1.2.5 空间中的距离
1.已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，由点P（－2，1，z）到α的距离为，则z＝（ ）
A.16 B.4
C.4或－16 D.－4或16
2.已知点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），P（1，－1，0），那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ）
A.2 B.
C.2 D.
4.在四棱锥S-ABCD中，＝（4，－1，0），＝（0，3，0），＝（－3，1，－5），则这个四棱锥的高h为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
5.（多选）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是（ ）
A.异面直线AC与BC1所成的角为
B.是平面ABC1D1的一个法向量
C.直线A1B1到平面ABC1D1的距离为
D.平面AB1C与平面A1C1D间的距离为
6.已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则A，C1两点间的距离是 .
7.在三棱锥P-ABC中，设向量＝（4，－2，3），＝（－4，1，0），＝（－6，2，－8），则顶点P到底面ABC的距离为 .
8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为 .
9.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝AD＝1，E，F分别是A1D1，BC的中点，P是BD上一点，PF∥平面EC1D.
（1）求BP的长；
（2）求点P到平面EC1D的距离.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1上的动点，且AP⊥BD1，记点P到平面ABCD的距离为d，则d的最大值为（ ）
A.4 B.3
C. D.
11.如图所示，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，若点M在线段BF上运动，记BM＝a，则当a＝ 时，点M到直线AC的距离有最小值.
12.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°.
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若二面角D-PC-A的余弦值为，求点A到平面PBC的距离.
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足·＝0，则点M到直线AB的最远距离为（ ）
A.2 B.3＋
C.4＋ D.4＋2
14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
1.2.5 空间中的距离
1.C 由点A（－1，3，0）在平面α内，点P（－2，1，z），可得＝（－1，－2，z），因为平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），且点P（－2，1，z）到α的距离为，可得＝，即＝，解得z＝4或z＝－16.故选C.
2.C 因为点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），P（1，－1，0），所以＝（－1，1，0），＝（－1，0，2），＝（0，－1，0），设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝1，得y＝1，z＝，则n＝，所以d＝＝，故选C.
3.D ∵ABCD为正方形，∴AD⊥DC.由 ∠PDC为二面角P-AD-C的平面角，即∠PDC＝60°.
如图所示，过P作PH⊥DC于H.∵DC⊥AD，PD⊥AD，DC∩PD＝D，∴AD⊥面PDC，∴AD⊥面PDH.又PH⊥DC， AD∩DC＝D，∴PH⊥面ABCD，在平面AC内过H作HE⊥AB于E，连接PE，则PE⊥AB，所以线段PE即为所求.以H为坐标原点建立空间直角坐标系H-xyz，则H（0，0，0），A（1，2，0），B（－1，2，0），E（0，2，0），P（0，0，），∴＝（0，2，－），∴｜｜＝＝，故选D.
4.D 设平面ABCD的法向量为n＝（x，y，z），则即∴取z＝1，则n＝（0，0，1），∴这个四棱锥的高h＝＝＝5.故选D.
5.ABD 如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），所以＝（－1，1，0），＝（－1，0，1），设异面直线AC与BC1所成的角为θ，则cos θ＝＝，因为θ∈，所以θ＝，故A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，DA1 平面ADD1A1，所以DA1⊥AB，又DA1⊥AD1，AD1∩AB＝A，AD1，AB 平面ABC1D1，所以DA1⊥平面ABC1D1，所以是平面ABC1D1的一个法向量，故B正确；因为A1B1∥AB，A1B1 平面ABC1D1，所以直线A1B1∥平面ABC1D1，则直线A1B1到平面ABC1D1的距离等于点B1到平面ABC1D1的距离，等于点B1到直线BC1的距离，为，故C错误；设平面A1C1D的一个法向量n＝（x，y，1），则即 所以n＝（－1，－1，1），则平面AB1C与平面A1C1D间的距离d＝＝＝，故D正确.故选A、B、D.
6.2 解析：设＝a，＝b，＝c，易得＝a＋b＋c，则＝·＝（a＋b＋c）·（a＋b＋c）＝a2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＋b2＋c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以｜｜＝2.
7.2 解析：因为＝（4，－2，3），＝（－4，1，0），设平面ABC的一个法向量n＝（x，y，z），由令x＝1，则y＝4，z＝，所以n＝，因为＝（－6，2，－8），所以点P到底面ABC的距离为d＝＝＝＝2.
8. 解析：如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O，∴平面AB1O1∥平面BC1O，∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.∵O（0，0，0），B（，0，0），C1（0，1，2），O1（0，0，2），∴＝（，0，0），＝（0，1，2），＝（0，0，2），设n＝（x，y，z）为平面BC1O的法向量，则即∴取z＝－1，则n＝（0，2，－1）为平面BC1O的一个法向量.点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝，∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
9.解：（1）以A1为原点，A1B1，A1D1，A1A所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
B（1，0，1），D（0，2，1），F（1，1，1），E（0，1，0），C1（1，2，0），
设P（a，b，1），＝λ，λ∈[0，1]，＝（0，1，1），＝（1，1，0），＝（－1，2，0），
则＝（a－1，b，0）＝（－λ，2λ，0），
∴P（1－λ，2λ，1），＝（λ，1－2λ，0），
设平面DEC1的法向量n＝（x，y，z），
则取x＝1，得n＝（1，－1，1），
∵PF∥平面EC1D，∴·n＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ＝，∴P，
∴BP的长｜｜＝＝.
（2）由（1）得平面DEC1的法向量n＝（1，－1，1），
＝，
∴点P到平面EC1D的距离：d＝＝＝.
