1.2.2 空间中的平面与空间向量
1.设A是空间一定点，n为空间内一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是（ ）
A.圆 B.直线
C.平面 D.线段
2.设μ＝（2，2，－1）是平面α的法向量，a＝（－3，4，2）是直线l的方向向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A.平行或直线在平面内 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不能确定
3.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为（ ）
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D.4，，－15
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，G，H分别为BB1，A1B1，B1C1，AA1，BC的中点，则（ ）
A.DE∥平面ACM
B.DF∥平面ACM
C.DG∥平面ACM
D.DH∥平面ACM
5.（多选）在空间直角坐标系O-xyz中，平面α的法向量n＝（2，2，1），直线l的方向向量为m，则下列说法正确的是（ ）
A.x轴一定与平面α相交
B.平面α一定经过点O
C.若m＝，则l⊥α
D.若m＝（－1，0，2），则l∥α
6.若不同的平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则α与β的位置关系为 .
7.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，BD1为体对角线，当底面ABCD满足条件 时，有BD1⊥A1C1.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝2EA，EF∥AB.若以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则平面EFC1D1的单位法向量的坐标为 .
9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点.求证：
（1）平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）C1F∥平面ABE.
10.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB的中点，点F是四边形CDD1C1所在平面内的一点，且AF⊥B1E，则点F为（ ）
A.一条直线上任意一点
B.一个平面上任意一点
C.一个圆上任意一点
D.一个椭圆上任意一点
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝ .
12.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.
13.如图，边长为1的正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM＝BN＝a（0＜a＜）.则下列结论：
①当a＝时，ME与CN相交；
②MN始终与平面BCE平行；
③异面直线AC与BF所成的角为45°；
④MN的最小值为.
正确的序号是 .
14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.PA＝AB＝BC＝AD.
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由.
1.2.2 空间中的平面与空间向量
1.C M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面.
2.A ∵μ＝（2，2，－1）是平面α的法向量，a＝（－3，4，2）是直线l的方向向量，μ·a＝－6＋8－2＝0，∴直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.
3.B ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
4.C 如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，2），C（2，2，2），M（2，0，1），E（1，0，0），F（2，1，0），G（0，0，1），H（2，1，2），D（0，2，2），则＝（1，－2，－2），＝（2，－1，－2），＝（0，－2，－1），＝（2，－1，0），＝（2，2，0），＝（2，0，－1），设面ACM的法向量为n＝（x，y，z），则令x＝1，则y＝－1，z＝2，所以n＝（1，－1，2），因为n·＝1×1＋（－2）×（－1）＋2×（－2）＝－1，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×（－2）＝－1，n·＝0×1＋（－2）×（－1）＋2×（－1）＝0，n·＝1×2＋（－1）×（－1）＋2×0＝3，所以n⊥，又DG 平面ACM，所以DG∥平面ACM，故C正确，A、B、D错误；故选C.
5.AC 不妨设x轴的方向向量为a＝（1，0，0），则a·n＝（1，0，0）·（2，2，1）＝2≠0，故x轴一定与平面α相交，A正确；平面α不一定经过点O，B错误；因为（2，2，1）＝－2，即n＝－2m，故l⊥α，C正确；因为m·n＝（－1，0，2）·（2，2，1）＝－2＋2＝0，所以m⊥n，所以l∥α或l在平面α上，故D错误.故选A、C.
6.平行 解析：由题意，平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，可得n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β，即平面α与β的位置关系为平行.
7.AC⊥BD 解析：由三垂线定理的逆定理可知：当AC⊥BD时结论成立.
8.或
解析：设平面EFC1D1的单位法向量为a＝（x，y，z），则a⊥，a⊥，且x2＋y2＋z2＝1.
又＝（0，1，0），＝（1，0，－2），
所以解得或
9.证明：以B为坐标原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BC＝a，AB＝b，BB1＝c，则B（0，0，0），A（0，b，0），C1（a，0，c），F，E.
（1）＝（0，－b，0），
＝.
设平面ABE的一个法向量为
n＝（x，y，z），则
即
令x＝2，则y＝0，z＝－，
即n＝.
又平面B1BCC1的一个法向量为n1＝（0，1，0）.
∵n1·n＝2×0＋0×1＋×0＝0，
∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
（2）＝，且n·＝0，
∴C1F∥平面ABE或C1F 平面ABE.
又∵C1F 平面ABE，∴C1F∥平面ABE.
10.A 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AF⊥B1E，所以F在过A点且与B1E垂直的一个平面α内，即为平面α的一个法向量，又平面CDD1C1的法向量为，与不平行，所以平面α与平面CDD1C1一定相交于直线l，所以点F在直线l上运动.故选A.
11. 解析：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1边长为2，可得D（0，0，0），D1（0，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（1，2，0），N（2，1，0），设＝λ（0≤λ≤1），可得＝λ＝（2λ，2λ，－2λ），可得P（2λ，2λ，2－2λ），可得＝（2λ，2λ，2－2λ）.因为＝（－1，0，－2），＝（0，－1，－2），设平面B1MN的一个法向量n＝（x，y，x），则有即不妨令x＝－2，则n＝（－2，－2，1）.因为DP∥平面B1MN，所以·n＝（2λ，2λ，2－2λ）·（－2，－2，1）＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0，解得λ＝，即＝.
