1.2.3 直线与平面的夹角
1.图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知三棱锥S-ABC中 ，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
4.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF所成角的正切值为（ ）
A.2 B.
C.1 D.
5.如图，正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OC，则直线CD与平面PAC的夹角是（ ）
A.45° B.90°
C.30° D.60°
6.等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为 .
7.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为 .
8.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AC1与过顶点A的三个平面所成的角分别是α，β，γ，则sin2α＋sin2β＋sin2γ＝ .
9.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
（1）证明：CM⊥SN；
（2）求SN与平面CMN所成角的大小.
10.在圆柱OO1中，O是上底面圆心，AB是下底面圆的直径，点C在下底面圆周上，若△OAB是正三角形，O1C⊥AB，则OC与平面OAB所成的角为（ ）
A.150° B.30° C.45° D.60°
11.如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC＝90°，AB＝1，BC＝BB1＝2，DC1＝DC＝，平面CC1D⊥平面ACC1A1.P为线段BC上一动点，当BP＝ 时，直线DP与平面BB1D所成角的正弦值为.
12.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，若E点在AB上，且AD1与平面D1EC所成的角为，求AE的长.
13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
14.如图①，在梯形ABCD中，BF⊥AD，CE⊥AD，BC＝BF＝AF＝EF＝2，DE＝2，现以CE为折痕，将点D翻折到点P，满足PA＝PB＝PE，如图②.
（1）求证：PF⊥平面ABCE；
（2）设M为BC的中点，N为线段PF上一点，且四棱锥N-ABCE的体积为2，求直线MN与平面PAB所成角的正弦值.
1.2.3 直线与平面的夹角
1.B ∵BB1⊥平面A1B1C1，∴C1D与平面A1B1C1所成的角为∠DC1B1.又B1C1＝1，B1D＝，在Rt△DB1C1中，tan∠DC1B1＝＝＝，∴∠DC1B1＝，而平面A1B1C1∥平面ABC，∴C1D与平面ABC所成角也是.故选B.
2.C 如图，连接A1C1交B1D1于O点，由已知得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，∴C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求.
C1O＝×＝2，BC1＝＝2，
∴sin ∠C1BO＝＝＝.
3.D 如图所示，以A为原点，分别以AB，AS所在直线为x轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，易知S（0，0，3），B（2，0，0），C（1，，0）.设平面SBC的法向量为n＝（x，y，z），则
得n＝（3，，2），又＝（2，0，0），∴当α为AB与平面SBC所成的角时，sin α＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝.
4.B A1B1与平面A1EF所成的角就是∠B1A1C，tan∠B1A1C＝＝.
5.C 如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（0，－a，0），C（0，a，0），D（－a，0，0），S（0，0，a），P，则＝（0，－2a，0），＝，＝（－a，－a，0），设平面PAC的一个法向量为n＝（x，y，z），则n·＝0，n·＝0，∴可取n＝（1，0，1），设直线CD与平面PAC的夹角为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝，由0＜θ≤90°，∴θ＝30°，故选C.
6.45° 解析：如图，作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角.在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2.在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝.在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝.∴∠CMO＝45°.
7. 解析：因为∠BAC＝90°，所以BA⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BA，AC 平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，以A为空间直角坐标系的原点，以AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，2），D，E，
F，＝（0，0，－2），＝，＝，设平面DEF的法向量为m＝（x，y，z），所以有 m＝（2，0，1），设直线PA与平面DEF所成角为θ，所以sin θ＝｜cos＜，m＞｜＝＝＝.
8.1 解析：如图，连接AC，AB1，AD1，则由长方体性质知，∠C1AC是AC1与平面ABCD所成角，设为α；∠C1AB1是AC1与平面ABB1A1所成角，设为β；∠C1AD1是AC1与平面ADD1A1所成角，设为γ.
又由△AB1C1、△ACC1、△AC1D1都是直角三角形，
所以sin2α＋sin2β＋sin2γ＝＋＋＝.
又由长方体性质C＋B1＋D1＝A，所以sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1.
9.解：（1）证明：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则C（0，1，0），M，
N，S.
所以＝，＝，
因为·＝－＋＋0＝0，所以CM⊥SN.
（2）由（1），知＝.
设a＝（x，y，z）为平面CMN的法向量，
则即
令x＝2，得a＝（2，1，－2）为平面CMN的一个法向量.
所以｜cos＜a，＞｜＝＝，
所以SN与平面CMN所成角的大小为45°.
10.B 如图，设AB＝2a，则OA＝2a，O1A＝O1B＝O1C＝a，∴OO1＝＝a，OC＝＝2a，∵CO1⊥AB，CO1⊥OO1，AB∩OO1＝O1，∴CO1⊥平面AOB，∴∠COO1是OC与平面OAB所成角，sin∠COO1＝＝，∴∠COO1＝30°，∴OC与平面OAB所成角为30°.
