2.2.1 直线的倾斜角与斜率
1.若直线l的倾斜角等于135°，则直线l的一个方向向量是（ ）
A.（1，－1） B.（1，1）
C.（2，－） D.（3，）
2.已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则sin α＞0.上述命题中不正确的是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
3.若三点A（2，3），B（3，2），C共线，则实数m的值为（ ）
A.2 B.
C. D.
4.已知两点M（2，－3），N（－3，－2），直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.k≤－4 B.k≥
C.k≤－4或k≥ D.－4≤k≤
5.（多选）如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A.k1＜k3＜k2
B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2
D.α3＜α2＜α1
6.已知直线l上的两个点M（1，2），N（5，4），则直线l的一个法向量为 .
7.直线的斜率为k，若－1＜k＜，则直线的倾斜角的范围是 .
8.已知点A（1，1），B（3，5），若点C（－2，t）在直线AB上，则实数t的值为 .
9.已知A（1，2），B（2，1），C（0，m）三点.
（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求m的值；
（2）A，B，C三点可能共线吗？若能，求出m值.
10.在△ABC中，A（4，1），AB的中点M（3，2），重心G（1，－1），则BC边所在直线的斜率为（ ）
A. B.－
C.2 D.－2
11.若三点A（3，1），B（－2，k），C（8，1）能构成三角形，则实数k的取值范围为 .
12.已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2，＋1）.
（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率的取值范围.
13.台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点A（－2，3）无旋转射入，经过x轴（桌边）上的点P反弹后，经过点B（5，7），则点P的坐标为 .
14.已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2（－1≤x≤1），试求的最大值和最小值.
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
1.A ∵直线l的倾斜角等于135°，∴直线l的斜率k＝－1，又∵直线l的一个方向向量为（1，k），∴直线l的一个方向向量为（1，－1）.故选A.
2.D ①，α＝90°时，直线的斜率不存在，①错误.②，tan 225°＝tan（180°＋45°）＝tan 45°＝1，直线的倾斜角为45°，不是225°，②错误.③，当α＝0°时，sin α＝0，③错误.所以不正确的是①②③.故选D.
3.C 根据斜率公式得kAB＝－1，kAC＝，∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝－1，∴m＝.
4.C kPM＝＝－4，kPN＝＝，直线l过点P（1，1）且与线段MN相交，则k≤kPM或k≥kPN，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－4或k≥.故选C.
5.AD 由图可知0＜α3＜α2＜＜α1＜π，即a3＜α2＜α1，故C错误，D正确.又因为当0＜α＜时，k＞0，且k随α的增大而增大，故k2＞k3＞0；当＜α＜π时，k＜0，故k1＜0；故k1＜k3＜k2，故A正确，B错误.故选A、D.
6.（2，－4）（答案不唯一） 解析：∵直线经过M（1，2），N（5，4），∴＝（4，2），∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，∴直线l的一个法向量为（2，－4）.
7.∪ 解析：设直线的倾斜角为α，－1＜k＜，所以－1＜tan α＜，又α∈[0，π），所以α∈∪.
8.－5 解析：两点A（1，1），B（3，5），点C（－2，t）在直线AB上，
∴kAB＝kBC，即＝，得t＝－5.
9.解：（1）过A，C两点的直线的斜率为kAC＝＝2－m，
又直线AC的倾斜角为45°，所以kAC＝tan 45°＝1＝2－m，得m＝1.
（2）kAC＝＝2－m，kAB＝＝－1，
若A，B，C三点共线，则有kAB＝kAC，即－1＝2－m，解得m＝3，
所以A，B，C三点能共线，且m＝3.
10.C 因为A（4，1），AB的中点M（3，2），设B（x1，y1），则解得B（2，3），设C（x2，y2），因为重心G（1，－1），所以解得C（－3，－7），所以BC边所在直线的斜率为＝2.故选C.
11.（－∞，1）∪（1，＋∞） 解析：kAB＝＝，kAC＝＝＝0.要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0.∴k≠1.
12.解：（1）由斜率公式，得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝，所以直线AB的倾斜角为0°，直线BC的倾斜角为60°，直线AC的倾斜角为30°.