12.证明：如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO.
因为PB＝PC，所以PO⊥BC.
又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，
所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO.
在直角梯形ABCD中，
由于AB＝BC＝2CD，
易知Rt△ABO≌Rt△BCD，
所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD.
由三垂线定理的逆定理，得PA⊥BD.
13.②④ 解析：由题意， 以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由正方形ABCD，ABFE的边长为1，所以A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），D（1，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），因为CM＝BN＝a，所以M，N，若ME与CN相交，则四点共面，又M，C，E在平面ACE内，所以当且仅当N在平面ACE内时，ME与CN相交，此时a＝，故①错误；平面BCE的法向量为＝（1，0，0），＝，·＝0，⊥，所以MN始终与平面BCE平行，故②正确；＝（－1，0，1），＝（1，1，0），设异面直线AC与BF所成的角为θ，cos θ＝＝＝，所以异面直线AC与BF所成的角为60°，故③错误；MN＝｜｜＝＝≥，故④正确.
14.解：因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直.分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设AD＝2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）.
（1）证明：＝（0，0，1），＝（1，1，0），＝（－1，1，0），
可得·＝0，·＝0，
所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
（2）设侧棱PA的中点是E，
则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝（x，y，z），
则因为＝（－1，1，0），＝（0，2，－1），
所以取x＝1，则y＝1，z＝2，
所以平面PCD的一个法向量为n＝（1，1，2）.
所以n·＝（1，1，2）·＝0，所以n⊥.
因为BE 平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.
3 / 31.2.2 空间中的平面与空间向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解平面的法向量 数学抽象
2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平行关系 数学运算
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理） 逻辑推理
牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线l与柱子所在的直线l1垂直，我们就能知道下边线l与地面α平行.
【问题】 （1）柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的法向量？
（2）能否用空间向量表示这一线面位置关系？
知识点一 平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α ，则称n为平面α的一个法向量，记作 .
提醒 平面法向量的性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量；②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定.
知识点二 空间平行、垂直关系的向量表示
1.直线与平面位置关系的判断
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：当 时，l与α垂直；当 时，l与α平行，或者l在α内.
2.平面与平面位置关系的判断
如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：当 时，α1与α2垂直；当 时，α1与α2平行，或者α1与α2重合.
【想一想】
已知v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，如果n⊥v，那么直线l一定与平面α平行吗？
知识点三 三垂线定理及其逆定理
1.三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
2.三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
【想一想】
1.定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？
2.若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，l与m垂直吗？
1.设平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－4，k），若α∥β，则k等于（ ）
A.2 B.－4
C.4 D.－2
2.若直线l的方向向量a＝（1，0，2），平面α的法向量为n＝（－2，0，－4），则（ ）
A.l∥α B.l⊥α
C.l α D.l与α斜交
3.（多选）如图PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是（ ）
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
题型一 平面法向量的求法
【例1】 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.
（1）求平面ABCD的一个法向量；
（2）求平面SAB的一个法向量；
（3）求平面SCD的一个法向量.
尝试解答
通性通法
利用待定系数法求法向量的步骤
【跟踪训练】
过空间三点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1）的平面的一个法向量是（ ）
A.（1，1，1） B.（1，1，－1）
C.（1，0，1） D.（－1，0，1）
题型二 利用法向量证明空间中的位置关系
【例2】 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点.证明：
（1）C1M∥平面ADE；
（2）平面ADE⊥平面A1D1F.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量.
2.（变条件，变设问）在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变.试证：EN⊥平面B1AC.
通性通法
利用向量法证明空间线面位置关系的思路
（1）线面平行：设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0；
（2）面面平行：若能求出平面α，β的法向量u，v，则要证明α∥β，只需证明u∥v；
（3）线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则要证明l⊥α，只需证明a∥u即可；
（4）面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法向量平行于另一个平面.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA＝AE＝BE＝2，CD＝1.
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（2）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由.
题型三 三垂线定理及逆定理的应用
【例3】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：B1O⊥PA.
尝试解答
通性通法
利用三垂线定理证明垂直的步骤
（1）找平面（基准面）及平面的垂线；
（2）找射影线（平面上的直线与斜线在平面上的射影线）；
（3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直.
【跟踪训练】
在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.
1.若直线l的方向向量a＝（1，2，－1），平面α的一个法向量m＝（－2，－4，k），若l⊥α，则实数k＝（ ）
A.2 B.－10 C.－2 D.10
2.已知平面α的法向量为a＝（1，2，－2），平面β的法向量为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（ ）
A.4 B.－4 C.5 D.－5
3.已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1），则下列结论中错误的是（ ）
A.⊥
B.⊥
C.是平面ABCD的法向量
D.∥
4.（多选）已知点P（1，－1，2）在平面α内，平面α的法向量n＝（2，－1，2）， 则下列点在α内的是（ ）
A.（2，3，3） B.（3，－3，4）
C.（1，3，4） D.（2，0，1）
5.已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ＋6），平面β的一个法向量为（λ＋1，3，2λ），若α∥β，则λ＝ .