11.1 解析：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.所以A（0，0，0），C（，0，0），C1（，2，0），D（，1，2），B（0，0，1），B1（0，2，1），
所以＝（0，2，0），＝（，1，1）.设平面BB1D的法向量n＝（x，y，z），
所以
所以所以平面BB1D的一个法向量n＝（，0，－3）， 设＝λ，λ∈[0，1]，又＝（，0，－1），所以＝＋λ＝（λ－，－1，－1－λ），所以＝，化简得12λ2＋4λ－5＝0，解得λ＝或λ＝－（舍），所以＝.因为BC＝2，所以BP＝1.
12.解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设棱AB上点E（1，t，0）（0≤t≤2），易得A（1，0，0），D1（0，0，1），C（0，2，0），则＝（－1，0，1），＝（0，－2，1），＝（1，t－2，0）.设平面D1EC的法向量为n＝（x，y，z），则取y＝1，得n＝（2－t，1，2），∴sin＝＝＝，整理，得t2＋4t－9＝0，解得t＝－2－（舍）或t＝－2＋，∴AE＝－2＋.
13.A 如图，设正方体棱长为1，＝λ（0≤λ≤1），则＝λ，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则A（1，0，0），C（0，1，0），O故＝＝（－1，1，0），＝（－λ，λ，0），又A1（1，0，1），则P（1－λ，λ，1），所以＝.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可知体对角线B1D⊥平面A1BC1，所以＝（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量，所以sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝.所以当λ＝时，sin θ取得最大值，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值.所以sin θ∈.故选A.
14.解：（1）证明：因为AF＝EF，则F为AE的中点，
又因PA＝PE，所以PF⊥AE，
所以PF2＋EF2＝PE2，又EF＝BF，PE＝PB，
所以PF2＋BF2＝PB2，所以PF⊥BF，
又因为AE，BF 平面ABCE，且AE∩BF＝F，所以PF⊥平面ABCE；
（2）四边形ABCE的面积S＝（BC＋AE）·CE＝×（2＋4）×2＝6，
则四棱锥N-ABCE的体积V＝S·NF＝×6×NF＝2，所以NF＝1，
因为PF⊥平面ABCE，BF⊥AE，
以F为原点，FA，FB，FP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，2，0），M（－1，2，0），N（0，0，1），
又PF＝＝＝4，所以P（0，0，4），
所以＝（－2，2，0），＝（2，0，－4），＝（1，－2，1）.
设直线MN与平面PAB所成角为θ，平面PAB的法向量为n＝（x，y，z），
则即取z＝1，得n＝（2，2，1）.
所以cos＜n，＞＝＝＝－，
则sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝，
所以直线MN与平面PAB所成角的正弦值为.
2 / 31.2.3 直线与平面的夹角
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线与平面的夹角定义 直观想象
2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 数学运算
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.
【问题】 45度到底指的是哪个角呢？
知识点 直线与平面的夹角
1.直线和平面所成的角
【想一想】
斜线与平面的夹角为，对吗？
2.最小角定理
提醒 在公式①中，令θ2＝90°，则cos θ＝cos θ1·cos 90°＝0.∴θ＝90°，即当OM⊥OB时，有OM⊥OA，此即三垂线定理；反之，若令θ＝90°，则cos θ1·cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即当OM⊥OA时，有OM⊥OB，此即三垂线定理的逆定理.由此可知三垂线定理及其逆定理可以看成是此公式的特例.
3.用空间向量求直线与平面的夹角
如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝ 或θ＝ ，特别地cos θ＝ 或sin θ＝ .
【想一想】
直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？
1.已知向量m，n，分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos＜m，n＞＝－，则直线l与平面α所成的角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知平面α的一个法向量为n＝（1，－1，0），则x轴与平面α所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为 .
题型一 利用定义求直线与平面的夹角
【例1】 如图，正四棱锥P-ABCD底面边长为，高为1，E为PC中点，求直线BE与平面PAC所成的角.
尝试解答
通性通法
求直线和平面所成角的步骤
（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
【跟踪训练】
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2a，AD＝a，AA1＝a，则直线B1C与平面ABCD所成的角是（ ）
A.45° B.90°
C.正切值为2 D.正切值为
2.如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
题型二 利用cos θ＝cos θ1cos θ2求直线与平面夹角
【例2】 （链接教科书第45页例1）如图，∠BOC在平面α内，OA是α的斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成的角.