（2）如图，当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kAC增大到kBC，所以k的取值范围为.
13. 解析：设P（x，0），A点关于x轴对称的点A'（－2，－3），
则kA'P＝＝，kA'B＝＝，由题意，A'，B，P三点共线，∴kA'P＝kA'B，即＝，解得x＝，故P点的坐标为.
14.解：如图，可知表示经过定点P（－2，－3）与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k.
由已知条件，可得A（1，1），B（－1，5）.
易知kPA≤k≤kPB.
由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，
所以≤k≤8.
故的最大值是8，最小值是.
2 / 22.2.1 直线的倾斜角与斜率
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式 直观想象
3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向向量判定直线的平行 数学运算
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧.浩大工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡度“陡峭”，有的“平缓”……
【问题】 “陡峭”和“平缓”在数学中应该如何刻画？
知识点一 直线的倾斜角与斜率
1.直线的倾斜角
（1）定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴 ，将x轴绕着它们的交点按 方向旋转到与直线重合时所转的 记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；
（2）范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
2.直线的斜率
（1）直线的斜率：如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；
（2）斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在.
提醒 （1）倾斜角的范围是θ∈[0，π）；（2）当θ＝时，直线l的倾斜角为，但斜率不存在.
知识点二 直线的方向向量和法向量
1.直线的方向向量
（1）定义：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作 ；
（2）直线的斜率与方向向量的关系
如果已知a＝（u，v）为直线l的一个方向向量，则：
①当u＝0时，直线l的斜率不存在，倾斜角为90°；
②当u≠0时，直线l的斜率k＝.
2.直线的法向量
如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.
【想一想】
1.设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？
2.如果a＝（－1，2）是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？
1.若直线l经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（ ）
A.45° B.135°
C.45°或135° D.－45°
2.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为（ ）
A. B.
C.1 D.
3.已知直线l经过点A（－1，3）与B（2，0），则直线l的一个方向向量为 ，斜率k＝ ，倾斜角θ＝ .
题型一 直线的倾斜角
【例1】 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ ）
A.α＋45° B.α－135°
C.135°－α D.α＋45°或α－135°
尝试解答
通性通法
求直线的倾斜角的方法及两点注意
（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角；
（2）两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
【跟踪训练】
1.如图，直线l的倾斜角为（ ）
A.60° B.120°
C.30° D.150°
2.已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是（ ）
A.0°≤α＜90° B.90°≤α＜180°
C.90°＜α＜180° D.0°＜α＜180°
题型二 直线的斜率
【例2】 （1）若倾斜角为的直线过A（2，2），B（1，a）两点，则实数a＝（ ）
A. B.2 C.3 D.
（2）设点A（m，－m＋3），B（2，m－1），C（－1，4）若直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为 .
尝试解答
通性通法
1.利用斜率公式求直线斜率的注意事项
（1）运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
2.在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
【跟踪训练】
1.（多选）若经过A（1－a，1＋a）和B（3，a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（ ）
A.－3 B.－2 C.1 D.2
2.在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 .
题型三 求直线的方向向量或法向量
【例3】 已知直线l经过点A（1，2），B（4，5），求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角.
尝试解答
通性通法
求直线方向向量和法向量的方法
（1）若A（x1，y1），B（x2，y2）是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝（x2－x1，y2－y1），直线的法向量和方向向量垂直；
（2）直线的方向向量和法向量不唯一.
【跟踪训练】
已知直线l经过点M（3，3）和N（2，3＋），求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角.
题型四 直线的倾斜角与斜率的应用
【例4】 （1）经过点P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A.[－1，1]
B.（－∞，－1]∪[1，＋∞）
C.[－1，1）
D.（－∞，－1）∪[1，＋∞）
（2）已知三点A（a，2），B（5，1），C（－4，2a）在同一直线上，则a＝（ ）
A.2或 B.2 C. D.－2
尝试解答
通性通法
1.求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围.
2.利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线 kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在.
3.的几何意义是直线的斜率，所以可借助几何方法解决函数的值域问题.