10.D 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设P（a，3，c），（0≤a≤3，0≤c≤4），则A（3，0，0），B（3，3，0），D1（0，0，4），＝（a－3，3，c），＝（－3，－3，4），∵AP⊥BD1，∴·＝－3（a－3）－9＋4c＝0，解得c＝a，∵0≤a≤3，∴c的最大值为，即点P到平面ABCD的距离d的最大值为.故选D.
11. 解析：如图，建立空间直角坐标系，正方形的边长为1，则A（1，0，0），C（0，0，1），设点N是AC上的一点，且AN＝b，因为BM＝a，所以N（ 1－，0，），M（ ，，0），所以＝（－1，0，1），＝，当⊥时，｜｜就是点M到直线AC的距离，所以·＝0，即×（－1）＋0×＋1×＝0，整理得－1＋b＋a＋b＝0，即b＝1－a，
所以｜｜＝＝，所以当a＝－＝时，｜｜取得最小值，即此时点M到直线AC的距离有最小值.
12.解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PA⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，
又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
（2）设AP＝h，取CD的中点E，连接AE，则AE⊥CD，∴AE⊥AB.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，PA⊥AB，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，h），C（，，0），
D（，－，0），B（0，2，0），
＝，＝（0，1，0），
设平面PDC的法向量n1＝（x1，y1，z1），
则即
取x1＝h，∴n1＝.
由（1）知平面PAC的一个法向量为＝（，－，0），
∴｜cos＜n1，＞｜＝＝，解得h＝，
同理可求得平面PBC的一个法向量n2＝（3，，2），
∴点A到平面PBC的距离为
d＝＝＝.
13.B 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系.
则P（2，0，2），C（0，4，0），设M（a，b，0），0≤a≤4，0≤b≤4，∴＝（2－a，－b，2），＝（－a，4－b，0），∵·＝0，∴·＝－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴M为底面ABCD内以O（1，2）为圆心，以r＝为半径的圆上的一个动点，则点M到直线AB的最远距离为4－1＋＝3＋， 故选B.
14.解：取AD的中点O，连接PO，OC.在△PAD中，∵PA＝PD，
∴PO⊥AD.
又侧面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD.
建立如图所示的空间直角坐标系，易得A（0，－1，0），B（1，－1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
则＝（－1，0，1），＝（－1，1，0）.
假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，
设Q（0，y，0）（－1≤y≤1），则＝（－1，y，0）.
设平面PCD的法向量为n＝（x0，y0，z0），
则∴即x0＝y0＝z0，取x0＝1，
则平面PCD的一个法向量为n＝（1，1，1）.
∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝，
∴y＝－或y＝（舍去）.此时＝，＝，则｜｜＝，｜｜＝.
∴存在点Q满足题意，此时＝.
3 / 31.2.5 空间中的距离
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间中的五类距离 直观想象
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题 数学运算
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示，限高3.1米.
【问题】 （1）同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？
（2）数学中的距离是如何定义的呢？
知识点 空间距离及向量求法
1.空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这 .
2.点到直线的距离
给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定 ，所以过A可以作直线l的一条 ， 称为点A到直线l的距离.
3.点到平面的距离
（1）给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段， 称为点A到平面α的距离；
（2）一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝.
4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
（1）当直线与平面平行时，直线上 称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A，B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝；
（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点 称为这两个平行平面之间的距离.
如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝ .
【想一想】
1.在空间中怎样求两点之间的距离？
2.线面距、面面距与点面距有什么关系？
1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离｜CM｜等于（ ）
A. B.
C. D.
2.已知点A（1，1，1），B（0，1，0），C（－1，0，1），则点A到直线BC的距离是（ ）
A.1 B. C. D.2
3.已知平面α的一个法向量n＝（1，0，1），点A（－1，1，0）在α内，则平面外点P（－1，1，1）到平面α的距离为 .
题型一 空间中两点之间的距离
【例1】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥DC，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
（1）证明：BE⊥PD；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求线段PF的长.
尝试解答
通性通法
计算两点间的距离的两种方法
（1）利用｜a｜2＝a·a，通过向量运算求｜a｜，如求A，B两点间的距离，一般用｜｜＝＝求解；
（2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系.
【跟踪训练】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A关于直线A1C，BD1的对称点分别为P，Q，则P，Q两点间的距离是（ ）
A. B. C. D.
题型二 点到直线的距离
【例2】 已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）条件不变，试求点B到AC1的距离.
2.（变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱ABC-A1B1C1且所有棱长均为2”，如何求B到A1C1的距离？
通性通法
求点M到直线AB的距离的方法与步骤
（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线AB上取一点E，点E满足两个条件：①＝λ；②ME⊥AB；
（2）利用（1）中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点E的坐标，求出向量｜｜的模即为M点到AB的距离.
【跟踪训练】
在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（ ）
A. B. C. D.1
题型三 点到平面的距离
【例3】 （链接教科书第58页例3）已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点.求点D到平面PEF的距离.
尝试解答
通性通法
求点到平面的距离的四步骤
【跟踪训练】
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A. B. C. D.
题型四 直线到平面、平面到平面的距离
【例4】 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1.
（1）求证：BE∥平面DCF；
（2）求BE到平面DCF的距离.
尝试解答
通性通法
线面距离与面面距离的求解思路
（1）求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可；
（2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可.
【跟踪训练】
1.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，E是D1D的中点，则A1C1到平面EAC的距离为（ ）
A. B.2 C. D.
2.两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1） ，且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1） ，则两平面间的距离是（ ）
A. B.
C. D.3
1.已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在平面α内，则点P（－2，1，4）到平面α的距离为（ ）
A.10 B.3
C. D.
2.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（ ）
A.1 B.