尝试解答
通性通法
cos θ＝cos θ1·cos θ2的应用
（1）利用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图形中θ，θ1，θ2；
（2）①当θ＝90° θ2＝90°，即符合三垂线定理；
②由0＜cos θ2＜1，所以cos θ＜cos θ1 θ1＜θ，即θ1为所有θ角中最小的角.
【跟踪训练】
PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条射线的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
题型三 利用空间向量求直线与平面的夹角
【例3】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，M，N分别为AB，PD的中点.
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）若PA＝AD，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.
尝试解答
通性通法
用法向量求线面角的正弦值的流程图
【跟踪训练】
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD＝AB＝1，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角θ满足（ ）
A.θ＝ B.cos θ＝
C.tan θ＝ D.sin θ＝
1.若直线l与平面α所成角为，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知平面α的一个法向量为n＝（1，－1，0），则y轴与平面α所成的角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BB1＝2，点D是棱BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
4.设平面α的一个法向量为n＝（1，2，－2），点A∈α，B α，＝（0，2，1），则AB与α所成角的正弦值为 .
5.在正三棱锥P-ABC中，PA＝4，AB＝，则侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为 .
1.2.3 直线与平面的夹角
【基础知识·重落实】
知识点
1.90° 0° 射影
想一想
提示：错误.斜线与平面的夹角为.
2.cos θ＝cos θ1·cos θ2 射影 最小的角
3.－＜v，n＞ ＜v，n＞－ sin＜v，n＞ ｜cos＜v，n＞｜
想一想
提示：不是.直线和平面的夹角为.
自我诊断
1.A 设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝｜cos＜m，n＞｜＝.∵θ∈，∴θ＝.选项A正确，选项B、C、D错误，故选A.
2.C 依题意x轴的方向向量可以为m＝（1，0，0），设x轴与平面α所成角为θ，则sin θ＝＝＝，因为θ∈，所以θ＝，故选C.
3.30° 解析：如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C，
所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角，设正方体的棱长为1，则OB1＝，CB1＝，sin ∠B1CO＝＝，可得∠B1CO＝30°.即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：如图，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，所以PO＝1，因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角，在Rt△POA中，因为PO＝1，OA＝，所以PA＝2，OE＝PA＝1，在Rt△BOE中，因为BO＝，所以tan∠BEO＝＝，即∠BEO＝60°.所以直线BE与平面PAC所成的角为60°.
跟踪训练
1.A 长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线B1B⊥平面ABCD，所以∠B1CB就是直线B1C与平面ABCD所成的角，在Rt△B1BC中，BC＝AD＝a，BB1＝AA1＝a，所以tan∠B1CB＝＝1，所以∠B1CB＝45°.故选A.
2.B 如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E.因为平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD，所以AD与平面BCD所成的角是∠ADE，因为∠BAD＝90°，且AB＝AD，所以∠ADE＝45°.所以AD与平面BCD所成的角是45°.故选B.
【例2】 解：如图，过点A作AH⊥α，则∠AOH为AO与平面α所成的角，
∴cos 60°＝cos∠AOB＝cos∠AOC＝cos∠AOH×cos∠BOH＝cos∠AOH×cos∠COH.
∴cos∠BOH＝cos∠COH，
∴∠BOH＝∠COH.
又∵OB＝OC＝a，BC＝a，
∴OB2＋OC2＝BC2，
∴∠BOC＝90°.
∴∠BOH＝45°，
∵cos∠AOB＝cos∠AOH·cos∠BOH，
∴cos 60°＝cos∠AOH·cos 45°.
∴cos∠AOH＝.∴∠AOH＝45°，
即AO与平面α所成的角为45°.
跟踪训练
C 如图，∵∠CPA＝∠CPB，
∴PC在平面APB内的射影PH是∠APB的平分线.
∴cos∠CPH＝＝＝.
【例3】 解：（1）证明：取PC中点为E，连接BE，NE.
∵E，N分别为PC，PD的中点，∴EN∥CD，EN＝CD.
又四边形ABCD为正方形，∴CD∥AB，CD＝AB，
又∵M为AB的中点，∴EN∥BM，EN＝BM，
∴四边形BMNE为平行四边形，∴MN∥BE，
又BE 平面PBC，MN 平面PBC，∴MN∥平面PBC.
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设｜PA｜＝｜AD｜＝2，则D（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，2），M（1，0，0），N（0，1，1），
＝（－1，1，1），＝（2，2，－2），＝（0，2，－2），
设平面PCD的法向量为m＝（x，y，z），
则即
令y＝1，则m＝（0，1，1），
设直线MN与平面PCD所成角为θ，则sin θ＝＝＝.
跟踪训练
B 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），所以G，＝.平面ABCD的一个法向量为n＝（0，0，1），则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝｜｜＝，所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为＝.
