立体几何中的翻折问题
如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后∠EOF的大小.
【问题探究】
此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形有以下规律：
确定翻折前后变与不变的关 系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
确定翻折后关键点的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算
【迁移应用】
1.写出上述问题的解答.
2.如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，过A点作AE⊥CD，垂足为E，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.取AD的中点F，连接BF，CF，EF，如图②.
（1）求证：BC⊥平面DEC；
（2）求二面角C-BF-E的余弦值.
1.三棱锥A-BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若＜n1，n2＞＝，则二面角A-BD-C的大小为（ ）
A. B.
C.或 D.或
2.如图，AB是圆的直径，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圆上一点（不同于A，B），且PA＝AC，则二面角P-BC-A的平面角为（ ）
A.∠PAC B.∠CPA
C.∠PCA D.∠CAB
3.在正四面体A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A.B1的坐标为（2，2，3）
B.＝（－2，0，3）
C.平面A1BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为
5.已知P为锐二面角α-l-β内一点，且P到面α，β及棱l的距离之比为1∶∶2，则此二面角的度数为 .
拓视野 立体几何中的翻折问题
迁移应用
1.解：如图，以OB，OC，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
设原正方形的边长为1，则E（0，－，），F，
cos＜，＞＝＝－＝－，∴∠EOF＝120°.
2.解：（1）证明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，
∴DE⊥平面ABCE，
又∵BC 平面ABCE，∴DE⊥BC，
又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC.
（2）如图，以点E为坐标原点，分别以EA，EC，ED所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系Exyz，
∴E（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），
D（0，0，2），A（2，0，0），F（1，0，1），
设平面EFB的法向量n1＝（x1，y1，z1），
由＝（1，0，1），＝（2，2，0），
∴
∴取x1＝1，得平面EFB的一个法向量n1＝（1，－1，－1），
设平面BCF的一个法向量为n2＝（x2，y2，z2），
由＝（1，－2，1），＝（2，0，0），
∴
取y2＝1，得平面BCF的一个法向量n2＝（0，1，2），
设二面角C-BF-E的大小为α，由图可知，α为锐角，
则cos α＝＝＝.
故二面角C-BF-E的余弦值为.
随堂检测
1.C 当二面角A-BD-C为锐角时，它等于＜n1，n2＞＝.当二面角A-BD-C为钝角时，它等于π－＜n1，n2＞＝π－＝.
2.C ∵C是圆上一点（不同于A，B），AB是圆的直径，∴AC⊥BC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，即BC⊥面PAC，而PC 面PAC，∴BC⊥PC，又面ABC∩面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定义∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.故选C.
3.B 由A-BCD为正四面体知：记E为CD中点，连接AE，BE，则AE⊥CD，BE⊥CD而AE∩BE＝E，∴CD⊥面ABE，即有∠AEB为二面角A-CD-B的平面角，设正四面体的棱长为1，即AE＝BE＝，AB＝1，∴在△ABE中，作AH⊥BE于H，则cos∠AEB＝，而AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝，∴cos∠AEB＝.故选B.
4.AD 如图，因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1（0，2，3），B（2，2，0），B1（2，2，3），C1（2，0，3），所以＝（0，－2，3），＝（2，0，－3），即A正确，B不正确；设平面A1BC1的法向量m＝（x，y，z），所以即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为m＝（－3，－3，－2），故C错误；由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝（0，0，1），由于cos＜m，n＞＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确；故选A、D.
5.75° 解析：如图，作PA⊥α于A，PB⊥β于B，PC⊥l于C，连接BC，AC，则易得∠ACB为二面角的平面角.
又sin∠PCB＝，∠PCB＝45°，
sin∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，故二面角的平面角为∠PCA＋∠PCB＝75°.
2 / 2(共53张PPT)
拓 视 野 立体几何中的翻折问题
如图，把正方形纸片 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角， E ， F 分
别为 AD ， BC 的中点， O 是原正方形 ABCD 的中心，求折纸后∠
EOF 的大小.
【问题探究】
此问题涉及到平面图形的翻折问题，求解平面图形翻折成立体图形
有以下规律：
确定翻折
前后变与
不变的关 系 画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图
形的位置和数量关系的变与不变.一般地，位于“折痕”
同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于
“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变
化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化
的关系则要在立体图形中解决
确定翻折
后关键点
的位置 所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点.因为这些
点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的
关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关
系的变化.只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为
参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的
证明与计算
【迁移应用】
1. 写出上述问题的解答.
