1.2.4 二面角
1.平面α的一个法向量为n1＝（4，3，0），平面β的一个法向量为n2＝（0，－3，4），则平面α与平面β所成角的余弦值为（ ）
A.－ B.
C. D.以上都不对
2.如图所示，在正四棱锥P-ABCD中，若△PAC的面积与正四棱锥的侧面积之比为∶8，则侧面与底面所成的二面角为（ ）
A. B. C. D.
3.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B-AC-D的大小为（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
4.已知二面角α-l-β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为，Q到α的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为（ ）
A. B.2
C.2 D.4
5.（多选）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E-AD-B与F-BC-A相等，则EF的长度可能为（ ）
A.1 B.5
C.9 D.13
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BD-A的平面角的正切值为 .
7.若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝3，则二面角P-BC-A的大小为 .
8.如图，二面角α-l-β等于，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且2AB＝AC＝BD＝2，则CD的长等于 .
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.求二面角A-PD-C的余弦值.
10.如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角D-EF-B的平面角为锐角，记二面角D-EF-B的平面角为α，直线EC与平面ABFE所成角为β，直线EC与直线FB所成角为γ，则（ ）
A.β＞α，β＞γ B.α＞β，β＞γ
C.α＞β，γ＞β D.α＞γ，γ＞β
11.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA＝AB＝1，BC＝，则二面角A-PC-B的正弦值为 .
12.如图①，正方形ABCD的边长为4，AB＝AE＝BF＝EF，AB∥EF，把四边形ABCD沿AB折起，使得AD⊥平面AEFB，G是EF的中点，如图②.
（1）求证：AG⊥平面BCE；
（2）求二面角C-AE-F的余弦值.
13.（多选）如图，今年五一，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面β内绕点B做圆周运动，并且始终保持OB⊥β，B∈β.已知OB＝6AB，在“大摆锤”启动后，下列结论中正确的有（ ）
A.点A在某个定球面上运动
B.线段AB在水平地面上的正投影的长度为定值
C.直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值为
D.β与水平地面所成角记为θ，直线OB与水平地面所成角记为δ，当0＜θ＜时，θ＋δ为定值
14.如图，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：①a＝；②a＝1；③a＝；④a＝2；⑤a＝4.
（1）当BC边上存在点Q，使PQ⊥QD时，a可以取所给数据中的哪些值？请说明理由；
（2）记满足（1）的条件下的Q点为Qn（n＝1，2，3，…），当a取所给数据中的最小值时，这样的点Qn有几个？试求二面角Qn-PA-Qn＋1的大小.
1.2.4 二面角
1.B cos＜n1，n2＞＝＝＝－，∴平面α与β的所成角的余弦值为.
2.D 设正四棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h，斜高为h'，则＝，∴＝，∴sin θ＝，即θ＝.
3.D 如图所示，欲使得三棱锥体积最大，∵三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B-AC-D的大小为90°.
4.C 点P到直线l的距离为2，点Q到直线l的距离为4，当P，Q连线与直线l垂直时，即过点P，Q分别作直线l的垂线，当垂直重合时，P，Q两点间的距离最小，此时距离为｜PQ｜＝＝2.
5.BCD 由于△ADE与△BCF都是等边三角形，且边长为2，故高为3.当E-AD-B和F-BC-A趋向于0时，EF→8－3－3＝2，如图①所示.
当E-AD-B和F-BC-A趋向于π时，EF→8＋3＋3＝14，如图②所示.
所以EF的取值范围是（2，14）.故选B、C、D.
6. 解析：如图，取BD的中点M，连接AM，A1D，A1B，A1M，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可知A1D＝A1B，AB＝AD，所以A1M⊥BD，AM⊥BD，所以二面角A1-BD-A的平面角为∠A1MA，设AA1＝2，所以AM＝＝，所以tan∠A1MA＝＝.
7.120° 解析：取BC的中点O，连接PO，AO（图略），则∠POA就是二面角P-BC-A的平面角.又PO＝AO＝，PA＝3，所以cos∠POA＝＝＝－.∴∠POA＝120°.
