2.2.2 直线的方程
第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
1.经过点（－1，1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是（ ）
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝（x＋1）
D.y－1＝2（x＋1）
2.已知点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，则实数m的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
3.过点（1，2）且垂直于y轴的直线方程为（ ）
A.y＝2 B.x＝1
C.y＝1 D.x＝2
4.直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有（ ）
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
5.（多选）给出下列四个结论，正确的是（ ）
A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线
B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1
D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程
6.已知直线l的方程为9x－4y＝36，则l在y轴上的截距为 .
7.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3，3），则直线l的方程为 .
8.在x轴上的截距为－2，倾斜角的正弦值为的点斜式直线方程为 .
9.直线l1过点P（－1，2），斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程.
10.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
11.平面直角坐标系中，直线过点（3，－4），且倾斜角α满足sin α＋cos α＝－，则直线的点斜式方程为 .
12.直线l过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
13.直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B两点，O为坐标原点，当｜OA｜＋｜OB｜最小时，l的点斜式方程为 .
14.已知直线l：y＝kx＋2k＋1（k∈R）.
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程.
第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
1.C 由方程知，已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝（x＋1）.
2.A 因为点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0 m＝2.故选A.
3.A 由直线垂直于y轴，设直线方程为y＝a，又直线过点（1，2），可得y＝2.故选A.
4.C 直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有k＜0，b＞0.故选C.
5.BC A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D只有k存在时成立.
6.－9 解析：把直线方程9x－4y＝36化为y＝＝x－9的形式，便可知道直线l在y轴上的截距.令x＝0，则y＝－9.
7.x＝3 解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P（3，3），所以直线l的方程为x＝3.
8.y＝±（x＋2） 解析：设直线的倾斜角为θ，则sin θ＝，因为θ∈[0，π），所以tan θ＝±，故k＝±，所求的直线方程为y＝±（x＋2）.
9.解：直线l1的方程是y－2＝
－（x＋1）.∵k1＝－＝tan α1，
∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝tan 120°＝－，∴l2的方程为y－2＝－（x＋1）.
10.D 对B，l2斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有l1斜率为负的情况.故B错误.当a，b＞0时，l1和l2斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选D.
11.y－（－4）＝－（x－3） 解析：因为sin α＋cos α＝－，且sin2α＋cos2α＝1，解得或因为α∈[0，π），所以sin α＞0，即所以tan α＝＝－，即直线的斜率k＝－，所以直线方程为y－（－4）＝－（x－3）.
12.解：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k（x－2），即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝.
由三角形的面积为2，得××2＝2.
解得k＝.
可得直线l的方程为y－2＝（x－2），
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝（x－2）.
13.y－4＝－2（x－1） 解析：经检验直线l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k（k＜0），则直线l的方程为y－4＝k（x－1），令y＝0得A，令x＝0得B（0，4－k），则｜OA｜＋｜OB｜＝＋（4－k）＝5－＝5＋≥5＋4＝9，当且仅当－k＝，即k＝－2时，｜OA｜＋｜OB｜取得最小值.此时l的方程为y－4＝－2（x－1）.
14.解：（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）.
（2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是.
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）.又－＜0且1＋2k＞0，∴k＞0.故S＝｜OA｜｜OB｜＝××（1＋2k）＝≥×（4＋2）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号.故S的最小值为4，此时直线l的方程为y－1＝（x＋2）.
2 / 22.2.2 直线的方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系 数学抽象、直观想象
第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线.
【问题】 （1）已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置确定吗？
（2）若某条斜拉索过点B（0，b），斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P（x，y）满足什么条件？
知识点一 直线的方程与方程的直线
如果直线l上点的 都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F（x，y）＝0的 为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线，“直线l”也可说成“直线F（x，y）＝0”，记作l：F（x，y）＝0.
知识点二 直线方程的点斜式、斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k
斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距）
提醒 （1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：①斜率存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；②斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0.
（2）直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k（x－x0）的特例.
（3）截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零.
【想一想】
1.若直线的倾斜角为0°，且经过点P（x0，y0），能用点斜式表示吗？
2.直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（ ）
A.直线经过点（－1，2），斜率为－1
B.直线经过点（2，－1），斜率为－1
C.直线经过点（－1，－2），斜率为－1
D.直线经过点（－2，－1），斜率为1
2.直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距是（ ）
A.1 B.－1
C.－ D.