【跟踪训练】
1.下列各组点在同一条直线上的是（ ）
A.（－2，3），（－7，5），（3，－5）
B.（3，0），（6，－4），（－1，－3）
C.（1，0），，（7，2）
D.（－2，－5），（7，6），（－5，3）
2.已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A.（－1，0] B.[0，1]
C.[1，2] D.[0，2]
1.斜率不存在的直线一定是（ ）
A.过原点的直线
B.垂直于x轴的直线
C.垂直于y轴的直线
D.垂直于坐标轴的直线
2.经过A（3，0），B（6，－3）两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.若过两点M（3，y），N（0，）的直线的倾斜角为150°，则y的值为（ ）
A. B.0 C.－ D.3
4.（多选）若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
5.已知经过两点A（－1，1），B（4，a）的直线的斜率为1，则a的值为 .
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（1）相交 逆时针 最小正角 2.（2）
知识点二
1.（1）平行或重合 a∥l
想一想
1.提示：（1，1）.
2.提示：（2，1）.
自我诊断
1.B 作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
2.A 由题意可知，直线l的斜率k＝tan 30°＝.
3.（1，－1） －1 135° 解析：＝（3，－3）＝3（1，－1），则k＝－1，θ＝135°
【典型例题·精研析】
【例1】 D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°（0°≤α＜180°），即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°（如图）.
跟踪训练
1.D 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2.C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
【例2】 （1）A （2）4 解析：（1）由题得＝，∴a－2＝－，∴a＝.故选A.
（2）依题意知直线AC的斜率存在，则m≠－1，由kAC＝3kBC得＝3×，∴m＝4.
跟踪训练
1.CD 据题意可知kAB＝＝＜0，即2＋a＞0，所以a＞－2.故选C、D.
2.0 解析：如图，易知kAB＝，kAC＝－，则kAB＋kAC＝0.
【例3】 解：＝（4－1，5－2）＝（3，3）是直线l的一个方向向量.由法向量与方向向量垂直，法向量可以为（－1，1）.因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°.
跟踪训练
解：＝（2－3，3＋－3）＝（－1，），∴直线l的一个方向向量为（－1，），
由于法向量与方向向量垂直，
∴法向量v＝（，1），斜率k＝－，由tan θ＝－知θ＝120°.
【例4】 （1）A （2）A 解析：（1）根据题意画图如图，kPA＝＝－1，kPB＝＝1，在射线PA逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大，
直线l与线段AB总有公共点，所以－1≤k≤1.故选A.
（2）由题意可得kBC＝kAB，即＝，解得a＝2或a＝.故选A.
跟踪训练
1.C A选项：过（－2，3），（－7，5）的直线的斜率m1＝＝－，过点（－7，5），（3，－5）的直线斜率m2＝＝－1，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；B选项：过（3，0），（6，－4）的直线斜率n1＝＝－，过点（6，－4），（－1，－3）的直线斜率n2＝＝－，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；C选项：过点（1，0），的直线的斜率k1＝.过点（1，0），（7，2）的直线的斜率k2＝，两者相等，故此三点共线，C选项正确；D选项：过点（－2，－5），（7，6）的直线的斜率a1＝＝，过点（7，6），（－5，3）的直线斜率a2＝＝，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.故选C.
2.D 如图，可知当直线位于图中阴影部分（包括边界）所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
随堂检测
1.B 只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在.
2.B 由A（3，0），B（6，－3），得kAB＝＝－1，所以直线的倾斜角为.故选B.
3.B 由斜率公式知＝tan 150°，∴＝－，∴y＝0.
4.BC y轴正方向对应的直线的倾斜角为90°，因此所求直线的倾斜角为60°或120°.故选B、C.
5.6 解析：由题意可知＝1，解得a＝6.
