1.1.1 空间向量及其运算
第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
1.下列说法正确的是（ ）
A.任一空间向量与它的相反向量都不相等
B.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝±b
C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D.不相等的两个空间向量的模必不相等
2.在空间四边形ABCD中，下列表达式结果与相等的是（ ）
A.＋ B.＋＋
C.－ D.＋－
3.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点， 则＋（＋）＝（ ）
A. B.
C. D.
4.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则（ ）
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
5.（多选）若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
A.＋2＋2＋
B.2＋2＋3＋3＋
C.＋＋
D.－＋－
6.化简：－3＝ .
7.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.用，，表示，则＝ .
8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若存在实数x，y，z，使向量＝x＋y＋z，则x＋2y＋3z＝ .
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点.
（1）化简：－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值.
10.（2024·山东省实验中学高二月考）若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ）
A.P∈AB
B.P AB
C.点P可能在直线AB上
D.以上都不对
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心，若＋λ＝0（λ∈R），则λ＝ .
12.（2024·北京人大附中高二月考）如图，已知M，N分别是空间四边形ABCD的对角线AC和BD的中点，求证：＝（＋）.
13.如图所示，空间四边形ABCD中，点G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，则＋＋的化简结果为（ ）
A. B.
C. D.
14.边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1内（包含表面和棱上）有一点P.M，N分别为A1B1，DD1的中点，且＝λ＋μ（λ，μ∈R）.若＝t（t∈R），求t的值.
第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
1.C A：零向量与它的相反向量相等，故错误；B：｜a｜＝｜b｜只能说明向量a，b的模相等，但不能说明a与b的方向相同或相反，故错误；C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方向，不能比较大小，故正确；D：一个非零空间向量与它的相反向量不相等，但它们的模相等，故错误；故选C.
2.B A.＋＝；B.＋＋＝；C.－＝；D.＋－＝＋.故选B.
3.C 由题可知，E，F分别是BC，CD的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得＋＝2，再由平面向量的三角形加法法则，得出：＋（＋）＝＋×2＝＋＝.故选C.
4.A 由题图观察，，，平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.故选A.
5.BD A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝0；C中，＋＋＝＋＝；D中，－＋－＝＋＋＋＝0.故选B、D.
6.a－4b 解析：－3（－2a＋b）＝a－b＋6a－3b＝a－4b.
7.＋＋ 解析：因为＝＝，所以＝＋＝（＋）＋＝＋＋.
8. 解析：如图所示，因为＝＋＝＋（－）＝＋－，又因为＝x＋y＋z，所以x＝－，y＝，z＝1，所以x＋2y＋3z＝.
9.解：（1）∵＋＝，
∴－－
＝－（＋）
＝－＝－＝.
（2）∵＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
10.A 因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝（1－n）＋n，即－＝n（－），即＝n，所以与共线.又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
11.－ 解析：如图，连接A1C1，C1D，则点E在A1C1上，点F在C1D上，易知EF∥A1D，且EF＝A1D，∴＝，即－＝0，∴λ＝－.
12.证明：取BC的中点P，连接PM，PN，
在△ABC中，＝，
在△BCD中，＝，
所以＝＋＝＋＝（＋）.
13.A ∵点G为△BCD的重心，∴＝，又＝，∴＋＝＋＝，＋＝，从而＋＋＝，故选A.
14.解：如图，＝＋＝－（＋）＋λ＋μ＝－－＋λ（＋）＋μ（＋）＝－－＋λ（＋）＋μ（＋）＝λ＋（μ－1）＋＝t＝t，所以所以t＝.
1 / 31.1.1 空间向量及其运算
第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念 数学抽象
2.掌握空间向量的线性运算 直观想象、数学运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车，车上装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动.原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去.
【问题】 同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
知识点一 空间向量
1.空间向量的概念
（1）定义：空间中既有 又有 的量称为空间向量；
（2）模（或长度）：向量的 ；
（3）表示方法：
①几何表示法：可以用 来直观地表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为｜｜；
②字母表示法：可以用小写字母a，b，c来表示向量，模为｜a｜，｜b｜，｜c｜.