C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，4，0），C1（0，4，2），则点A1与直线BC1之间的距离为（ ）
A.3 B.2 C. D.
4.（多选）下列命题中正确的是（ ）
A.可以用｜｜2＝·求空间两点A，B的距离
B.设n是平面α的法向量，AB是平面α的一条斜线，点A在平面α内，则点B到α的距离为d＝
C.若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离
D.若平面α与平面β平行，则平面α内任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β之间的距离
5.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为 .
1.2.5 空间中的距离
【基础知识·重落实】
知识点
1.两个点连线的线段长 2.一个平面 垂线段 垂线段的长
3.（1）垂线段的长 4.（1）任意一点到平面的距离 （2）到另一个平面的距离
想一想
1.提示：利用向量法转化为求向量的模.
2.提示：
自我诊断
1.C ∵M点坐标为，
∴｜MC｜＝＝.
2.B 由已知得＝（－1，0，－1），＝（－1，－1，1），所以·＝－1×（－1）＋0×（－1）＋（－1）×1＝0，所以⊥，所以点A到直线BC的距离是｜｜＝＝.故选B.
3. 解析：＝（0，0，1），n＝（1，0，1），d＝＝＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），
＝（0，1，1），＝（0，2，－2），
∴·＝0，∴BE⊥PD.
（2）∵＝（1，2，0），＝（－2，－2，2），＝（2，2，0），
由点F在棱PC上，设＝λ＝（－2λ，－2λ，2λ），0≤λ≤1，
∴＝＋＝（1－2λ，2－2λ，2λ），
∵BF⊥AC，∴·＝2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，
∴｜｜＝｜｜＝＝，
即线段PF的长为.
跟踪训练
A 以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1）.在平面A1AC上，点A关于直线A1C的对称点P的坐标为；在平面ABD1上，点A关于直线BD1的对称点Q的坐标为（，，）.故｜PQ｜＝.
【例2】 解：以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则A1（4，0，1），C1（0，3，1），
所以＝（－4，3，0）.
设E满足＝λ，且BE⊥A1C1，
则＝＋＝（4，0，1）＋λ（－4，3，0）＝（4－4λ，3λ，1），又⊥，
∴（4－4λ，3λ，1）·（－4，3，0）＝0，∴λ＝.
∴＝，
∴｜｜＝＝，
∴B到直线A1C1的距离为.
母题探究
1.解：＝（－4，3，1），设M满足＝λ且·＝0，则＝＋＝（4，0，0）＋λ（－4，3，1）＝（4－4λ，3λ，λ）.
又·＝0，∴（4－4λ，3λ，λ）·（－4，3，1）＝0，
∴λ＝，
∴＝＝，
∴｜｜＝＝，
∴B到AC1的距离为.
2.解：以B为原点，分别以BA所在直线，过B垂直于BA的直线，BB1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），A1（2，0，2），C1（1，，2），＝（2，0，2），
所以A1C1的方向向量＝（－1，，0），而＝（1，，2），
设E满足＝λ且BE⊥A1C1，
＝＋＝（2，0，2）＋λ（－1，，0）＝（2－λ，λ，2），
又⊥，∴（2－λ，λ，2）·（－1，，0）＝0，
∴λ－2＋3λ＝0，∴λ＝，∴＝.
∴｜｜＝＝，
∴B到A1C1的距离为.
跟踪训练
B 如图建立空间直角坐标系，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，设点E的坐标为（x，y，z），则A1（0，0，3），B（1，0，0），C（1，2，0），则＝（1，2，－3），＝（x，y，z－3），＝（x－1，y，z）.因为所以解得所以＝，所以点B到直线A1C的距离｜｜＝，故选B.
【例3】 解：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示.
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，F，
∴＝，＝，
＝.
设n＝（x，y，z）是平面PEF的法向量，
则n·＝x＋y－z＝0， ①
n·＝x＋y－z＝0， ②
①－②并整理得x－y＝0.
令x＝y＝1，则z＝.
∴n＝.
∴点D到平面PEF的距离d＝＝＝＝.
跟踪训练
C 如图，以D为坐标原点，，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.从而＝（1，1，－1），＝（－1，2，0），＝（－1，0，1）.设平面ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则即得令a＝2，则n＝（2，1，2），所以点E到平面ACD1的距离为d＝＝＝.故选C.
【例4】 解：（1）证明：∵四边形ADFE为矩形，
∴AE∥DF.又∵梯形ABCD中AB∥CD，
AE∩AB＝A，DF∩DC＝D，
AE，AB 平面ABE，
DF，DC 平面DFC，
∴平面ABE∥平面DFC，
∵BE 平面ABE，∴BE∥平面DCF.
（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系.
∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，
则△ADB∽△BCD ＝，
∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝，
∴AD＝2，AB＝5，∴F（0，0，1），
D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C，
＝（0，－，1），＝，＝.
设平面DCF的法向量为n＝（x，y，z），
则∴
令x＝1，y＝2，z＝0.∴n＝.
d＝＝2.∴B到平面DCF的距离等于2，即为直线BE到平面DCF的距离.
跟踪训练
1.C 由棱柱的几何性质可知，A1C1∥AC，又A1C1 平面EAC，AC 平面EAC，则A1C1∥平面EAC，所以点A1到平面EAC的距离即为直线A1C1到平面EAC的距离，因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边长为2，∠B1AB＝，则AA1＝2，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），A1（0，0，2），C（2，2，0），E（0，2，），所以＝（0，2，），＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面AEC的法向量为n＝（x，y，z），则即令x＝，则y＝－，z＝2，故n＝（，－，2），所以点A1到平面EAC的距离d＝＝＝，故A1C1到平面EAC的距离为.故选C.