1.2.2 空间中的平面与空间向量
【基础知识·重落实】
知识点一
垂直 n⊥α
知识点二
1.n∥v n⊥v 2.n1⊥n2 n1∥n2
想一想
提示：不一定.也可能l α.
知识点三
想一想
1.提示：一定是.
2.提示：不一定.若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l.
自我诊断
1.C 2.B
3.ABD 由题意有，PA⊥平面ABC，∵BC 平面ABC，∴PA⊥BC，故A对；∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，故B对；由AC⊥BC，有三垂线定理可得BC⊥PC，故D对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D，S（0，0，1）.
（1）∵SA⊥平面ABCD，∴＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量.
（2）∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，
∴＝是平面SAB的一个法向量.
（3）在平面SCD中，＝，＝（1，1，－1）.
设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），则n⊥，n⊥，∴
得方程组∴
令y＝－1，则z＝1，x＝2，∴n＝（2，－1，1）.
∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量.
跟踪训练
A ＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）.设平面的法向量为a＝（x，y，z）.由题意知a·＝0，a·＝0，所以解得令z＝1，得平面的一个法向量是（1，1，1）.故选A.
【例2】 证明：（1）以D为原点，向量，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则D（0，0，0），A（1，0，0），E，C1（0，1，1），M，＝（1，0，0），＝，＝.
设平面ADE的法向量为m＝（a，b，c），
则
令c＝2，得m＝（0，－1，2），
∵m·＝（0，－1，2）·＝0＋1－1＝0，
∴⊥m.
又C1M 平面ADE，∴C1M∥平面ADE.
（2）由D1（0，0，1），A1（1，0，1），F，
得＝（1，0，0），＝，
设平面A1D1F的法向量为n＝（x，y，z），
则
令y＝2，则n＝（0，2，1）.
∵m·n＝（0，－1，2）·（0，2，1）＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n.∴平面ADE⊥平面A1D1F.
母题探究
1.解：如例题建系定坐标，D1（0，0，1），E，M，
∴＝，即直线D1E的一个方向向量.
设平面EFM的法向量为n1＝（x1，y1，z1），
∵F，∴＝，＝（0，－1，0），
由即
∴令x1＝1，则z1＝－2.
∴平面EFM的一个法向量为（1，0，－2）.
2.证明：如例题建系，E，N，A（1，0，0），B1（1，1，1），C（0，1，0）.
∴＝，＝（0，1，1），
＝（－1，1，0），
∴·＝0，·＝0，
∴⊥，⊥，即EN⊥AB1，EN⊥AC.
又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC.
跟踪训练
解：（1）证明：由已知平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PA⊥平面ABCD，又因为CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又由BE⊥AD，且BE∥CD，所以CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
因为CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
（2）以E为原点，以，的方向分别为x轴，y轴的正方向，
过E垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz，
则点E（0，0，0），P（0，－2，2），A（0，－2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0）.
所以＝（2，2，－2），＝（－1，2，0）.
设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z），所以即
令y＝1，可得x＝2，z＝3，所以n＝（2，1，3），
“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“·n＝0”.
因为＝（0，2，－2），设＝λ＝（0，2λ，－2λ），λ∈[0，1]，
则M（0，2λ－2，2－2λ），＝（0，2λ－4，2－2λ）.
所以·n＝2λ－4＋6－6λ＝0，解得λ＝，
所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC.
【例3】 证明：如图，可知PA是平面BB1D1D的一条斜线段，B1O是平面BB1D1D内的一条线段.由条件可知，AO⊥平面BB1D1D，连接PO，则PO为PA在平面BB1D1D内的射影.连接B1P，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D1＝，D1P＝，DP＝，DO＝，BO＝，BB1＝1，∴B1P＝，PO＝，B1O＝，∴PO2＋B1O2＝B1P2，∴PO⊥B1O.根据三垂线定理可得B1O⊥AP.
跟踪训练
证明：如图，过P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于E，
连接BH并延长交AC于F，
PH⊥平面ABC，PA⊥BC，
而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，
同理可证BF⊥AC.则H为△ABC的垂心，连接CH并延长交AB于G，
于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC的射影，故PC⊥AB.
随堂检测
1.A ∵直线l的方向向量a＝（1，2，－1），平面α的一个法向量m＝（－2，－4，k），l⊥α，∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2.
2.D ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×（－2）＋2×（－4）＋（－2）·k＝0，∴k＝－5.
3.D 因为·＝－2－2＋4＝0，所以⊥，故A正确；因为·＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，故B正确；由A，B知，C正确；＝－＝（2，3，4）与＝（－1，2，－1）不平行，故D错误.故选D.
4.AC 对于A选项，记点A（2，3，3），＝（1，4，1），·n＝2－4＋2＝0，点（2，3，3）在平面α内；对于B选项，记点B（3，－3，4），＝（2，－2，2），·n＝4＋2＋4≠0，点（3，－3，4）不在平面α内；对于C选项，记点C（1，3，4），＝（0，4，2），·n＝0－4＋4＝0，点（1，3，4）在平面α内；对于D选项，记点D（2，0，1），＝（1，1，－1），·n＝2－1－2≠0，点（2，0，1）不在平面α内.故选A、C.