解：如图，以 OB ， OC ， OD 所在直线分别为 x 轴，
y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 O - xyz .
设原正方形的边长为1，则 E （0 ）， F
（ 0）， cos ∴∠ EOF ＝120°.
2. 如图①，在直角梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AB ⊥ BC ， CD ＝2 AB
＝2 BC ＝4，过 A 点作 AE ⊥ CD ，垂足为 E ，现将△ ADE 沿 AE 折
叠，使得 DE ⊥ EC . 取 AD 的中点 F ，连接 BF ， CF ， EF ，如图②.
（1）求证： BC ⊥平面 DEC ；
解：证明：∵ DE ⊥ EC ， DE ⊥ AE ， AE ∩ EC ＝ E ，
∴ DE ⊥平面 ABCE ，
又∵ BC 平面 ABCE ，∴ DE ⊥ BC ，
又∵ BC ⊥ EC ， DE ∩ EC ＝ E ，∴ BC ⊥平面 DEC .
（2）求二面角 C - BF - E 的余弦值.
解：如图，以点 E 为坐标原点，分别以 EA ， EC ， ED
所在直线为 x ， y ， z 轴建立空间坐标系 Exyz ，
∴ E （0，0，0）， C （0，2，0）， B （2，2，0），
D （0，0，2）， A （2，0，0）， F （1，0，1），
设平面 EFB 的法向量 n1＝（ x1， y1， z1），
1，0，1） 2，2，0），
∴
∴取 x1＝1，得平面 EFB 的一个法向量 n1＝（1，－1，－1），
设平面 BCF 的一个法向量为 n2＝（ x2， y2， z2），
1，－2，1） 2，0，0），
∴
取 y2＝1，得平面 BCF 的一个法向量 n2＝（0，1，2），
设二面角 C - BF - E 的大小为α，由图可知，α为锐角，
则 cos α .
故二面角 C - BF - E 的余弦值 .
1. 三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量分别为 n1， n2，
若＜ n1， n2＞ A - BD - C 的大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 当二面角 A - BD - C 为锐角时，它等于＜ n1， n2＞ .当
二面角 A - BD - C 为钝角时，它等于π－＜ n1， n2＞＝π .
2. 如图， AB 是圆的直径， PA ⊥ AC ， PA ⊥ BC ， C 是圆上一点（不同
于 A ， B ），且 PA ＝ AC ，则二面角 P - BC - A 的平面角为（ ）
A. ∠ PAC B. ∠ CPA
C. ∠ PCA D. ∠ CAB
解析： ∵ C 是圆上一点（不同于 A ， B ）， AB 是圆的直径，
∴ AC ⊥ BC ， PA ⊥ BC ， AC ∩ PA ＝ A ，即 BC ⊥面 PAC ，而 PC
面 PAC ，∴ BC ⊥ PC ，又面 ABC ∩面 PBC ＝ BC ， PC ∩ AC ＝ C ，
∴由二面角的定义∠ PCA 为二面角 P - BC - A 的平面角.故选C.
3. 在正四面体 A - BCD 中，二面角 A - CD - B 的平面角的余弦值为
（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由 A - BCD 为正四面体知：记 E 为 CD 中
点，连接 AE ， BE ，则 AE ⊥ CD ， BE ⊥ CD 而
AE ∩ BE ＝ E ，∴ CD ⊥面 ABE ，即有∠ AEB 为
二面角 A - CD - B 的平面角，设正四面体的棱长
为1，即 AE ＝ BE AB ＝1，∴在△ ABE 中，作 AH ⊥ BE 于 H ，则 cos ∠ AEB AB2－ BH2＝ AE2－ HE2且 BH ＝ BE － HE ，可得 HE ∴ cos ∠ AEB . 故选B.
4. （多选）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝2， AA1＝3，
以 D 为原点 x 轴， y 轴， z 轴正方向
建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A. B1的坐标为（2，2，3）
B. 2，0，3）
C. 平面 A1 BC1的一个法向量为（－3，3，－2）
D. 二面角 B - A1 C1- B1的余弦值
解析： 如图，因为 AB ＝ AD ＝2， AA1＝3，所以 A1（0，2，
3）， B （2，2，0）， B1（2，2，3）， C1（2，0，3），所 0，－2，3） 2，0，－3），即A正确，B不正确；
设平面 A1 BC1的法向量 m ＝（ x ， y ， z ），所以 x ＝－3，则 y ＝－3， z ＝－2，即平面 A1 BC1
的一个法向量为 m ＝（－3，－3，－2），故C错误；由几何体易得
平面 A1 B1 C1的一个法向量为 n ＝（0，0，1），由于 cos ＜ m ， n ＞
B - A1 C1- B1的
余弦值 D正确；故选A、D.
