第二课时 直线的两点式和一般式方程
1.倾斜角为的直线的方程可以是（ ）
A.x－1＝0 B.y－1＝0
C.x－y＝0 D.x＋y－2＝0
2.两条直线－＝1与－＝1的图象可能是下图中的（ ）
3.经过点P（2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4.光线从A（－3，4）点射出，到x轴上的B点后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D（－1，6），则BC所在直线的方程是（ ）
A.5x－2y＋7＝0
B.3x＋y－1＝0
C.3x－2y＋4＝0
D.2x－y－3＝0
5.（多选）已知直线ax－y＋3－a＝0在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（ ）
A.1 B.－1
C.3 D.－3
6.直线x＋y－1＝0的倾斜角的大小为 .（角度用弧度制表示）
7.如果直线l过点P（1，3），且直线l的法向量为a＝（－3，1），则直线l的方程为 .
8.纵截距为－4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为 .
9.在△ABC中，已知点A（4，0），B（－3，4），C（1，2）.
（1）求BC边上中线的方程；
（2）若某一直线过B点，且在x轴上截距比在y轴上截距大1，求该直线的一般式方程.
10.（多选）下列说法中，正确的有（ ）
A.过点P（1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程为x＋y－3＝0.
B.直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2
C.直线x－y＋1＝0的倾斜角为60°
D.过点（3，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x－3＝0
11.已知方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0.
（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线；
（2）这些直线是否都经过同一定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
12.已知直线l经过点P（4，6）.
（1）当l在两坐标轴上的截距相等时，求l的方程；
（2）若l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，当△AOB的面积最小时，求l的方程.
13.已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A（2，1），则过点P1（a1，b1）和点P2（a2，b2）的直线方程是（ ）
A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.2x＋y－1＝0 D.x＋2y＋1＝0
14.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成30°和45°角，过点P（1，0）作直线AB分别交射线OA，OB于A，B两点，若AB的中点C恰好落在直线y＝－x上，求直线AB的一般式方程.
第二课时 直线的两点式和一般式方程
1.A 倾斜角为的直线斜率不存在，B斜率为0，C斜率为1，D斜率为－1.故选A.
2.B 两直线的方程分别化为y＝x－n，y＝x－m，易知两直线的斜率符号相同.
3.B 直线经过原点时满足条件，此时直线方程为y＝x，即3x－2y＝0；若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为x－y＝a，把点P（2，3）代入可得2－3＝a，解得a＝－1.∴直线方程为x－y＝－1，即x－y＋1＝0.综上可得满足条件的直线的条数为2.故选B.
4.A 根据题意，作出如图的光线路径，则点A（－3，4）关于x轴的对称点A'（－3，－4），点D（－1，6）关于y轴的对称点D'（1，6），则BC所在直线的方程即为A'D'所在直线方程，由两点式方程得A'D'所在直线方程为＝，整理得5x－2y＋7＝0.故选A.
5.BC 依题意可知a≠0， 所以当3－a＝0，即a＝3时，直线ax－y＋3－a＝0化为3x－y＝0，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当3－a≠0，即a≠3时，直线ax－y＋3－a＝0在x轴上的截距为，在y轴上的截距为3－a，故＝3－a，解得a＝－1；综上所述，实数a＝3或a＝－1.故选B、C.
6. 解析：由直线x＋y－1＝0，可得直线的斜率k＝－，所以直线的倾斜角为.
7.3x－y＝0 解析：因直线l的法向量为a＝（－3，1），直线l的方程为－3x＋y＋c＝0，又因点P（1，3）在直线l上，则c＝0.
8.x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0
解析：设直线的截距方程为＋＝1，∴×｜a｜×4＝24 a＝±12，∴直线的一般式方程为x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0.
9.解：（1）因为B（－3，4），C（1，2），所以BC的中点坐标为（－1，3），
所以BC边上中线的斜率为k＝－，所以BC边上中线的方程为y＝－（x－4），即3x＋5y－12＝0.