5.2 解析：∵α∥β，∴＝＝，解得λ＝2.
5 / 5(共82张PPT)
1.2.2 空间中的平面与空间向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解平面的法向量 数学抽象
2.能用向量语言表述线面、面面的垂直、平行关系 数学运算
3.能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理
（包括三垂线定理） 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
牌楼，与牌坊类似，是中国传统建筑之一，
最早见于周朝.在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道
常有建造.旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、
琉璃等几种，多设于要道口.牌楼中有一种柱门形
结构，一般较高大.如图，牌楼的柱子与地面是垂
直的，如果牌楼上部的下边线 l 与柱子所在的直线 l1垂直，我们就能知道下边线 l 与地面α平行.
【问题】 （1）柱子所在直线的方向向量是否可认为是地面α的
法向量？
（2）能否用空间向量表示这一线面位置关系？
知识点一 平面的法向量
定义：如果α是空间中的一个平面， n 是空间中的一个非零向量，且
表示 n 的有向线段所在的直线与平面α ，则称 n 为平面α的一
个法向量，记作 .
垂直
n ⊥α
提醒 平面法向量的性质：①如果直线 l 垂直平面α，则直线 l 的任
意一个方向向量都是平面α的一个法向量；②如果 n 是平面α的一
个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λ n 也是平面α的一个
法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行；③如果 n 为平面α
的一个法向量， A 为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意
一点 B ，向量 一定与向量 n 垂直，即 · n ＝0，从而可知平
面α的位置可由 n 和 A 唯一确定.
知识点二 空间平行、垂直关系的向量表示
1. 直线与平面位置关系的判断
如果 v 是直线 l 的一个方向向量， n 是平面α的一个法向量，则：
当 时， l 与α垂直；当 时， l 与α平行，或
者 l 在α内.
n ∥ v
n ⊥ v
2. 平面与平面位置关系的判断
如果 n1是平面α1的一个法向量， n2是平面α2的一个法向量，则：
当 时，α1与α2垂直；当 时，α1与α2平行，或
者α1与α2重合.
【想一想】
已知 v 是直线 l 的一个方向向量， n 是平面α的一个法向量，如果 n
⊥ v ，那么直线 l 一定与平面α平行吗？
n1⊥ n2
n1∥ n2
提示：不一定.也可能 l α.
知识点三 三垂线定理及其逆定理
1. 三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，
则它也和这条斜线垂直.
2. 三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条
斜线在该平面内的射影垂直.
2. 若直线 l 是平面α外的一条直线，直线 m 垂直于 l 在平面α内的投影，
l 与 m 垂直吗？
【想一想】
1. 定理中的已知直线是已知平面内的直线吗？
提示：一定是.
提示：不一定.若直线 m 在平面α外，例如 m ⊥α，尽管 m 垂直于直线
l 在平面α内的投影，也不能得出 m ⊥ l .
1. 设平面α的法向量为（1，2，－2），平面β的法向量为（－2，－
4， k ），若α∥β，则 k 等于（ ）
A. 2 B. －4
C. 4 D. －2
2. 若直线 l 的方向向量 a ＝（1，0，2），平面α的法向量为 n ＝（－
2，0，－4），则（ ）
A. l ∥α B. l ⊥α
C. l α D. l 与α斜交
3. （多选）如图 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面， C 为圆上异
于 A ， B 的任一点，则下列关系正确的是（ ）
A. PA ⊥ BC
B. BC ⊥平面 PAC
C. AC ⊥ PB
D. PC ⊥ BC
解析： 由题意有， PA ⊥平面 ABC ，∵ BC 平面 ABC ，∴ PA ⊥ BC ，故A对；∵ AC ⊥ BC ，且 PA ∩ AC ＝ A ， PA ， AC 平
面 PAC ，∴ BC ⊥平面 PAC ，故B对；由 AC ⊥ BC ，有三垂线定理可
得 BC ⊥ PC ，故D对；若 AC ⊥ PB ，因为 AC ⊥ BC ，可得 AC ⊥平
面 PBC ，则 AC ⊥ PC ，与已知矛盾，故C错.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面法向量的求法
【例1】 如图所示，已知四边形 ABCD 是直角梯形， AD ∥ BC ，∠
ABC ＝90°， SA ⊥平面 ABCD ， SA ＝ AB ＝ BC ＝1， AD .
（1）求平面 ABCD 的一个法向量；
解：以点 A 为原点， AD ， AB ， AS 所在的直线
分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间
直角坐标系，则 A （0，0，0）， B （0，1，
0）， C （1，1，0）， D （ 0，0）， S （0，
0，1）.
（1）∵ SA ⊥平面 ABCD ，∴ 0，0，1）
是平面 ABCD 的一个法向量.
（2）求平面 SAB 的一个法向量；
解： ∵ AD ⊥ AB ， AD ⊥ SA ，∴ AD ⊥平面 SAB ，
∴ （ 0，0）是平面 SAB 的一个法向量.
（3）求平面 SCD 的一个法向量.
解：在平面 SCD 中 （ 1，0） 1，1，－1）.