5. 已知 P 为锐二面角α- l -β内一点，且 P 到面α，β及棱 l 的距离之比为
1∶ ∶2，则此二面角的度数为 .
75°
解析：如图，作 PA ⊥α于 A ， PB ⊥β于 B ， PC ⊥ l 于 C ，连接 BC ， AC ，则易得∠ ACB 为二面角的平面角.
又 sin ∠ PCB ∠ PCB ＝45°，
sin ∠ PCA ∴∠ PCA ＝30°，故二面角的平面角为∠ PCA ＋∠ PCB ＝75°.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 平面α的一个法向量为 n1＝（4，3，0），平面β的一个法向量为 n2
＝（0，－3，4），则平面α与平面β所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D. 以上都不对
解析： cos ＜ n1， n2＞ ∴平面α与
β的所成角的余弦值 .
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2. 如图所示，在正四棱锥 P - ABCD 中，若△ PAC 的面积与正四棱锥的
侧面积之比 ∶8，则侧面与底面所成的二面角为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设正四棱锥的底面边长为 a ，侧面与底面所成的二面角
为θ，高为 h ，斜高为h'， ∴ ∴ sin θ θ .
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3. 把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A ， B ， C ， D 四点为顶点
的三棱锥体积最大时，二面角 B - AC - D 的大小为（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 如图所示，欲使得三棱锥体积最大，
∵三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即
可，即当平面 BAC ⊥平面 DAC 时，三棱锥体积
最大，∴当以 A ， B ， C ， D 四点为顶点的三棱
锥体积最大时，二面角 B - AC - D 的大小为90°.
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4. 已知二面角α- l -β为60°，动点 P ， Q 分别在平面α，β内， P 到β的距
离 Q 到α的距离为2 P ， Q 两点之间距离的最小值为
（ ）
A. B. 2
解析： 点 P 到直线 l 的距离为2，点 Q 到直线 l 的距离为4，当
P ， Q 连线与直线 l 垂直时，即过点 P ， Q 分别作直线 l 的垂线，当
垂直重合时， P ， Q 两点间的距离最小，此时距离为｜ PQ ｜ 2 .
C. 2 D. 4
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5. （多选）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”
（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图五面体
ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形 ABCD 为矩形，其中 AB ＝8， AD
＝2 △ ADE 与△ BCF 都是等边三角形，且二面角 E - AD - B 与 F -
BC - A 相等，则 EF 的长度可能为（ ）
A. 1 B. 5
C. 9 D. 13
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解析： 由于△ ADE 与△ BCF 都是等边三
角形，且边长为2 3.当 E - AD - B 和 F
- BC - A 趋向于0时， EF →8－3－3＝2，如图①
所示.
当 E - AD - B 和 F - BC - A 趋向于π时，
EF →8＋3＋3＝14，如图②所示.
所以 EF 的取值范围是（2，14）.故选
B、C、D.
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6. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，二面角 A1- BD - A 的平面角的正切值
为 .
解析：如图，取 BD 的中点 M ，连接 AM ， A1
D ， A1 B ， A1 M ，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1
中，可知 A1 D ＝ A1 B ， AB ＝ AD ，所以 A1 M ⊥
BD ， AM ⊥ BD ，所以二面角 A1- BD - A 的平面
角为∠ A1 MA ，设 AA1＝2，所以 AM tan∠A1 MA .
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7. 若 P 是△ ABC 所在平面外一点，且△ PBC 和△ ABC 都是边长为2的正
三角形， PA ＝3，则二面角 P - BC - A 的大小为 .
解析：取 BC 的中点 O ，连接 PO ， AO （图略），则∠ POA 就是二
面角 P - BC - A 的平面角.又 PO ＝ AO PA ＝3，所以 cos ∠ POA
.∴∠ POA ＝120°.
120°
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8. 如图，二面角α- l -β等 A ， B 是棱 l 上两点， BD ， AC 分别在
平面α，β内， AC ⊥ l ， BD ⊥ l ，且2 AB ＝ AC ＝ BD ＝2，则 CD 的
长等于 .