2.几类特殊的向量
（1）零向量： 和 相同的向量称为零向量，记作0；
（2）单位向量：模等于 的向量称为单位向量；
（3）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等向量；
（4）相反向量：方向 、大小 的向量称为相反向量；
（5）平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相 ，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线 或重合.通常规定零向量与任意向量平行；
（6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在 内，则称这些向量共面.
提醒 零向量的方向是不确定的，零向量的模为0，即｜0｜＝0.
知识点二 空间向量的线性运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 ＝ ＝a＋b 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋（b＋c）＝（a＋b）＋c
减法 ＝ ＝a－b
数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 结合律：λ（μa） ＝（λμ）a； 分配律：（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb
提醒 与空间向量的线性运算相关的结论：①＝－；②在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，有＝＋＋；③若O为空间中任意一点，则： 点P是线段AB中点的充要条件是＝； 若G为△ABC的重心，则＝（＋＋）.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量平行.（ ）
（2）向量的长度与向量的长度相等.（ ）
（3）空间向量a用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起点可任意选取.（ ）
2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于（ ）
A.a＋b－c B.c－a－b
C.c＋a－b D.c＋a＋b
3.化简：5（3a－2b）＋4（2b－3a）＝ .
题型一 空间向量的概念及简单应用
【例1】 （1）下列说法中正确的是（ ）
A.若｜a｜＝｜b｜，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a是向量b的相反向量，则｜a｜＝｜b｜
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD中，一定有＋＝
（2）如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：
①试写出与是相等向量的所有向量；
②试写出的相反向量；
③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模.
尝试解答
通性通法
空间向量有关概念问题的解题策略
（1）两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；
（2）熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加、减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.
【跟踪训练】
（多选）下列命题中不正确的是（ ）
A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B.向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C.若两个非零空间向量，，满足＋＝0，则∥
D.若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
题型二 空间向量的加减运算
【例2】 （2024·济宁一中月考）如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量.
通性通法
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中.
提醒 （1）向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；
（2）首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.
【跟踪训练】
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，－－＝（ ）
A. B.
C. D.
题型三 空间向量的数乘运算
【例3】 设A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心.求证：＝（＋＋）.
尝试解答
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
【跟踪训练】
在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A.a－b－c B.－a－b－c
C.－a＋b－c D.a＋b－c
1.（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A.向量与的长度相等
B.将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆
C.空间向量就是空间中的一条有向线段
D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量
2.如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则＝（ ）
A.－a＋b＋c
B.a＋b－c
C.－a＋b＋c
D.a－b＋c
3.化简：－＋－－＝ .
4.化简：（a＋2b－3c）＋5－3（a－2b＋c）＝ .
第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）大小 方向 （2）大小 （3）①有向线段 2.（1）始点 终点 （2）1 （3）相等 相同 （4）相反 相等 （5）平行 平行 （6）同一平面
知识点二
＋ －
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√
2.B ＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－b.
3.3a－2b
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）B ｜a｜＝｜b｜，说明a与b模相等，但方向不确定.对于a的相反向量b＝－a，故｜a｜＝｜b｜，从而B正确.只定义加法具有结合律，减法不满足结合律；一般的四边形不满足＋＝，只有平行四边形才能成立.故A、C、D均不正确.
（2）解：①与向量是相等向量的（除它自身之外）有，及.
②向量的相反向量为，，，.
③｜｜＝
＝＝＝3.
跟踪训练
ABD 对于A，若b＝0，则a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线，所以A错误；对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误；对于C，因为＋＝0，所以＝－，所以与共线，所以∥，所以C正确；对于D，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，所以D错误；故选A、B、D.
【例2】 解：在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.
同理＝，＝，＝，
所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图.
母题探究
解：根据正六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝.如图.
跟踪训练
C －－＝－＝－＝，故选C.
【例3】 证明：如图，连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，
知＝.
由题意知E为CD的中点，
∴＝＋.
