一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本章中的数学运算主要涉及以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离.
培优一 空间向量的线性运算
【例1】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，则＝（ ）
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
尝试解答
【例2】 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi，P'i（i＝1，2，…，8）分别是上下底面上其余的八个点，则下列说法正确的个数是（ ）
①｜｜＝2；②＝＋＋；③·（i＝1，2，…，8）不同值的个数为4.
A.3 B.2 C.1 D.0
尝试解答
培优二 空间向量的数量积运算
【例3】 已知向量a＝（1，－3，2），b＝（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.
（1）求｜2a＋b｜；
（2）若O为坐标原点，在直线AB上是否存在一点E，使得⊥b？
尝试解答
培优三 空间角的计算
【例4】 在四棱锥Q -ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.
（1）证明：平面QAD⊥平面ABCD；
（2）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.
尝试解答
培优四 空间距离的计算
【例5】 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离.
尝试解答
二、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程.本章核心素养——直观想象主要涉及以下内容.利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间坐标系.
培优五 利用空间向量证明平行、垂直问题
【例6】 如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝3.
（1）求证：AF⊥CD；
（2）线段BD上是否存在点M，使得直线CE∥平面AFM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
尝试解答
培优六 空间坐标系的建立
【例7】 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分别是AA1、B1C的中点.
（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；
（2）已知B1C与平面BCD所成的角为30°，求二面角D-BC-B1的余弦值.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 A 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，O为底面ABCD的中心，G为△D1C1O的重心，连接OG，则＝＋＝（＋）＋（＋）＝（b＋c）＋［（＋）＋＋（＋）＋］＝（b＋c）＋（－b＋c）＋a＋（b＋c）＋a＝a＋b＋c.故选A.
【例2】 C 对于①，｜｜＝＝＝3，①错误；对于②，＝＋＝＋＋，又＝，＝，∴＝＋＋，②正确；对于③，·＝·（＋）＝｜｜2＋·＝1＋·，∵AB⊥平面BP6P8P2，BPi 平面BP6P8P2，∴AB⊥BPi，即·＝0，∴·＝1，仅有1个值，③错误；综上所述：正确的个数为1个.故选C.
【例3】 解：（1）2a＋b＝（2，－6，4）＋（－2，1，1）＝（0，－5，5），
∴｜2a＋b｜＝＝5.
（2）设存在满足题意的点E（x，y，z），则有∥，
且·b＝0.
∵＝（x＋3，y＋1，z－4），＝（1，－1，－2），
∴解得
故在直线AB上存在点E，使得⊥b.
【例4】 解：（1）证明：取AD的中点E，连接QE，CE，∵QD＝QA＝，∴QE⊥AD.
∵AD＝2，∴DE＝1，∴QE＝＝2，CE＝＝.
∴QE2＋CE2＝9＝QC2，∴QE⊥CE.
又∵AD∩CE＝E，∴QE⊥平面ABCD.∵QE 平面QAD，∴平面QAD⊥平面ABCD.
（2）法一 取BC中点F，连接EF，易得EF，ED，EQ两两垂直，
如图，分别以EF，ED，EQ所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
则B（2，－1，0），Q（0，0，2），D（0，1，0），
∴＝（－2，1，2），＝（0，1，－2），设平面BQD的一个法向量n1＝（x，y，z），
则 取z＝1，
可得x＝2，y＝2，
∴n1＝（2，2，1）.
易知平面QDA的一个法向量n2＝（1，0，0）.
设二面角B-QD-A的平面角为θ，则θ为锐角.
cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝.∴二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.
法二 由（1）知平面QAD⊥平面ABCD，
又∵BA⊥AD，BA 平面ABCD，平面ABCD∩平面QAD＝AD，∴BA⊥平面QAD.
过A作AM⊥QD于点M，连接BM.则∠AMB为所求二面角的平面角.
由S△QAD＝×2×2＝×·AM AM＝，
∴BM＝ ＝，∴cos∠AMB＝＝.
∴二面角B-QD-A的平面角的余弦值为.