随堂检测
1.D 由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为.
2.B 易知y轴的方向向量为m＝（0，1，0），解得｜cos＜n，m＞｜＝＝，α＝，故选B.
3.B 如图，取AC，A1C1的中点分别为M，M1，连接MM1，BM，过点D作DN∥BM交MM1于点N，则易证DN⊥平面AA1C1C，连接AN，则∠DAN为AD与平面AA1C1C所成的角.在Rt△DNA中，sin∠DAN＝＝＝，∠DAN＝.
4. 解析：设AB与α所成角为θ，根据向量的夹角公式，可得AB与平面α所成角的正弦值为sin θ＝｜cos＜n，＞｜＝＝＝.
5. 解析：如图，在正三棱锥P-ABC中，PA＝4，AB＝，设P在底面上的射影为O，则O为△ABC的中心，由已知求得AO＝1，又PA＝4，∴cos ∠PAO＝＝.即侧棱PA与底面ABC所成角的余弦值为.
4 / 4(共75张PPT)
1.2.3 直线与平面的夹角
新课程标准解读 核心素养
1.理解直线与平面的夹角定义 直观想象
2.能用向量方法解决线面的夹角的计算问题，体会向量
方法在研究几何问题中的作用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”.迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”.
【问题】 45度到底指的是哪个角呢？
知识点 直线与平面的夹角
1. 直线和平面所成的角
【想一想】
斜线与平面的夹角为［0 ］，对吗？
提示：错误.斜线与平面的夹角为（0 ）.
2. 最小角定理
提醒 在公式①中，令θ2＝90°，则 cos θ＝ cos θ1· cos 90°＝0.∴θ＝
90°，即当 OM ⊥ OB 时，有 OM ⊥ OA ，此即三垂线定理；反之，若
令θ＝90°，则 cos θ1· cos θ2＝0.∵θ1≠90°，∴θ2＝90°，即当 OM ⊥
OA 时，有 OM ⊥ OB ，此即三垂线定理的逆定理.由此可知三垂线定
理及其逆定理可以看成是此公式的特例.
3. 用空间向量求直线与平面的夹角
如果 v 是直线 l 的一个方向向量， n 是平面α的法向量，设直线 l 与平
面α所成角的大小为θ，则θ＝ v ， n ＞ 或θ＝
cos θ＝ 或 sin θ＝
.
【想一想】
直线 l 的方向向量 s 与平面的法向量 n 的夹角一定是直线和平面的夹
角吗？
v ， n ＞
＜ v ， n ＞
sin ＜ v ， n ＞
｜ cos ＜ v ，
n ＞｜
提示：不是.直线和平面的夹角 .
1. 已知向量 m ， n ，分别是直线 l 的方向向量和平面α的法向量，若
cos ＜ m ， n ＞＝ l 与平面α所成的角为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设直线 l 与平面α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ m ， n
＞｜ .∵θ∈［0 ］，∴θ .选项A正确，选项B、C、D错
误，故选A.
2. 已知平面α的一个法向量为 n ＝（1，－1，0），则 x 轴与平面α所成
角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 依题意 x 轴的方向向量可以为 m ＝（1，0，0），设 x 轴
与平面α所成角为θ，则 sin θ θ∈
［0 ］，所以θ C.
3. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， CB1与平面 AA1 C1 C 所成角的大小
为 .
解析：如图，连接 B1 D1交 A1 C1于 O ，连接
OC ，因为几何体是正方体，所以 OB1⊥平面
AA1 C1 C ，所以∠ B1 CO 是 CB1与平面 AA1 C1 C
所成角，设正方体的棱长为1，则 OB1
CB1 sin ∠ B1 CO ∠ B1 CO ＝30°.即 CB1与平面 AA1 C1 C 所成角的大小为30°.
30°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用定义求直线与平面的夹角
【例1】 如图，正四棱锥 P - ABCD 底面边长 1， E 为 PC
中点，求直线 BE 与平面 PAC 所成的角.
解：如图，连接 BD ，交 AC 于点 O ，连接 PO ，
则 PO 为正四棱锥 P - ABCD 的高，所以 PO ＝1，
因为 PO ⊥底面 ABCD ，所以 PO ⊥ BD ，又 BD ⊥
AC ， PO ∩ AC ＝ O ，所以 BD ⊥平面 PAC ，连接
EO ，则∠ BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角，
在Rt△ POA 中，因为 PO ＝1， OA PA ＝2， OE PA ＝1，在Rt△ BOE 中，因为 BO tan∠ BEO ∠ BEO ＝60°.所以直线 BE 与平面 PAC 所成的角为60°.