3.经过点（－1，1），倾斜角为150°的直线方程为 .
题型一 直线的点斜式方程
【例1】 （链接教科书第85页例1）若直线l过点（2，1），分别求l满足下列条件时的直线方程：
（1）斜率k＝－3；
（2）倾斜角为150°；
（3）平行于x轴.
尝试解答
通性通法
求直线的点斜式方程的步骤
（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点（x0，y0）→定斜率k→写出方程y－y0＝k（x－x0）；
（2）点斜式方程y－y0＝k（x－x0）可表示过点P（x0，y0）的所有直线，但x＝x0除外.
【跟踪训练】
1.若直线l过点（－1，2）且斜率k＝－，则l的方程为（ ）
A.3x＋2y－1＝0
B.2x＋3y－1＝0
C.3x＋2y＋1＝0
D.2x－3y－1＝0
2.已知直线l的一个方向向量d＝（3，4），且过点（－1，2），则直线l的点斜式方程为 .
题型二 直线的斜截式方程
【例2】 （链接教科书第89页练习A4题）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
尝试解答
通性通法
直线的斜截式方程的求解策略
（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
（2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.
【跟踪训练】
1.倾斜角为45°，在y轴上的截距为－1的直线的方程是（ ）
A.y＝x＋1 B.y＝x－1
C.y＝－x＋1 D.y＝－x－1
2.（多选）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值可以是（ ）
A. B.－1 C.－2 D.1
1.直线y＝4x的斜率是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.下列不可以表示与x轴垂直的直线的方程是（ ）
A.x－a＝0 B.x＝0
C.＝1 D.y－2＝k（x－1）
3.（多选）经过点B（3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x＋y－7＝0
C.2x－y－2＝0 D.2x＋y－10＝0
4.在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4斜率相等的直线的斜截式方程为 .
第一课时 直线的点斜式方程与斜截式方程
【基础知识·重落实】
知识点一
坐标 解
知识点二
y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b
想一想
1.提示：能.
2.提示：斜率存在及已知点（或直线在y轴上的截距）.
自我诊断
1.C
2.B 在直线方程中令x＝0得y＝－1，故选B.
3.y－1＝－（x＋1）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）直线l的点斜式方程为y－1＝－3（x－2）.
化简得y＝－3x＋7.
（2）直线的斜率为k＝tan 150°＝－，
所以由点斜式方程得y－1＝－（x－2），
化简得y＝－x＋＋1.
（3）平行于x轴的直线的斜率k＝0，
故所求的直线方程为y＝1.
跟踪训练
1.A 由点斜式可得直线方程为y－2＝－（x＋1），整理得3x＋2y－1＝0.故选A.
2.y－2＝（x＋1） 解析：因为直线l的一个方向向量d＝（3，4），所以直线l的斜率为，所以直线方程为y－2＝（x＋1）.
【例2】 解：（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
（2）由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－，由斜截式可得方程为y＝－x－2.
（3）由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝.由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
跟踪训练
1.B 由倾斜角为45°可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得y＝x－1.故选B.
2.CD 设直线l的方程为y＝k（x－1）＋2，k≠0，令y＝0，x＝－＋1，得－3＜－＋1＜3，解得k＜－1或k＞，观察可得C、D符合.故选C、D.
随堂检测
1.D 由直线y＝4x，可得k＝4，故选D.
2.D 对于A，x－a＝0即x＝a表示与x轴垂直的直线，故A不符合题意；对于B，x＝0表示y轴，与x轴垂直，故B不符合题意；对于C，＝1即x＝a表示与x轴垂直的直线，故C不符合题意；对于D，对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D符合题意.故选D.
3.AB 由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点（3，4），由点斜式得y－4＝±（x－3）.所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.故选A、B.
4.y＝－3x＋2
2 / 3(共47张PPT)
2.2.2 直线的方程
新课程标准解读 核心素养
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方
程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会
斜截式与一次函数的关系 数学抽象、直
观想象
第一课时
直线的点斜式方程与斜截式方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线
为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看
成过桥塔上同一点的直线.
