1.1.2 空间向量基本定理
1.满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（ ）
A.＋＝ B.－＝
C.＝ D.｜｜＝｜｜
2.已知{e1，e2，e3}是一个空间的基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝xa＋yb＋zc则x，y，z分别为（ ）
A.，－1，－ B.，1，
C.－，1，－ D.，1，－
3.如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点D为AC的中点，3＝， 则＝（ ）
A.a－b＋c
B.a－b＋c
C.a－b＋c
D.a－b＋c
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则·＝（ ）
A.0 B.
C.－ D.－
5.（多选）下列命题中是假命题的为（ ）
A.若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B.若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C.若＝x＋y，则P，M，A，B四点共面
D.若P，M，A，B四点共面，则＝x＋y
6.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝ .
7.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为矩形ABCD外接圆的圆心.若＝x＋y＋z，则x＋y－z＝ .
8.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，若＝a，＝b，＝c，则＝ .
9.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.
（1）用向量a，b，c表示，；
（2）若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值.
10.给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底.其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
11.如图，点O为△ABC所在平面外一点，点M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为 .
12.如图，四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.
13.在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝ .向量，， （填“能”或“不能”）构成一组基底.
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PA＝4，∠ABC＝60°，E是BC的中点，H在线段PD上且DH＝DP.
（1）用向量，，表示向量 ；
（2）求向量的模长.
1.1.2 空间向量基本定理
1.C 对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A错误；若－＝，则＋＝，而＋＝，据此可知＝，即B，C两点重合，选项B错误；＝，则A，B，C三点共线，选项C正确；｜｜＝｜｜，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误.
2.A d＝xa＋yb＋zc＝x（e1＋e2＋e3）＋y（e1＋e2－e3）＋z（e1－e2＋e3）＝（x＋y＋z）e1＋（x＋y－z）e2＋（x－y＋z）e3.∵d＝e1＋2e2＋3e3，∴解得故选A.
3.B ＝＋＝－＋＝－＋×（＋）＝a－b＋c.故选B.
4.D ·＝（＋）·（－）＝（·＋·－·－·）＝＝－.
5.BD 由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若＝x＋y，则，，三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x＋y不成立，D是假命题；故选B、D.
6.0 解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量.又∵λe1＋μe2＋ve3＝0，∴λ＝μ＝v＝0，∴λ2＋μ2＋v2＝0.
7.－2 解析：如图，由题意可得＝－＝－（＋）＝－－＋＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝1，故x＋y－z＝－2.
8.a－b＋c 解析：如图，连接C1M并延长，交A1B1于点D，∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为△A1B1C1的重心，＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝c＋＝c＋×（＋）＝c＋（－b＋－）＝c＋（－b＋a－b）＝a－b＋c.
9.解：（1）如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，
＝＋＝＋＝－（＋）＋（＋）＝（a－c）.
（2）＝（＋）
＝（－＋）
＝（－c＋a－b－c）
＝a－b－c，
∴x＝，y＝－，z＝－1.
10.D 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确.③中由，，共面且过相同点B，故A，B，M，N共面.
下面证明①④正确.
①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，
∵d与c共线，c≠0，
∴存在实数k，使d＝kc，
∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，
∴c与a，b共面与条件矛盾.
∴d与a，b不共面.
同理可证④也是正确的.
11. 解析：＝－＝＋＋－＝－＋（＋）＝－＋＝，所以λ＝.
12.解：如图，连接BO，则＝＝（＋）＝（c－b－a）＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋＝－a＋（＋）＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋（＋）＝－a＋c＋（－c＋b）＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
13.3a－b＋3c 不能 解析：＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋＋＋＋＋＝（＋）＝3a－b＋3c.假设，，共面，则＝λ＋μ＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝（λ＋5μ）a－5μb＋（8μ－2λ）c＝3a－b＋3c.∴解得∴，，共面，∴不能构成一组基底.
14.解：（1）＝＋＝＋＋＝－＋（－）＋（－）＝－＋－＋－＝＋－.