∴＝＋＝＋
＝＋
＝＋[（－）＋（－）]
＝.
跟踪训练
A 因为＝a，＝b，＝c，所以＝＋＝－（＋）＋＝－（－a＋b）－c.即＝a－b－c，故选A.
随堂检测
1.AD 对于选项A：向量与是相反向量，长度相等，故A为真命题.对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个球面，故B为假命题.对于选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是空间向量不是有向线段，故C为假命题.对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题.故选A、D.
2.A 因为＝－，又因为＝＝a，＝（＋）＝（b＋c），所以＝－a＋b＋c.故选A.
3. 解析：－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.
4.a＋b－c 解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.
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第一课时 空间向量的概念、空间向量的加法及线性运算
新课程标准解读 核心素养
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了
解空间向量的概念 数学抽象
2.掌握空间向量的线性运算 直观想象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车，车上装满了好吃的
东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出
了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地
方一步也不动.原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼
又朝着池塘拉去.
【问题】 同学们，你知道为什么车会一动不动吗？
知识点一 空间向量
1. 空间向量的概念
（1）定义：空间中既有 又有 的量称为空间向
量；
（2）模（或长度）：向量的 ；
大小
方向
大小
②字母表示法：可以用小写字母 a ， b ， c 来表示向量，模
为｜ a ｜，｜ b ｜，｜ c ｜.
（3）表示方法：
①几何表示法：可以用 来直观地表示向量，如
始点为 A 终点为 B 的向量，记 ｜ ｜；
有向线段
2. 几类特殊的向量
（1）零向量： 和 相同的向量称为零向量，记
作0；
（2）单位向量：模等于 的向量称为单位向量；
（3）相等向量：大小 、方向 的向量称为相等
向量；
（4）相反向量：方向 、大小 的向量称为相反
向量；
始点
终点
1
相等
相同
相反
相等
（5）平行（共线）向量：方向相同或者相反的两个非零向量互
相 ，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直
线 或重合.通常规定零向量与任意向量平行；
（6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有
向线段通过平移后，都能在 内，则称这些向量
共面.
提醒 零向量的方向是不确定的，零向量的模为0，即｜0｜＝0.
平行
平行
同一平面
知识点二 空间向量的线性运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
加法 a
＋ b
交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ；
结合律： a ＋（ b ＋ c ）＝
（ a ＋ b ）＋ c
减法 a
－ b
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘 当λ＞0时，λ a ＝λ
当λ＜0时，λ a ＝λ
当λ＝0时，λ a ＝0
结合律：λ（μ a ）＝（λμ） a ；
分配律：（λ＋μ） a ＝λ a ＋μ a ，λ（ a ＋ b ）＝λ a ＋λ b
提醒 与空间向量的线性运算相关的结论： ；②在
平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，有 ；③若 O 为
空间中任意一点，则： 点 P 是线段 AB 中点的充要条件是 （ ）； 若 G 为△ ABC 的重心，则 （ ）.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）零向量与任意向量平行. （ √ ）
（2）向 . （ √ ）
（3）空间向量 a 用几何表示法表示时，表示该向量的有向线段的起
点可任意选取. （ √ ）
√
√
√
2. 已知空间四边形 ABCD 中 a b c ，
A. a ＋ b － c B. c － a － b
C. c ＋ a － b D. c ＋ a ＋ b
解析： a － b ＋ c ＝ c
－ a － b .
3. 化简：5（3 a －2 b ）＋4（2 b －3 a ）＝ .
3 a －2 b
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量的概念及简单应用
【例1】 （1）下列说法中正确的是（ ）
A. 若｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ， b 的长度相同，方向相同或相反
B. 若向量 a 是向量 b 的相反向量，则｜ a ｜＝｜ b ｜
C. 空间向量的减法满足结合律
D. 在四边形 ABCD 中，一定
解析： ｜ a ｜＝｜ b ｜，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定.对于 a
的相反向量 b ＝－ a ，故｜ a ｜＝｜ b ｜，从而B正确.只定义加法具有
结合律，减法不满足结合律；一般的四边形不满 .故A、C、D均不正确.