5 / 5(共58张PPT)
2.2.1 直线的倾斜角与斜率
新课程标准解读 核心素养
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线
位置的几何要素 数学抽象
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻
画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公
式 直观想象
3.理解直线的方向向量及法向量，并能利用直线的方向
向量判定直线的平行 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
三峡大坝是当今世界上最大的水利枢纽工程，大坝拥有三峡展览
馆、坛子岭园区、185园区、近坝园区、截流纪念园等五个园区.俯瞰
长江，泄洪观景区和185米水位线的观景区波澜壮阔、雷霆万钧.浩大
工程展现了国人的智慧和匠心.大坝上不同位置有的坡度“陡峭”，有
的“平缓”……
【问题】 “陡峭”和“平缓”在数学中应该
如何刻画？
知识点一 直线的倾斜角与斜率
1. 直线的倾斜角
（1）定义：给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与 x
轴 ，将 x 轴绕着它们的交点按 方向旋转到
与直线重合时所转的 记为θ，则称θ为这条直线
的倾斜角；
（2）范围：直线的倾斜角θ的取值范围是0°～180°，并规定与 x 轴
平行或重合的直线的倾斜角为0°.
相交
逆时针
最小正角
2. 直线的斜率
（1）直线的斜率：如果直线 l 的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称 k ＝
tan θ为直线 l 的斜率；
（2）斜率公式：经过两点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）（ x1≠ x2）
的直线的斜率公式为 k ＝ .当 x1＝ x2时，直线 P1 P2斜
率不存在.
提醒 （1）倾斜角的范围是θ∈[0，π）；（2）当θ 时，
直线 l 的倾斜角为 ，但斜率不存在.
知识点二 直线的方向向量和法向量
1. 直线的方向向量
（1）定义：如果表示非零向量 a 的有向线段所在的直线与直线
l ，则称向量 a 为直线 l 的一个方向向量，记
作 ；
（2）直线的斜率与方向向量的关系
如果已知 a ＝（ u ， v ）为直线 l 的一个方向向量，则：
①当 u ＝0时，直线 l 的斜率不存在，倾斜角为90°；
②当 u ≠0时，直线 l 的斜率 k .
平行或重合
a ∥ l
2. 直线的法向量
如果表示非零向量 v 的有向线段所在直线与直线 l 垂直，则称向量 v
为直线 l 的一个法向量，记作 v ⊥ l .
【想一想】
1. 设 l 是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该
直线的方向向量吗？
提示：（1，1）.
2. 如果 a ＝（－1，2）是直线 l 的一个方向向量，你能写出 l 的一个法
向量吗？
提示：（2，1）.
1. 若直线 l 经过原点和（－1，1），则它的倾斜角是（ ）
A. 45° B. 135°
C. 45°或135° D. －45°
解析： 作出直线 l ，如图所示，由图易知，应选B.
2. 已知直线 l 的倾斜角为30°，则直线 l 的斜率为（ ）
A. B.
C. 1 D.
解析： 由题意可知，直线 l 的斜率 k ＝tan 30° .
3. 已知直线 l 经过点 A （－1，3）与 B （2，0），则直线 l 的一个方向
向量为 ，斜率 k ＝ ，倾斜角θ＝ .
解析： 3，－3）＝3（1，－1），则 k ＝－1，θ＝135°.
（1，－1）
－1
135°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的倾斜角
【例1】 设直线 l 过原点，其倾斜角为α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时
针方向旋转45°，得到直线 l1，则直线 l1的倾斜角为（ ）
A. α＋45° B. α－135°
C. 135°－α D. α＋45°或α－135°
解析： 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°
＜180°（0°≤α＜180°），即0°≤α＜135°时， l1的倾斜
角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°
时， l1的倾斜角为α－135°（如图）.
通性通法
求直线的倾斜角的方法及两点注意
（1）方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角；
（2）两点注意：①当直线与 x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线
与 x 轴垂直时，倾斜角为90°；
②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.
【跟踪训练】
1. 如图，直线 l 的倾斜角为（ ）
A. 60° B. 120°
C. 30° D. 150°
解析： 由题图易知 l 的倾斜角为45°＋105°＝150°.
2. 已知直线 l 经过第二、四象限，则直线 l 的倾斜角α的取值范围是
（ ）
A. 0°≤α＜90° B. 90°≤α＜180°
C. 90°＜α＜180° D. 0°＜α＜180°
解析： 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线 l 经过第
二、四象限，所以直线 l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.
