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11.1.2 幂的乘方 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十一章
课题 11.1.2 幂的乘方 课时 1课时
课标要求 探索并了解正整数幂的运算法则，掌握幂的乘方运算法则(am)n=amn(m、n为正整数)，并能运用其进行准确计算。理解幂的乘方运算法则的推导过程，体会从特殊到一般的数学归纳思想，提升逻辑推理能力。能在具体的整式运算情境中，识别并正确运用幂的乘方运算法则，与同底数幂的乘法、积的乘方等运算法则协同解决问题。
教材分析 “幂的乘方” 作为幂运算体系的关键环节，其运算法则的推导与应用，不仅是对同底数幂乘法的深化，更为积的乘方及后续复杂幂运算提供方法借鉴。通过设计由特殊到一般的自主探索活动，引导学生亲历法则归纳过程，有助于培养其数学抽象、逻辑推理等核心素养，同时让学生在实践中感悟数学知识的生成规律，体会数学思维的严谨性与逻辑性。
学情分析 学生在之前已经学习了有理数的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，对幂的概念和同底数幂乘法法则有了一定的理解和掌握，具备了初步的观察、归纳、类比等数学思维能力和运算能力。但对于幂的乘方这种较为抽象的运算，部分学生可能在理解其本质和运算规则的推导过程中存在困难。八年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对具体、生动的实例较为感兴趣，而对抽象的数学符号和推理可能会感到枯燥，需要教师在教学过程中多采用实例引导、直观演示等方法，帮助学生理解和掌握知识，同时注重培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
核心素养目标 数学抽象：通过对具体幂的乘方运算的观察、分析，抽象出幂的乘方的运算法则，理解幂的乘方的本质，提升从具体到抽象的思维能力。 逻辑推理：经历幂的乘方运算法则的推导过程，运用乘方的意义和同底数幂的乘法法则进行逻辑推理，培养有条理的思考和表达能力。 数学运算：能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算，准确解决与幂的乘方相关的数学问题，提高运算能力。 数学建模：在实际问题情境中，能够识别并运用幂的乘方模型进行分析和解决问题，增强数学应用意识和建模能力。
教学重点 幂的乘方的运算法则:(am)n=amn(m、n为正整数)的理解与推导。熟练运用幂的乘方运算法则进行计算。
教学难点 理解幂的乘方运算法则的推导过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。 能够准确区分幂的乘方运算与同底数幂的乘法运算，并能在混合运算中正确运用相应法则进行计算。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新想一想：同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？同底数幂相乘，底数不变，指数相加.am· an=am+n (m，n都是正整数).计算：①a3 · a4； ②( -2 )5×( -2 )3； ③ xn · xn+1解：① 原式=a3； ②原式=（-2）8=256；③ 原式=xn+n+1=x2n+1. 思考问题，举手回答同底数幂的乘法法则，在练习纸上完成计算题目，并说出计算过程和依据。 复习同底数幂的乘法法则，强化学生对旧知识的记忆，为本节课学习幂的乘方做铺垫
二、引新 创设情境，引入课题同学们，若这个正方体的棱长为a2，大家能快速算出它的体积吗？正方体的体积为（a2）3这个算式的底数和指数是什么？底数为a2，指数为3底数是幂的形式，这是什么运算？上面的运算称为幂的乘方. 认真观察屏幕中的正方体，结合教师的提问，主动回忆正方体体积计算公式,初步感知幂的乘方概念，进而激发探索其运算规则的浓厚兴趣。 以学生熟悉的正方体体积计算为切入点创设真实情境，将抽象的幂的乘方概念与生活实际紧密结合，更有效调动学生的学习积极性。
三、探究 试一试：根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：(1)（23）2= 23 × 23 =23+3=2( 3 )×( 2 )=26.(2)（52）3=52×52×52=52+2+2=5( 2 )×( 3 )=56(3)（a3）4=a3 · a3 · a3 · a3=a( 3 )×( 4 )=a12.观察这几道题有什么共同特点，通过计算你能发现什么规律？可得：（am）n=amn (m，n为正整数).这就是说，幂的乘方， 底数不变，指数相乘.特别强调：①公式中的底数a可以是单独的数字、字母或整式；②易错点：指数是“相乘”而非“相加”.【例1】计算：(1) （103）5 ; (2)（b5）4 解：(1) （103）5=103×5=1015. (2)（b5）4 =b5×4=b20.拓展提高想一想：( am )n与( an )m 相等吗 为什么 (am)n 表示n个m相乘，其结果为 amn.