（2）｜｜2＝＝（＋）2－（＋）·＋｜｜2＝（｜｜2＋｜｜2）－·＋｜｜2＝（4＋16）－·2·2·＋4＝，∴｜｜＝.
2 / 21.1.2 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应用定理解决一些问题 数学抽象
2.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线，然后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个一维基底（非零向量）可以生成直线上的所有向量；给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.
【问题】 （1）零向量能不能作为一个基向量？
（2）当基底确定后，空间向量基本定理中有序实数组（x，y，z）是否唯一？
知识点一 共面向量定理
1.共线向量基本定理
空间中，若a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 .
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对（x，y），使c＝ .
提醒 （1）向量c与a，b共面的充要条件是在向量a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立；
（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不共面，则称这三个向量线性不相关.
知识点二 空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在 的有序实数组（x，y，z），使得p＝ .其中{a，b，c}叫作空间的一个 ，a，b，c都叫作 .若p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的 .
【想一想】
1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？
1.若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则（ ）
A.m，n，p共线 B.m与p共线
C.n与p共线 D.m，n，p共面
2.已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ）
A.3a，a－b，a＋2b B.2b，b－2a，b＋2a
C.a，2b，b－c D.c，a＋c，a－c
3.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝ .（用a，b，c表示）
题型一 空间向量共线问题
【例1】 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.
尝试解答
通性通法1.要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.
2.证明空间三点P，A，B共线的方法
（1）＝λ（λ∈R）；
（2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）；
（3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）.
【跟踪训练】
如图，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点，且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m，k≠0，m≠0.
求证：（1）∥；
（2）＝k.
题型二 空间向量共面问题
【例2】 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：，，是共面向量.
尝试解答
通性通法
1.解决向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数；
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
2.证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
（1）＝x＋y；
（2）对空间任一点O，＝＋x＋y；
（3）对空间任一点O，＝x＋y＋z（x＋y＋z＝1）；
（4）∥（或∥或∥）.
【跟踪训练】
已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面.
题型三 基底的判断及应用
角度1 基底的判断
【例3】 （链接教科书第15页例2）已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
尝试解答
通性通法
基底判断的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底；
（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.
【跟踪训练】
已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝2a－b，q＝2b－a，r＝a＋b，s＝a＋b＋c，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A.a，p，q B.b，p，q
C.r，p，q D.s，p，q
角度2 空间向量基本定理的应用
【例4】 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若把本例中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？
2.（变条件、变设问）如图所示，本例中增加条件“P在线段AA'上，且AP＝2PA'”，试用基底{a，b，c}表示向量.
通性通法
用基底表示向量的步骤
（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
（3）下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.
1.已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A.a＋b，b，c B.a，a－b，c
C.a－c，b－c，a－b D.a，b，a＋b＋c
2.已知空间向量a，b，c不共面，且2a＋b－c＝（z－1）a＋xb＋2yc，则x，y，z的值分别是（ ）
A.2，1，2 B.2，1，－2
C.1，－，3 D.1，，3
3.（多选）在四面体ABCD中，E是棱BC的中点，且＝x＋y＋z，则下列结论中不正确的是（ ）
A.x＋y＋z＝1 B.xyz＝
C.x＝y＋z D.x2＝y2＋z2
4.从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝ .（用a，b，c表示）
5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且＝＋m－n，则m＝ .
1.1.2 空间向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.b＝λa 2.xa＋yb
知识点二
不共面 唯一 xa＋yb＋zc 基底 基向量 分解式
想一想
1.提示：不可以.
2.提示：对.
自我诊断
1.D 由于（a＋b）＋（a－b）＝2a，即m＋n＝2p，即p＝m＋n，又知m与n不共线，所以m，n，p共面.
2.C ∵a＋2b＝3a－2（a－b），∴3a，a－b，a＋2b共面；∵b＋2a＝2b－（b－2a），∴2b，b－2a，b＋2a共面；∵a＋c＝（a－c）＋2c，∴c，a－c，a＋c共面.故选C.
3.－a＋b－c 解析：＝－＝（＋）－（＋）＝－＋－＝－a＋b－c.
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：如图，连接AO，AC1，A1C1.∵＝，
∴＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋.