题型二 直线的斜率
【例2】 （1）若倾斜角 A （2，2 B （1， a ）两
点，则实数 a ＝（ ）
A. B. 2
C. 3 D.
解析：由题 ∴ a －2 ∴ a .故选A.
（2）设点 A （ m ，－ m ＋3）， B （2， m －1）， C （－1，4）若直
线 AC 的斜率等于直线 BC 的斜率的3倍，则实数 m 的值为 .
4
解析：依题意知直线 AC 的斜率存在，则 m ≠－1，由 kAC ＝3 kBC
3 ∴ m ＝4.
通性通法
1. 利用斜率公式求直线斜率的注意事项
（1）运用公式的前提条件是“ x1≠ x2”，即直线不与 x 轴垂直，因
为当直线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的；
（2）斜率公式与两点 P1， P2的先后顺序无关，也就是说公式中的
x1与 x2， y1与 y2可以同时交换位置.
2. 在0°≤α＜180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k 0
1
－
1
【跟踪训练】
1. （多选）若经过 A （1－ a ，1＋ a ）和 B （3， a ）的直线的倾斜角
为钝角，则实数 a 的值可能为（ ）
A. －3 B. －2
C. 1 D. 2
解析： 据题意可知 kAB 0，即2＋ a ＞0，所
以 a ＞－2.故选C、D.
2. 在平面直角坐标系中，正三角形 ABC 的边 BC 所在直线的斜率是0，
则 AC ， AB 所在直线的斜率之和为 .
0
解析：如图，易知 kAB kAC ＝ kAB ＋ kAC ＝0.
题型三 求直线的方向向量或法向量
【例3】 已知直线 l 经过点 A （1，2）， B （4，5），求直线 l 的一个
方向向量和法向量，并确定直线 l 的斜率与倾斜角.
解： 4－1，5－2）＝（3，3）是直线 l 的一个方向向量.由法
向量与方向向量垂直，法向量可以为（－1，1）.因此直线的斜率 k ＝
1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而θ＝45°.
通性通法
求直线方向向量和法向量的方法
（1）若 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是直线上的两个不同的点，则直
线 l 的方向向量为 （ x2－ x1， y2－ y1），直线的法向量和方
向向量垂直；
（2）直线的方向向量和法向量不唯一.
【跟踪训练】
已知直线 l 经过点 M （3，3）和 N （2，3 l 的一个方
向向量和法向量，并求直线 l 的斜率和倾斜角.
解： 2－3，3 3）＝（－1 ∴直线 l 的一个方
向向量为（－1
由于法向量与方向向量垂直，
∴法向量 v ＝ 1），斜率 k ＝ tan θ＝ θ＝120°.
题型四 直线的倾斜角与斜率的应用
【例4】 （1）经过点 P （0，－1）作直线 l ，若直线 l 与连接 A （1，
－2）， B （2，1）的线段总有公共点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围
为（ ）
A. [－1，1]
B. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
C. [－1，1）
D. （－∞，－1）∪[1，＋∞）
解析：根据题意画图如图， kPA 1， kPB 1，在射线 PA 逆时针旋转至射线 PB 时斜率逐渐变大，
直线 l 与线段 AB 总有公共点，所以－1≤ k ≤1.故选A.
（2）已知三点 A （ a ，2）， B （5，1）， C （－4，2 a ）在同一直线
上，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 2
C. D. －2
解析：由题意可得 kBC ＝ kAB ， a ＝2或 a .
故选A.
通性通法
1. 求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再
得到斜率的范围.
2. 利用斜率可解决点共线问题，点 A ， B ， C 共线 kAB ＝ kAC 或 kAB 与
kAC 都不存在.
3. 的几何意义是直线的斜率，所以可借助几何方法解决函数的值
域问题.
