2.1 坐标法
1.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－1），则向量的坐标为（ ）
A.4 B.－4
C.±4 D.2
2.已知线段AB的端点A（3，4）及中点O（0，3），则点B的坐标为（ ）
A. B.（－3，2）
C.（3，2） D.（3，10）
3.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为6、4，则点M的坐标为（ ）
A.（4，－6） B.（－4，－6）
C.（6，－4） D.（－6，－4）
4.已知△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（－1，0），C（2，0），则△ABC的周长是（ ）
A.2 B.3＋2
C.6＋3 D.6＋
5.（多选）已知A（3，1），B（－2，2），在y轴上的点P满足PA⊥PB，则P的坐标为（ ）
A.（0，4） B.（0，1）
C.（0，－1） D.（0，－4）
6.数轴上点P（x），A（－8），B（－4），若｜PA｜＝2｜PB｜，则x等于 .
7.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P（2，－1），则｜AB｜等于 .
8.已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P（3，－2），Q（1，6），R（－4，2），则顶点A的坐标为 .
9.已知A（6，1），B（0，－7），C（－2，－3）.
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）求△ABC的外心的坐标.
10.已知A（－3，8），B（2，2），点M在x轴上，则｜MA｜＋｜MB｜的最小值是（ ）
A. B.5
C. D.
11.（多选）对于，下列说法正确的是（ ）
A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离
B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离
C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离
D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离
12.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，P为三角形内一点，且S△PAB＝S△PBC＝S△PCA.求证：｜PA｜2＋｜PB｜2＝5｜PC｜2.
13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离是（ ）
A.1＋ B.
C.3 D.
14.如图，点P为正方形ABCD内一点，且满足∠PAB＝∠PBA＝15°，用坐标法证明△PCD为等边三角形.
2.1 坐标法
1.B 由题意，根据向量的运算＝－，所以向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即－1－3＝－4.故选B.
2.B 设B（x，y），AB的端点A（3，4）及中点O（0，3），则解得故点B的坐标为（－3，2）.故选B.
3.A 因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，所以点M的坐标为（4，－6）.故选A.
4.C 由题意知｜AB｜＝＝3，｜AC｜＝＝3，｜BC｜＝＝3，故△ABC的周长为｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝6＋3.故选C.
5.AC 设P点坐标为（0，y），由PA⊥PB，则｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2，即9＋（y－1）2＋4＋（y－2）2＝25＋1，解得y＝4或－1.
6.0或－ 解析：∵｜PA｜＝2｜PB｜，∴｜x＋8｜＝2｜x＋4｜，解得x＝0或－.
7.2 解析：设A（x，0），B（0，y），∵AB中点P（2，－1），∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A（4，0），B（0，－2），∴｜AB｜＝＝2.
8.（－2，－6） 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因为△ABC三边AB，BC，CA的中点分别为P（3，－2），Q（1，6），R（－4，2），由中点坐标公式可得，解得x1＝－2，y1＝－6，故顶点A的坐标为（－2，－6）.
9.解：（1）证明：｜AB｜2＝（0－6）2＋（－7－1）2＝100，
｜BC｜2＝（－2－0）2＋（－3＋7）2＝20，
｜AC｜2＝（－2－6）2＋（－3－1）2＝80.
因为｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜AC｜2，所以∠C＝90°，
故△ABC为直角三角形.
（2）由（1）可知△ABC为直角三角形，所以其外心是斜边AB的中点，所以外心坐标为，即（3，－3）.
10.B 如图，点A关于x轴的对称点为A'（－3，－8），则当点M为A'B与x轴的交点时，｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，即（｜MA｜＋｜MB｜）min＝｜A'B｜＝＝5.故选B.
11.BCD 由题意，可得＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确，故选B、C、D.
12.证明：如图，以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0），设A（3a，0），B（0，3b），P（x，y）.
因为S△PCA＝S△PBC＝S△PAB，所以S△PCA＝S△ABC，
即×3ay＝××3a×3b，所以y＝b.
S△PBC＝S△ABC，即×3bx＝××3a×3b，所以x＝a.所以符合条件的点P的坐标为（a，b）.