设平面 SCD 的法向量是 n ＝（ x ， y ， z ），则 n n ∴
得方程组∴
令 y ＝－1，则 z ＝1， x ＝2，∴ n ＝（2，－1，1）.
∴ n ＝（2，－1，1）是平面 SCD 的一个法向量.
通性通法
利用待定系数法求法向量的步骤
【跟踪训练】
过空间三点 A （1，1，0）， B （1，0，1）， C （0，1，1）的平面
的一个法向量是（ ）
A. （1，1，1） B. （1，1，－1）
C. （1，0，1） D. （－1，0，1）
解析： 0，－1，1） －1，0，1）.设平面的法向
量为 a ＝（ x ， y ， z ）.由题意知 a · 0， a · 0，所以
z ＝1，得平面的一个法向量是（1，
1，1）.故选A.
题型二 利用法向量证明空间中的位置关系
【例2】 如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F ， M 分别
为棱 BB1， CD ， AA1的中点.证明：
（1） C1 M ∥平面 ADE ；
证明：以 D 为原点，向
x 轴， y 轴， z 轴的正方向
建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.
则 D （0，0，0）， A （1，0，0）， E （1，1
）， C1（0，1，1）， M （1，0 ） 1，0，0） （1，1 ）
（1，－1 ）.
设平面 ADE 的法向量为 m ＝（ a ， b ， c ），
则
令 c ＝2，得 m ＝（0，－1，2），
∵ m · 0，－1，2）·（1，－1 ）＝0＋1－1＝0，
∴ m .
又 C1 M 平面 ADE ，∴ C1 M ∥平面 ADE .
（2）平面 ADE ⊥平面 A1 D1 F .
证明： 由 D1（0，0，1）， A1（1，0，1）， F （0 0），
1，0，0） （0 －1），
设平面 A1 D1 F 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则
令 y ＝2，则 n ＝（0，2，1）.
∵ m · n ＝（0，－1，2）·（0，2，1）＝0－2＋2＝0，
∴ m ⊥ n .∴平面 ADE ⊥平面 A1 D1 F .
【母题探究】
1. （变设问）本例条件不变，试求直线 D1 E 的一个方向向量和平面
EFM 的一个法向量.
解：如例题建系定坐标， D1（0，0，1）， E （1，1 ）， M
（1，0 ），
∴ （1，1 ），即直线 D1 E 的一个方向向量.
设平面 EFM 的法向量为 n1＝（ x1， y1， z1），
∵ F （0 0），∴ （－1 ） 0，－
1，0），
由
∴ x1＝1，则 z1＝－2.
∴平面 EFM 的一个法向量为（1，0，－2）.
2. （变条件，变设问）在本例中设 D1 B1的中点为 N ，其他条件不变.
试证： EN ⊥平面 B1 AC .
证明：如例题建系， E （1，1 ）， N （ 1）， A （1，
0，0）， B1（1，1，1）， C （0，1，0）.
∴ （ ） 0，1，1），
－1，1，0），
∴ · 0 · 0，
∴ EN ⊥ AB1， EN ⊥ A C.
又 AB1∩ AC ＝ A ，∴ EN ⊥平面 B1 AC .
通性通法
利用向量法证明空间线面位置关系的思路
（1）线面平行：设直线 l 的方向向量是 a ，平面α的法向量是 u ，则要
证明 l ∥α，只需证明 a ⊥ u ，即 a · u ＝0；
（2）面面平行：若能求出平面α，β的法向量 u ， v ，则要证明α∥β，
只需证明 u ∥ v ；
（3）线面垂直：设直线 l 的方向向量为 a ，平面α的法向量为 u ，则要
证明 l ⊥α，只需证明 a ∥ u 即可；
（4）面面垂直：①证明两平面的法向量垂直；②证明一个平面的法
向量平行于另一个平面.
【跟踪训练】
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ， E 为 AD 的中
点， PA ⊥ AD ， BE ∥ CD ， BE ⊥ AD ， PA ＝ AE ＝ BE ＝2， CD ＝1.
（1）求证：平面 PAD ⊥平面 PCD ；
解：证明：由已知平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥ AD ，且平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ，
所以 PA ⊥平面 ABCD ，又因为 CD 平面 ABCD ，所以 PA ⊥ CD ，
又由 BE ⊥ AD ，且 BE ∥ CD ，所以 CD ⊥ AD ，
所以 CD ⊥平面 PAD ，
因为 CD 平面 PCD ，所以平面 PAD ⊥平面 PCD .
（2）在线段 PE 上是否存在点 M ，使得 DM ∥平面 PBC ？若存在，求
出点 M 的位置；若不存在，说明理由.
解：以 E 为原点，
x 轴， y 轴的正方向，
过 E 垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立如图
所示的空间直角坐标系 E - xyz ，
则点 E （0，0，0）， P （0，－2，2）， A
（0，－2，0）， B （2，0，0）， C （1，2，
0）， D （0，2，0）.
所 2，2，－2） －1，2，0）.
设平面 PBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），所
令 y ＝1，可得 x ＝2， z ＝3，所以 n ＝（2，1，3），
“线段 PE 上存在点 M ，使得 DM ∥平面 PBC ”等价于 · n ＝0”.