通性通法
求直线和平面所成角的步骤
（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
（2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成
的锐角或直角即为所求的角；
（3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
【跟踪训练】
1. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝2 a ， AD ＝ a ， AA1＝ a ，则直
线 B1 C 与平面 ABCD 所成的角是（ ）
A. 45° B. 90°
C. 正切值为2 D. 正切值
解析： 长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，直线 B1 B ⊥平面 ABCD ，所
以∠ B1 CB 就是直线 B1 C 与平面 ABCD 所成的角，在Rt△ B1 BC 中，
BC ＝ AD ＝ a ， BB1＝ AA1＝ a ，所以tan∠ B1 CB 1，所以∠
B1 CB ＝45°.故选A.
2. 如图，空间四边形 ABCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ，∠ BAD ＝
90°，且 AB ＝ AD ，则 AD 与平面 BCD 所成的角是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 如图，过点 A 作 AE ⊥ BD ，垂足为
E . 因为平面 ABD ⊥平面 BCD ， AE ⊥ BD ，平
面 ABD ∩平面 BCD ＝ BD ，所以 AE ⊥平面
BCD ，所以 AD 与平面 BCD 所成的角是∠
ADE ，因为∠ BAD ＝90°，且 AB ＝ AD ，所以
∠ ADE ＝45°.所以 AD 与平面 BCD 所成的角是
45°.故选B.
题型二 利用 cos θ＝ cos θ1 cos θ2求直线与平面夹角
【例2】 （链接教科书第45页例1）如图，∠ BOC 在平面α内， OA
是α的斜线，若∠ AOB ＝∠ AOC ＝60°， OA ＝ OB ＝ OC ＝ a ， BC
a ，求 OA 与平面α所成的角.
解：如图，过点 A 作 AH ⊥α，则∠ AOH 为 AO 与平面α所成的角，
∴ cos 60°＝ cos ∠ AOB ＝ cos ∠ AOC ＝ cos ∠ AOH × cos ∠ BOH
＝ cos ∠ AOH × cos ∠ COH .
∴ cos ∠ BOH ＝ cos ∠ COH ，
∴∠ BOH ＝∠ COH .
又∵ OB ＝ OC ＝ a ， BC a ，
∴ OB2＋ OC2＝ BC2，
∴∠ BOC ＝90°.
∴∠ BOH ＝45°，
∵ cos ∠ AOB ＝ cos ∠ AOH · cos ∠ BOH ，
∴ cos 60°＝ cos ∠ AOH · cos 45°.
∴ cos ∠ AOH .∴∠ AOH ＝45°，
即 AO 与平面α所成的角为45°.
通性通法
cos θ＝ cos θ1· cos θ2的应用
（1）利用公式 cos θ＝ cos θ1· cos θ2求直线与平面的夹角，应明确图
形中θ，θ1，θ2；
（2）①当θ＝90° θ2＝90°，即符合三垂线定理；
②由0＜ cos θ2＜1，所以 cos θ＜ cos θ1 θ1＜θ，即θ1为所有θ角
中最小的角.
【跟踪训练】
PA ， PB ， PC 是从 P 点引出的三条射线，每两条射线的夹角为
60°，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 如图，∵∠ CPA ＝∠ CPB ，
∴ PC 在平面 APB 内的射影 PH 是∠ APB 的平分线.
∴ cos ∠ CPH .
题型三 利用空间向量求直线与平面的夹角
【例3】 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ，四边形
ABCD 为正方形， M ， N 分别为 AB ， PD 的中点.
（1）求证： MN ∥平面 PBC ；
解：证明：取 PC 中点为 E ，连接 BE ， NE .
∵ E ， N 分别为 PC ， PD 的中点，∴ EN ∥ CD ， EN CD .
又四边形 ABCD 为正方形，∴ CD ∥ AB ， CD ＝ AB ，
又∵ M 为 AB 的中点，∴ EN ∥ BM ， EN ＝ BM ，
∴四边形 BMNE 为平行四边形，∴ MN ∥ BE ，
又 BE 平面 PBC ， MN 平面 PBC ，∴ MN ∥平面 PBC .
（2）若 PA ＝ AD ，求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值.
解：以 A 为坐标原点， AB ， AD ， AP
所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐
标系.
设｜ PA ｜＝｜ AD ｜＝2，则 D （0，2，
0）， C （2，2，0）， P （0，0，2）， M
（1，0，0）， N （0，1，1），
－1，1，1） 2，2，－
2） 0，2，－2），
设平面 PCD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），
则
令 y ＝1，则 m ＝（0，1，1），
设直线 MN 与平面 PCD 所成角为θ，则 sin θ
.