8. 解析：依题意与的夹角为.＝＋＋，｜｜2＝｜＋＋｜2＝＋＋＋2（·＋·＋·）＝4＋1＋4＋2·＝9＋2×2×2×cos＝9＋4＝13，所以｜｜＝.
9.解：设G为AD中点，连接CG，则CG⊥AD.
又因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，CG 平面ABCD，所以CG⊥平面PAD.
过G作GH⊥PD于H，连接CH，由三垂线定理可知CH⊥PD.
所以∠GHC是二面角A-PD-C的平面角.
设AD＝2，则PA＝AB＝CG＝DG＝1，DP＝.
在△PAD中，＝，所以GH＝.
所以tan∠GHC＝＝，cos∠GHC＝.即二面角A-PD-C的余弦值为.
10.C ∵EF⊥CF，EF⊥FB，CF∩FB＝F，∴EF⊥平面BCF.又EF 平面ABFE，∴平面ABFE⊥平面BCF，交线为FB.过C作CO⊥FB于O.则CO⊥平面ABFE，垂足为O，依题意α＝∠CFO，β＝∠CEO，γ＝∠CEA，∵CF＜CE，∴＞，即sin α＞sin β.∴α＞β，由线面角的性质可得γ＞β.故选C.
11. 解析：依据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1），C（1，，0），设平面APC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），此时＝（1，，0），＝（0，0，1），∵∴不妨设y1＝1，则x1＝－，n1＝（－，1，0），设平面PBC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），此时＝（0，，0），＝（1，0，－1），∵∴不妨设x2＝1，则z2＝1，y2＝0，n2＝（1，0，1），设二面角A-PC-B为α，则cos α＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝，sin α＝.
12.解：（1）证明：如图，连接BG，因为BC∥AD，AD⊥底面AEFB，
所以BC⊥底面AEFB，
又AG 底面AEFB，
所以BC⊥AG，
因为AB＝AE，
所以四边形ABGE为菱形，
所以AG⊥BE，
又BC∩BE＝B，BE 平面BCE，BC 平面BCE，
所以AG⊥平面BCE.
（2）由（1）知四边形ABGE为菱形，AG⊥BE，AE＝EG＝BG＝AB＝4，
设AG∩BE＝O，所以OE＝OB＝2，OA＝OG＝2，
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（－2，0，0），E（0，－2，0），F（4，2，0），C（0，2，4），D（－2，0，4），
所以＝（2，2，4），＝（2，－2，0），
设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z），
由得
则令y＝1，则x＝，z＝－，
即平面ACE的一个法向量为n＝（，1，－），
易知平面AEF的一个法向量为＝（0，0，4），
设二面角C-AE-F的大小为θ，由图易知θ∈，
所以cos θ＝＝＝.
故二面角C-AE-F的余弦值为.
13.ACD 对于A，由题知，主轴OB在平面α内绕点O左右摆动，点A在平面β内绕点B做圆周运动，则该圆永远处在整个运动过程形成的以O为球心，以OA＝＝AB为半径的球面上，故A正确；
对于B，设平面OBC表示平面α，平面DEGH表示水平面，线段AB在水平地面上的正投影A'B'随着转动过程中A，B点的位置不同一直在变化，故B错误；
对于C，因为OA＝＝AB为定值，则直线OA与平面α所成角的正弦值的最大值即点A到平面OBC距离为最大值时取得，则由线面知，点A到平面OBC距离为最大值即为AB的长，此时直线OA与平面α所成角的正弦值为＝＝，故C正确；
对于D，取BC∥平面DEGH，此时∠OBC＝δ，设平面DEGH∩平面β＝l，则由平面OBC⊥平面DEGH，平面OBC⊥平面β，知l⊥平面OBC，因此不论A运动到何位置，平面β与水平地面所成角均相同，当A恰运动到平面OBC内，即平面OBC∩平面β＝AB，AA'交CB的延长线于Q，则∠ABQ即为β与水平地面所成角θ，又OB⊥AB，则θ＋δ＝π－＝，故D正确；故选A、C、D.
14.解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），D（0，2，0），
设Q（a，t，0）（｜BQ｜＝t，0≤t≤2），于是有＝（a，t，－2），＝（－a，2－t，0）.