此时，｜PA｜2＝（3a－a）2＋b2＝4a2＋b2，
｜PB｜2＝a2＋（3b－b）2＝a2＋4b2，
｜PC｜2＝a2＋b2，
所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝5（a2＋b2）＝5｜PC｜2，
故结论成立.
13.A 如图，取AC的中点D，连接BD，OD，∵∠ACB＝90°，∴｜OD｜＝｜AC｜＝1，BD＝＝，由图可知｜BO｜≤｜BD｜＋｜DO｜＝＋1，当B，O，D三点共线时，等号成立，所以点B到原点O的最大距离是＋1.故选A.
14.解：以点P为坐标原点，、的方向分别为x、y轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为2，则B（1，－tan 15°），C（1，2－tan 15°），D（－1，2－tan 15°），
因为tan 15°＝tan（60°－45°）＝＝＝2－，
则C（1，），D（－1，），
所以｜PC｜＝＝2，同理可得｜PD｜＝｜CD｜＝2，
因此△PCD为等边三角形.
1 / 22.1 坐标法
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式 数学抽象
2.能用公式解决一些问题 数学运算
数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛卡尔此时恍然大悟……
【问题】 （1）同学们能说出笛卡尔的新想法吗？
（2）若蜘蛛由位置A爬到位置B，如图所示，你能算出A，B两点间的距离吗？
知识点 两类公式
类型 条件 中点坐标公式 距离公式
数轴上 两点 A（x1）， B（x2） ｜AB｜＝
平面坐 标系内 两点 A（x1，y1）， B（x2，y2） ｜AB｜＝
【想一想】
1.数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？
2.距离公式中与两点的先后顺序有关吗？
1.已知数轴上A（－4），B（3），则｜AB｜＝ .
2.已知A（3，0），B（－1，a），且AB中点M（1，2），则a＝ .
3.已知A（－2，3），B（－2，－3），则｜AB｜＝ .
题型一 数轴上的点与实数间的关系
【例1】 （1）若点P（x）位于点M（－2），N（3）之间，求x的取值范围；
（2）试确定点A（a），B（b）的相对位置关系.
尝试解答
通性通法
数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.
【跟踪训练】
下列各组点中，点C位于点D的右侧的是（ ）
A.C（－3）和D（－4）
B.C（3）和D（4）
C.C（－4）和D（3）
D.C（－4）和D（－3）
题型二 两点间的距离公式
角度1 数轴上两点间的距离
【例2】 已知数轴上点A，B，P的坐标分别为－1，3，x.当点P与点B的距离是点P与点A的距离的3倍时，求点P的坐标x.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例中若点P到点A和点B的距离都是2，求点P的坐标x，此时点P与线段AB有着怎样的关系？
2.（变设问）本例中在线段AB上是否存在点P（x），使得点P到点A和点B的距离都是3？若存在，求出点P的坐标x；若不存在，请说明理由.
通性通法
求数轴上两点间距离的方法
（1）直接法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），则A，B两点间的距离d（A，B）＝｜xB－xA｜；
（2）向量法：已知数轴上两点坐标A（xA），B（xB），向量的坐标为＝xB－xA，则d（A，B）＝｜｜（向量的模）.
【跟踪训练】
1.已知数轴上不同的两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离d（A，B）＝5，则点A的坐标为（ ）
A.8 B.－2
C.－8 D.8或－2
2.数轴上点M，N，P的坐标分别为3，－1，－5，则｜MP｜＋｜PN｜＝（ ）
A.－4 B.4
C.－12 D.12
角度2 平面上两点间距离公式的应用
【例3】 已知△ABC的三个顶点坐标是A（－3，1），B（3，－3），C（1，7）.
（1）判断△ABC的形状；
（2）求△ABC的面积.
尝试解答
通性通法
计算两点间距离的方法
（1）对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），则｜P1P2｜＝；
（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解.
【跟踪训练】
已知点A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则△ABC中，BC边上的中线长为 .
题型三 坐标法的应用
【例4】 已知△ABC的三边长满足｜AC｜2＋｜AB｜2＝5｜BC｜2，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，用坐标法证明：BE⊥CF.
尝试解答
通性通法
坐标法求解问题的三步曲
（1）建立坐标系，用坐标表示有关的量；
（2）进行有关代数运算；
（3）把代数运算结果“翻译”成几何关系.