2.B ∵两平行平面α，β 分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面间的距离＝＝＝，故选B.
随堂检测
1.D ∵n＝（－2，－2，1），＝（1，2，－4），点P到平面α的距离d＝＝＝.
2.C 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点E（1，1，），F（2，1，），所以｜｜＝
＝，故选C.
3.A 如图，由题意知，AB＝4，BC＝2，CC1＝2，连接A1B，A1C1，所以A1B＝2，A1C1＝2，BC1＝2，得△A1BC1是等腰三角形，取BC1的中点O，连接OA1，则OA1⊥BC1，即点A1到直线BC1的距离为OA1，在Rt△A1OB中，有OA1＝＝＝3.
4.ABD 根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面的距离、平行平面间距离的定义以及向量公式易知B、D正确.C中，直线l上任意一点到平面α的垂线段的长度为直线l与平面α的距离，故C错误. 故选A、B、D.
5. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则＝，＝（0，1，0），＝（0，1，－1）.
设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，1），
则有
解得n＝，则所求距离为＝＝.
4 / 5(共93张PPT)
1.2.5 空间中的距离
新课程标准解读 核心素养
1.了解空间中的五类距离 直观想象
2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的
直线、相互平行的平面的距离问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过，以保障车辆和路上设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道，或者涵洞，或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示，限高3.1米.
【问题】 （1）同学们，你知道3.1 m指的是哪段距离吗？
（2）数学中的距离是如何定义的呢？
知识点 空间距离及向量求法
1. 空间中两点之间的距离
空间中两点之间的距离指的是这 .
2. 点到直线的距离
给定空间中一条直线 l 及 l 外一点 A ，因为 l 与 A 能确定
，所以过 A 可以作直线 l 的一条 ，
称为点 A 到直线 l 的距离.
两个点连线的线段长
一个平
面
垂线段
垂线段的长
3. 点到平面的距离
（1）给定空间中一个平面α及α外一点 A ，过 A 可以作平面α的一条
垂线段， 称为点 A 到平面α的距离；
（2）一般地，若 A 是平面α外一点， B 是平面α内一点， n 是平面α
的一个法向量，则点 A 到平面α的距离为 d .
垂线段的长
4. 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离
（1）当直线与平面平行时，直线上 称
为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线 l 与平面α平
行， n 是平面α的一个法向量， A ， B 分别是 l 上和α内的点，
则直线 l 与平面α之间的距离为 d
任意一点到平面的距离
（2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点
称为这两个平行平面之间的距离.
如果平面α与平面β平行， n 是平面β的一个法向量， A 和 B 分
别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为 d
＝ .
到另一个平面
的距离
1. 在空间中怎样求两点之间的距离？
提示：利用向量法转化为求向量的模.
2. 线面距、面面距与点面距有什么关系？
提示：
【想一想】
1. 设 A （3，3，1）， B （1，0，5）， C （0，1，0），则 AB 的中点
M 到点 C 的距离｜ CM ｜等于（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵ M 点坐标为（2 3），∴｜ MC ｜ .
2. 已知点 A （1，1，1）， B （0，1，0）， C （－1，0，1），则点 A
到直线 BC 的距离是（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
解析： 由已知 －1，0，－1） －1，－1，
1），所 · 1×（－1）＋0×（－1）＋（－1）×1＝0，
所 A 到直线 BC 的距离是｜ ｜ .故选B.
3. 已知平面α的一个法向量 n ＝（1，0，1），点 A （－1，1，0）在α
内，则平面外点 P （－1，1，1）到平面α的距离为 .
解析： 0，0，1）， n ＝（1，0，1）， d .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 空间中两点之间的距离
【例1】 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AD ⊥
DC ， AB ∥ DC ， AD ＝ DC ＝ AP ＝2， AB ＝1，点 E 为棱 PC 的中点.
（1）证明： BE ⊥ PD ；
解：证明：∵ PA ⊥底面 ABCD ， AD ⊥ AB ，
∴以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴， AD 所
在直线为 y 轴， AP 所在直线为 z 轴，建立空
间直角坐标系，由题意 B （1，0，0）， P
（0，0，2）， C （2，2，0）， E （1，1，
1）， D （0，2，0），
0，1，1） 0，2，－
2），∴ · 0，∴ BE ⊥ PD .
（2）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF ⊥ AC ，求线段 PF 的长.
解：∵ 1，2，0） －2，－2，2） 2，2，0），
由点 F 在棱 PC 上， λ －2λ，－2λ，2λ），0≤λ≤1，
∴ 1－2λ，2－2λ，2λ），
∵ BF ⊥ AC ，∴ · 2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ
∴｜ ｜＝（1 ）｜ ｜
即线段 PF 的长 .
通性通法
计算两点间的距离的两种方法
（1）利用｜ a ｜2＝ a · a ，通过向量运算求｜ a ｜，如求 A ， B 两点间
的距离，一般用｜ ｜ 求解；
（2）用坐标法求向量的长度（或两点间距离），此法适用于求解的
图形适宜建立空间直角坐标系.
【跟踪训练】
已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1，点 A 关于直线 A1 C ， BD1
的对称点分别为 P ， Q ，则 P ， Q 两点间的距离是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 以直线 DA ， DC ， DD1分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直
角坐标系，则 A （1，0，0）， B （1，1，0）， C （0，1，0）， A1
（1，0，1）， D1（0，0，1）.在平面 A1 AC 上，点 A 关于直线 A1 C 的
对称点 P 的坐标为（ ）；在平面 ABD1上，点 A 关于直线 BD1
的对称点 Q 的坐标为（ ）.故｜ PQ ｜ .