∵＝2，＝＋＝－＝－2，
∴＝（－2）＋＝＋.
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线.
跟踪训练
证明：（1）＝＋m＝－＋m（－）＝k（－）＋km（－）＝k＋km＝k（＋m）＝k，∴∥.
（2）＝＋＝k＋k＝k（＋）＝k.
【例2】 证明：设＝a，＝b，＝c，
∵四边形B1BCC1为平行四边形，
∴＝c－a.
∵O是B1D1的中点，
∴＝（a＋b），
∴＝－（a＋b），
＝－＝b－（a＋b）＝（b－a）.
∵＝，∴＝c，
∴＝＋
＝（b－a）＋c.
若存在实数x，y，使＝x＋y（x，y∈R）成立，则c－a＝x＋y
＝－（x＋y）a＋（x－y）b＋xc.
∵a，b，c不共线，
∴解得
∴＝＋，
∴，，是共面向量.
跟踪训练
证明：如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，＝＝，于是得＝＋＝＋，即，，共面，它们有公共点E，所以E，F，G，H四点共面.
【例3】 解：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）
＝（－3x＋y）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立.
∴，，不共面.
故{，，}能作为空间的一个基底.
跟踪训练
D 由于a＝p＋q，可知a，p，q共面，所以选项A不能作为空间的一个基底；由于b＝p＋q，可知b，p，q共面，所以选项B不能作为空间的一个基底；由于r＝p＋q，可知r，p，q共面，所以选项C不能作为空间的一个基底；假设s，p，q不是空间的一组基底，即向量s，p，q共面，则存在实数x，y使得s＝xp＋yq，即a＋b＋c＝（2x－y）a＋（2y－x）b，所以c＝（2x－y－1）a＋（2y－x－1）b，因为{a，b，c}是空间的一组基底，所以x，y的值不存在，即向量s，p，q不共面，所以s，p，q是空间的一组基底，所以选项D正确；故选D.
【例4】 解：＝＋＝＋
＝＋（＋）＝＋＋（－）
＝b＋a＋（c－b）＝b＋a＋c－b
＝a＋b＋c.
＝＋＋＝＋＋
＝a＋b＋（－）＝a＋b＋（c－b）
＝a＋b＋c.
母题探究
1.解：＝＋＝＋
＝＋（－）＝b＋（a－b）
＝a＋b.
＝＋＝＋
＝－＝－（－）
＝a－（c－b）＝a＋b－c.
2.解：＝＋＋
＝－－
＝（＋）－－
＝[＋（－）]－－
＝（a＋c－b）－c－a＝a－b－c.
随堂检测
1.C 由图形结合分析a－c，b－c，a－b三个向量共面，不构成基底，故选C.
2.C 由题设知解得故选C.
3.ABD ∵＝＋＝＋（＋），∴x＝1，y＝z＝，则x＝y＋z，故A、B、D错误，C正确.故选A、B、D.
4.－a＋b＋c 解析：如图，＝－＝（b＋c）－a.
5. 解析：如图所示，可得＝＋＝＋（＋）＝＋＋，又因为＝＋m－n，所以m＝，n＝－.
1 / 5(共67张PPT)
1.1.2 空间向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解空间向量的共线、共面基本定理，并能应
用定理解决一些问题 数学抽象
2.了解空间向量的基本定理及其意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句
话出自老子《道德经》第四十二章.《说文解字》
有对这句话的注释.首先确认“一”是地平线，然
后进一步确定：“一生二”是指由地平线延伸出
天和地两个平面；“二生三”是指天、地分开后，
形成中间的“空”；“三生万物”则是指万物生长于天地之间的“空”.因此，古人观察地平线、天地和万物的存在状态，最后总结成“一生二，二生三，三生万物”这句话.联系一下我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个一维基底（非零向量）可以生成直线上的所有向量；给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一组三维的基底，可以生成空间中的所有向量.