因 0，2，－2）， λ 0，2λ，－2λ），λ∈[0，1]，
则 M （0，2λ－2，2－2λ） 0，2λ－4，2－2λ）.
所 · n ＝2λ－4＋6－6λ＝0，解得λ 所以线段 PE 上存在点 M ，即 PE 中点，使得 DM ∥平面 PBC .
题型三 三垂线定理及逆定理的应用
【例3】 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， P 是 DD1的中点， O 为底面
ABCD 的中心.求证： B1 O ⊥ PA .
证明：如图，可知 PA 是平面 BB1 D1 D 的一条斜线
段， B1 O 是平面 BB1 D1 D 内的一条线段.
由条件可知， AO ⊥平面 BB1 D1 D ，连接 PO ，则
PO 为 PA 在平面 BB1 D1 D 内的射影.连接 B1 P ，设
正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，则 B1 D1
D1 P DP DO BO BB1＝1，
∴ B1 P PO B1 O ∴ PO2＋ B1 O2＝ B1 P2，∴ PO ⊥ B1 O . 根据三垂线定理可得 B1 O ⊥ AP .
通性通法
利用三垂线定理证明垂直的步骤
（1）找平面（基准面）及平面的垂线；
（2）找射影线（平面上的直线与斜线在平面上的射影线）；
（3）证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面
垂直或面面垂直.
【跟踪训练】
在四面体 PABC 中， PA ⊥ BC ， PB ⊥ AC ，求证： PC ⊥ AB .
证明：如图，过 P 作 PH ⊥平面 ABC ，连接 AH 并
延长交 BC 于 E ，
连接 BH 并延长交 AC 于 F ， PH ⊥平面 ABC ， PA
⊥ BC ，
而 PA 在平面 ABC 内的射影为 AH ，由三垂线定理
的逆定理知 BC ⊥ AH ，
同理可证 BF ⊥ AC . 则 H 为△ ABC 的垂心，连接 CH 并延长交 AB 于 G ，
于是 CG ⊥ AB ，而 CH 是 PC 在平面 ABC 的射影，故 PC ⊥ AB .
1. 若直线 l 的方向向量 a ＝（1，2，－1），平面α的一个法向量 m ＝
（－2，－4， k ），若 l ⊥α，则实数 k ＝（ ）
A. 2 B. －10
C. －2 D. 10
解析： ∵直线 l 的方向向量 a ＝（1，2，－1），平面α的一个法
向量 m ＝（－2，－4， k ）， l ⊥α，∴ a ∥ m ，∴ k ＝2.
2. 已知平面α的法向量为 a ＝（1，2，－2），平面β的法向量为 b ＝
（－2，－4， k ），若α⊥β，则 k ＝（ ）
A. 4 B. －4
C. 5 D. －5
解析： ∵α⊥β，∴ a ⊥ b ，∴ a · b ＝1×（－2）＋2×（－4）＋
（－2）· k ＝0，∴ k ＝－5.
3. 已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如 2，－1，
－4） 4，2，0） 1，2，－1），则下列结论
中错误的是（ ）
A.
B.
C. ABCD 的法向量
D. ∥
解析： 因 · 2－2＋4＝0，所 A正
确；因 · 4＋4＋0＝0，所 B正确；由
A，B知，C正确 2，3，4） －1，
2，－1）不平行，故D错误.故选D.
4. （多选）已知点 P （1，－1，2）在平面α内，平面α的法向量 n ＝
（2，－1，2）， 则下列点在α内的是（ ）
A. （2，3，3） B. （3，－3，4）
C. （1，3，4） D. （2，0，1）
解析： 对于A选项，记点 A （2，3，3） 1，4，1）
· n ＝2－4＋2＝0，点（2，3，3）在平面α内；对于B选项，记
点 B （3，－3，4） 2，－2，2） · n ＝4＋2＋4≠0，
点（3，－3，4）不在平面α内；对于C选项，记点 C （1，3，4） 0，4，2） · n ＝0－4＋4＝0，点（1，3，4）在平面α
内；对于D选项，记点 D （2，0，1） 1，1，－1）
· n ＝2－1－2≠0，点（2，0，1）不在平面α内.故选A、C.
5. 已知平面α的一个法向量为（3λ，6，λ＋6），平面β的一个法向量
为（λ＋1，3，2λ），若α∥β，则λ＝ .
解析：∵α∥β，∴ λ＝2.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 A 是空间一定点， n 为空间内一非零向量，满足条 · n ＝0的
点 M 构成的图形是（ ）
A. 圆 B. 直线
C. 平面 D. 线段
解析： M 构成的图形经过点 A ，且是以 n 为法向量的平面.
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2. 设μ＝（2，2，－1）是平面α的法向量， a ＝（－3，4，2）是直线 l
的方向向量，则直线 l 与平面α的位置关系是（ ）
A. 平行或直线在平面内 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 不能确定
解析： ∵μ＝（2，2，－1）是平面α的法向量，
a ＝（－3，4，2）是直线 l 的方向向量，
μ· a ＝－6＋8－2＝0，
∴直线 l 与平面α的位置关系是平行或直线在平面内.