题型二 点到直线的距离
【例2】 已知直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AA1＝1， AB ＝4， BC ＝
3，∠ ABC ＝90°，求点 B 到直线 A1 C1的距离.
解：以 B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则 A1（4，0，1）， C1（0，3，1），
所 －4，3，0）.
设 E 满 λ
且 BE ⊥ A1 C1，
4，0，1）＋λ（－4，3，0）＝（4－4λ，3λ，
1），
∴（4－4λ，3λ，1）·（－4，3，0）＝0，∴λ .
∴ （4－4 3 1），
∴｜ ｜
∴ B 到直线 A1 C1的距离 .
【母题探究】
1. （变设问）条件不变，试求点 B 到 AC1的距离.
解： －4，3，1），设 M 满 λ · 0，
4，0，0）＋λ（－4，3，1）＝（4－4λ，
3λ，λ）.
· 0，∴（4－4λ，3λ，λ）·（－4，3，1）＝0，
∴λ
∴ （4 ）＝（ ），
∴｜ ｜
∴ B 到 AC1的距离 .
2. （变条件）若将本例中的条件改为“正三棱柱 ABC - A1 B1 C1且所有
棱长均为2”，如何求 B 到 A1 C1的距离？
解：以 B 为原点，分别以 BA 所在直线，过 B 垂
直于 BA 的直线， BB1所在直线为 x ， y ， z 轴建
立如图所示的空间直角坐标系，
则 B （0，0，0）， A1（2，0，2）， C1（1
2） 2，0，2），
所以 A1 C1的方向向 －1 0）， 1 2），
设 E 满 λ BE ⊥ A1 C1，
2，0，2）＋λ（－1 0）＝（2－λ λ，2），
∴（2－λ λ，2）·（－1 0）＝0，
∴λ－2＋3λ＝0，∴λ ∴ （ 2）.
∴｜ ｜
∴ B 到 A1 C1的距离 .
通性通法
求点 M 到直线 AB 的距离的方法与步骤
（1）建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，在已知直线 AB 上取
一点 E ，点 E 满足两个条件： λ ；② ME ⊥ AB ；
（2）利用（1）中的两个等量关系求出λ的值，进而求出点 E 的坐
标，求出向量｜ ｜的模即为 M 点到 AB 的距离.
【跟踪训练】
在空间直角坐标系中有长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1， AB ＝1， BC ＝
2， AA1＝3，则点 B 到直线 A1 C 的距离为（ ）
A. B.
C. D. 1
解析： 如图建立空间直角坐标系，过点 B 作 BE ⊥ A1 C ，垂足为 E ，设点 E 的坐标为（ x ， y ， z ），则 A1（0，0，3）， B （1，0，0）， C （1，2，0）， 1，2，－3） x ， y ， z －
3） x －1， y ， z ）.因为
（ ），所以点 B 到直线 A1 C 的距离｜ ｜ B.
题型三 点到平面的距离
【例3】 （链接教科书第58页例3）已知正方形 ABCD 的边长为1，
PD ⊥平面 ABCD ，且 PD ＝1， E ， F 分别为 AB ， BC 的中点.求点 D
到平面 PEF 的距离.
解：建立以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DP 所在直线
为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，如图所示.
则 D （0，0，0）， P （0，0，1）， A （1，0，0），
C （0，1，0）， E （1 0）， F （ 1，0），
∴ （1 －1） （ 1，－1），
（1 0）.
设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 PEF 的法向量，
则 n · x y － z ＝0， ①
n · x ＋ y － z ＝0， ②
①－②并整理得 x － y ＝0.
令 x ＝ y ＝1，则 z .
∴ n ＝（1，1 ）.
∴点 D 到平面 PEF 的距离 d .
通性通法
求点到平面的距离的四步骤
【跟踪训练】
如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AD ＝ AA1＝1， AB ＝2，点 E 是
棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 如图，以 D 为坐标原点 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 D1（0，0，1）， E （1，1，0）， A （1，0，0）， C （0，2，0）.从 1，1，－1） －1，2，0） －1，0，1）.设平面 ACD1的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ）， a ＝2，则 n ＝（2，1，2），所以点 E 到平面 ACD1的距离为 d .故选C.
题型四 直线到平面、平面到平面的距离
【例4】 如图，矩形 ADFE 和梯形 ABCD 所在平面互相垂直， AB ∥
CD ，∠ ABC ＝∠ ADB ＝90°， CD ＝1， BC ＝2， DF ＝1.
（1）求证： BE ∥平面 DCF ；
解：证明：∵四边形 ADFE 为矩形，
∴ AE ∥ DF . 又∵梯形 ABCD 中 AB ∥ CD ，
AE ∩ AB ＝ A ， DF ∩ DC ＝ D ，
AE ， AB 平面 ABE ，
DF ， DC 平面 DFC ，
∴平面 ABE ∥平面 DFC ，
∵ BE 平面 ABE ，∴ BE ∥平面 DCF .
（2）求 BE 到平面 DCF 的距离.
解：如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系.
∵ AB ∥ CD ，∠ ABC ＝∠ ADB ＝90°，
则△ ADB ∽△ BCD
∵ CD ＝1， BC ＝2.∴ BD
∴ AD ＝2 AB ＝5，∴ F （0，0，1），
D （0，0，0）， A （2 0，0）， B （0 0）， C （ 0） 0 1） （ 1）
（ 0）.