【跟踪训练】
已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：｜AM｜＝｜BC｜.
1.已知数轴上A，B两点的坐标分别为，－，则｜AB｜＝（ ）
A.0 B.－ C. D.
2.已知A，B都是数轴上的点，A（3），B（－a），且的坐标为4，则a＝（ ）
A.－1 B.－7 C.4 D.－4
3.已知A（－1，2），B（3，－4），则线段AB的中点坐标为（ ）
A.（1，－1） B.（－2，3）
C.（2，－3） D.
4.（多选）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A.的坐标等于的坐标
B.｜MP｜＝10
C.的坐标为－4
D.的坐标为10
5.在x轴上找一点M，使点M到点A（1，2）和点B（5，－2）的距离相等，则M的坐标为 .
2.1 坐标法
【基础知识·重落实】
知识点
｜x1－x2｜
想一想
1.提示：给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点与实数是一一对应的.
2.提示：无关.
自我诊断
1.7 2.4 3.6
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由题意可知，点M（－2）位于点N（3）的左侧，且点P（x）位于点M（－2），N（3）之间，所以－2＜x＜3.
（2）确定两点的位置关系，需要讨论实数a，b的大小关系：当a＞b时，点A（a）位于点B（b）的右侧；当a＜b时，点A（a）位于点B（b）的左侧；当a＝b时，点A（a）与点B（b）重合.
跟踪训练
A 对于A选项，C在D右侧，符合题意；对于B选项，C在D左侧，不符合题意；对于C选项，C在D左侧，不符合题意；对于D选项，C在D左侧，不符合题意.故选A.
【例2】 解：由题意知，｜PB｜＝3｜PA｜，即｜x－3｜＝3｜x＋1｜，
则（x－3）2＝9（x＋1）2，解得x1＝－3，x2＝0，
所以点P的坐标为－3或0.
母题探究
1.解：由题意知｜PA｜＝｜PB｜＝2，
即解得x＝1.
此时点P的坐标为1，显然此时P为线段AB的中点.
2.解：不存在这样的点P（x）.
因为d（A，B）＝｜3＋1｜＝4，要使点P在线段AB上，且d（P，A）＝d（P，B）＝3，则d（A，B）＝d（P，A）＋d（P，B），这是不可能的.
跟踪训练
1.D 记点A（x1），B（x2），则x2＝3.d（A，B）＝｜AB｜＝｜x2－x1｜＝5，即｜3－x1｜＝5，解得x1＝－2或x1＝8.故选D.
2.D ｜MP｜＋｜PN｜＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝12.
【例3】 解：（1）∵｜AB｜＝＝2，
｜AC｜＝＝2，
又｜BC｜＝＝2，
∵｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2且｜AB｜＝｜AC｜，
∴△ABC是等腰直角三角形.
（2）△ABC的面积S△ABC＝｜AC｜·｜AB｜＝×2×2＝26.
跟踪训练
解析：BC中点为（－1，2），所以BC边上中线长为＝.
【例4】 证明：以F为原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示.
设A（－a，0），B（a，0），C（x，y），
则E，F（0，0），
由于｜AC｜2＋｜AB｜2＝5｜BC｜2，
则（x＋a）2＋y2＋4a2＝5[（x－a）2＋y2]，化简得x2＋y2－3ax＝0，
由＝，＝（－x，－y），
所以·＝－＝＝0，
故BE⊥CF.
跟踪训练
证明：以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为（c，0），（0，b）.
因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.
由两点间距离公式，得
｜BC｜＝＝，
｜AM｜＝＝.
所以｜AM｜＝｜BC｜.
随堂检测
1.C ｜AB｜＝＝.
2.B 由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，即－a－3＝4，解得a＝－7.故选B.
3.A 由A（－1，2），B（3，－4），利用中点坐标公式可知，线段AB的中点坐标为（，），即（1，－1）.故选A.
4.BC 数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故坐标不等于坐标，A不正确；数轴上两点间的距离一定是非负的，｜MP｜＝｜｜＝｜－2－8｜＝10，B正确；的坐标为－6－（－2）＝－4，C正确；的坐标为－2－8＝－10，D不正确.故选B、C.