通性通法
用法向量求线面角的正弦值的流程图
【跟踪训练】
如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 为正
方形，且 PD ＝ AB ＝1， G 为△ ABC 的重心，则 PG 与底面 ABCD 所成
的角θ满足（ ）
A. θ B. cos θ
C. tan θ D. sin θ
解析： 以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间
直角坐标系，则 P （0，0，1）， A （1，0，0），
B （1，1，0）， C （0，1，0），所以 G （
0） （ －1）.平面 ABCD 的一个法
向量为 n ＝（0，0，1），则 sin θ＝｜ cos
n ＞｜＝｜ ｜ PG 与平面 ABCD 所成角的余弦值 .
1. 若直线 l 与平面α所成角 a 在平面α内，且与直线 l 异面，
则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是（ ）
A. ［0 ］ B. ［ ］
C. ［ ］ D. ［ ］
解析： 由最小角定理知直线 l 与直线 a 所成的最小角
l ， a 为异面直线，则所成角的最大值 .
2. 已知平面α的一个法向量为 n ＝（1，－1，0），则 y 轴与平面α所成
的角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 易知 y 轴的方向向量为 m ＝（0，1，0），解得｜ cos ＜
n ， m ＞｜ α B.
3. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝1， BB1＝2 D 是棱 BB1的
中点，则 AD 与平面 AA1 C1 C 所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 如图，取 AC ， A1 C1的中点分别为 M ，
M1，连接 MM1， BM ，过点 D 作 DN ∥ BM 交 MM1
于点 N ，则易证 DN ⊥平面 AA1 C1 C ，连接 AN ，则
∠ DAN 为 AD 与平面 AA1 C1 C 所成的角.在Rt△ DNA
中， sin ∠ DAN ∠ DAN .
4. 设平面α的一个法向量为 n ＝（1，2，－2），点 A ∈α， B α 0，2，1），则 AB 与α所成角的正弦值为 .
解析：设 AB 与α所成角为θ，根据向量的夹角公式，可得 AB 与平面
α所成角的正弦值为 sin θ＝｜ cos ＜ n ｜ .
5. 在正三棱锥 P - ABC 中， PA ＝4， AB PA 与底面 ABC
所成角的余弦值为 .
解析：如图，在正三棱锥 P - ABC 中， PA ＝4，
AB P 在底面上的射影为 O ，则 O 为△
ABC 的中心，由已知求得 AO ＝1，又 PA ＝4，∴
cos ∠ PAO .即侧棱 PA 与底面 ABC 所成
角的余弦值 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图，在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝1， AA1＝2 D 是侧棱 BB1的中点，则直线 C1 D 与平面 ABC 所成角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： ∵ BB1⊥平面 A1 B1 C1，∴ C1 D 与平面 A1 B1 C1所成的角为
∠ DC1 B1.又 B1 C1＝1， B1 D Rt△ DB1 C1中，tan∠ DC1 B1 ∴∠ DC1 B1 A1 B1 C1∥平面 ABC ，
∴ C1 D 与平面 ABC 所成角也 .故选B.
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2. 已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝4， CC1＝2，则直线
BC1和平面 DBB1 D1所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 如图，连接 A1 C1交 B1 D1于 O 点，由已知
得 C1 O ⊥ B1 D1，且平面 BDD1 B1⊥平面 A1 B1 C1
D1，∴ C1 O ⊥平面 BDD1 B1，连接 BO ，则 BO 为
BC1在平面 BDD1 B1上的射影，∠ C1 BO 即为所求.
C1 O 2 BC1 2
∴ sin ∠ C1 BO .
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3. 已知三棱锥 S - ABC 中 ，底面 ABC 为边长等于2的等边三角形， SA
垂直于底面 ABC ， SA ＝3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦
值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 如图所示，以 A 为原点，分别以 AB ，
AS 所在直线为 x 轴、 z 轴建立空间直角坐标系
Axyz ，易知 S （0，0，3）， B （2，0，0）， C （1
0）.设平面 SBC 的法向量为 n ＝（ x ， y ，
z ），则
得 n ＝（3 2）， 2，0，0），∴当α为 AB 与平面 SBC 所成的角时， sin α＝｜ cos n ＞｜ .
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4. 正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别为 AB ， C1 D1的中点，则 A1
B1与平面 A1 EF 所成角的正切值为（ ）
A. 2 B.
C. 1 D.
解析： A1 B1与平面 A1 EF 所成的角就是∠ B1 A1 C ，tan∠ B1 A1 C
.