设平面 DCF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
∴
令 x ＝1， y ＝2， z ＝0.∴ n ＝（1，2，0）.
d 2.∴ B 到平面 DCF 的距离等于2，即为直线 BE 到平面 DCF 的距离.
通性通法
线面距离与面面距离的求解思路
（1）求相互平行的直线与平面间的距离可以转化为求直线上任意一
点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可；
（2）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用
求点到平面的距离的方法求解即可.
【跟踪训练】
1. 若正四棱柱 ABCD - A1 B1 C1 D1的底边长为2，∠ B1 AB E 是 D1
D 的中点，则 A1 C1到平面 EAC 的距离为（ ）
A. B. 2
C. D.
解析： 由棱柱的几何性质可知， A1 C1∥ AC ，又 A1 C1 平面 EAC ， AC 平面 EAC ，则 A1 C1∥平面 EAC ，所以点 A1到平面 EAC 的距离即为直线 A1 C1到平面 EAC 的距离，因为正四棱柱 ABCD - A1
B1 C1 D1的底边长为2，∠ B1 AB AA1＝2 A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 A （0，0，0）， A1（0，0，2 C （2，2，0）， E （0，2 0，2 2，2，0） 0，0，2 AEC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 x y ＝ z ＝2，故 n ＝ 2），所以点 A1到平面 EAC 的距离 d A1 C1到平面 EAC 的距离 .故选C.
2. 两平行平面α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1，1） ，且两平
面的一个法向量 n ＝（－1，0，1） ，则两平面间的距离是（ ）
A. B.
C. D. 3
解析： ∵两平行平面α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A （2，1，
1） 2，1，1），且两平面的一个法向量 n ＝（－1，0，
1），∴两平面间的距 B.
1. 已知平面α的一个法向量为 n ＝（－2，－2，1），点 A （－1，3，
0）在平面α内，则点 P （－2，1，4）到平面α的距离为（ ）
A. 10 B. 3
C. D.
解析： ∵ n ＝（－2，－2，1） 1，2，－4），点 P 到
平面α的距离 d .
2. 如图所示，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝2， AA1
E ， F 分别是平面 A1 B1 C1 D1，平面 BCC1 B1的中心，则 E ， F
两点间的距离为（ ）
A. 1 B.
C. D.
解析： 以点 A 为原点，建立如图所示的空间直
角坐标系，则点 E （1，1 F （2，1
），所以｜ ｜ C.
3. 在空间直角坐标系中，已知长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的顶点 D （0，
0，0）， A （2，0，0）， B （2，4，0）， C1（0，4，2），则点
A1与直线 BC1之间的距离为（ ）
A. 3 B. 2
C. D.
解析： 如图，由题意知， AB ＝4， BC ＝
2， CC1＝2，连接 A1 B ， A1 C1，所以 A1 B ＝2
A1 C1＝2 BC1＝2 △ A1 BC1是
等腰三角形，取 BC1的中点 O ，连接 OA1，则
OA1⊥ BC1，即点 A1到直线 BC1的距离为 OA1，
在Rt△ A1 OB 中，有 OA1 3 .
4. （多选）下列命题中正确的是（ ）
A. 可以用｜ ｜2 · A ， B 的距离
B. 设 n 是平面α的法向量， AB 是平面α的一条斜线，点 A 在平面α内，
则点 B 到α的距离为 d
C. 若直线 l 与平面α平行，直线 l 上任意一点与平面α内任意一点的距离
就是直线 l 与平面α的距离
D. 若平面α与平面β平行，则平面α内任意一点到平面β的距离就是平面
α与平面β之间的距离
解析： 根据向量数量积的定义可知A显然正确，由点到平面
的距离、平行平面间距离的定义以及向量公式易知B、D正确.C中，
直线 l 上任意一点到平面α的垂线段的长度为直线 l 与平面α的距离，
故C错误.故选A、B、D.
5. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，所有棱长均为1，且 AA1⊥底面
ABC ，则点 B1到平面 ABC1的距离为 .
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A （ 0）， B （0，1，0）， B1（0，
1，1）， C1（0，0，1）， （ －1） 0，1，0） 0，1，－1）.
设平面 ABC1的一个法向量为 n ＝（ x ， y ，1），则有
解得 n ＝（ 1，1），则所求距离 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知平面α的一个法向量 n ＝（－2，－2，1），点 A （－1，3，0）
在平面α内，由点 P （－2，1， z ）到α的距离 z ＝（ ）
A. 16 B. 4
C. 4或－16 D. －4或16
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解析： 由点 A （－1，3，0）在平面α内，点 P （－2，1， z ），
可 －1，－2， z ），因为平面α的一个法向量 n ＝（－2，
－2，1），且点 P （－2，1， z ）到α的距离 z ＝4或 z ＝－16.故选C.
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2. 已知点 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，2）， P （1，
－1，0），那么过点 P 平行于平面 ABC 的平面与平面 ABC 的距离是
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 因为点 A （1，0，0）， B （0，1，0）， C （0，0，
2）， P （1，－1，0），所 －1，1，0） －1，
0，2） 0，－1，0），设平面 ABC 的一个法向量为 n ＝
（ x ， y ， z ）， x ＝1，得 y
＝1， z n ＝（1，1 ），所以 d C.
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3. 已知四边形 ABCD 为正方形， P 为平面 ABCD 外一点， PD ⊥ AD ，
PD ＝ AD ＝2，二面角 P - AD - C 为60°，则 P 到 AB 的距离是（ ）
A. 2 B.
C. 2 D.
解析： ∵ ABCD 为正方形，∴ AD ⊥ DC .