【例5】 解：法一 如图所示，以C为坐标原点，分别以CD，CB，CG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（0，4，0），E（2，4，0），F（4，2，0），G（0，0，2）.
∴＝（4，2，－2），＝（2，－2，0），
设平面GEF的法向量为n＝（x，y，z），
则 取x＝1，则n＝（1，1，3）为平面EFG的一个法向量.又＝（2，0，0），
∴点B到平面GEF的距离d＝＝＝.
法二 连接AC，BD交于点O，设AC与EF交于点H，连接GH，GO，如图所示.
∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.
∵BD 平面EFG，∴BD∥平面EFG，
∴点B到平面EFG的距离为点O到平面EFG的距离.
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC.
∵GC⊥EF，GC∩AC＝C，∴EF⊥平面GCH.
∵EF 平面EFG，∴平面EFG⊥平面GCH.
过O点作OM⊥GH于点M，则OM⊥平面EFG，因此线段OM的长是点O到平面EFG的距离，也等于点B到平面EFG的距离.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CH＝AC＝×4＝3，OH＝AC＝.
∵GC＝2，且GC⊥CA，∴GH＝＝.
∵Rt△OMH∽Rt△GCH，∴＝，∴OM＝.
∴点B到平面EFG的距离为.
【例6】 解：（1）证明：因为四边形ADEF为正方形，所以AF⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
所以AF⊥平面ABCD.
所以AF⊥CD.
（2）因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AF两两垂直，
以A为原点， 向量，，所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，3，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（0，0，1）.
假设线段BD上存在点M，使得直线CE∥平面AFM.设＝λ（λ∈[0，1]），因此＝λ（λ∈[0，1]），所以M的坐标为（1－λ，λ，0）.＝（－1，－2，1）.
设平面AFM的法向量为n＝（x1，y1，z1），＝（0，0，1），＝（1－λ，λ，0），
所以n＝（－λ，1－λ，0），因为直线CE∥平面AFM，所以有⊥n λ－2（1－λ）＝0 λ＝，即＝.
【例7】 解：（1）证明：如图建立空间直角坐标系，设AB＝AC＝2，AA1＝2t，t＞0，
则D（0，0，t），B（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，0，2t），E（1，1，t），
∴＝（1，1，0），＝（0，0，2t），＝（－2，2，0），
∴·＝（1，1，0）·（0，0，2t）＝0，·＝（1，1，0）·（－2，2，0）＝0，
∴⊥，⊥，即DE⊥BB1，DE⊥BC，
又BB1∩BC＝B，∴DE⊥平面BCC1B1.
（2）设平面BCD的法向量为m＝（x，y，z），又＝（－2，0，t），＝（－2，2，0），
∴即
令x＝t，可得m＝（t，t，2），
∵B1C与平面BCD所成的角为30°，又＝（2，－2，2t），
∴｜cos＜m，＞｜＝sin 30°＝，即＝，
∴＝，解得t＝，
∴m＝（，，2），又DE⊥平面BCC1B1，＝（1，1，0）为平面BCC1B1的一个法向量，
∴cos＜m，＞＝＝＝，
∴二面角D-BC-B1的余弦值为.
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章末复习与总结
一、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学
问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方
向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本章中的数学运
算主要涉及以下内容，空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量
的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离.
培优一 空间向量的线性运算
【例1】 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中 a b c ， O 为底面 ABCD 的中心， G 为△ D1 C1 O 的重心，
A. a b c B. a ＋ b c
C. a b c D. a b c
解析： 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中 a b c ， O 为底面 ABCD 的中心， G 为△ D1 C1 O 的重心，连接 OG ， b ＋ c ［ ］ b ＋ c － b ＋ c a b ＋ c a a b c .故选A.
①｜ ｜＝2
· i ＝1，2，…，8）不同值的
个数为4.