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5. 如图，正四棱锥 S - ABCD 中， O 为顶点在底面内的投影， P 为侧棱
SD 的中点，且 SO ＝ OC ，则直线 CD 与平面 PAC 的夹角是（ ）
A. 45° B. 90°
C. 30° D. 60°
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解析： 如图，以 O 为坐标原点，以 OB 为 x
轴， OC 为 y 轴， OS 为 z 轴，建立空间直角坐标
系 O - xyz .设 OD ＝ SO ＝ OA ＝ OB ＝ OC ＝ a ，
则 A （0，－ a ，0）， C （0， a ，0）， D （－
a ，0，0）， S （0，0， a ）， P （ 0
）， 0，－2 a ，0） （ a ） － a ，－ a ，0），
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设平面 PAC 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 n · 0， n · 0，∴ n ＝（1，0，1），设直线 CD 与平面 PAC 的夹角为θ，则 sin θ＝｜ cos n ＞｜ 0＜θ≤90°，∴θ＝30°，故选C.
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6. 等腰Rt△ ABC 的斜边 AB 在平面α内，若 AC 与α成30°角，则斜边上
的中线 CM 与平面α所成的角为 .
解析：如图，作 CO ⊥α， O 为垂足，连接 AO ，
MO ，则∠ CAO ＝30°，∠ CMO 为 CM 与α所成的
角.在Rt△ AOC 中，设 CO ＝1，则 AC ＝2.在等腰
Rt△ ABC 中，由 AC ＝2得 CM .在Rt△ CMO
中， sin ∠ CMO .
∴∠ CMO ＝45°.
45°
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7. 在三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥平面 ABC ，∠ BAC ＝90°， D ， E ， F 分
别是棱 AB ， BC ， CP 的中点， AB ＝ AC ＝1， PA ＝2，则直线 PA 与
平面 DEF 所成角的正弦值为 .
解析：因为∠ BAC ＝90°，所以 BA ⊥ AC ，因为 PA ⊥平面 ABC ， BA ， AC 平面 ABC ，所以 PA ⊥ AC ， PA ⊥ AB ，以 A 为空间直角坐标系的原点，以 AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0）， P （0，0，2），
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D （ 0，0）， E （ 0）， F （0 1） 0，
0，－2） （0 0） （ 1），设平面
DEF 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），所以有
m ＝（2，0，1），设直线 PA 与
平面 DEF 所成角为θ，所以 sin θ＝｜ cos m ＞｜ .
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8. 已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1， AC1与过顶点 A 的三个平面所成的角
分别是α，β，γ，则 sin 2α＋ sin 2β＋ sin 2γ＝ .
解析：如图，连接 AC ， AB1， AD1，则由长方
体性质知，∠ C1 AC 是 AC1与平面 ABCD 所成
角，设为α；∠ C1 AB1是 AC1与平面 ABB1 A1所
成角，设为β；∠ C1 AD1是 AC1与平面 ADD1 A1
所成角，设为γ.
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又由△ AB1 C1、△ ACC1、△ AC1 D1都是直角三角形，
所以 sin 2α＋ sin 2β＋ sin 2γ .
又由长方体性质 C B1 D1 A
sin 2α＋ sin 2β＋ sin 2γ＝1.
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9. 如图，已知三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ AC ， PA ＝
AC AB ， N 为 AB 上一点， AB ＝4 AN ， M ， S 分别为 PB ， BC 的
中点.
（1）证明： CM ⊥ SN ；
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解：证明：设 PA ＝1，以 A 为原点，
AB ， AC ， AP 所在直线分别为 x 轴， y
轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.
则 C （0，1，0）， M （1，0 ）， N
（ 0，0）， S （1 0）.
所 （1，－1 ） （ 0），
因 · 0＝0，
所以 CM ⊥ SN .
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（2）求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.
解：由（1）， （ 1，0）.
设 a ＝（ x ， y ， z ）为平面 CMN 的法向量，
则
令 x ＝2，得 a ＝（2，1，－2）为平面 CMN的一个法向量.
所以｜ cos ＜ a ｜
所以 SN 与平面 CMN 所成角的大小为45°.
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10. 在圆柱 OO1中， O 是上底面圆心， AB 是下底面圆的直径，点 C 在
下底面圆周上，若△ OAB 是正三角形， O1 C ⊥ AB ，则 OC 与平面
OAB 所成的角为（ ）
A. 150° B. 30°
C. 45° D. 60°
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解析： 如图，设 AB ＝2 a ，则 OA ＝2 a ， O1 A
＝ O1 B ＝ O1 C ＝ a ，∴ OO1 a ，
OC 2 a ，∵ CO1⊥ AB ， CO1⊥
OO1， AB ∩ OO1＝ O1，∴ CO1⊥平面 AOB ，∴∠
COO1是 OC 与平面 OAB 所成角， sin ∠ COO1
∴∠ COO1＝30°，∴ OC 与平面 OAB 所成角为30°.