【问题】 （1）零向量能不能作为一个基向量？
（2）当基底确定后，空间向量基本定理中有序实数组（ x ， y ， z ）
是否唯一？
知识点一 共面向量定理
1. 共线向量基本定理
空间中，若 a ≠0且 b ∥ a ，则存在唯一的实数λ，使得 .
b ＝λ a
2. 共面向量定理
如果两个向量 a ， b 不共线，则向量 a ， b ， c 共面的充要条件是，
存在唯一的实数对（ x ， y ），使 c ＝ .
xa ＋ yb
提醒 （1）向量 c 与 a ， b 共面的充要条件是在向量 a 与 b 不共线的
前提下才成立的，若 a 与 b 共线，则不成立；
（2）三个向量共面，又称这三个向量线性相关；如果三个向量不
共面，则称这三个向量线性不相关.
知识点二 空间向量基本定理
如果空间中的三个向量 a ， b ， c ，那么对空间中的任意一
个向量 p ，存在 的有序实数组（ x ， y ， z ），使得 p ＝
.其中{ a ， b ， c }叫作空间的一个 ， a ， b ， c 都
叫作 .若 p ＝ xa ＋ yb ＋ zc ，则称 xa ＋ yb ＋ zc 为 p 在基底
{ a ， b ， c }下的 .
不共面
唯一
xa
＋ yb ＋ zc
基底
基向量
分解式
【想一想】
1. 构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？
提示：不可以.
2. 在四棱锥 O - ABCD 中 x y z
提示：对.
1. 若 a 与 b 不共线，且 m ＝ a ＋ b ， n ＝ a － b ， p ＝ a ，则（ ）
A. m ， n ， p 共线 B. m 与 p 共线
C. n 与 p 共线 D. m ， n ， p 共面
解析： 由于（ a ＋ b ）＋（ a － b ）＝2 a ，即 m ＋ n ＝2 p ，即 p
m n ，又知 m 与 n 不共线，所以 m ， n ， p 共面.
2. 已知 a ， b ， c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一
组向量是（ ）
A. 3 a ， a － b ， a ＋2 b B. 2 b ， b －2 a ， b ＋2 a
C. a ，2 b ， b － c D. c ， a ＋ c ， a － c
解析： ∵ a ＋2 b ＝3 a －2（ a － b ），∴3 a ， a － b ， a ＋2 b 共
面；∵ b ＋2 a ＝2 b －（ b －2 a ），∴2 b ， b －2 a ， b ＋2 a 共面；
∵ a ＋ c ＝（ a － c ）＋2 c ，∴ c ， a － c ， a ＋ c 共面.故选C.
3. 如图在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M 为 AC 和 BD 的交点， a b c ， a b － c .（用 a ，
b ， c 表示）
a b － c
解析： － ＝ a b － c .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间向量共线问题
【例1】 （链接教科书第16页练习A组2题）如图，正方体 ABCD - A1
B1 C1 D1中， O 为 A1 C 上一点， BD 与 AC 交于点 M . 求
证： C1， O ， M 三点共线.
证明：如图，连接 AO ， AC1， A1 C1.∵
∴ .
∵ 2
2
∴ 2 .
∵ 1，∴ C1， O ， M 三点共线.
通性通法
1. 要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行
四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示
为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线.
2. 证明空间三点 P ， A ， B 共线的方法
（1） λ （λ∈R）；
（2）对空间任一点 O ， t （ t ∈R）；
（3）对空间任一点 O ， x y （ x ＋ y ＝1）.
【跟踪训练】
如图，已知 O ， A ， B ， C ， D ， E ， F ， G ， H 为空间的9个点， k k k m m k ≠0， m ≠0.
求证：（1 ∥
证明： m m ＝ k
＋ km ＝ k km k m
＝ k ∴ ∥ .
（2 k .
证明： k k k ＝ k .
题型二 空间向量共面问题
【例2】 （链接教科书第13页例1）如图所示，在平行六面体 ABCD -
A1 B1 C1 D1中， O 是 B1 D1的中点，求证 .
证明： a b c ，
∵四边形 B1 BCC1为平行四边形，
∴ c － a .
∵ O 是 B1 D1的中点，
∴ a ＋ b ），
∴ a ＋ b ），
b a ＋ b b － a ）.