(an)m 表示m个n相乘，其结果也为 amn.所以( am )n与( an )m 相等【做一做】若10m＝3，求103m的值. 小提示：幂的乘方法则可以逆用！即：amn =(am )n =(an )m ( m , n都是正整数).【解】103m＝(10m)3＝33＝27； 【做一做】已知am=3，an= 2，求a3m+2n的值. 解：由题意得a3m+2n =a3m×a2n=（am）3×（an）2，将am=3，an= 2代入上式，则（am）3×（an）2=33×22=27×4=108，所以a3m+2n的值为108. 在练习纸上认真完成填空计算，积极参与小组讨论，与小组成员交流自己的发现和想法。认真观察例题，思考教师提出的问题，与教师互动，回答每道题的底数、指数及计算方法。 仔细观看教师在黑板上的计算过程，学习规范的解题格式和书写要求，注意教师强调的计算要点. 让学生通过具体的数值计算，经历从特殊到一般的探究过程，自主发现幂的乘方的运算规律，培养学生的观察能力、归纳能力和合作交流能力。通过不同类型的例题，让学生进一步熟悉幂的乘方运算法则的应用。
四、尝试 尝试练习，巩固提高【知识技能类作业】必做题：1.下列运算正确的是( B ).A. ( x3 )4 = x7B. ( a2 )2 = a4C. (3n)2 = 32+nD. a2 · a3 = a62. 在下列各式中，计算结果等于a6的是( C ).A. a3+ a3B. a2 · a3C. ( - a3)2D. ( - a2)33.计算（1）-( y5 ) 2 ； （2）( am+1 )4 ; （3）( a2 )3 · ( a4 )2解：（1）原式= -y5×2= -y10（2）原式=a 4（m+1）=a 4m+4（3）原式= a6 · a8=a144. 若2m =5， 2n =3，则23m =__125_，23m+n =_375_.【知识技能类作业】选做题：5. 化简(a3)n+(-an)3 的结果是( A ).A. 2a3n B. -2a3n C. -a6n D. a6n6.运算能力如果a=355，b = 444，c =533，那么a，b，c的大小关系（ A ）.A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a【综合拓展类作业】7. 已知2a= 3 ，2b=5，求23a+2b+1的值.解：由题意得23a+2b+1=23a×22b×21=（2a）3×（2b）2×2，已知2a= 3 ，2b=5，将其代入上式可得：33×52×2.因为33=27，52=25，则33×52×2=27×25×2=1350. 独立完成练习题，遇到问题可以举手向教师提问。 通过课堂练习，巩固学生所学的知识和方法，及时发现学生存在的问题并加以解决，提高学生的知识应用能力。
五、提升 适时小结，兴趣延伸1.今天我们学习了什么知识？幂的乘方的运算法则是什么？2.在运用幂的乘方运算法则进行计算时，需要注意哪些问题？3.幂的乘方运算法则与同底数幂的乘法法则有什么区别和联系？4.组织学生进行回答，对学生的回答进行补充和完善，总结本节课的重点知识和易错点，强调幂的乘方运算法则在整式运算中的重要性。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 11.1.2 幂的乘方1.幂的乘方法则：幂的乘方， 底数不变，指数相乘.（am）n=amn (m，n为正整数).2.幂的乘方法则可以逆用：即：amn =(am )n =(an )m ( m , n都是正整数). 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 基础达标：1.【知识技能类作业】必做题：1.下列算式：①(a5)5 =a5+5 = a10； ②[( b2 ) 2 ]2 = b2×2×2 = b8;③[ (-x)3 ]2 = ( -x )6 = x6; ④(-y2)3 = y3.其中正确的是（ D ）. A.①②③ B.①②④ C.②④ D.②③2. 已知( am )n= 3，则( an )m= ___3__，( an )3m= ___27___，a4mn =____81___. 3. 已知]m，n为正整数，若( -am )n= -amn成立，则( D).A. m，n必同为奇数B. m，n必同为偶数C. m必为奇数P. n必为奇数4. 计算.(1) -2(a3)4 + a4 . (a4)2;(2) (-a2)3 · a3 +(-a)2 ·a7 - 5(a3)3.解：(1)原式=-2a12 +a4· a8= -2a12 +a12 =-a12.(2)原式=(-a6) · a3 +a2 · a7- 5a9= -a9 +a9 -5a9= -5a9.5.若am =an (a> 0且a ≠ 1，m，n是正整数)，则m =n.你能利用上面的结论解决下面的问题吗 (1)如果2 × 8x × 16x=222，求x的值;解: 因为2 × 8x × 16x =21+3x+4x=27x+1=222，所以7x+1=22，解得x=3.(2)若( 125x )2 = 56，求 x 的值.解: 因为(125x)2 = [( 53 )x]2 =(53x)2= 56x, ( 125x )2 = 56，所以 56x =56， 所以6x = 6，解得x=1.