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11. 如图，由直三棱柱 ABC - A1 B1 C1和四棱锥 D - BB1 C1 C 构成的几何体中，∠ BAC ＝90°， AB ＝1， BC ＝ BB1＝2， DC1＝ DC
CC1 D ⊥平面 ACC1 A1. P 为线段 BC 上一动点，当 BP ＝ 时，直线 DP 与平面 BB1 D 所成角的正弦值 .
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解析：以 A 为坐标原点 x ， y ， z 轴
的正方向建立空间直角坐标系.所以 A （0，0，0）， C 0，
0）， C1 2，0）， D 1，2）， B （0，0，1）， B1
（0，2，1），
所 0，2，0） 1，1）.
设平面 BB1 D 的法向量 n ＝（ x ， y ， z ），
所以
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所以 BB1 D 的一个法向量 n ＝
0，－3）， λ λ∈[0，1]， 0，－
1），所 λ λ －1，－1－λ），所 12λ2＋4λ－5＝0，解得λ λ＝ .因为 BC ＝2，所以 BP ＝1.
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12. 已知在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，若 E
点在 AB 上，且 AD1与平面 D1 EC 所成的角 AE 的长.
解：以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC
所在直线为 y 轴， DD1所在直线为 z 轴建立空
间直角坐标系，如图所示.设棱 AB 上点 E
（1， t ，0）（0≤ t ≤2），易得 A （1，0，
0）， D1（0，0，1）， C （0，2，0 ），
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－1，0，1） 0，－2，1） 1， t －2，0）.设平面 D1 EC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 y ＝1，得 n＝（2－ t ，1，2），∴ sin t2＋4 t －9＝0，解得 t ＝－2 t ＝－2 ∴ AE ＝－2 .
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13. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， O 是 AC 中点，点 P 在线段
A1 C1上，若直线 OP 与平面 A1 BC1所成的角为θ，则 sin θ的取值范
围是（ ）
A. ［ ］ B. ［ ］
C. ［ ］ D. ［ ］
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解析： 如图，设正方体棱长为1 λ
（0≤λ≤1）， λ D 为原点，
分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x ， y ， z 轴
建立空间直角坐标系.则 A （1，0，0）， C
（0，1，0）， O （ 0）
－1，1，0） －λ，λ，0），又 A1（1，0，1），
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则 P （1－λ，λ，1），所 （ λ，λ 1）.在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，可知体对角线 B1 D ⊥平面 A1 BC1，所 1，1，1）是平面 A1 BC1的一个法向量，所以 sin θ＝｜ cos ｜ .所以当λ sin θ取得最大 λ＝0或1时， sin θ取得最小 .所以 sin θ∈［ ］.故选A.
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14. 如图①，在梯形 ABCD 中， BF ⊥ AD ， CE ⊥ AD ， BC ＝ BF ＝ AF
＝ EF ＝2， DE ＝2 CE 为折痕，将点 D 翻折到点 P ，满足
PA ＝ PB ＝ PE ，如图②.
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（1）求证： PF ⊥平面 ABCE ；
解：证明：因为 AF ＝ EF ，则 F 为 AE 的中点，
又因 PA ＝ PE ，所以 PF ⊥ AE ，
所以 PF2＋ EF2＝ PE2，又 EF ＝ BF ， PE ＝ PB ，
所以 PF2＋ BF2＝ PB2，所以 PF ⊥ BF ，
又因为 AE ， BF 平面 ABCE ，且 AE ∩ BF ＝ F ，所以 PF ⊥
平面 ABCE ；
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（2）设 M 为 BC 的中点， N 为线段 PF 上一点，且四棱锥 N - ABCE
的体积为2，求直线 MN 与平面 PAB 所成角的正弦值.
解：四边形 ABCE 的面积 S BC ＋ AE ）· CE
2＋4）×2＝6，
则四棱锥 N - ABCE 的体积 V S · NF 6× NF ＝2，所以
NF ＝1，
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因为 PF ⊥平面 ABCE ， BF ⊥ AE ，
以 F 为原点， FA ， FB ， FP 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系，
则 A （2，0，0）， B （0，2，0）， M （－1，2，0）， N （0，0，1），
又 PF 4，所以 P （0，0，4），
所 －2，2，0） 2，0，－4） 1，－2，1）.
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设直线 MN 与平面 PAB 所成角为θ，平面 PAB 的法向量为 n ＝
（ x ， y ， z ），
则 z ＝1，得 n ＝（2，2，1）.
所以 cos ＜ n
sin θ＝｜ cos ＜ n ｜
所以直线 MN 与平面 PAB 所成角的正弦值 .
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谢 谢 观 看！