（2）根据题意，该直线的斜率存在且不为0，不妨设该直线方程为y－4＝k（x＋3），
所以令x＝0，则y＝3k＋4，令y＝0，则x＝－3，
因为在x轴上截距比在y轴上截距大1，
所以－3＝3k＋5，即3k2＋8k＋4＝0，
解得k＝－或k＝－2，
即2x＋3y－6＝0或2x＋y＋2＝0.
10.BD 过点P（1，2）且在x，y轴截距相等的直线方程，要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线方程为2x－y＝0；当直线不过原点时，直线方程为x＋y－3＝0，所以A错误.令x＝0，得y＝－2，所以直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，所以B正确.直线x－y＋1＝0的斜率为，设倾斜角为α，则tan α＝，α∈[0，π），所以α＝30°，所以C错误.过点（3，4）并且倾斜角为90°，斜率不存在，所以直线方程为x＝3，即x－3＝0，所以D正确.故选B、D.
11.解：（1）证明：依题意，（2＋λ）2＋[－（1＋λ）]2＝2λ2＋6λ＋5＝2＋＞0，因此，2＋λ与－（1＋λ）不同时为零，所以对任意的实数λ，该方程都表示直线.
（2）原方程可变形为2x－y－6＋λ（x－y－4）＝0，由解得
于是有对 λ∈R，（2，－2）都满足方程（2＋λ）x－（1＋λ）y－2（3＋2λ）＝0，
所以这些直线都经过同一定点，该定点坐标为（2，－2）.
12.解：（1）因为l在两坐标轴上的截距相等，
当直线不经过原点时，设它的方程为x＋y＝n，把点P（4，6）代入可得n＝10，
故l的方程为x＋y＝10，即x＋y－10＝0；
当直线过原点时，设它的方程为y＝kx，把点P（4，6）代入可得k＝，
故l的方程为y＝x，即3x－2y＝0；
综上可得，直线l的方程为x＋y－10＝0或3x－2y＝0.
（2）因为l与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点，
设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），则＋＝1，
所以1＝＋≥2得ab≥96，当且仅当a＝8，b＝12时，等号成立，
所以直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－24＝0.
13.A 把A（2，1）代入两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0，得2a1＋b1＋1＝0，2a2＋b2＋1＝0，∴2（a1－a2）＝b2－b1，过点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线的方程是＝，∴y－b1＝－2（x－a1），则2x＋y－（2a1＋b1）＝0，∵2a1＋b1＋1＝0，∴2a1＋b1＝－1，∴所求直线方程为2x＋y＋1＝0.故选A.
14.解：由题意可得kOA＝tan 30°＝，
kOB＝tan（180°－45°）＝－1，
所以直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.
设A（m，m），B（n，－n），
则AB的中点C.
由点C在直线y＝－x上，且A，P，B三点共线，
得
得n＝，所以B（，－）.
所以kAB＝kBP＝＝－，
所以直线AB的方程为y＝－（x－1），
所以直线AB的一般式方程为（3＋）x＋2y－3－＝0.
2 / 2第二课时 直线的两点式和一般式方程
上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上.
【问题】 老师如此做的依据是什么？
知识点一 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 P1（x1，y1）和P2（x2，y2）其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距为a， 在y轴上截距为b
图形
方程 ＋＝1
适用 范围 不表示 坐标轴的直线 不表示 坐标轴及过 的直线
【想一想】
利用两点式求直线方程必须满足什么条件？
知识点二 直线的一般式方程
1.定义：关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式.
2.系数的几何意义
（1）当B≠0时，直线斜率k＝ ，在y轴上的截距b＝ ；
（2）当B＝0，A≠0直线斜率不存在，直线过点；
（3）v＝（A，B）为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量.
【想一想】
直线与二元一次方程有怎样的关系？
1.直线x－y＋1＝0的倾斜角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.直线x－2y＝4的截距式方程是 .
3.经过点A（2，5），B（－3，6）的直线方程为 .
题型一 直线的两点式方程
【例1】 （1）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（ ）
A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0
C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0
（2）已知两点A（－1，2），B（m，3），则直线AB的方程为 .