（2）如图所示，以长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的八个顶点的两点为始点
和终点的向量中：
①试写出
②试写
③若 AB ＝ AD ＝2， AA1＝1，求向 .
解：①与向
.
②向 .
③｜ ｜
3.
通性通法
空间向量有关概念问题的解题策略
（1）两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即
两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充
分条件；
（2）熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加、减法的运算法则及
向量加法的运算律是解决好这类问题的关键.
【跟踪训练】
（多选）下列命题中不正确的是（ ）
A. 若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线
B. 向量 a ， b ， c 共面，即它们所在的直线共面
C. 若两个非零空间向 0， ∥
D. 若 a ∥ b ，则存在唯一的实数λ，使 a ＝λ b
解析： 对于A，若 b ＝0，则 a 与 b 共线， b 与 c 共线，但 a 与 c
不一定共线，所以A错误；对于B，共面向量的定义是平行于同一平
面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B
错误；对于C，因 0，所 ∥ C正确；对于D，若 b ＝0， a ≠0，则不存
在λ，使 a ＝λ b ，所以D错误；故选A、B、D.
题型二 空间向量的加减运算
【例2】 （2024·济宁一中月考）如图，在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1
C1 D1 E1 F1中，化 .
解：在正六棱柱 ABCDEF - A1 B1 C1 D1 E1 F1中，四边形
AA1 F1 F 是平行四边形，
所 .
同
所 .
【母题探究】
（变设问）若本例条件不变，化
.
解：根据正六棱柱的性质知四边形 BB1 C1 C ， DD1 E1 E
都是平行四边形，所 .如图.
通性通法
解决空间向量线性运算问题的方法
进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运
算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则
或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平
行四边形中.
提醒 （1）向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个
向量的相反向量；
（2）首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量.
【跟踪训练】
如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中
A. B.
C. D.
解析： C.
题型三 空间向量的数乘运算
【例3】 设 A 是△ BCD 所在平面外一点， G 是△ BCD 的重心.求证 （ ）.
证明：如图，连接 BG ，延长后交 CD 于点 E ，由 G 为
△ BCD 的重心，
.
由题意知 E 为 CD 的中点，
∴ .
∴
（ ）
＋
（ ）.
通性通法
利用数乘运算进行向量表示的技巧
（1）数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角
形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量；
（2）明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
【跟踪训练】
在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AC 与 BD 的交点为 M . a b c ，则下列向量中
A. a b － c B. a b － c
C. a b － c D. a b － c
解析： 因 a b c ，所 （ a b ）－ c . a b － c ，故选A.
1. （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 向
B. 将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一 个圆
C. 空间向量就是空间中的一条有向线段
D. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量
解析： 对于选项A：向
A为真命题.对于选项B：将空间中所有单位向量的起点移到同一
点，则它们的终点构成一个球面，故B为假命题.对于选项C：空间
向量可以用空间中的一条有向线段表示，但是空间向量不是有向线
段，故C为假命题.对于选项D：方向相同且模相等的两个向量是相
等向量，符合相等向量的定义，故D为真命题.故选A、D.
2. 如图，空间四边形 OABC 中 a b c ，且 OM ＝
2 MA ， BN ＝ NC ，
A. a b c
B. a b c
C. a b c
D. a b c
解析： 因 a b ＋ c ），所 a b c .故选A.
3. 化简 .
解析： .
4. 化简 a ＋2 b －3 c ）＋5（ a b c ）－3（ a －2 b ＋ c ）
＝ .
a b c
解析：根据空间向量的数乘运算法则可知，原 a ＋ b c
a b c －3 a ＋6 b －3 c ＝（ 3） a ＋（1 6） b ＋
（ 3） c a b c .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 任一空间向量与它的相反向量都不相等
B. 若空间向量 a ， b 满足｜ a ｜＝｜ b ｜，则 a ＝± b
C. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
D. 不相等的两个空间向量的模必不相等
1
2
3
4
5
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7
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14
解析： A：零向量与它的相反向量相等，故错误；B：｜ a ｜
＝｜ b ｜只能说明向量 a ， b 的模相等，但不能说明 a 与 b 的方向相
同或相反，故错误；C：空间向量与平面向量一样，既有模又有方
向，不能比较大小，故正确；D：一个非零空间向量与它的相反向
量不相等，但它们的模相等，故错误；故选C.