教学反思 在本节课的教学过程中，通过知识回顾、情境引入、探究新知、例题讲解、课堂练习、课堂小结和布置作业等环节，较为系统地完成了幂的乘方这一内容的教学。从学生的课堂反应和练习情况来看，大部分学生能够理解幂的乘方的运算法则，并能运用法则进行简单的计算，但仍存在一些不足之处。
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十一章
课标要求 1.探索并了解正整数幂的运算法则（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），并会运用它们进行计算。 2.探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式乘法运算。 3.会由整式的乘法推导出乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算。 4.探索并了解单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，并能进行简单的整式除法运算。 5.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，从中体会事物之间可以互相转换的辩证思想。
内容分析 全章共包含幂的运算、整式的乘法、乘法公式、整式的除法、因式分解这几节内容。幂的运算性质是学习整式乘法的基础，这 4 个运算性质都是根据乘方的意义，通过找规律，由特殊到一般，从而归纳出来的法则。在掌握幂的运算性质后，其第一个直接的应用，便是开始安排单项式乘法，而运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键是熟练掌握单项式乘法。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用运算律就能进一步进行单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法。学习多项式的乘法之后，将某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及结果，写成公式的形式，就是乘法公式。将整式乘法按相反方向变形，便是因式分解。
学情分析 学生在之前已经学习了整式的概念及加减法运算，对代数式有了一定的认识，这为本章整式乘除的学习奠定了基础。但整式的乘除运算涉及到更多的运算法则和公式推导，对于八年级学生来说，从具体数字运算过渡到抽象的字母运算，在理解和应用上可能存在一定困难。特别是在处理复杂的多项式乘法或除法，以及乘法公式的灵活运用时，部分学生可能会感到困惑。此外，学生在进行运算时，容易出现符号错误、指数运算错误等问题 。
单元目标 （一）教学目标1.学生能够熟练掌握正整数幂的运算法则，准确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算。2.深入理解并能运用单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则，进行准确的整式乘法运算。3.清晰掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式的法则，完成简单的整式除法运算。4.理解因式分解的意义，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解。5.通过对幂的运算法则、整式乘除法法则及因式分解方法的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，提升逻辑思维水平。（二）教学重点、难点重点1.整式乘除法运算法则及其应用；2.乘法公式的理解和运用；3.因式分解的两种基本方法（提取公因式法、公式法）。难点1.理解整式乘除法运算的原理；2.灵活运用乘除法运算法则及乘法公式解决实际问题；3.在因式分解时，如何准确地选择合适的方法进行分解 。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数11.1幂的运算同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方同底数幂的除法411.2整式的乘法单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘多项式与多项式相乘311.3 乘法公式平方差公式完全平方公式211.4整式的除法单项式除以单项式多项式除以单项式211.5因式分解提取公因式法公式法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务11.1幂的运算1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。掌握同底数幂乘法法则，学生是否能正确运用法则进行计算，底数和指数的处理是否准确。任务一：探究同底数幂乘法法则。任务二：巩固练习。