尝试解答
通性通法
求直线的两点式方程的策略及注意点
（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；
（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
【跟踪训练】
1.一条光线从A处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝－2x＋1
C.y＝x－ D.y＝－x－
2.若点P（6，m）在过点A（3，2），B（4，3）的直线上，则m＝ .
题型二 直线的截距式方程
【例2】 （链接教科书第87页例4）求过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
通性通法
截距式方程应用的注意事项
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式直线方程的逆向应用.
【跟踪训练】
1.直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A.1 B.－1 C.7 D.－7
2.（多选）已知直线l经过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（ ）
A.2x－y＝0 B.x＋y－3＝0
C.x－y＋1＝0 D.3x＋y－5＝0
题型三 直线的一般式方程
【例3】 （链接教科书第88页例5、例6）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
（1）斜率是且经过点A（5，3）；
（2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点；
（3）经过点A（3，1），v＝（3，－2）是直线的一个法向量.
尝试解答
通性通法
求直线一般式方程的策略
（1）当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值.因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
（2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式.
【跟踪训练】
1.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l的点斜式方程为 ，截距式方程为 ，斜截式方程为 ，一般式方程为 .
2.直线x＋y＋2＝0的斜率是 ，在y轴上的截距为 .
1.已知点A（1，2），B（－1，－2），则直线AB的方程是（ ）
A.2x－y＝0 B.2x＋y－4＝0
C.x＋2y－5＝0 D.x－2y＋3＝0
2.在x轴和y轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为（ ）
A.－ B.
C.－ D.
4.（多选）若AC＞0，BC＜0，则直线Ax＋By＋C＝0经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.△ABC中，已知A（2，1），B（－2，3），C（0，1），则BC边上的中线所在直线的一般式方程为 .
第二课时 直线的两点式和一般式方程
【基础知识·重落实】
知识点
＝ 垂直于 垂直于 原点
想一想
提示：x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴.
知识点二
1.Ax＋By＋C＝0 2.（1）－ －
想一想
提示：（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示.
（2）每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.
自我诊断
1.A 由直线的一般式方程，得它的斜率为，从而倾斜角为30°.
2.＋＝1 解析：求直线方程的截距式，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式.
3.x＋5y－27＝0 解析：由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）x＝－1或y＝x＋＋2
解析：（1）由A（2，8），C（6，0），则A，C的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为y＝（x＋4），即x－2y＋4＝0， 故选D.
（2）当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；当m≠－1时，直线AB的方程为＝，即y＝x＋＋2.所以x＝－1或y＝x＋＋2.
跟踪训练
1.B 因为点A关于y轴的对称点是M，由题意知M在反射光线所在的直线上.又因为点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线的方程为＝，即y＝－2x＋1.故选B.
2.5 解析：因为直线过点A（3，2），B（4，3），则直线方程为＝，整理可得y＝x－1，又P（6，m）在直线上，所以6－1＝m，即m＝5.
【例2】 解：法一 ①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程为＋＝1，即x－y＝a，
又∵l过点A（5，2），∴5－2＝a，a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0，
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
法二 由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为y－2＝k（x－5），
x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.
根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝或1.
当k＝时，直线方程为y－2＝（x－5），即2x－5y＝0；
当k＝1时，直线方程为y－2＝1×（x－5），即x－y－3＝0.
母题探究
解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0.
②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，
又l过点（5，2），∴＋＝1，解得a＝.
∴l的方程为x＋2y－9＝0.
跟踪训练
1.B 直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.
2.AB ①若直线l的截距为0，可设其方程为y＝kx，由直线l经过点（1，2）可得，2＝k·1，解得k＝2，故直线l的方程为y＝2x，即2x－y＝0.②若直线l的截距不为0，可设其方程为＋＝1，由直线l经过点（1，2）可得，＋＝1，解得a＝3，故直线l的方程为＋＝1，即x＋y－3＝0.综上所述，直线l的方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0.故选A、B.
【例3】 解：（1）由点斜式方程得y－3＝（x－5），
整理得x－y＋3－5＝0.
（2）由两点式方程得＝，
整理得2x＋y－3＝0.
（3）法一 因为v＝（3，－2）是直线l的一个法向量，所以可以设l的方程为3x－2y＋C＝0，代入点A（3，1），可求得C＝－7，因此所求方程为3x－2y－7＝0.