【例2】 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， AB 是一
条侧棱， Pi ，P' i （ i ＝1，2，…，8）分别是上下底面上其余的八个
点，则下列说法正确的个数是（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
解析： 对于①，｜ ｜ 3，①错误；
对于②
∴ ②正确；对于③
· · ＝｜ ｜2 · 1 ·
∵ AB ⊥平面 BP6 P8 P2， BPi 平面 BP6 P8 P2，∴ AB ⊥ BPi ，
· 0，∴ · 1，仅有1个值，③错误；综上所述：正确
的个数为1个.故选C.
培优二 空间向量的数量积运算
【例3】 已知向量 a ＝（1，－3，2）， b ＝（－2，1，1），点 A
（－3，－1，4）， B （－2，－2，2）.
（1）求｜2 a ＋ b ｜；
解：2 a ＋ b ＝（2，－6，4）＋（－2，1，1）＝（0，－5，5），
∴｜2 a ＋ b ｜ 5 .
（2）若 O 为坐标原点，在直线 AB 上是否存在一点 E ，使 b ？
解：设存在满足题意的点 E （ x ， y ， z ），则 ∥
· b ＝0.
∵ x ＋3， y ＋1， z －4） 1，－1，－2），
∴
故在直线 AB 上存在点 E （ ），使 b .
培优三 空间角的计算
【例4】 在四棱锥 Q - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，若 AD ＝2，
QD ＝ QA QC ＝3.
（1）证明：平面 QAD ⊥平面 ABCD ；
解：证明：取 AD 的中点 E ，连接 QE ， CE ，∵ QD ＝ QA ∴ QE ⊥ AD .
∵ AD ＝2，∴ DE ＝1，∴ QE 2， CE .
∴ QE2＋ CE2＝9＝ QC2，∴ QE ⊥ CE .
又∵ AD ∩ CE ＝ E ，∴ QE ⊥平面 ABCD .
∵ QE 平面 QAD ，∴平面 QAD ⊥平面 ABCD .
（2）求二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值.
解：法一 取 BC 中点 F ，连接 EF ，
易得 EF ， ED ， EQ 两两垂直，
如图，分别以 EF ， ED ， EQ 所在的直线为
x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.
则 B （2，－1，0）， Q （0，0，2）， D
（0，1，0），
∴ －2，1，2） 0，1，－2），
设平面 BQD 的一个法向量 n1＝（ x ， y ， z ），
z ＝1，
可得 x ＝2， y ＝2，∴ n1＝（2，2，1）.
易知平面 QDA 的一个法向量 n2＝（1，0，0）.
设二面角 B - QD - A 的平面角为θ，则θ为锐角.
cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜ .∴二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值 .
法二 由（1）知平面 QAD ⊥平面 ABCD ，
又∵ BA ⊥ AD ， BA 平面 ABCD ，平面 ABCD ∩平面 QAD ＝ AD ，
∴ BA ⊥平面 QAD .
过 A 作 AM ⊥ QD 于点 M ，连接 BM . 则∠ AMB 为所求二面角的平面角.
由 S△ QAD 2×2 · AM AM
∴ BM ＝ ∴ cos ∠ AMB .
∴二面角 B - QD - A 的平面角的余弦值 .
培优四 空间距离的计算
【例5】 如图，已知正方形 ABCD 的边长为4， E ， F 分别是
AB ， AD 的中点， GC ⊥平面 ABCD ，且 GC ＝2，求点 B 到平面
EFG 的距离.
解：法一 如图所示，以 C 为坐标原点，分别以 CD ， CB ， CG 所在
的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 B （0，4，0）， E
（2，4，0）， F （4，2，0）， G （0，0，2）.
∴ 4，2，－2） 2，－2，0），
设平面 GEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则 x ＝1，则 n ＝（1，
1，3）为平面 EFG 的一个法向量. 2，0，0），
∴点 B 到平面 GEF 的距离 d .
法二 连接 AC ， BD 交于点 O ，设 AC 与 EF 交于
点 H ，连接 GH ， GO ，如图所示.
∵ E ， F 分别为 AB ， AD 的中点，∴ EF ∥ BD .
∵ BD 平面 EFG ，∴ BD ∥平面 EFG ，
∴点 B 到平面 EFG 的距离为点 O 到平面 EFG 的距离.