【问题】 （1）已知某一斜拉索过桥塔上一点 B ，那么该斜拉索位
置确定吗？
（2）若某条斜拉索过点 B （0， b ），斜率为 k ，则该斜拉索所在直
线上的点 P （ x ， y ）满足什么条件？
知识点一 直线的方程与方程的直线
如果直线 l 上点的 都是方程 F （ x ， y ）＝0的解，而且
以方程 F （ x ， y ）＝0的 为坐标的点都在直线 l 上，则称 F
（ x ， y ）＝0为直线 l 的方程，而直线 l 称为方程 F （ x ， y ）＝0
的直线，“直线 l ”也可说成“直线 F （ x ， y ）＝0”，记作 l ：
F （ x ， y ）＝0.
坐标
解
知识点二 直线方程的点斜式、斜截式
名称 条件 方程 图形
点斜式 直线 l 过定点 P
（ x0， y0），斜
率为 k
y － y0＝ k （ x
－ x0）
名称 条件 方程 图形
斜截式 直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴
的交点为（0， b ）（直线 l
与 y 轴的交点（0， b ）的纵
坐标 b 叫作直线 l 在 y 轴上的
截距）
y ＝ kx
＋ b
提醒 （1）经过点 P0（ x0， y0）的直线有无数条，可以分为两类：
①斜率存在的直线，方程为 y － y0＝ k （ x － x0）；②斜率不存在的直
线，方程为 x － x0＝0，即 x ＝ x0.
（2）直线的斜截式 y ＝ kx ＋ b 是直线的点斜式 y － y0＝ k （ x － x0）的
特例.
（3）截距不是距离，它是直线与 y 轴交点的纵坐标，所以可取一切实
数，即可为正数、负数或零.
1. 若直线的倾斜角为0°，且经过点 P （ x0， y0），能用点斜式表
示吗？
提示：能.
2. 直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？
提示：斜率存在及已知点（或直线在 y 轴上的截距）.
【想一想】
1. 已知直线的方程是 y ＋2＝－ x －1，则（ ）
A. 直线经过点（－1，2），斜率为－1
B. 直线经过点（2，－1），斜率为－1
C. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1
D. 直线经过点（－2，－1），斜率为1
2. 直线2 x ＋ y ＋1＝0在 y 轴上的截距是（ ）
A. 1 B. －1 C. D.
解析： 在直线方程中令 x ＝0得 y ＝－1，故选B.
3. 经过点（－1，1），倾斜角为150°的直线方程为
.
y －1＝ x
＋1）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的点斜式方程
【例1】 （链接教科书第85页例1）若直线 l 过点（2，1），分别求 l
满足下列条件时的直线方程：
（1）斜率 k ＝－3；
解：直线 l 的点斜式方程为 y －1＝－3（ x －2）.
化简得 y ＝－3 x ＋7.
（2）倾斜角为150°；
解：直线的斜率为 k ＝tan 150°＝
所以由点斜式方程得 y －1＝ x －2），
化简得 y ＝ x 1.
（3）平行于 x 轴.
解：平行于 x 轴的直线的斜率 k ＝0，
故所求的直线方程为 y ＝1.
通性通法
求直线的点斜式方程的步骤
（1）求直线的点斜式方程的步骤：定点（ x0， y0）→定斜率 k →写出
方程 y － y0＝ k （ x － x0）；
（2）点斜式方程 y － y0＝ k （ x － x0）可表示过点 P （ x0， y0）的所有
直线，但 x ＝ x0除外.
【跟踪训练】
1. 若直线 l 过点（－1，2）且斜率 k ＝ l 的方程为（ ）
A. 3 x ＋2 y －1＝0 B. 2 x ＋3 y －1＝0
C. 3 x ＋2 y ＋1＝0 D. 2 x －3 y －1＝0
解析： 由点斜式可得直线方程为 y －2＝ x ＋1），整理得3
x ＋2 y －1＝0.故选A.
2. 已知直线 l 的一个方向向量 d ＝（3，4），且过点（－1，2），则直
线 l 的点斜式方程为 .
解析：因为直线 l 的一个方向向量 d ＝（3，4），所以直线 l 的斜率
y －2 x ＋1）.
y －2 x ＋1）
题型二 直线的斜截式方程
【例2】 （链接教科书第89页练习A4题）根据条件写出下列直线的
斜截式方程：
（1）斜率为2，在 y 轴上的截距是5；
解：由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为 y ＝2 x ＋5.
（2）倾斜角为150°，在 y 轴上的截距是－2；
解：由于直线的倾斜角为150°，所以斜率 k ＝tan 150°＝
y ＝ x －2.
（3）倾斜角为60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：由于直线的倾斜角为60°，所以斜率 k ＝tan 60° .