法二 设P（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则P在直线l上的充要条件是与v＝（3，－2）垂直.又因为＝（x－3，y－1），所以3×（x－3）＋（－2）×（y－1）＝0，
整理可得一般式方程为3x－2y－7＝0.
跟踪训练
1.y＋4＝（x－0） ＋＝1 y＝x－4 x－y－4＝0
解析：点斜式方程： y＋4＝（x－0），截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0.
2.－1 －2 解析：直线x＋y＋2＝0的斜截式方程为y＝－x－2，因此，直线x＋y＋2＝0的斜率为－1，在y轴上的截距为－2.
随堂检测
1.A ∵直线的两点式方程为＝，代入 A（1，2），B（－1，－2）得＝，整理得直线AB的方程是2x－y＝0.故选A.
2.C 由直线的截距式方程可得＋＝1.
3.A 因为直线l的两点式方程为＝，所以直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为＝－.故选A.
4.ABC 由题意，直线方程为y＝－x－，因为AC＞0，BC＜0，所以＜0，＞0，＝·＜0，于是－＞0，－＞0，故直线过第一、第二和第三象限.故选A、B、C.
5.解析：x＋3y－5＝0 线段BC的中点D（－1，2）.BC 边上的中线所在的直线的方程：y－1＝（x－2），化简为一般式方程：x＋3y－5＝0.
1 / 3(共61张PPT)
第二课时 直线的两点式和一般式方程
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上体育课时，老师检查学生队伍是不是一直线，只要看第一个学
生就可以了，若还能够看到其他学生，那就不在一条直线上.
【问题】 老师如此做的依据是什么？
知识点一 直线的两点式与截距式方程
两点式 截距式
条件 P1（ x1， y1）和 P2（ x2， y2） 其中 x1≠ x2， y1≠ y2 在 x 轴上截距为 a ，
在 y 轴上截距为 b
图形
两点式 截距式
方程 1
适用 范围 不表示 坐标轴的直线 不表示 坐标轴
及过 的直线
垂直于
垂直于
原点
【想一想】
利用两点式求直线方程必须满足什么条件？
提示： x1≠ x2且 y1≠ y2，即直线不垂直于坐标轴.
知识点二 直线的一般式方程
1. 定义：关于 x ， y 的二元一次方程 （其中 A ， B
不同时为0）叫作直线的一般式方程，简称一般式.
2. 系数的几何意义
Ax ＋ By ＋ C ＝0
（1）当 B ≠0时，直线斜率 k ＝ y 轴上的截距 b ＝
（2）当 B ＝0， A ≠0直线斜率不存在，直线过点（ 0）；
（3） v ＝（ A ， B ）为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0的一个法向量.
【想一想】
直线与二元一次方程有怎样的关系？
提示： （1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可
以用一个关于 x ， y 的二元一次方程表示.
（2）每个关于 x ， y 的二元一次方程都表示一条直线.
1. 直线 x y ＋1＝0的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 120° D. 150°
解析：由直线的一般式方程，得它的斜率 30°.
2. 直线 x －2 y ＝4的截距式方程是 1 .
解析：求直线方程的截距式，必须把方程化 1的形式，
即右边为1，左边是和的形式.
3. 经过点 A （2，5）， B （－3，6）的直线方程为
.
解析：由两点式得直线方程 x ＋5 y －27＝0.
1
x ＋5 y －27＝
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线的两点式方程
【例1】 （1）已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （2，8）， B （－4，
0）， C （6，0），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线方程为（ ）
A. 2 x － y ＋4＝0 B. x ＋2 y ＋4＝0
C. 2 x ＋ y －4＝0 D. x －2 y ＋4＝0
解析：由 A （2，8）， C （6，0），则 A ， C 的中点坐标为 D （4，4），则过点 B 将△ ABC 的面积平分的直线过点 D （4，4），则所求直线方程为 y x ＋4），即 x －2 y ＋4＝0， 故选D.
（2）已知两点 A （－1，2）， B （ m ，3），则直线 AB 的方程为
.