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，更能使学生进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。布置一系列包含积的乘方运算任务，检查学生对两个法则的综合运用能力组织小组讨论积的乘方法则的推导过程，观察学生在讨论中的思维活跃度，1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.11.2整式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，让学生在运算的过程中理解单项式的乘法法则。1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，让学生体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。11.3 乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。11.4整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的计算．学生掌握单项式除以单项式法则，能准确进行计算。通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。1.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；2.会进行简单的乘除混合运算．讲解多项式除以单项式题目的解题思路，学生对法则的理解和运用能力，同时锻炼学生的逻辑思维和语言表达能力。引导学生反思在学习多项式除以单项式过程中容易出错的地方，以及如何避免这些错误，培养学生的学习反思能力。11.5因式分解1.在进行提取公因式时的操作过程，能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。2.提高学生对公因式的识别能力，能否准确找出多项式各项的公因式。学生能正确提取公因式并将多项式进行因式分解。组织小组互助学习，让学生互相检查和讨论因式分解的结果，培养学生的合作学习能力和批判性思维。
《整式的乘除》 大单元教学设计
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第十一章 整式的乘除
11.1.2 幂的乘方
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解幂的乘方的运算性质，能用符号语言和文字语言正确表述这一性质。
01
能够熟练运用幂的乘方运算法则进行计算，准确解决与幂的乘方相关的数学问题，提高运算能力。
02
通过对具体幂的乘方运算的观察、分析，抽象出幂的乘方的运算法则，理解幂的乘方的本质，提升从具体到抽象的思维能力。
03
02
新知导入
想一想：同底数幂的乘法法则是什么？用式子怎样表示？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
计算：①a3 · a4； ②( -2 )5×( -2 )3； ③ xn · xn+1
am· an=am+n (m，n都是正整数).
解：① 原式=a3； ②原式=（-2）8=256；
③ 原式=xn+n+1=x2n+1.
02
新知导入
同学们，若这个正方体的棱长为a2，大家能快速算出它的体积吗？
这个算式的底数和指数是什么？
底数是幂的形式，这是什么运算？
上面的运算称为幂的乘方.
正方体的体积为（a2）3
底数为a2，指数为3
03
新知探究
探究
幂的乘方法则
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：
(1)（23）2=___________=_________=___________=______.
23 × 23
23+3
26
(2)（52）3=_________________=_________=_________=____
52×52×52
52+2+2
2( )×( )
3
2
5( )×( )
3
2
56
03
新知探究
探究
幂的乘方法则
根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空：
(3)（a3）4=________________=___________=______.
a3 · a3 · a3 · a3
a12
a( )×( )
3
4
观察这几道题有什么共同特点，通过计算你能发现什么规律？
知识要点
这就是说，幂的乘方， 底数不变，指数相乘.
（am）n= am ·am · ... · am
n个
= a m+m+···+m
n个
=amn
可得：（am）n=amn (m，n为正整数).
知识要点
特别强调：
①公式中的底数a可以是单独的数字、字母或整式；
②易错点：指数是“相乘”而非“相加”.
幂的乘方， 底数不变，指数相乘.
（am）n=amn (m，n为正整数).
03
新知讲解
计算：(1) （103）5 ; (2)（b5）4
例1
解：(1) （103）5=103×5=1015.
(2)（b5）4 =b5×4=b20.