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3. 已 1，5，－2） 3，1， z ）， x －1， y ，－3），且 BP ⊥平面 ABC ，则实数 x ， y ， z 分别为
（ ）
A. 4 B. 4
C. 2，4 D. 4 15
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解析： ∵ ∴ · 0，即3＋5－2 z ＝0，得 z
＝4，又 BP ⊥平面 ABC ，∴
则
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4. 如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， E ， F ， G ， H 分别为
BB1， A1 B1， B1 C1， AA1， BC 的中点，则（ ）
A. DE ∥平面 ACM
B. DF ∥平面 ACM
C. DG ∥平面 ACM
D. DH ∥平面 ACM
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解析： 如图，建立空间直角坐标系，设
正方体的棱长为2，则 A （0，0，2）， C
（2，2，2）， M （2，0，1）， E （1，
0，0）， F （2，1，0）， G （0，0，1），
H （2，1，2）， D （0，2，2），
1，－2，－2） 2，－1，－2） 0，－2，－1） 2，－1，0） 2，2，0） 2，0，－1），
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设面 ACM 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝2，所以 n ＝（1，－1，2），因为 n · 1×1＋（－2）×（－1）＋2×（－2）＝－1， n · 1×2＋（－1）×（－1）＋2×（－2）＝－1， n · 0×1＋（－2）×（－1）＋2×（－1）＝0， n · 1×2＋（－1）×（－1）＋2×0＝3，所以 n DG 平面 ACM ，所以 DG ∥平面 ACM ，故C正确，A、B、D错误；故选C.
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5. （多选）在空间直角坐标系 O - xyz 中，平面α的法向量 n ＝（2，2，
1），直线 l 的方向向量为 m ，则下列说法正确的是（ ）
A. x 轴一定与平面α相交
B. 平面α一定经过点 O
C. 若 m ＝（－1，－1， ），则 l ⊥α
D. 若 m ＝（－1，0，2），则 l ∥α
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解析： 不妨设 x 轴的方向向量为 a ＝（1，0，0），则 a · n ＝
（1，0，0）·（2，2，1）＝2≠0，故 x 轴一定与平面α相交，A正
确；平面α不一定经过点 O ，B错误；因为（2，2，1）＝－2（－
1，－1 ），即 n ＝－2 m ，故 l ⊥α，C正确；因为 m · n ＝（－
1，0，2）·（2，2，1）＝－2＋2＝0，所以 m ⊥ n ，所以 l ∥α或 l 在
平面α上，故D错误.故选A、C.
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6. 若不同的平面α，β的一个法向量分别为 m ＝（ 1）， n
＝（ 1，3），则α与β的位置关系为 .
解析：由题意，平面α，β的一个法向量分别为 m ＝（ －
1）， n ＝（ －1，3），可得 n ＝－3 m ，所以 m ∥ n ，所以
α∥β，即平面α与β的位置关系为平行.
平行
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7. 如图，长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， BD1为体对角线，当底面 ABCD
满足条件 时，有 BD1⊥ A1 C1.
解析：由三垂线定理的逆定理可知：当 AC ⊥ BD 时结论成立.
AC ⊥ BD
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8. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝1， AA1＝3， E ， F 分别是棱 AA1， BB1上的点， A1 E ＝2 EA ， EF ∥ AB . 若以 DA ， DC ， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，
则平面 EFC1 D1的单位法向量的坐标 .
（ 0 ）或
（ 0， ）
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解析：设平面 EFC1 D1的单位法向量为 a ＝（ x ， y ， z ），则 a a x2＋ y2＋ z2＝1.
0，1，0） 1，0，－2），所以
解得
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9. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，侧棱垂直于底面， AB ⊥ BC ， E ， F 分别为 A1 C1和 BC 的中点.求证：
（1）平面 ABE ⊥平面 B1 BCC1；
证明：以 B 为坐标原点，分别以 BC ， BA ，
BB1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系.设 BC ＝ a ， AB ＝ b ， BB1
＝ c ，则 B （0，0，0）， A （0， b ，0）， C1
（ a ，0， c ）， F （ 0，0）， E （ c ）.
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（1 0，－ b ，0），
（ c ）.
设平面 ABE 的一个法向量为
n ＝（ x ， y ， z ），则
即
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令 x ＝2，则 y ＝0， z ＝ n ＝（2，0 ）.
又平面 B1 BCC1的一个法向量为 n1＝（0，1，0）.
∵ n1· n ＝2×0＋0×1＋（ ）×0＝0，
∴平面 ABE ⊥平面 B1 BCC1.
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（2） C1 F ∥平面 ABE .
证明： （ 0，－ c ），且 n · 0，
∴ C1 F ∥平面 ABE 或 C1 F 平面 ABE .
又∵ C1 F 平面 ABE ，∴ C1 F ∥平面 ABE .
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10. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 E 是棱 AB 的中点，点 F 是四边
形 CDD1 C1所在平面内的一点，且 AF ⊥ B1 E ，则点 F 为（ ）
A. 一条直线上任意一点 B. 一个平面上任意一点
C. 一个圆上任意一点 D. 一个椭圆上任意一点
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解析： 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，因为 AF ⊥ B1 E ，所以 F
在过 A 点且与 B1 E 垂直的一个平面α内， α的一个法
向量，又平面 CDD1 C1的法向量
α与平面 CDD1 C1一定相交于直线 l ，所以点 F 在
直线 l 上运动.故选A.