解析：当 m ＝－1时，直线 AB 的方程为 x ＝－1；当 m ≠－1时，
直线 AB 的方程 y x 2.所以 x ＝
－1或 y x 2.
x＝－1或 y x 2
通性通法
求直线的两点式方程的策略及注意点
（1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否
满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若
满足，则考虑用两点式求方程；
（2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或
数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须
注意坐标的对应关系.
【跟踪训练】
1. 一条光线从 A （ 0）处射到点 B （0，1）后被 y 轴反射，则反
射光线所在直线的方程为（ ）
A. y ＝2 x ＋1 B. y ＝－2 x ＋1
C. y x D. y ＝ x
解析： 因为点 A （ 0）关于 y 轴的对称点是 M （ 0），
由题意知 M （ 0）在反射光线所在的直线上.又因为点 B （0，
1）也在反射光线所在的直线上，所以反射光线所在直线的方程 y ＝－2 x ＋1.故选B.
2. 若点 P （6， m ）在过点 A （3，2）， B （4，3）的直线上，则 m
＝ .
解析：因为直线过点 A （3，2）， B （4，3），则直线方程 y ＝ x －1，又 P （6， m ）在直线上，所以6－1＝
m ，即 m ＝5.
5
题型二 直线的截距式方程
【例2】 （链接教科书第87页例4）求过点 A （5，2），且在坐标轴
上截距互为相反数的直线 l 的方程.
解：法一 ①当直线 l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为 y x ，即
2 x －5 y ＝0；
②当直线 l 在坐标轴上的截距不为0时，
可设方程 1，即 x － y ＝ a ，
又∵ l 过点 A （5，2），∴5－2＝ a ， a ＝3，
∴ l 的方程为 x － y －3＝0，
综上所述，直线 l 的方程是2 x －5 y ＝0或 x － y －3＝0.
法二 由题意知直线的斜率一定存在.
设直线的点斜式方程为 y －2＝ k （ x －5），
x ＝0时， y ＝2－5 k ， y ＝0时， x ＝5 .
根据题意得2－5 k ＝－（5 ），解方程得 k 1.
当 k y －2 x －5），即2 x －5 y ＝0；
当 k ＝1时，直线方程为 y －2＝1×（ x －5），
即 x － y －3＝0.
【母题探究】
（变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为
“在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？
解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为 y x ，即2 x －
5 y ＝0.
②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程 1，
又 l 过点（5，2），∴ 1，解得 a .
∴ l 的方程为 x ＋2 y －9＝0.
通性通法
截距式方程应用的注意事项
（1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线
方程，用待定系数法确定其系数即可；
（2）选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能
否与两坐标轴垂直；
（3）要注意截距式直线方程的逆向应用.
【跟踪训练】
1. 直 1在两坐标轴上的截距之和为（ ）
A. 1 B. －1
C. 7 D. －7
解析： 直线在 x 轴上截距为3，在 y 轴上截距为－4，因此截距之
和为－1.
2. （多选）已知直线 l 经过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相
等，则直线 l 的方程可能为（ ）
A. 2 x － y ＝0 B. x ＋ y －3＝0
C. x － y ＋1＝0 D. 3 x ＋ y －5＝0
解析： ①若直线 l 的截距为0，可设其方程为 y ＝ kx ，由直线 l
经过点（1，2）可得，2＝ k ·1，解得 k ＝2，故直线 l 的方程为 y ＝2
x ，即2 x － y ＝0.②若直线 l 的截距不为0，可设其方程
1，由直线 l 经过点（1，2）可得 1，解得 a ＝3，故直线 l
的方程 1，即 x ＋ y －3＝0.综上所述，直线 l 的方程为2 x
－ y ＝0或 x ＋ y －3＝0.故选A、B.
题型三 直线的一般式方程
【例3】 （链接教科书第88页例5、例6）根据下列条件分别写出直
线的方程，并化为一般式方程：
（1）斜率 A （5，3）；
解：由点斜式方程得 y －3 x －5），
整理 x － y ＋3－5 0.
（2）经过 A （－1，5）， B （2，－1）两点；
解：由两点式方程
整理得2 x ＋ y －3＝0.