5.（3，0） 解析：设M（t，0），由题意可知，｜MA｜＝｜MB｜，A（1，2），B（5，－2），故＝，解得t＝3，故M的坐标为（3，0）.
1 / 3(共60张PPT)
2.1 坐标法
新课程标准解读 核心素养
1.探索并掌握平面上两点间的距离公式 数学抽象
2.能用公式解决一些问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
数学家笛卡尔某天躺在床上静静地思考，思考着如何确定事物的
位置，这时他发现苍蝇粘在蜘蛛网上，蜘蛛迅速爬过去把它捉住，笛
卡尔此时恍然大悟……
（2）若蜘蛛由位置 A 爬到位置 B ，如图所示，你能算出 A ， B 两点间
的距离吗？
【问题】 （1）同学们能说出笛卡尔的新想法吗？
知识点 两类公式
类型 条件 中点坐标公式 距离公式
数轴上两点 A （ x1）， B
（ x2） ｜ AB ｜＝
｜x1－ x2｜
类型 条件 中点坐 标公式 距离公式
平面坐标系内两点 A （ x1， y1）， B （ x2，y2） （ ） ｜ AB ｜＝
【想一想】
1. 数轴的概念是什么？数轴上的点与实数有怎样的关系？
提示：给定了原点、单位长度和正方向的直线是数轴，数轴上的点
与实数是一一对应的.
2. 距离公式中与两点的先后顺序有关吗？
提示：无关.
1. 已知数轴上 A （－4）， B （3），则｜ AB ｜＝ .
2. 已知 A （3，0）， B （－1， a ），且 AB 中点 M （1，2），则 a
＝ .
3. 已知 A （－2，3）， B （－2，－3），则｜ AB ｜＝ .
7
4
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数轴上的点与实数间的关系
【例1】 （1）若点 P （ x ）位于点 M （－2）， N （3）之间，求 x 的
取值范围；
解：由题意可知，点 M （－2）位于点 N （3）的左侧，且
点 P （ x ）位于点 M （－2）， N （3）之间，所以－2＜ x ＜3.
解：确定两点的位置关系，需要讨论实数 a ， b 的大小关系：
当 a ＞ b 时，点 A （ a ）位于点 B （ b ）的右侧；当 a ＜ b 时，点
A （ a ）位于点 B （ b ）的左侧；当 a ＝ b 时，点 A （ a ）与点 B
（ b ）重合.
（2）试确定点 A （ a ）， B （ b ）的相对位置关系.
通性通法
数轴上的点与实数之间是一一对应的关系，所以点的坐标的大小
决定彼此的相互位置，显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.
【跟踪训练】
下列各组点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
A. C （－3）和 D （－4） B. C （3）和 D （4）
C. C （－4）和 D （3） D. C （－4）和 D （－3）
解析： 对于A选项， C 在 D 右侧，符合题意；对于B选项， C 在 D
左侧，不符合题意；对于C选项， C 在 D 左侧，不符合题意；对于D选
项， C 在 D 左侧，不符合题意.故选A.
题型二 两点间的距离公式
角度1 数轴上两点间的距离
【例2】 已知数轴上点 A ， B ， P 的坐标分别为－1，3， x .当点 P 与
点 B 的距离是点 P 与点 A 的距离的3倍时，求点 P 的坐标 x .
解：由题意知，｜ PB ｜＝3｜ PA ｜，即｜ x －3｜＝3｜ x ＋1｜，
则（ x －3）2＝9（ x ＋1）2，解得 x1＝－3， x2＝0，
所以点 P 的坐标为－3或0.
【母题探究】
1. （变条件）本例中若点 P 到点 A 和点 B 的距离都是2，求点 P 的坐标
x ，此时点 P 与线段 AB 有着怎样的关系？
解：由题意知｜ PA ｜＝｜ PB ｜＝2，
即 x ＝1.
此时点 P 的坐标为1，显然此时 P 为线段 AB 的中点.
2. （变设问）本例中在线段 AB 上是否存在点 P （ x ），使得点 P 到点
A 和点 B 的距离都是3？若存在，求出点 P 的坐标 x ；若不存在，请
说明理由.
解：不存在这样的点 P （ x ）.