【跟踪训练】
1. 下列各组点在同一条直线上的是（ ）
A. （－2，3），（－7，5），（3，－5）
B. （3，0），（6，－4），（－1，－3）
C. （1，0），（0， ），（7，2）
D. （－2，－5），（7，6），（－5，3）
解析： A选项：过（－2，3），（－7，5）的直线的斜率 m1 －7，5），（3，－5）的直线斜率 m2 1，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；B选
项：过（3，0），（6，－4）的直线斜率 n1
6，－4），（－1，－3）的直线斜率 n2 B选项错误；C选项：过点（1，0），（0 ）的直线的斜率 k1 .
过点（1，0），（7，2）的直线的斜率 k2 C选项正确；D选项：过点（－2，－
5），（7，6）的直线的斜率 a1 7，6），（－5，
3）的直线斜率 a2
D选项错误.故选C.
2. 已知直线 l 经过点 A （1，2），且不经过第四象限，则直线 l 的斜率
k 的取值范围是（ ）
A. （－1，0] B. [0，1]
C. [1，2] D. [0，2]
解析： 如图，可知当直线位于图中阴影部分
（包括边界）所示的区域内时，满足题意，所以
直线 l 的斜率满足0≤ k ≤2.故选D.
1. 斜率不存在的直线一定是（ ）
A. 过原点的直线 B. 垂直于 x 轴的直线
C. 垂直于 y 轴的直线 D. 垂直于坐标轴的直线
解析： 只有直线垂直于 x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在.
2. 经过 A （3，0）， B （6，－3）两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由 A （3，0）， B （6，－3），得 kAB 1，所
以直线的倾斜角 .故选B.
3. 若过两点 M （3， y ）， N （0 150°，则 y
的值为（ ）
A. B. 0
C. D. 3
解析： 由斜率公式 tan 150°，∴ ∴
y ＝0.
4. （多选）若直线 l 向上的方向与 y 轴的正方向成30°角，则直线 l 的倾
斜角可能为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
解析： y 轴正方向对应的直线的倾斜角为90°，因此所求直线
的倾斜角为60°或120°.故选B、C.
5. 已知经过两点 A （－1，1）， B （4， a ）的直线的斜率为1，则 a 的
值为 .
解析：由题意可 1，解得 a ＝6.
6
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若直线 l 的倾斜角等于135°，则直线 l 的一个方向向量是（ ）
A. （1，－1） B. （1，1）
C. （2， D. （3
解析： ∵直线 l 的倾斜角等于135°，∴直线 l 的斜率 k ＝－1，又
∵直线 l 的一个方向向量为（1， k ），∴直线 l 的一个方向向量为
（1，－1）.故选A.
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2. 已知下列命题：①直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α；②
直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角为α；③直线的倾斜角为α，则
sin α＞0.上述命题中不正确的是（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： ①，α＝90°时，直线的斜率不存在，①错误.②，tan 225°
＝tan（180°＋45°）＝tan 45°＝1，直线的倾斜角为45°，不是225°，
②错误.③，当α＝0°时， sin α＝0，③错误.所以不正确的是①②③.
故选D.
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3. 若三点 A （2，3）， B （3，2）， C （ m ）共线，则实数 m 的值
为（ ）
A. 2 B.
C. D.
解析： 根据斜率公式得 kAB ＝－1， kAC ∵ A ， B ， C
三点共线，∴ kAB ＝ kAC ，∴ 1，∴ m .
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4. 已知两点 M （2，－3）， N （－3，－2），直线 l 过点 P （1，1）
且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（ ）
A. k ≤－4 B. k
C. k ≤－4或 k D. －4≤ k
解析： kPM 4， kPN l 过点 P （1，
1）且与线段 MN 相交，则 k ≤ kPM 或 k ≥ kPN ，则直线 l 的斜率 k 的取
值范围是 k ≤－4或 k .故选C.
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5. （多选）如图，直线 l1， l2， l3的斜率分别为 k1， k2， k3，倾斜角分
别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ ）
A. k1＜ k3＜ k2
B. k3＜ k2＜ k1
C. α1＜α3＜α2
D. α3＜α2＜α1
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解析： 由图可知0＜α3＜α2 α1＜π，即 a3＜α2＜α1，故C
错误，D正确.又因为当0＜α k ＞0，且 k 随α的增大而增
大，故 k2＞ k3＞0； α＜π时， k ＜0，故 k1＜0；故 k1＜ k3＜
k2，故A正确，B错误.故选A、D.