法二 设 P （ x ， y ）为平面直角坐标系中任意一点，则 P 在直线 l 上
的充要条件 v ＝（3，－2）垂直.又因 x －3， y －
1），所以3×（ x －3）＋（－2）×（ y －1）＝0，
整理可得一般式方程为3 x －2 y －7＝0.
（3）经过点 A （3，1）， v ＝（3，－2）是直线的一个法向量.
解：法一 因为 v ＝（3，－2）是直线 l 的一个法向量，所
以可以设 l 的方程为3 x －2 y ＋ C ＝0，代入点 A （3，1），可求
得 C ＝－7，因此所求方程为3 x －2 y －7＝0.
通性通法
求直线一般式方程的策略
（1）当 A ≠0时，方程可化为 x y 0，只需求 ， 的值；若
B ≠0，则方程化为 x ＋ y 0，只需确定 ， 的值.因此，
只要给出两个条件，就可以求出直线方程；
（2）在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根
据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一
般式.
【跟踪训练】
1. 已知直线 l 的倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－4，则直线 l 的点斜
式方程为 y ＋4 x －0） ，截距式方程为
，斜截式方程为 y x －4 ，一般式方程为 x － y －4
.
解析：点斜式方程： y ＋4 x －0），截距式方程
1，斜截式方程： y x －4，一般式方程 x － y －4＝0.
y ＋4 x －0）
1
y x －4
x － y －4
＝0
2. 直线 x ＋ y ＋2＝0的斜率是 ，在 y 轴上的截距为 .
解析：直线 x ＋ y ＋2＝0的斜截式方程为 y ＝－ x －2，因此，直线 x
＋ y ＋2＝0的斜率为－1，在 y 轴上的截距为－2.
－1
－2
1. 已知点 A （1，2）， B （－1，－2），则直线 AB 的方程是（ ）
A. 2 x － y ＝0 B. 2 x ＋ y －4＝0
C. x ＋2 y －5＝0 D. x －2 y ＋3＝0
解析： ∵直线的两点式方程 A （1，
2）， B （－1，－2） AB 的方程是2 x
－ y ＝0.故选A.
2. 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为－2，3的直线方程是（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 由直线的截距式方程可 1.
3. 已知直线 l 的两点式方程 l 的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 因为直线 l 的两点式方程
l 过点（－5，0），（3，－3），所以 l 的斜
率 .故选A.
4. （多选）若 AC ＞0， BC ＜0，则直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 由题意，直线方程为 y ＝ x AC ＞0， BC
＜0，所 0 0 · 0，于 0
0，故直线过第一、第二和第三象限.故选A、B、C.
5. △ ABC 中，已知 A （2，1）， B （－2，3）， C （0，1），则 BC 边
上的中线所在直线的一般式方程为 .
解析：线段 BC 的中点 D （－1，2）. BC 边上的中线所在的直线的方
程： y －1 x －2），化简为一般式方程： x ＋3 y －5＝0.
x ＋3 y －5＝0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 倾斜角
A. x －1＝0 B. y －1＝0
C. x － y ＝0 D. x ＋ y －2＝0
解析： 倾斜角 B斜率为0，C斜率为1，
D斜率为－1.故选A.
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2. 两条直 1 1的图象可能是下图中的（ ）
解析： 两直线的方程分别化为 y x － n ， y x － m ，易知
两直线的斜率符号相同.
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3. 经过点 P （2，3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的
条数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 直线经过原点时满足条件，此时直线方程为 y x ，即3
x －2 y ＝0；若直线不经过原点时满足条件，设直线方程为 x － y ＝
a ，把点 P （2，3）代入可得2－3＝ a ，解得 a ＝－1.∴直线方程为
x － y ＝－1，即 x － y ＋1＝0.综上可得满足条件的直线的条数为2.故
选B.
