
解分式方程的思路是：
第2课时 分式方程的实际应用
【学习目标】
能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结．
【预习导学】
阅读教材P167－168，完成下列问题：
(1)列方程解应用题的一般步骤是
①____审题设未知数__；
②____找等量关系列方程__；
③____解方程__；
④____验根是否符合实际意义__；
⑤____答题__．
(2)类比一般方程，列分式方程解应用题的一般步骤是
①____审题设未知数__；
②____找等量关系列方程__；
③____去分母化分式方程为整式方程__；
④____解整式方程__；
⑤____验根是否符合实际意义__；
⑥____答题__．
【自学反馈】
某政府打算把一块荒地建成公园，动用了一台甲型挖土机，4天挖完了这块地的一半．后又加一台乙型挖土机，两台挖土机一起挖，结果1天就挖完了这块地的另一半．乙型挖土机单独挖这块地需要几天？
解：甲型挖土机4天完成了一半，那么甲型挖土机每天挖÷4＝，如果设乙型挖土机单独挖这块地需要x天，那么一天挖；两台挖土机一天共挖＋；两台一天完成另一半．所以方程为＋＝；解得x＝，即乙单独挖需天．
【合作探究】
1．甲、乙两人分别从相距36 km的A，B两地相向而行，甲从A出发到1 km时发现有东西遗忘在A地，立即返回，取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点处相遇．已知甲比乙每小时多走0.5 km，求两人的速度．
分析：
路程 速度 时间
甲 18＋1×2 x＋0.5
乙 18 x
等量关系：t甲＝t乙．
解：设乙的速度为x km/h，则甲的速度为(x＋0.5) km/h.根据题意，列方程得
＝.解得x＝4.5.
检验：当x＝4.5时，x(x＋0.5)≠0.
∴x＝4.5是原方程的解．则x＋0.5＝5.
答：甲的速度为5 km/h，乙的速度为4.5 km/h.
2．A，B两地相距135 km，有大、小两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5 h，小汽车比大汽车晚到30 min.已知大、小汽车速度的比为2∶5，求两辆汽车的速度．
解：设大汽车的速度为2x km/h，小汽车的速度为5x km/h.根据题意，列方程得
－＝5－0.5，解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.
∴x＝9是原方程的解．则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18 km/h，小汽车的速度是 45 km/h.
3．一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
＋＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.
∴x＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