因为 d （ A ， B ）＝｜3＋1｜＝4，要使点 P 在线段 AB 上，且 d
（ P ， A ）＝ d （ P ， B ）＝3，则 d （ A ， B ）＝ d （ P ， A ）＋ d
（ P ， B ），这是不可能的.
通性通法
求数轴上两点间距离的方法
（1）直接法：已知数轴上两点坐标 A （ xA ）， B （ xB ），则 A ， B 两
点间的距离 d （ A ， B ）＝｜ xB － xA ｜；
（2）向量法：已知数轴上两点坐标 A （ xA ）， B （ xB ），向量 的
坐标为 xB － xA ，则 d （ A ， B ）＝｜ ｜（向量 的
模）.
【跟踪训练】
1. 已知数轴上不同的两点 A ， B ，若点 B 的坐标为3，且 A ， B 两点间
的距离 d （ A ， B ）＝5，则点 A 的坐标为（ ）
A. 8 B. －2
C. －8 D. 8或－2
解析： 记点 A （ x1）， B （ x2），则 x2＝3. d （ A ， B ）＝｜
AB ｜＝｜ x2－ x1｜＝5，即｜3－ x1｜＝5，解得 x1＝－2或 x1＝8.故
选D.
2. 数轴上点 M ， N ， P 的坐标分别为3，－1，－5，则｜ MP ｜＋｜
PN ｜＝（ ）
A. －4 B. 4
C. －12 D. 12
解析： ｜ MP ｜＋｜ PN ｜＝｜－5－3｜＋｜－5－（－1）｜＝
12.
角度2 平面上两点间距离公式的应用
【例3】 已知△ ABC 的三个顶点坐标是 A （－3，1）， B （3，－
3）， C （1，7）.
（1）判断△ ABC 的形状；
解：∵｜ AB ｜ 2
｜ AC ｜ 2
又｜ BC ｜ 2
∵｜ AB ｜2＋｜ AC ｜2＝｜ BC ｜2且｜ AB ｜＝｜ AC ｜，
∴△ ABC 是等腰直角三角形.
（2）求△ ABC 的面积.
解：△ ABC 的面积 S△ ABC ｜ AC ｜·｜ AB ｜ 2
2 26.
通性通法
计算两点间距离的方法
（1）对于任意两点 P1（ x1， y1）和 P2（ x2， y2），则｜ P1 P2｜
；
（2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式
的特殊情况求解.
【跟踪训练】
已知点 A （2，1）， B （－2，3）， C （0，1），则△ ABC 中， BC
边上的中线长为 .
解析： BC 中点为（－1，2），所以 BC 边上中线长 .
题型三 坐标法的应用
【例4】 已知△ ABC 的三边长满足｜ AC ｜2＋｜ AB ｜2＝5｜ BC ｜2， BE ， CF 分别为边 AC ， AB 上的中线，用坐标法证明： BE ⊥ CF .
证明：以 F 为原点， AB 所在的直线为 x 轴建立直角
坐标系，如图所示.
设 A （－ a ，0）， B （ a ，0）， C （ x ， y ），
则 E （ ）， F （0，0），
由于｜ AC ｜2＋｜ AB ｜2＝5｜ BC ｜2，
则（ x ＋ a ）2＋ y2＋4 a2＝5[（ x － a ）2＋ y2]，化简
得 x2＋ y2－3 ax ＝0，
（ ） － x ，－ y ），
所 · 0，
故 BE ⊥ CF .
【跟踪训练】
已知△ ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M ，建立适当的平面
直角坐标系，证明：｜ AM ｜ ｜ BC ｜.
证明：以Rt△ ABC 的直角边 AB ， AC 所在直线为坐
标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 B ， C
两点的坐标分别为（ c ，0），（0， b ）.
因为点 M 是 BC 的中点，故点 M 的坐标为（ ），即（ ）.由两点间距离公式，得｜ BC ｜ ｜ AM ｜ .
所以｜ AM ｜ ｜ BC ｜.
1. 已知数轴上 A ， B 两点的坐标分别 ｜ AB ｜＝
（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： ｜ AB ｜ .
2. 已知 A ， B 都是数轴上的点， A （3）， B （－ a ），
4，则 a ＝（ ）
A. －1 B. －7
C. 4 D. －4
解析： 由题意，向 B 的坐标减去起点 A 的坐
标，即－ a －3＝4，解得 a ＝－7.故选B.