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11. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 P 为线段 D1 B 上的动点，
M ， N 分别为棱 BC ， AB 的中点，若 DP ∥平面 B1 MN ， .
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解析：如图所示，以 D 为原点 x ，
y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系.设正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1边
长为2，可得 D （0，0，0）， D1（0，0，2）， B （2，2，0），
B1（2，2，2）， M （1，2，0）， N （2，1，0），
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λ（0≤λ≤1），可 λ 2λ，2λ，－2λ），可得 P （2λ，2λ，2－2λ），可 2λ，2λ，2－2λ）.因 －1，0，－2） 0，－1，－2），设平面 B1 MN 的一个法向量 n ＝（ x ， y ， x ），则有 x ＝－2，则 n ＝（－2，－2，1）.因为 DP
∥平面 B1 MN ，所 · n ＝（2λ，2λ，2－2λ）·（－2，－2，
1）＝－4λ－4λ＋2－2λ＝0，解得λ .
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12. 如图所示，已知四棱锥 P - ABCD 的底面是直角梯形，∠ ABC ＝∠
BCD ＝90°， AB ＝ BC ＝ PB ＝ PC ＝2 CD ，侧面 PBC ⊥底面
ABCD . 求证： PA ⊥ BD .
证明：如图，取 BC 的中点 O ，连接 AO 交 BD 于
点 E ，连接 PO .
因为 PB ＝ PC ，所以 PO ⊥ BC .
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又平面 PBC ⊥平面 ABCD ，平面 PBC ∩平面
ABCD ＝ BC ，
所以 PO ⊥平面 ABCD ，所以 AP 在平面 ABCD 内
的射影为 AO .
在直角梯形 ABCD 中，
由于 AB ＝ BC ＝2 CD ，
易知Rt△ ABO ≌Rt△ BCD ，
所以∠ BEO ＝∠ OAB ＋∠ DBA ＝∠ DBC ＋∠
DBA ＝90°，即 AO ⊥ BD .
由三垂线定理的逆定理，得 PA ⊥ BD .
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13. 如图，边长为1的正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面
互相垂直，动点 M ， N 分别在正方形对角线 AC 和 BF 上移动，且
CM ＝ BN ＝ a （0＜ a .则下列结论：
①当 a ME 与 CN 相交；
② MN 始终与平面 BCE 平行；
③异面直线 AC 与 BF 所成的角为45°；
④ MN 的最小值 .
正确的序号是 .
②④
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解析：由题意， 以 B 为坐标原点， BA ，
BE ， BC 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，由正方形
ABCD ， ABFE 的边长为1，所以 A （1，0，
0）， B （0，0，0）， C （0，0，1）， D
（1，0，1）， E （0，1，0）， F （1，1，0），因为 CM ＝ BN ＝ a ，所以 M （ 0，1 ）， N （ 0），若 ME 与 CN 相交，则四点共面，又 M ， C ， E 在平面 ACE 内，所以当且仅当 N 在平面 ACE 内时， ME 与 CN 相交，此时 a ①错误；
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平面 BCE 的法向量 1，0，0） （0 1） · 0 MN 始终与平面 BCE 平行，故②正确
－1，0，1） 1，1，0），设异面直线 AC 与 BF 所成的角为θ， cos θ AC 与
BF 所成的角为60°，故③错误； MN ＝｜ ｜ ④正确.
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14. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，且 AD ∥
BC ，∠ ABC ＝∠ PAD ＝90°，侧面 PAD ⊥底面 ABCD . PA ＝ AB ＝
BC AD .
（1）求证： CD ⊥平面 PAC ；
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解：因为∠ PAD ＝90°，所以 PA ⊥ AD . 又
因为侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，且侧面 PAD
∩底面 ABCD ＝ AD ，所以 PA ⊥底面
ABCD . 又因为∠ BAD ＝90°，所以 AB ，
AD ， AP 两两垂直.分别以 AB ， AD ， AP所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设 AD ＝2，则 A （0，0，0）， B （1，0，0）， C （1，1，0）， D （0，2，0）， P （0，0，1）.
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（1）证明 0，0，1）
1，1，0） －1，1，0），
可 · 0 · 0，
所以 AP ⊥ CD ， AC ⊥ CD .
又因为 AP ∩ AC ＝ A ，所以 CD ⊥平面 PAC .
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（2）侧棱 PA 上是否存在点 E ，使得 BE ∥平面 PCD ？若存在，指
出点 E 的位置并证明，若不存在，请说明理由.
解：设侧棱 PA 的中点是 E ，则 E （0，0 ） （－1，0 ）.
设平面 PCD 的法向量是 n ＝（ x ， y ， z ），
－1，1，0） 0，2，－1），
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所以 x ＝1，则 y ＝1， z ＝2，
所以平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（1，1，2）.
所以 n · 1，1，2）·（－1，0 ）＝0，所以 n .
因为 BE 平面 PCD ，所以 BE ∥平面 PCD .
综上所述，当 E 为 PA 的中点时， BE ∥平面 PCD .
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谢 谢 观 看！