由于直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在 y 轴
上的截距 b ＝3或 b ＝－3，故所求直线方程为 y x ＋3或 y
x －3.
通性通法
直线的斜截式方程的求解策略
（1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时
要特别注意截距和距离的区别；
（2）直线的斜截式方程 y ＝ kx ＋ b 不仅形式简单，而且特点明显， k
是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上的截距，只要确定了 k 和 b 的
值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题
时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用 k ，
b 的几何意义进行判断.
【跟踪训练】
1. 倾斜角为45°，在 y 轴上的截距为－1的直线的方程是（ ）
A. y ＝ x ＋1 B. y ＝ x －1
C. y ＝－ x ＋1 D. y ＝－ x －1
解析： 由倾斜角为45°可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截
式方程可得 y ＝ x －1.故选B.
2. （多选）直线 l 经过点 A （1，2），在 x 轴上的截距的取值范围是
（－3，3），则其斜率的取值可以是（ ）
A. B. －1
C. －2 D. 1
解析： 设直线 l 的方程为 y ＝ k （ x －1）＋2， k ≠0，令 y ＝
0， x ＝ 1，得－3＜ 1＜3，解得 k ＜－1或 k C、D符合.故选C、D.
1. 直线 y ＝4 x 的斜率是（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由直线 y ＝4 x ，可得 k ＝4，故选D.
2. 下列不可以表示与 x 轴垂直的直线的方程是（ ）
A. x － a ＝0 B. x ＝0
C. 1 D. y －2＝ k （ x －1）
解析： 对于A， x － a ＝0即 x ＝ a 表示与 x 轴垂直的直线，故A不
符合题意；对于B， x ＝0表示 y 轴，与 x 轴垂直，故B不符合题意；
对于C 1即 x ＝ a 表示与 x 轴垂直的直线，故C不符合题意；对
于D，对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D符
合题意.故选D.
3. （多选）经过点 B （3，4），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角
形的直线方程为（ ）
A. x － y ＋1＝0 B. x ＋ y －7＝0
C. 2 x － y －2＝0 D. 2 x ＋ y －10＝0
解析： 由题意知，所求直线的斜率为±1，又过点（3，4），
由点斜式得 y －4＝±（ x －3）.所求直线的方程为 x － y ＋1＝0或 x
＋ y －7＝0.故选A、B.
4. 在 y 轴上的截距为2，且与直线 y ＝－3 x －4斜率相等的直线的斜截
式方程为 .
y ＝－3 x ＋2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 经过点（－1，1），斜率是直线 y x －2的斜率的2倍的直线方
程是（ ）
A. x ＝－1 B. y ＝1
C. y －1 x ＋1） D. y －1＝2 x ＋1）
解析： 由方程知，已知直线的斜率 .由直线的点斜式方程可得方程为 y －1 x ＋1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 已知点 A （1， m ）在直线 x － y ＋1＝0上，则实数 m 的值为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 因为点 A （1， m ）在直线 x － y ＋1＝0上，故1－ m ＋1
＝0 m ＝2.故选A.
1
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3
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5
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3. 过点（1，2）且垂直于 y 轴的直线方程为（ ）
A. y ＝2 B. x ＝1
C. y ＝1 D. x ＝2
解析： 由直线垂直于 y 轴，设直线方程为 y ＝ a ，又直线过点
（1，2），可得 y ＝2.故选A.
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4. 直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则有（ ）
A. k ＞0， b ＞0 B. k ＞0， b ＜0
C. k ＜0， b ＞0 D. k ＜0， b ＜0
解析： 直线 y ＝ kx ＋ b 经过第一、二、四象限，则有 k ＜0， b ＞
0.故选C.
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5. （多选）给出下列四个结论，正确的是（ ）
A. 方程 k y －2＝ k （ x ＋1）可表示同一直线
B. 直线 l 过点 P （ x1， y1），倾斜角为90°，则其方程是 x ＝ x1
C. 直线 l 过点 P （ x1， y1），斜率为0，则其方程是 y ＝ y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
解析： A不正确，方程 k －1，2）；B正确；C
正确；D只有 k 存在时成立.
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6. 已知直线 l 的方程为9 x －4 y ＝36，则 l 在 y 轴上的截距为 .
解析：把直线方程9 x －4 y ＝36化为 y x －9的形式，便
可知道直线 l 在 y 轴上的截距.令 x ＝0，则 y ＝－9.