拓展提高
想一想：( am )n与( an )m 相等吗 为什么
(an)m 表示m个n相乘，其结果也为 amn.
所以( am )n与( an )m 相等
(am)n 表示n个m相乘，其结果为 amn.
拓展提高
【做一做】若10m＝3，求103m的值.
小提示：幂的乘方法则可以逆用！
即：amn =(am )n =(an )m ( m , n都是正整数).
【解】103m＝(10m)3＝33＝27；
拓展提高
【做一做】已知am=3，an= 2，求a3m+2n的值.
解：由题意得a3m+2n =a3m×a2n=（am）3×（an）2，
将am=3，an= 2代入上式，
则（am）3×（an）2=33×22=27×4=108，
所以a3m+2n的值为108.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列运算正确的是( ).
A. ( x3 )4 = x7
B. ( a2 )2 = a4
C. (3n)2 = 32+n
D. a2 · a3 = a6
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2. 在下列各式中，计算结果等于a6的是( ).
A. a3+ a3
B. a2 · a3
C. ( - a3)2
D. ( - a2)3
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.计算
（1）-( y5 ) 2 ； （2）( am+1 )4 ; （3）( a2 )3 · ( a4 )2
解：（1）原式= -y5×2= -y10
（2）原式=a 4（m+1）=a 4m+4
（3）原式= a6 · a8=a14
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 若2m =5， 2n =3，则23m =______，23m+n =______.
125
375
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 化简(a3)n+(-an)3 的结果是( ).
A. 2a3n
B. -2a3n
C. -a6n
D. a6n
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.运算能力如果a=355，b = 444，c =533，那么a，b，c的大小关系（ ）.
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>a>c
D.b>c>a
A
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 已知2a= 3 ，2b=5，求23a+2b+1的值.
解：由题意得23a+2b+1=23a×22b×21=（2a）3×（2b）2×2，
已知2a= 3 ，2b=5，将其代入上式可得：33×52×2.
因为33=27，52=25，则33×52×2=27×25×2=1350.
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.幂的乘方法则：幂的乘方， 底数不变，指数相乘..
（am）n=amn (m，n为正整数).
2.( am )n与( an )m 相等
3.幂的乘方法则可以逆用：amn =(am )n =(an )m ( m , n都是正整数).
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列算式：
①(a5)5 =a5+5 = a10； ②[( b2 ) 2 ]2 = b2×2×2 = b8;
③[ (-x)3 ]2 = ( -x )6 = x6; ④(-y2)3 = y3.
其中正确的是（ ）.
A.①②③ B.①②④ C.②④ D.②③
D
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2. 已知( am )n= 3，则( an )m= _____，( an )3m= ______，
a4mn =_______.
3
27
81
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 已知]m，n为正整数，若( -am )n= -amn成立，则( ).
A. m，n必同为奇数
B. m，n必同为偶数
C. m必为奇数
P. n必为奇数
D
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 计算.
(1) -2(a3)4 + a4 . (a4)2;
(2) (-a2)3 · a3 +(-a)2 ·a7 - 5(a3)3.
解：(1)原式=-2a12 +a4· a8= -2a12 +a12 =-a12.
(2)原式=(-a6) · a3 +a2 · a7- 5a9= -a9 +a9 -5a9= -5a9.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.若am =an (a> 0且a ≠ 1，m，n是正整数)，则m =n.
你能利用上面的结论解决下面的问题吗
(1)如果2 × 8x × 16x=222，求x的值;
解: 因为2 × 8x × 16x =21+3x+4x=27x+1=222，
所以7x+1=22，
解得x=3.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.若am =an (a> 0且a ≠ 1，m，n是正整数)，则m =n.
你能利用上面的结论解决下面的问题吗
(2)若( 125x )2 = 56，求 x 的值.
解: 因为(125x)2 = [( 53 )x]2 =(53x)2= 56x, ( 125x )2 = 56，
所以 56x =56， 所以6x = 6，解得x=1.
Thanks!
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