由PQ⊥QD，得·＝－a2＋t（2－t）－2×0＝0，即t2－2t＋a2＝0.
此方程有解，则Δ＝4－4a2≥0，∴0≤a≤1.当a＝时，方程的解为t＝或t＝，满足0≤t≤2；当a＝1时，方程的解为t＝1，也满足0≤t≤2.
因此，满足条件的a的取值为a＝或a＝1.
（2）在满足（1）的条件下，a取所给数据中的最小值时，a＝.由（1）知，此时t＝或t＝.
∴满足条件的点Q是Q1，Q2，
连接AQ1，AQ2，PQ1，PQ2（图略），则所求的二面角应为Q1-PA-Q2.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥Q1A，PA⊥Q2A，
∴∠Q1AQ2即所求二面角的平面角.
∵＝，＝，
∴cos＜，＞＝
＝＝，
∴＜，＞＝30°，即∠Q1AQ2＝30°.
∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30°.
1 / 31.2.4 二面角
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角的定义 直观想象
2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 数学运算
同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座的，可是你知道十二星座的由来吗？
我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角（二面角的平面角）约为23°26'，它与天球相交的大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来……
【问题】 你知道二面角是如何定义的吗？
知识点一 二面角
1.定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形称为二面角，如图.
2.范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角称为 .
提醒 找二面角的三种方法
定义法 在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角
垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角
垂线法 过二面角的一个面内异 于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图，∠AOB为二面角α-l-β的平面角
知识点二 空间向量与二面角
如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ＝ 或 ，如图.
特别地sin θ＝ .
【想一想】
若二面角α-l-β的两个半平面的法向量分别为n1，n2，那么二面角的平面角与两法向量夹角＜n1，n2＞一定相等吗？
1.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（ ）
A. B.－
C. D.或－
2.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则二面角P-CD-A的大小为 ，平面PAD与平面PBC所成的角为 .
3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-PA-C的大小为 .
题型一 几何法求二面角
【例1】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°.求二面角A-A1C-B的正切值.
尝试解答
通性通法
求二面角大小的步骤（一作二证三求）
【跟踪训练】
如图，空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，对角线AC＝a，BD＝a，求二面角A-BD-C的大小.
题型二 向量法求二面角
【例2】 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点.
（1）求证D1F∥平面A1EC1；
（2）求二面角A-A1C1-E的正弦值.
尝试解答
通性通法
向量法求二面角的三个步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个半平面的法向量n1，n2；
（3）设两平面的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜.
提醒 （1）若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解；
（2）要注意两平面所成的角与二面角的区别.
【跟踪训练】
1.如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝（0，0，2），＝（1，0，0），＝（0，2，0），设二面角C-AB-O的大小为θ，则cos θ＝（ ）
A. B. C. D.
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，E为BB1的中点，则二面角E-AC-B的大小为 .
1.2.4 二面角
【基础知识·重落实】
知识点一
1.半平面 2.直二面角
知识点二
＜n1，n2＞ θ＝π－＜n1，n2＞ sin＜n1，n2＞
想一想
提示：不一定.可能相等，也可能互补.
自我诊断
1.D ∵＝，∴这个二面角的余弦值为或－.
2.45° 45°
3.90° 解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的大小为90°.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设A1C的中点为M，连接BM，AM，
因为BA1＝BC，AA1＝AC，所以BM⊥A1C，AM⊥A1C，
所以∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角，
由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB 平面ABC，
可得AB⊥AA1，由∠BAC＝90°，可得AB⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1，
又因为AM 平面ACC1A1，所以AB⊥AM，
在Rt△ABM中，AB＝2，AM＝，可得tan∠AMB＝＝，
所以二面角A-A1C-B的正切值为.
跟踪训练
解：如图，取BD的中点O，分别连接AO，CO，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD.
∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.
∵AB＝AD＝a，BD＝a，
∴AO＝a.
∵BC＝CD＝a，BD＝a，
∴OC＝a.
在△AOC中，OC＝a，OA＝a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2.
∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C的大小为90°.