∵ ∴ c ，
∴ b － a ）＋ c .
若存在实数 x ， y ， x y x ， y ∈R）成立，则 c － a
＝ x ［ b － a ）＋ c ］＋ y ［ a ＋ b ）］
＝ x ＋ y ） a x － y ） b ＋ xc .
∵ a ， b ， c 不共线，
∴
∴
∴ .
通性通法
1. 解决向量共面的策略
（1）若已知点 P 在平面 ABC 内，则有 x y 或 x
y z （ x ＋ y ＋ z ＝1），然后利用指定向量表示
出已知向量，用待定系数法求出参数；
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，
证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量
用另外两个向量来表示.
2. 证明空间四点 P ， M ， A ， B 共面的等价结论
（1） x y ；
（2）对空间任一点 O ， x y ；
（3）对空间任一点 O ， x y z （ x ＋ y ＋ z ＝
1）；
（4） ∥ （或 ∥ 或 ∥ ）.
【跟踪训练】
已知 E ， F ， G ， H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB ， BC ， CD ，
DA 的中点，用向量法证明： E ， F ， G ， H 四点共面.
证明：如图， E ， F ， G ， H 分别是空间四边形
ABCD 的边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点
E ，所以 E ， F ， G ， H 四点共面.
题型三 基底的判断及应用
角度1 基底的判断
【例3】 （链接教科书第15页例2）已知{ e1， e2， e3}是空间的一个
基底， e1＋2 e2－ e3 3 e1＋ e2＋2 e3 e1＋ e2－
e3，试判断
解：假 x ，
y ， x y .
∴ e1＋2 e2－ e3＝ x （－3 e1＋ e2＋2 e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）＝（－3 x ＋
y ） e1＋（ x ＋ y ） e2＋（2 x － y ） e3.
∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，
∴ e1， e2， e3不共面，∴
即不存在实数 x ， y ， x y .
∴ .
故 .
通性通法
基底判断的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成
基底；若不共面，则能构成基底；
（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在
一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假
设 a ＝λ b ＋μ c ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，
若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为
基底.
【跟踪训练】
已知{ a ， b ， c }是空间的一个基底，若 p ＝2 a － b ， q ＝2 b － a ， r
＝ a ＋ b ， s ＝ a ＋ b ＋ c ，则下列可以为空间一个基底的是（ ）
A. a ， p ， q B. b ， p ， q
C. r ， p ， q D. s ， p ， q
解析： 由于 a p q ，可知 a ， p ， q 共面，所以选项A不能作
为空间的一个基底；由于 b p q ，可知 b ， p ， q 共面，所以选
项B不能作为空间的一个基底；由于 r ＝ p ＋ q ，可知 r ， p ， q 共面，
所以选项C不能作为空间的一个基底；假设 s ， p ， q 不是空间的一组
基底，即向量 s ， p ， q 共面，则存在实数 x ， y 使得 s ＝ xp ＋ yq ，即 a
＋ b ＋ c ＝（2 x － y ） a ＋（2 y － x ） b ，所以 c ＝（2 x － y －1） a ＋
（2 y － x －1） b ，因为{ a ， b ， c }是空间的一组基底，所以 x ， y 的
值不存在，即向量 s ， p ， q 不共面，所以 s ， p ， q 是空间的一组基
底，所以选项D正确；故选D.
角度2 空间向量基本定理的应用
【例4】 如图，在三棱柱 ABC - A ' B ' C '中，已 a b
c ，点 M ， N 分别是 BC '， B ' C '的中点，试用基底{ a ， b ， c }表
示向 .
解：
＝ b a c － b ）＝ b a c b
a b c .
＝ a ＋ b ＝ a ＋ b c － b ）
＝ a b c .
【母题探究】
1. （变条件）若把本例中 a 改 a ，其他条件不变，则
结果又是什么？
解：
＝ b a － b ）
a b .
＝ a c － b ）＝ a b c .
2. （变条件、变设问）如图所示，本例中增加条件“ P 在线段 AA '
上，且 AP ＝2 PA '”，试用基底{ a ， b ， c }表示向 .