3. 已知 A （－1，2）， B （3，－4），则线段 AB 的中点坐标为
（ ）
A. （1，－1） B. （－2，3）
C. （2，－3） D. （ ）
解析： 由 A （－1，2）， B （3，－4），利用中点坐标公式可
知，线段 AB 的中点坐标为（ ），即（1，－1）.故
选A.
4. （多选）数轴上点 P ， M ， N 的坐标分别为－2，8，－6，则有
（ ）
A.
B. ｜ MP ｜＝10
C. 4
D. 10
解析： 数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点
坐标， A不正确；数轴上两点间的距离
一定是非负的，｜ MP ｜＝｜ ｜＝｜－2－8｜＝10，B正确 －6－（－2）＝－4，C正确 －2－8＝
－10，D不正确.故选B、C.
5. 在 x 轴上找一点 M ，使点 M 到点 A （1，2）和点 B （5，－2）的距
离相等，则 M 的坐标为 .
解析：设 M （ t ，0），由题意可知，｜ MA ｜＝｜ MB ｜， A （1，
2）， B （5，－2）， t ＝3，故 M 的坐标为（3，0）.
（3，0）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 A ， B 都是数轴上的点， A （3）， B （－1），则向
A. 4 B. －4
C. ±4 D. 2
解析： 由题意，根据向量的运 B 的坐标减去起点 A 的坐标，即－1－3＝－
4.故选B.
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2. 已知线段 AB 的端点 A （3，4）及中点 O （0，3），则点 B 的坐标为
（ ）
A. （ ） B. （－3，2）
C. （3，2） D. （3，10）
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解析： 设 B （ x ， y ）， AB 的端点 A （3，4）及中点 O （0，
3），则 B 的坐标为（－3，2）.故
选B.
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3. 在平面直角坐标系中，点 M 在第四象限，到 x 轴、 y 轴的距离分别
为6、4，则点 M 的坐标为（ ）
A. （4，－6） B. （－4，－6）
C. （6，－4） D. （－6，－4）
解析： 因为点 M 在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、
负数，又因为点 M 到 x 轴的距离为6，到 y 轴的距离为4，所以点 M
的坐标为（4，－6）.故选A.
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4. 已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （2，3）， B （－1，0）， C （2，
0），则△ ABC 的周长是（ ）
A. 2 B. 3＋2
C. 6＋3 D. 6
解析： 由题意知｜ AB ｜ 3
｜ AC ｜ 3，｜ BC ｜
3，故△ ABC 的周长为｜ AB ｜＋｜
AC ｜＋｜ BC ｜＝6＋3 .故选C.
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5. （多选）已知 A （3，1）， B （－2，2），在 y 轴上的点 P 满足 PA
⊥ PB ，则 P 的坐标为（ ）
A. （0，4） B. （0，1）
C. （0，－1） D. （0，－4）
解析： 设 P 点坐标为（0， y ），由 PA ⊥ PB ，则｜ PA ｜2＋｜
PB ｜2＝｜ AB ｜2，即9＋（ y －1）2＋4＋（ y －2）2＝25＋1，解得
y ＝4或－1.
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6. 数轴上点 P （ x ）， A （－8）， B （－4），若｜ PA ｜＝2｜
PB ｜，则 x 等于 .
解析：∵｜ PA ｜＝2｜ PB ｜，∴｜ x ＋8｜＝2｜ x ＋4｜，解得 x ＝
0 .
0或
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7. 设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上， AB 的中点是 P （2，－1），则｜
AB ｜等于 .
解析：设 A （ x ，0）， B （0， y ），∵ AB 中点 P （2，－1），∴
2 1，∴ x ＝4， y ＝－2，即 A （4，0）， B （0，－2），
∴｜ AB ｜ 2 .
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8. 已知△ ABC 三边 AB ， BC ， CA 的中点分别为 P （3，－2）， Q
（1，6）， R （－4，2），则顶点 A 的坐标为 .
解析：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）， C （ x3， y3），因为△ ABC
三边 AB ， BC ， CA 的中点分别为 P （3，－2）， Q （1，6）， R
（－4，2），由中点坐标公式可得，
x1＝－2， y1＝－6，故顶点
A 的坐标为（－2，－6）.