【例2】 解：（1）以A为原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），C1（2，2，2），D1（0，2，2），
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E（2，1，0），F（1，2，0），
所以＝（1，0，－2），＝（2，2，0），＝（2，1，－2），
设平面A1EC1的一个法向量为m＝（x1，y1，z1），
则
令x1＝2，则m＝（2，－2，1），
因为·m＝2－2＝0，所以⊥m，
因为D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.
（2）由正方体的特征可得，平面AA1C1的一个法向量为＝（2，－2，0），
则cos＜，m＞＝＝＝，
所以二面角A-A1C1-E的正弦值为＝.
跟踪训练
1.B 因为＝（0，0，2），＝（1，0，0），＝（0，2，0），所以＝（－1，2，0），＝（－1，0，2），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则即取n＝（2，1，1），又因为平面ABO的法向量为＝（0，0，2），所以cos θ＝＝＝，故选B.
2. 解析：设正三棱柱的棱长为2，以AC的中点O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，AC的垂直平分线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（－1，0，0），B（0，，0），E（0，，1），＝（－2，0，0），＝（－1，，1）.设平面AEC的法向量为n1＝（x，y，z），则令z＝，得n1＝（0，－1，）.平面ABC的一个法向量为n2＝（0，0，1），则cos＜n1，n2＞＝＝.所以＜n1，n2＞＝，故二面角E-AC-B的大小为.
1 / 3(共30张PPT)
1.2.4 二面角
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角的定义 直观想象
2.能用向量方法解决二面角的计算问题，体会向量方法
在研究几何问题中的作用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
同学们可能经常谈论某某同学是白羊座的，某某同学是双子座
的，可是你知道十二星座的由来吗？
我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面
与地球赤道面交角（二面角的平面角）约为23°26'，它与天球相交的
大圆为“黄道”，黄道及其附近的南北宽8°以内的区域为黄道带，黄
道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”，从春分（节气）点起，
每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，
这便是星座的由来……
【问题】 你知道二面角是如何定义的吗？
知识点一 二面角
1. 定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形称为二面
角，如图.
半平面
2. 范围：我们约定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于
180°，而且，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所
形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是
直角的二面角称为 .
直二面角
定义
法 在棱上取一点，分别在两平面内过此点引两条射线与棱垂
直，这两条射线所成的角就是二面角的平面角
垂面
法 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两
个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角
提醒 找二面角的三种方法
垂线
法
过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线，
垂足为 B ，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O ，连接
AO ，则∠ AOB 为二面角的平面角或其补角，如图，∠ AOB
为二面角α- l -β的平面角
知识点二 空间向量与二面角
如果 n1， n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小
为θ，则θ＝ 或 ，如图.
特别地 sin θ＝ .
＜ n1， n2＞
θ＝π－＜ n1， n2＞
sin ＜ n1， n2＞
若二面角α- l -β的两个半平面的法向量分别为 n1， n2，那么二面角的平
面角与两法向量夹角＜ n1， n2＞一定相等吗？
提示：不一定.可能相等，也可能互补.
【想一想】
1. 在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为
（0，－1，3），（2，2，4），则这个二面角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵ ∴这个二面角的余弦
值 .
2. 正方形 ABCD 所在平面外一点 P ， PA ⊥平面 ABCD ，若 PA ＝ AB ，
则二面角 P - CD - A 的大小为 ，平面 PAD 与平面 PBC 所成的
角为 .
3. 在三棱锥 P - ABC 中， PA ⊥平面 ABC ，∠ BAC ＝90°，则二面角 B -
PA - C 的大小为 .
解析：因为 PA ⊥平面 ABC ，所以 AC ⊥ PA ， BA ⊥ PA ，所以∠ BAC
为二面角 B - PA - C 的平面角，又∠ BAC ＝90°，所以二面角 B - PA - C
的大小为90°.
45°
45°
90°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 几何法求二面角
【例1】 如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝ AC ＝ AA1＝2，∠
BAC ＝90°.求二面角 A - A1 C - B 的正切值.