∠ PDC 为二面角 P - AD - C 的平面
角，即∠ PDC ＝60°.
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如图所示，过 P 作 PH ⊥ DC 于 H . ∵ DC ⊥ AD ，
PD ⊥ AD ， DC ∩ PD ＝ D ，∴ AD ⊥面 PDC ，∴
AD ⊥面 PDH . 又 PH ⊥ DC ， AD ∩ DC ＝ D ，∴
PH ⊥面 ABCD ，在平面 AC 内过 H 作 HE ⊥ AB 于 E ，
连接 PE ，则 PE ⊥ AB ，所以线段 PE 即为所求.以
H 为坐标原点建立空间直角坐标系 H - xyz ，则 H
（0，0，0）， A （1，2，0）， B （－1，2，0），E （0，2，0）， P （0，0 ∴ 0，2 ∴｜ ｜ D.
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4. 在四棱锥 S - ABCD 中 4，－1，0） 0，3，0） 3，1，－5），则这个四棱锥的高 h 为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 设平面 ABCD 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则
∴ z ＝1，则 n ＝（0，0，1），∴这个四棱锥的高 h 5.故选D.
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5. （多选）在棱长为1的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，下列结论正确的
是（ ）
A. 异面直线 AC 与 BC1所成的角
B. ABC1 D1的一个法向量
C. 直线 A1 B1到平面 ABC1 D1的距离
D. 平面 AB1 C 与平面 A1 C1 D 间的距离
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解析： 如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D -
xyz ，则 D （0，0，0）， A （1，0，0）， C （0，1，0）， B （1，1，0）， A1（1，0，1）， C1（0，1，1），所 －1，1，0）
－1，0，1），
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设异面直线 AC 与 BC1所成的角为θ，则 cos θ θ∈（0 ］，所以θ A正确；在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ⊥平面 ADD1 A1， DA1 平面 ADD1 A1，所以 DA1⊥ AB ，又 DA1⊥ AD1， AD1∩ AB ＝ A ， AD1， AB 平面 ABC1 D1，所以 DA1⊥平面 ABC1 D1，所 ABC1 D1的一个法向量，故B正确；因为 A1 B1∥ AB ， A1 B1 平面 ABC1 D1，所以直线 A1 B1∥平面 ABC1 D1，则直线 A1 B1到平面 ABC1 D1的距离等于点 B1到平面 ABC1 D1的距离，等于点 B1到直线 BC1的距离， C错误；
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设平面 A1 C1 D 的一个法向量 n ＝（ x ， y ，1），则 n ＝（－1，－1，1），则平面 AB1 C 与平面 A1 C1 D 间的距离 d D正确.故选A、B、D.
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6. 已知平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，以顶点 A 为端点的三条棱的
棱长都等于2，且两两夹角都是60°，则 A ， C1两点间的距离是
.
解析： a b c ，易 a ＋ b ＋ c ， · a ＋ b ＋ c ）·（ a ＋ b ＋ c ）＝ a2＋2 a · b ＋2
a · c ＋2 b · c ＋ b2＋ c2＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以｜ ｜＝2
.
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7. 在三棱锥 P - ABC 中，设向 4，－2，3） 4，
1，0） 6，2，－8），则顶点 P 到底面 ABC 的距离
为 .
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解析：因 4，－2，3） －4，1，0），设平面
ABC 的一个法向量 n ＝（ x ， y ， z ），由
x ＝1，则 y ＝4， z n ＝
（1，4 ），因 －6，2，－8），所以点 P 到底面 ABC
的距离为 d 2.
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8. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，底面 ABC 为正三角形，且侧棱
AA1⊥底面 ABC ，底面边长与侧棱长都等于2， O ， O1分别为 AC ，
A1 C1的中点，则平面 AB1 O1与平面 BC1 O 间的距离为 .
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解析：如图，连接 OO1，根据题意， OO1⊥底面 ABC ，则以 O 为坐标原点，分别以 OB ， OC ， OO1所在的直线为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.∵ AO1∥ OC1， OB ∥ O1 B1， AO1∩ O1 B1＝ O1， OC1∩
OB ＝ O ，∴平面 AB1 O1∥平面 BC1 O ，∴平面 AB1 O1与平面 BC1 O 间的距离即为点 O1到平面 BC1 O 的距离.
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∵ O （0，0，0）， B 0，0）， C1（0，1，2）， O1（0，0，2），∴ 0，0） 0，1，2） 0，0，2），设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 BC1 O 的法向量，则 ∴取 z ＝－1，则 n ＝（0，2，－1）为平面 BC1 O 的
一个法向量.点 O1到平面 BC1 O 的距离记为 d ，则 d ∴平面 AB1 O1与平面 BC1 O 间的距离 .
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9. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AA1 AD ＝1， E ， F 分别
是 A1 D1， BC 的中点， P 是 BD 上一点， PF ∥平面 EC1D.
（1）求 BP 的长；
解：以 A1为原点， A1 B1， A1 D1， A1 A 所在直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
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B （1，0，1）， D （0，2，1）， F （1，1，1）， E （0，
1，0）， C1（1，2，0），
设 P （ a ， b ，1） λ λ∈[0，1] 0，1，
1） 1，1，0） －1，2，0），
a －1， b ，0）＝（－λ，2λ，0），
∴ P （1－λ，2λ，1） λ，1－2λ，0），
设平面 DEC1的法向量 n ＝（ x ， y ， z ），
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x ＝1，得 n ＝（1，－1，1），
∵ PF ∥平面 EC1 D ，
∴ · n ＝λ－1＋2λ＝0，
解得λ
∴ P （ 1），
∴ BP 的长｜ ｜ .