∵四边形 ABCD 是正方形，∴ AC ⊥ BD ，∴ EF ⊥ AC .
∵ GC ⊥ EF ， GC ∩ AC ＝ C ，∴ EF ⊥平面 GCH .
∵ EF 平面 EFG ，∴平面 EFG ⊥平面 GCH .
过 O 点作 OM ⊥ GH 于点 M ，则 OM ⊥平面 EFG ，因此线段 OM 的长
是点 O 到平面 EFG 的距离，也等于点 B 到平面 EFG 的距离.
∵正方形 ABCD 的边长为4，
∴ CH AC 4 3 OH AC .
∵ GC ＝2，且 GC ⊥ CA ，∴ GH .
∵Rt△ OMH ∽Rt△ GCH ，∴ ∴ OM .
∴点 B 到平面 EFG 的距离 .
二、直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，
利用图形理解和解决数学问题的过程.本章核心素养——直观想象主要
涉及以下内容.利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧
建空间坐标系.
培优五 利用空间向量证明平行、垂直问题
【例6】 如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ADEF ⊥平面 ABCD ，四
边形 ADEF 为正方形，四边形 ABCD 为梯形，且 AD ∥ BC ，∠ BAD ＝
90°， AB ＝ AD ＝1， BC ＝3.
（1）求证： AF ⊥ CD ；
解：证明：因为四边形 ADEF 为正方
形，所以 AF ⊥ AD ，
又因为平面 ADEF ⊥平面 ABCD ，平面
ADEF ∩平面 ABCD ＝ AD ，
所以 AF ⊥平面 ABCD .
所以 AF ⊥ CD .
（2）线段 BD 上是否存在点 M ，使得直线 CE ∥平面 AFM ？若存在，
.
解：因为∠ BAD ＝90°，所以 AB ，
AD ， AF 两两垂直，
以 A 为原点， 向
x ， y ， z 轴，建立空间直角坐
标系如图所示，则 A （0，0，0）， B （1，
0，0）， C （1，3，0）， D （0，1，0），
E （0，1，1）， F （0，0，1）.
假设线段 BD 上存在点 M ，使得直线 CE ∥平面 AFM . λ（λ∈[0，1]），因 λ λ∈[0，1]），所以 M 的坐标
为（1－λ，λ，0）. －1，－2，1）.
设平面 AFM 的法向量为 n ＝（ x1， y1， z1） 0，0，1） 1－λ，λ，0），
n ＝（－λ，1－λ，0），因为直线 CE ∥平面 AFM ，所以 n λ－2（1－λ）＝0 λ .
培优六 空间坐标系的建立
【例7】 如图，直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，∠ BAC ＝90°， AB ＝
AC ， D ， E 分别是 AA1、 B1 C 的中点.
（1）证明： DE ⊥平面 BCC1 B1；
解：证明：如图建立空间直角坐标系，设 AB ＝ AC ＝2， AA1＝2 t ， t ＞0，
则 D （0，0， t ）， B （2，0，0）， C
（0，2，0）， B1（2，0，2 t ）， E
（1，1， t ），
∴ 1，1，0） 0，0，
2 t ） －2，2，0），
∴ · 1，1，0）·（0，0，2 t ）＝0 · 1，1，0）·（－2，2，0）＝0，
∴ DE ⊥ BB1， DE ⊥ BC ，
又 BB1∩ BC ＝ B ，∴ DE ⊥平面 BCC1 B1.
（2）已知 B1 C 与平面 BCD 所成的角为30°，求二面角 D - BC - B1的余
弦值.
解：设平面 BCD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ）， －2，0， t ） －2，2，0），
∴
即
令 x ＝ t ，可得 m ＝（ t ， t ，2），
∵ B1 C 与平面 BCD 所成的角为30°， 2，－2，2 t ），
∴｜ cos ＜ m ｜＝ sin 30°
∴ t
∴ m ＝ 2），又 DE ⊥平面
BCC1 B1 1，1，0）为平面 BCC1 B1的一个法向量，
∴ cos ＜ m
∴二面角 D - BC - B1的余弦值 .
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