7. 已知直线 l 的倾斜角是直线 y ＝ x ＋1的倾斜角的2倍，且过定点 P
（3，3），则直线 l 的方程为 .
解析：直线 y ＝ x ＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的
倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其
斜率不存在.又直线过定点 P （3，3），所以直线 l 的方程为 x ＝3.
－9
x ＝3
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8. 在 x 轴上的截距为－2，倾斜角的正弦值 .
解析：设直线的倾斜角为θ，则 sin θ θ∈[0，π），所以
tan θ＝ k ＝ y ＝ x ＋2）.
y ＝ x ＋2）
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9. 直线 l1过点 P （－1，2），斜率为 l1绕点 P 按顺时针方向
旋转30°角得直线 l2，求直线 l1和 l2的方程.
解：直线 l1的方程是 y －2＝ x ＋1）.
∵ k1＝ tan α1，∴α1＝150°.如图， l1绕点 P
按顺时针方向旋转30°，得到直线 l2的倾斜角为α2
＝150°－30°＝120°，∴ k2＝tan 120°＝ ∴
l2的方程为 y －2＝ x ＋1）.
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10. 直线 l1： y ＝ ax ＋ b 与直线 l2： y ＝ bx ＋ a （ ab ≠0， a ≠ b ）在同
一平面直角坐标系内的图象只可能是（ ）
解析： 对B， l2斜率为正，在 y 轴上的截距也为正，故不可能
有 l1斜率为负的情况.故B错误.当 a ， b ＞0时， l1和 l2斜率均为正，
且截距均为正.仅D选项满足.故选D.
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11. 平面直角坐标系中，直线过点（3，－4），且倾斜角α满足 sin α＋
cos α＝ x .
y －（－4）＝ x －3）
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解析：因为 sin α＋ cos α＝ sin 2α＋ cos 2α＝1，解得
α∈[0，π），所以 sin α＞0，即
tan α k ＝
y －（－4）＝ x －3）.
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12. 直线 l 过点（2，2），且与 x 轴和直线 y ＝ x 围成的三角形的面积为
2，求直线 l 的方程.
解：当直线 l 的斜率不存在时， l 的方程为 x ＝2，经检验符合题目
的要求.
当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y －2＝ k （ x －2），即 y
＝ kx －2 k ＋2.
令 y ＝0得， x .
由三角形的面积为2， 2＝2.
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解得 k .
可得直线 l 的方程为 y －2 x －2），
综上可知，直线 l 的方程为 x ＝2或 y －2 x －2）.
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13. 直线 l 过点 P （1，4），分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于点
A ， B 两点， O 为坐标原点，当｜ OA ｜＋｜ OB ｜最小时， l 的点
斜式方程为 .
y －4＝－2（ x －1）
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解析：经检验直线 l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k
（ k ＜0），则直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x －1），令 y ＝0得 A （1
0），令 x ＝0得 B （0，4－ k ），则｜ OA ｜＋｜ OB ｜＝（1
）＋（4－ k ）＝5－（ k ）＝5＋（－ k ）≥5＋4＝9，
当且仅当－ k k ＝－2时，｜ OA ｜＋｜ OB ｜取得最小值.
此时 l 的方程为 y －4＝－2（ x －1）.
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14. 已知直线 l ： y ＝ kx ＋2 k ＋1（ k ∈R）.
（1）证明：直线 l 过定点；
解：证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k （ x ＋2）＋1，故
无论 k 取何值，直线 l 总过定点（－2，1）.
（2）若直线 l 不经过第四象限，求 k 的取值范围；
解：直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋2 k ＋1，则直线 l 在 y 轴上
的截距为2 k ＋1，要使直线 l 不经过第四象限，则
k ≥0，故 k 的取值范围是[0，＋∞）.
（3）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ， O 为坐
标原点，设△ AOB 的面积为 S ，求 S 的最小值及此时直线 l 的
方程.
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解：依题意，直线 l 在 x 轴上的截距 y 轴上的截距为1＋2 k ，∴ A （ 0）， B （0，1＋2 k ）.
0且1＋2 k ＞0，∴ k ＞0.故 S ｜ OA ｜｜ OB ｜ 1＋2 k （4 k 4） （4＋2 ）＝4，当且仅当4 k k .故 S 的最小值为4，此时直线 l 的方程为 y －1 x ＋2）.
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