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（2）求点 P 到平面 EC1 D 的距离.
解：由（1）得平面 DEC1的法向量 n
＝（1，－1，1） （ 1），
∴点 P 到平面 EC1 D 的距离：
d .
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10. 在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝3， AD ＝3， AA1＝4， P 是侧
面 BCC1 B1上的动点，且 AP ⊥ BD1，记点 P 到平面 ABCD 的距离为
d ，则 d 的最大值为（ ）
A. 4 B. 3
C. D.
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解析： 以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴，
DC 所在直线为 y 轴， DD1所在直线为 z 轴，建
立空间直角坐标系，如图，设 P （ a ，3，
c ），（0≤ a ≤3，0≤ c ≤4），则 A （3，0，
0）， B （3，3，0）， D1（0，0，4）
a －3，3， c ） －3，－3，4），∵ AP ⊥ BD1，∴ · 3（ a －3）－9＋4 c ＝0，解得 c a ，∵0≤ a ≤3，∴ c 的最大值 P 到平面 ABCD 的距离 d 的最大值 .故选D.
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11. 如图所示，正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是1，且它们所
在平面互相垂直，若点 M 在线段 BF 上运动，记 BM ＝ a ，则当 a ＝
M 到直线 AC 的距离有最小值.
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解析：如图，建立空间直角坐标系，正方形
的边长为1，则 A （1，0，0）， C （0，0，
1），设点 N 是 AC 上的一点，且 AN ＝ b ，因
为 BM ＝ a ，所以 N （1 0 ）， M
（ 0），所 －1，0，1） （1 ）， ｜ ｜就是点 M 到直线 AC 的距离，所 · 0，
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即（1 ）×（－1）＋0×（ ）＋1 0，整理得－1 b a b ＝0，
b ＝1 a ，所以｜ ｜ a ＝
｜ ｜取得最小值，即此时点 M 到直线 AC 的距离有最小值.
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12. 如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AB ∥ CD ， AD ＝
CD ＝1，∠ BAD ＝120°，∠ ACB ＝90°.
（1）求证： BC ⊥平面 PAC ；
解：证明：∵ PA ⊥底面 ABCD ， BC
平面 ABCD ，
∴ PA ⊥ BC ，
∵∠ ACB ＝90°，∴ BC ⊥ AC ，又 PA ∩ AC ＝ A ，
∴ BC ⊥平面 PAC .
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（2）若二面角 D - PC - A 的余弦值 A 到平面 PBC
的距离.
解：设 AP ＝ h ，取 CD 的中点 E ，连接
AE ，则 AE ⊥ CD ，∴ AE ⊥ AB . 又 PA ⊥底面
ABCD ，∴ PA ⊥ AE ， PA ⊥ AB ，故建立如图
所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0），
P （0，0， h ）， C （ 0），
D （ 0）， B （0，2，0），
（ － h ） 0，1，0），
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设平面 PDC 的法向量 n1＝（ x1， y1， z1），
取 x1＝ h ，∴ n1＝（ h ，0 ）.
由（1）知平面 PAC 的一个法向量 （ 0），
∴｜ cos ＜ n1 ｜ 解得 h
同理可求得平面 PBC 的一个法向量 n2＝（3 2），
∴点 A 到平面 PBC 的距离为 d .
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13. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD 是边长为4的正三角形，底
面 ABCD 为正方形，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ， M 为平面 ABCD 上的
动点，且满 · 0，则点 M 到直线 AB 的最远距离为
（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 4＋2
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解析： 以 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DC 所在直线为 y
轴，过 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系.
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则 P （2，0，2 C （0，4，0），设 M （ a ， b ，0），0≤ a
≤4，0≤ b ≤4，∴ 2－ a ，－ b ，2 － a ，4
－ b ，0），∵ · 0，∴ · 2 a ＋ a2－4 b ＋ b2＝
0，整理得（ a －1）2＋（ b －2）2＝5，∴ M 为底面 ABCD 内以 O
（1，2）为圆心，以 r M 到
直线 AB 的最远距离为4－1 3 故选B.
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14. 如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱
PA ＝ PD ABCD 为直角梯形，其中 BC ∥ AD ， AB ⊥
AD ， AD ＝2 AB ＝2 BC ＝2，问：线段 AD 上是否存在一点 Q ，使
得它到平面 PCD 的距离 .
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解：取 AD 的中点 O ，连接 PO ， OC . 在△ PAD 中，∵ PA ＝ PD ，
∴ PO ⊥ AD .
又侧面 PAD ⊥平面 ABCD ，平面 PAD ∩平面 ABCD ＝ AD ，
∴ PO ⊥平面 ABCD .
建立如图所示的空间直角坐标系，易得 A （0，－1，0）， B （1，－1，0）， C （1，0，0）， D （0，1，0）， P （0，0，1）， －1，0，1） －1，1，0）.
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假设存在点 Q ，使它到平面 PCD 的距离
设 Q （0， y ，0）（－1≤ y ≤1）， －1， y ，0）.
设平面 PCD 的法向量为 n ＝（ x0， y0， z0），
则 ∴ x0＝ y0＝ z0，取 x0＝1，
则平面 PCD 的一个法向量为 n ＝（1，1，1）.
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∴点 Q 到平面 PCD 的距离 d
∴ y ＝ y .此 （0 0） （0
0），则｜ ｜ ｜ ｜ .
∴存在点 Q 满足题意，此 .
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谢 谢 观 看！