解：
a ＋ c － b ）－ c a a b c .
通性通法
用基底表示向量的步骤
（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一
个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根
据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量
的运算进行变形、化简，最后求出结果；
（3）下结论：利用空间向量的一个基底{ a ， b ， c }可以表示出空间
所有向量.表示要彻底，结果中只能含有 a ， b ， c ，不能含有其
他形式的向量.
1. 已知{ a ， b ， c }能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不
能构成空间基底的是（ ）
A. a ＋ b ， b ， c B. a ， a － b ， c
C. a － c ， b － c ， a － b D. a ， b ， a ＋ b ＋ c
解析： 由图形结合分析 a － c ， b － c ， a － b 三个向量共面，不构成基底，故选C.
2. 已知空间向量 a ， b ， c 不共面，且2 a ＋ b － c ＝（ z －1） a ＋ xb ＋
2 yc ，则 x ， y ， z 的值分别是（ ）
A. 2，1，2 B. 2，1，－2
C. 1， 3 D. 1 3
解析： 由题设知C.
3. （多选）在四面体 ABCD 中， E 是棱 BC 的中点， x y
z
A. x ＋ y ＋ z ＝1 B. xyz
C. x ＝ y ＋ z D. x2＝ y2＋ z2
解析： ∵ ∴ x ＝1， y
＝ z x ＝ y ＋ z ，故A、B、D错误，C正确.故选A、B、D.
4. 从空间一点 P 引出三条射线 PA ， PB ， PC ，在 PA ， PB ， PC 上分
别 a b c ，点 G 在 PQ 上，且 PG ＝2 GQ ， H
为 RS 的中点， .（用 a ， b ， c 表示）
a b c
解析：如图 b ＋ c a .
5. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，若点 F 是侧面 CD1的中心， m n m ＝ .
解析：如图所示，可 m n m n ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 满足下列条件，能说明空间不重合的 A ， B ， C 三点共线的是
（ ）
A. B.
C. D. ｜ ｜＝｜ ｜
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解析： 对于空间中的任意向量，都 A错
误； B ， C 两点重合，选项B错误
A ， B ， C 三点共线，选项C正确；｜ ｜＝｜ ｜，则
线段 AB 的长度与线段 BC 的长度相等，不一定有 A ， B ， C 三点共
线，选项D错误.
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2. 已知{ e1， e2， e3}是一个空间的基底，向量 a ＝ e1＋ e2＋ e3， b ＝ e1
＋ e2－ e3， c ＝ e1－ e2＋ e3， d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，若 d ＝ xa ＋ yb ＋ zc
则 x ， y ， z 分别为（ ）
A. 1， B. 1
C. 1， D. 1，
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解析： d ＝ xa ＋ yb ＋ zc ＝ x （ e1＋ e2＋ e3）＋ y （ e1＋ e2－ e3）
＋ z （ e1－ e2＋ e3）＝（ x ＋ y ＋ z ） e1＋（ x ＋ y － z ） e2＋（ x － y
＋ z ） e3.∵ d ＝ e1＋2 e2＋3 e3，∴A.
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3. 如图，在四面体 OABC 中 a b c ，点 D 为 AC
的中点，3
A. a － b c B. a － b c
C. a － b c D. a － b c
解析： a － b c .故选B.
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4. 在棱长为1的正四面体 ABCD 中， E 是 BC 的中点， ·
A. 0 B.
C. D.
解析： · · ·
· · · （ 1）＝ .
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5. （多选）下列命题中是假命题的为（ ）
A. 若向量 p ＝ xa ＋ yb ，则 p 与 a ， b 共面
B. 若 p 与 a ， b 共面，则 p ＝ xa ＋ yb
C. x y P ， M ， A ， B 四点共面
D. 若 P ， M ， A ， B 四点共面， x y
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解析： 由平面向量基本定理得 p 与 a ， b 共面，A是真命题；
若 a ， b 共线， p 不一定能用 a ， b 表示出来，B是假命题；
x y P ，
M ， A ， B 四点共面，C是真命题；若 M ， A ， B 共线，点 P 不在此
直线上， x y D是假命题；故选B、D.