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2. 在空间四边形 ABCD 中，下列表达式结果
A. B.
C. D.
解析： A. B. C. D. .故选B.
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3
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5
6
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11
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13
14
3. 如图，在空间四边形 ABCD 中，设 E ， F 分别是 BC ， CD 的中点，
A. B.
C. D.
1
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5
6
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8
9
10
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解析： 由题可知， E ， F 分别是 BC ， CD 的中点，根据平面向
量的平行四边形法则，可 2 2 .故选C.
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4. 如图所示，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F ， G ， H ， P ， Q 分别是 A1 A ， AB ， BC ， CC1， C1 D1， D1 A1的中点，则（ ）
A. 0 B. 0
C. 0 D. 0
解析： 由题图观察 0.故选A.
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5. （多选）若 A ， B ， C ， D 为空间不同的四点，则下列各式为零向
量的是（ ）
A. 2 2
B. 2 2 3 3
C.
D.
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解析： A中 2 2 2 B中，2 2 3 3 2 3 0；C中 D中 0.故选B、D.
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6. 化简 （ a －2 b ）－3（－2 a ＋ b ）＝ a －4 b .
解析： （ a －2 b ）－3（－2 a ＋ b a － b ＋6 a －3 b a －4
b .
a －4 b
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7. 如图所示，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 为 AC 的中点. .
解析：因 .
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8. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 A1 C1与 B1 D1的交点，若存
在实数 x ， y ， z ，使向 x y z x ＋2 y ＋3 z
＝ .
解析：如图所示，因 x y z x
＝ y z ＝1，所以 x ＋2 y ＋3 z .
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9. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 为 AC 的中点.
（1）化简
解：∵
∴ .
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（2）设 E 是棱 DD1上的点， x y z
x ， y ， z 的值.
解：∵
∴ x y ＝ z ＝ .
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10. （2024·山东省实验中学高二月考）若空间中任意四点 O ， A ，
B ， P 满 m n m ＋ n ＝1，则（ ）
A. P ∈ AB B. P AB
C. 点 P 可能在直线 AB 上 D. 以上都不对
解析： 因为 m ＋ n ＝1，所以 m ＝1－ n ，所 1－ n n n n . A ，所以 P ， A ， B 三点在同一
直线上，即 P ∈ A B.
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11. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别是底面 A1 B1 C1 D1和侧
面 CC1 D1 D 的中心， λ 0（λ∈R），则λ＝ .
解析：如图，连接 A1 C1， C1 D ，则点 E 在 A1 C1上，点 F 在 C1 D 上，易知 EF ∥ A1 D ，且 EF A1 D ，∴ 0，
∴λ＝ .
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12. （2024·北京人大附中高二月考）如图，已知 M ， N 分别是空间四
边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 的中点，求证
.
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证明：取 BC 的中点 P ，连接 PM ， PN ，
在△ ABC 中
在△ BCD 中
所 .
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13. 如图所示，空间四边形 ABCD 中，点 G 为△ BCD 的重心， E ， F ，
H 分别为边 CD ， AD 和 BC 的中点，
A. B.
C. D.
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解析： ∵点 G 为△ BCD 的重心，∴
∴ A.
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14. 边长为4的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1内（包含表面和棱上）有一点
P . M ， N 分别为 A1 B1， DD1的中点， λ μ λ，
μ∈R）. t t ∈R），求 t 的值.
解：如图
＋λ μ λ
＋μ ＝
λ（ ）＋μ（ ）
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λ μ－1 （λ μ－1）
t t t .
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谢 谢 观 看！
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