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解析：依题 . ｜ ｜2
＝｜ ｜2 2 · · · ＝4＋1＋4＋2 · 9＋2×2×2× cos 9＋4＝13，
所以｜ ｜ .
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9. 如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，且 AD ∥ BC ，∠ ABC ＝∠ PAD ＝90°，侧面 PAD ⊥底面 ABCD . 若 PA ＝ AB ＝
BC AD . 求二面角 A - PD - C 的余弦值.
解：设 G 为 AD 中点，连接 CG ，则 CG ⊥ AD .
又因为平面 ABCD ⊥平面 PAD ，平面 ABCD ∩
平面 PAD ＝ AD ， CG 平面 ABCD ，所以 CG
⊥平面 PAD .
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过 G 作 GH ⊥ PD 于 H ，连接 CH ，由三垂线定理可知 CH ⊥ PD .
所以∠ GHC 是二面角 A - PD - C 的平面角.
设 AD ＝2，则 PA ＝ AB ＝ CG ＝ DG ＝1， DP .
在△ PAD 中 GH .
所以tan∠ GHC cos ∠ GHC .即
二面角 A - PD - C 的余弦值 .
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10. 如图，已知矩形 ABFE 与矩形 EFCD 所成二面角 D - EF - B 的平面角
为锐角，记二面角 D - EF - B 的平面角为α，直线 EC 与平面 ABFE 所
成角为β，直线 EC 与直线 FB 所成角为γ，则（ ）
A. β＞α，β＞γ B. α＞β，β＞γ
C. α＞β，γ＞β D. α＞γ，γ＞β
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解析： ∵ EF ⊥ CF ， EF ⊥ FB ， CF ∩ FB ＝ F ，∴ EF ⊥平面
BCF . 又 EF 平面 ABFE ，∴平面 ABFE ⊥平面 BCF ，交线为 FB .
过 C 作 CO ⊥ FB 于 O . 则 CO ⊥平面 ABFE ，垂足为 O ，依题意α＝
∠ CFO ，β＝∠ CEO ，γ＝∠ CEA ，∵ CF ＜ CE ，∴
sin α＞ sin β.∴α＞β，由线面角的性质可得γ＞β.故选C.
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11. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方
早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如
图，四面体 P - ABC 为鳖臑， PA ⊥平面 ABC ， AB ⊥ BC ，且 PA ＝
AB ＝1， BC A - PC - B 的正弦值为 .
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解析：依据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，
0）， B （1，0，0）， P （0，0，1）， C （1 0），设平面
APC 的法向量为 n1＝（ x1， y1， z1），此 1 0） 0，0，1），∵ ∴ y1
＝1，则 x1＝ n1＝ 1，0），设平面 PBC 的法向量
为 n2＝（ x2， y2， z2），此 0 0） 1，
0，－1），
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∵ ∴ x2＝1，则 z2＝1， y2＝0， n2＝（1，0，1），设二面角 A - PC - B 为α，则 cos α＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜ sin α .
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12. 如图①，正方形 ABCD 的边长为4， AB ＝ AE ＝ BF EF ， AB ∥
EF ，把四边形 ABCD 沿 AB 折起，使得 AD ⊥平面 AEFB ， G 是 EF
的中点，如图②.
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（1）求证： AG ⊥平面 BCE ；
解：证明：如图，连接 BG ，因为
BC ∥ AD ， AD ⊥底面 AEFB ，
所以 BC ⊥底面 AEFB ，
又 AG 底面 AEFB ，
所以 BC ⊥ AG ，
因为 AB ＝ AE ，所以四边形 ABGE 为菱
形，所以 AG ⊥ BE ，
又 BC ∩ BE ＝ B ， BE 平面 BCE ， BC
平面 BCE ，所以 AG ⊥平面 BCE .
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（2）求二面角 C - AE - F 的余弦值.
解：由（1）知四边形 ABGE 为菱形， AG ⊥ BE ， AE
＝ EG ＝ BG ＝ AB ＝4，
设 AG ∩ BE ＝ O ，所以 OE ＝ OB ＝2 OA ＝ OG ＝2，
以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 O （0，0，0）， A （－2，0，0）， E （0，－2
0）， F （4，2 0）， C （0，2 4）， D （－2，0，4），
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所 2，2 4） 2，－2 0），
设平面 ACE 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），由
则令 y ＝1，则 x z ＝
即平面 ACE 的一个法向量为 n ＝ 1
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易知平面 AEF 的一个法向量 0，0，4），
设二面角 C - AE - F 的大小为θ，由图易知θ∈（0 ），
所以 cos θ .