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6. 已知直线 l 上的两个点 M （1，2）， N （5，4），则直线 l 的一个法
向量为 .
解析：∵直线经过 M （1，2）， N （5，4），∴ 4，2），
∴ l 一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂
直，∴直线 l 的一个法向量为（2，－4）.
（2，－4）（答案不唯一）
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7. 直线的斜率为 k ，若－1＜ k
.
解析：设直线的倾斜角为α，－1＜ k －1＜tan α
α∈[0，π），所以α∈［0 ）∪（ π）.
）∪（ π）
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8. 已知点 A （1，1）， B （3，5），若点 C （－2， t ）在直线 AB 上，
则实数 t 的值为 .
解析：两点 A （1，1）， B （3，5），点 C （－2， t ）在直线
AB 上，
∴ kAB ＝ kBC ， t ＝－5.
－5
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9. 已知 A （1，2）， B （2，1）， C （0， m ）三点.
（1）若过 A ， C 两点的直线的倾斜角为45°，求 m 的值；
解：过 A ， C 两点的直线的斜率为 kAC 2－ m ，
又直线 AC 的倾斜角为45°，所以 kAC ＝tan 45°＝1＝2－ m ，得
m ＝1.
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（2） A ， B ， C 三点可能共线吗？若能，求出 m 值.
解： kAC 2－ m ， kAB 1，
若 A ， B ， C 三点共线，则有 kAB ＝ kAC ，即－1＝2－ m ，解得
m ＝3，
所以 A ， B ， C 三点能共线，且 m ＝3.
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10. 在△ ABC 中， A （4，1）， AB 的中点 M （3，2），重心 G （1，
－1），则 BC 边所在直线的斜率为（ ）
A. B.
C. 2 D. －2
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解析： 因为 A （4，1）， AB 的中点 M （3，2），设 B （ x1，
y1），则 B （2，3），设 C （ x2， y2），因为重
心 G （1，－1），所以 C （－3，－7），所
以 BC 边所在直线的斜率 2.故选C.
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11. 若三点 A （3，1）， B （－2， k ）， C （8，1）能构成三角形，则
实数 k 的取值范围为 .
解析： kAB kAC 0.要使 A ， B ， C 三点
能构成三角形，需三点不共线，即 kAB ≠ kAC ，∴ 0.∴ k ≠1.
（－∞，1）∪（1，＋∞）
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12. 已知坐标平面内三点 A （－1，1）， B （1，1）， C （2 1）.
（1）求直线 AB ， BC ， AC 的斜率和倾斜角；
解：由斜率公式，得 kAB 0， kBC
kAC AB 的倾斜角为0°，直
线 BC 的倾斜角为60°，直线 AC 的倾斜角为30°.
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（2）若 D 为△ ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 的斜率的取
值范围.
解：如图，当直线 CD 由 CA 绕点 C
逆时针转到 CB 时，直线 CD 与线段 AB
恒有交点，即 D 在线段 AB 上，此时 k 由
kAC 增大到 kBC ，所以 k 的取值范围为
［ ］.
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13. 台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转
反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标
球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让
目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确
认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，
这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点 A （－2，3）无旋转射入，经过 x 轴（桌边）上的点 P 反弹后，经
过点 B （5，7），则点 P 的坐标为 .
（ 0）
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解析：设 P （ x ，0）， A 点关于 x 轴对称的点A'（－2，－3），
则 kA'P kA'B A'， B ，
P 三点共线，∴ kA'P＝ kA'B， x P 点的坐
标为（ 0）.
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14. 已知实数 x ， y 满足 y ＝ x2－2 x ＋2（－1≤ x ≤1），试
.
解：如图，可 P （－2，－3）与曲线段 AB 上任一点（ x ， y ）的直线的斜率 k .
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由已知条件，
可得 A （1，1）， B （－1，5）.
易知 kPA ≤ k ≤ kPB .
由斜率公式得 kPA kPB ＝8，
所 k ≤8.
8，最小值 .
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谢 谢 观 看！
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