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6. 已知{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，若λ e1＋μ e2＋ ve3＝0，则λ2＋
μ2＋ v2＝ .
解析：∵{ e1， e2， e3}是空间的一个基底，∴ e1， e2， e3为不共面
向量.又∵λ e1＋μ e2＋ ve3＝0，∴λ＝μ＝ v ＝0，∴λ2＋μ2＋ v2＝0.
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7. 在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， O 为矩形 ABCD 外接圆
的圆心. x y z x ＋ y － z ＝ .
解析：如图，由题意可
＝ x y z
x ＝ y ＝ z ＝1，故 x ＋ y － z ＝－2.
－2
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8. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为△ A1 B1 C1的重心， a b c ， a b ＋ c .
a b ＋ c
解析：如图，连接 C1 M 并延长，交 A1 B1于点 D ，
∵在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M 为△ A1 B1 C1的
重心 a b c ，∴ c c ＝
c － b ＝ c － b ＋ a － b
a b ＋ c .
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9. 在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， a b
c ， E ， F 分别是 AD1， BD 的中点.
（1）用向量 a ， b ， c 表
解：如图 a － b － c ，
a － c ）.
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（2） xa ＋ yb ＋ zc ，求实数 x ， y ， z 的值.
解：
－ c ＋ a － b － c a b － c ，
∴ x y ＝ z ＝－1.
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10. 给出下列命题：
①若{ a ， b ， c }可以作为空间的一个基底， d 与 c 共线， d ≠0，
则{ a ， b ， d }也可作为空间的基底；②已知向量 a ∥ b ，则 a ， b
与任何向量都不能构成空间的一个基底；③ A ， B ， M ， N 是空间
四点， A ， B ，
M ， N 共面；④已知向量组{ a ， b ， c }是空间的一个基底，若 m
＝ a ＋ c ，则{ a ， b ， m }也是空间的一个基底.其中正确命题的个
数是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析： 根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可
作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②
正确.③中 B ，故 A ， B ， M ， N
共面.
下面证明①④正确.
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①假设 d 与 a ， b 共面，则存在实数λ，μ，使 d ＝λ a ＋μ b ，
∵ d 与 c 共线， c ≠0，
∴存在实数 k ，使 d ＝ kc ，
∵ d ≠0，∴ k ≠0，从而 c a b ，
∴ c 与 a ， b 共面与条件矛盾.
∴ d 与 a ， b 不共面.
同理可证④也是正确的.
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11. 如图，点 O 为△ ABC 所在平面外一点，点 M 为 BC 的中点，
λ λ的值为 .
解析： ＝ λ .
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12. 如图，四棱锥 P - OABC 的底面为一矩形， PO ⊥平面 OABC ， a b c ， E ， F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用
a ， b ， c 表 .
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解：如图，连接 BO ， c － b － a ）＝ a b c .
a a
＝－ a b c .
＝－ a
＋ c － c ＋ b ）＝－ a b c .
a .
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13. 在空间四边形 ABCD 中 a －2 c 5 a －5 b ＋8 c ，对角
线 AC ， BD 的中点分别是 E ， F ， .向
量，， （填“能”或“不能”）构成一组基底.
3 a b ＋3 c
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解析：
＝3 a b ＋3 c .假 λ μ λ a －2λ c ＋5μ a －5μ b ＋8μ c ＝（λ＋5μ） a －5μ b ＋（8μ－2λ） c
＝3 a b ＋3 c .∴∴ ∴不能构成一组基底.
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14. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥平面 ABCD ， AB ＝2， PA ＝4，∠ ABC ＝60°， E 是 BC 的中点， H 在线段 PD 上且 DH DP .
（1）用向 ；
解： ＝ .
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（2）求向 .
解： ｜ ｜2 2 · ｜ ｜2 ｜ ｜2＋｜ ｜2 · ｜ ｜2 4＋16 ·2·2·（ ）＋4
∴｜ ｜ .
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谢 谢 观 看！