（－2，－6）
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9. 已知 A （6，1）， B （0，－7）， C （－2，－3）.
（1）求证：△ ABC 是直角三角形；
解：证明：｜ AB ｜2＝（0－6）2＋（－7－1）2＝100，
｜ BC ｜2＝（－2－0）2＋（－3＋7）2＝20，
｜ AC ｜2＝（－2－6）2＋（－3－1）2＝80.
因为｜ AB ｜2＝｜ BC ｜2＋｜ AC ｜2，所以∠ C ＝90°，
故△ ABC 为直角三角形.
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（2）求△ ABC 的外心的坐标.
解：由（1）可知△ ABC 为直角三角形，所以其外心是斜边 AB 的中点，所以外心坐标为（ ），即（3，－3）.
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10. 已知 A （－3，8）， B （2，2），点 M 在 x 轴上，则｜ MA ｜＋｜
MB ｜的最小值是（ ）
A. B. 5
C. D.
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解析： 如图，点 A 关于 x 轴的对称点为 A '（－
3，－8），则当点 M 为 A ' B 与 x 轴的交点时，｜
MA ｜＋｜ MB ｜取得最小值，即（｜ MA ｜＋｜
MB ｜）min＝｜ A ' B ｜
5 .故选B.
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11. （多选）对
A. 可看作点（ x ，0）与点（1，2）的距离
B. 可看作点（ x ，0）与点（－1，－2）的距离
C. 可看作点（ x ，0）与点（－1，2）的距离
D. 可看作点（ x ，－1）与点（－1，1）的距离
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解析： 由题意，可
x ，0）与点（－1，－
2）的距离，可看作点（ x ，0）与点（－1，2）的距离，可看作点
（ x ，－1）与点（－1，1）的距离，故选项A不正确，故选B、
C、D.
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12. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， P 为三角形内一点，且 S△ PAB ＝ S△ PBC ＝ S△ PCA . 求证：｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝5｜ PC ｜2.
证明：如图，以 C 为坐标原点， CA 所在的直线为 x
轴，建立平面直角坐标系，则 C （0，0），设 A （3
a ，0）， B （0，3 b ）， P （ x ， y ）.
因为 S△ PCA ＝ S△ PBC ＝ S△ PAB ，所以 S△ PCA S△ABC ，
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3 ay 3 a ×3 b ，所以 y ＝ b .
S△ PBC S△ ABC ， 3 bx 3 a ×3 b ，所
以 x ＝ a .所以符合条件的点 P 的坐标为（ a ， b ）.
此时，｜ PA ｜2＝（3 a － a ）2＋ b2＝4 a2＋ b2，
｜ PB ｜2＝ a2＋（3 b － b ）2＝ a2＋4 b2，｜ PC ｜2＝ a2＋ b2，
所以｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝5（ a2＋ b2）＝5｜ PC ｜2，
故结论成立.
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13. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝2， BC ＝1，点 A 、 C 分
别在 x 轴、 y 轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 随之在 y 轴上运
动，在运动过程中，点 B 到原点 O 的最大距离是（ ）
A. 1 B.
C. 3 D.
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解析： 如图，取 AC 的中点 D ，连接 BD ，
OD ，∵∠ ACB ＝90°，∴｜ OD ｜ ｜ AC ｜
＝1， BD ｜ BO ｜
≤｜ BD ｜＋｜ DO ｜ 1，当 B ， O ， D 三
点共线时，等号成立，所以点 B 到原点 O 的最大
距离 1.故选A.
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14. 如图，点 P 为正方形 ABCD 内一点，且满足∠ PAB ＝∠ PBA ＝
15°，用坐标法证明△ PCD 为等边三角形.
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解：以点 P 为坐标原点 x 、 y 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
设正方形 ABCD 的边长为2，则 B （1，－tan 15°）， C （1，2－tan 15°）， D （－1，2－tan 15°），
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因为tan 15°＝tan（60°－45°
2
则 C （1 D （－1
所以｜ PC ｜ 2，同理可得｜ PD ｜
＝｜ CD ｜＝2，
因此△ PCD 为等边三角形.
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谢 谢 观 看！
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