故二面角 C - AE - F 的余弦值 .
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13. （多选）如图，今年五一，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐
在 A 处，“大摆锤”启动后，主轴 OB 在平面α内绕点 O 左右摆
动，平面α与水平地面垂直， OB 摆动的过程中，点 A 在平面β内绕
点 B 做圆周运动，并且始终保持 OB ⊥β， B ∈β.已知 OB ＝6 AB ，
在“大摆锤”启动后，下列结论中正确的有（ ）
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A. 点 A 在某个定球面上运动
B. 线段 AB 在水平地面上的正投影的长度为定值
C. 直线 OA 与平面α所成角的正弦值的最大值
D. β与水平地面所成角记为θ，直线 OB 与水平地面所成角记为δ，当0
＜θ θ＋δ为定值
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解析： 对于A，由题知，主轴
OB 在平面α内绕点 O 左右摆动，点 A
在平面β内绕点 B 做圆周运动，则该
圆永远处在整个运动过程形成的以 O
为球心，以 OA AB 为半径的球面上，故A正确；对于B，设平面 OBC 表示平面α，平面 DEGH 表示水平面，线段 AB 在水平地面上的正投影A'B'随着转动过程中 A ， B 点的位置不同一直在变化，故B错误；
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对于C，因为 OA AB 为定值，则直线 OA 与平面α所成角的正弦值的最大值即点 A 到平面 OBC 距离为最大值时取得，则由线面知，点 A 到平面 OBC 距离为最
大值即为 AB 的长，此时直线 OA 与平面α所成角的正弦值 C正确；
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对于D，取 BC ∥平面 DEGH ，此时∠OBC ＝δ，设平面 DEGH ∩平面β＝ l ，则由平面 OBC ⊥平面 DEGH ，平面 OBC ⊥平面β，知 l ⊥平面 OBC ，因此不论 A 运动到何位置，平面β与水平地面所成
角均相同，当 A 恰运动到平面 OBC 内，即平面 OBC ∩平面β＝ AB ， AA '交 CB 的延长线于 Q ，则∠ ABQ 即为β与水平地面所成角θ，又 OB ⊥ AB ，则θ＋δ＝π D正确；故选A、C、D.
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14. 如图，矩形 ABCD 的边 AB ＝ a ， BC ＝2， PA ⊥平面 ABCD ，
PA ＝2，现有数据：① a a ＝1；③ a a ＝
2；⑤ a ＝4.
（1）当 BC 边上存在点 Q ，使 PQ ⊥ QD 时， a 可以取所给数据中
的哪些值？请说明理由；
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解：建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， P （0，0，2）， D （0，2，0），
设 Q （ a ， t ，0）（｜ BQ ｜＝ t ，0≤ t
≤2），于是 a ， t ，－2） － a ，2－ t ，0）.
由 PQ ⊥ QD ， · a2＋ t （2－ t ）－2×0＝0，即 t2－2 t ＋ a2＝0.
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此方程有解，则Δ＝4－4 a2≥0，∴0≤ a ≤1.当 a t t 0≤ t ≤2；当 a ＝1时，方程的解为 t ＝1，也满足0≤ t ≤2.
因此，满足条件的 a 的取值为 a a ＝1.
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（2）记满足（1）的条件下的 Q 点为 Qn （ n ＝1，2，3，…），当
a 取所给数据中的最小值时，这样的点 Qn 有几个？试求二面
角 Qn - PA - Qn＋1的大小.
解：在满足（1）的条件下， a 取所
给数据中的最小值时， a .由（1）
知，此时 t t .
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∴满足条件的点 Q 是 Q1（ 0）， Q2（ 0），
连接 AQ1， AQ2， PQ1， PQ2（图略），则所求的二面角应为
Q1- PA - Q2.
∵ PA ⊥平面 ABCD ，
∴ PA ⊥ Q1 A ， PA ⊥ Q2 A ，
∴∠ Q1 AQ2即所求二面角的平面角.
∵ （ 0） （ 0），
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∴ cos
∴ 30°，即∠ Q1 AQ2＝30°.
∴二面角 Q1- PA - Q2的大小为30°.
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