解：设 A1 C 的中点为 M ，连接 BM ， AM ，
因为 BA1＝ BC ， AA1＝ AC ，所以 BM ⊥ A1 C ， AM
⊥ A1 C ，
所以∠ AMB 是二面角 A - A1 C - B 的平面角，
由直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AA1⊥平面 ABC ，且
AB 平面 ABC ，
可得 AB ⊥ AA1，由∠ BAC ＝90°，可得 AB ⊥ AC ，
且 AC ∩ AA1＝ A ，所以 AB ⊥平面 ACC1 A1，
又因为 AM 平面 ACC1 A1，所以 AB ⊥ AM ，
在Rt△ ABM 中， AB ＝2， AM tan∠
AMB
所以二面角 A - A1 C - B 的正切值 .
通性通法
求二面角大小的步骤（一作二证三求）
【跟踪训练】
如图，空间四边形 ABCD 中， AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ＝ a ，对角线 AC
＝ a ， BD a ，求二面角 A - BD - C 的大小.
解：如图，取 BD 的中点 O ，分别连接 AO ， CO ，
∵ AB ＝ AD ， BC ＝ CD ，
∴ AO ⊥ BD ， CO ⊥ BD .
∴∠ AOC 为二面角 A - BD - C 的平面角.
∵ AB ＝ AD ＝ a ， BD a ，
∴ AO a .
∵ BC ＝ CD ＝ a ， BD a ，∴ OC a .
在△ AOC 中， OC a ， OA a ， AC ＝ a ， OA2＋ OC2＝ AC2.
∴∠ AOC ＝90°.即二面角 A - BD - C 的大小为90°.
题型二 向量法求二面角
【例2】 如图，在棱长为2的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 为棱 BC
的中点， F 为棱 CD 的中点.
（1）求证 D1 F ∥平面 A1 EC1；
解：以 A 为原点， AB ， AD ， AA1分
别为 x ， y ， z 轴，建立如图空间直角坐标系，
则 A （0，0，0）， A1（0，0，2）， B
（2，0，0）， C （2，2，0）， D （0，2，
0）， C1（2，2，2）， D1（0，2，2），
因为 E 为棱 BC 的中点， F 为棱 CD 的中点，
所以 E （2，1，0）， F （1，2，0），
所 1，0，－2） 2，
2，0） 2，1，－2），
设平面 A1 EC1的一个法向量为 m ＝（ x1， y1， z1），
则 x1
＝2，则 m ＝（2，－2，1），
因 · m ＝2－2＝0，所 m ，
因为 D1 F 平面 A1 EC1，所以 D1 F ∥平面 A1 EC1.
（2）求二面角 A - A1 C1- E 的正弦值.
解：由正方体的特征可得，平面 AA1 C1的一个法向量 2，－2，0），
则 cos m ＞
所以二面角 A - A1 C1- E 的正弦值 .
通性通法
向量法求二面角的三个步骤
（1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；
（2）求出两个半平面的法向量 n1， n2；
（3）设两平面的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜.
提醒 （1）若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝
角还是锐角，从而用法向量求解；
（2）要注意两平面所成的角与二面角的区别.
【跟踪训练】
1. 如图，点 A ， B ， C 分别在空间直角坐标系 O - xyz 的三条坐标轴上 0，0，2） 1，0，0） 0，2，0），设
二面角 C - AB - O 的大小为θ，则 cos θ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因 0，0，2） 1，0，0）
0，2，0），所 －1，2，0） －1，0，2），设
平面 ABC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 n ＝（2，1，1），又因为平面 ABO 的法向量 0，0，2），所以 cos θ B.
2. 在正三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，各棱长都相等， E 为 BB1的中点，则二
面角 E - AC - B 的大小为 .
解析：设正三棱柱的棱长为2，以 AC 的中点 O 为坐标原点， OA ， OB 所在直线分别为 x 轴， y 轴， AC 的垂直平分线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A （1，0，0）， C （－1，0，0）， B （0 0）， E （0 1） －2，0，0） －1 1）.
设平面 AEC 的法向量为 n1＝（ x ， y ， z ）， z n1＝（0，－1 .
平面 ABC 的一个法向量为 n2＝（0，0，1），则 cos ＜ n1， n2＞ .所以＜ n1， n2＞ E - AC - B 的大
小 .
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