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4. 光线从 A （－3，4）点射出，到 x 轴上的 B 点后，被 x 轴反射到 y 轴
上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射线恰好过点 D （－1，6），则
BC 所在直线的方程是（ ）
A. 5 x －2 y ＋7＝0 B. 3 x ＋ y －1＝0
C. 3 x －2 y ＋4＝0 D. 2 x － y －3＝0
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解析： 根据题意，作出如图的光线路径，则点 A
（－3，4）关于 x 轴的对称点 A '（－3，－4），点 D
（－1，6）关于 y 轴的对称点 D '（1，6），则 BC 所
在直线的方程即为 A ' D '所在直线方程，由两点式方
程得 A ' D '所在直线方程 5 x －
2 y ＋7＝0.故选A.
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5. （多选）已知直线 ax － y ＋3－ a ＝0在两坐标轴上的截距相等，则
实数 a ＝（ ）
A. 1 B. －1
C. 3 D. －3
解析： 依题意可知 a ≠0， 所以当3－ a ＝0，即 a ＝3时，直线
ax － y ＋3－ a ＝0化为3 x － y ＝0，此时直线在两坐标轴上的截距都
为0，满足题意；当3－ a ≠0，即 a ≠3时，直线 ax － y ＋3－ a ＝0在
x 轴上的截距 y 轴上的截距为3－ a ， 3－ a ，解
得 a ＝－1；综上所述，实数 a ＝3或 a ＝－1.故选B、C.
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6. 直线 x y －1＝0的倾斜角的大小为 .（角度用弧度
制表示）
解析：由直线 x y －1＝0，可得直线的斜率 k ＝
.
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7. 如果直线 l 过点 P （1，3），且直线 l 的法向量为 a ＝（－3，1），
则直线 l 的方程为 .
解析：因直线 l 的法向量为 a ＝（－3，1），直线 l 的方程为－3 x ＋
y ＋ c ＝0，又因点 P （1，3）在直线 l 上，则 c ＝0.
3 x － y ＝0
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8. 纵截距为－4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式
方程为 .
解析：设直线的截距方程 1，∴ ｜ a ｜×4＝24 a ＝
±12，∴直线的一般式方程为 x －3 y －12＝0或 x ＋3 y ＋12＝0.
x －3 y －12＝0或 x ＋3 y ＋12＝0
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9. 在△ ABC 中，已知点 A （4，0）， B （－3，4）， C （1，2）.
（1）求 BC 边上中线的方程；
解：因为 B （－3，4）， C （1，2），所以 BC 的中点
坐标为（－1，3），
所以 BC 边上中线的斜率为 k ＝ BC 边上中线的方程
为 y ＝ x －4），即3 x ＋5 y －12＝0.
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（2）若某一直线过 B 点，且在 x 轴上截距比在 y 轴上截距大1，求该
直线的一般式方程.
解：根据题意，该直线的斜率存在且不为0，不妨设该
直线方程为 y －4＝ k （ x ＋3），
所以令 x ＝0，则 y ＝3 k ＋4，令 y ＝0，则 x 3，
因为在 x 轴上截距比在 y 轴上截距大1，
所 3＝3 k ＋5，即3 k2＋8 k ＋4＝0，解得 k ＝ k ＝
－2，
即2 x ＋3 y －6＝0或2 x ＋ y ＋2＝0.
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10. （多选）下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点 P （1，2）且在 x ， y 轴截距相等的直线方程为 x ＋ y －3＝0.
B. 直线 y ＝3 x －2在 y 轴上的截距为－2
C. 直线 x y ＋1＝0的倾斜角为60°
D. 过点（3，4）并且倾斜角为90°的直线方程为 x －3＝0
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解析： 过点 P （1，2）且在 x ， y 轴截距相等的直线方程，要
分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线过原点时，直线
方程为2 x － y ＝0；当直线不过原点时，直线方程为 x ＋ y －3＝0，
所以A错误.令 x ＝0，得 y ＝－2，所以直线 y ＝3 x －2在 y 轴上的截
距为－2，所以B正确.直线 x y ＋1＝0的斜率
α，则tan α α∈[0，π），所以α＝30°，所
以C错误.过点（3，4）并且倾斜角为90°，斜率不存在，所以直线
方程为 x ＝3，即 x －3＝0，所以D正确.故选B、D.
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11. 已知方程（2＋λ） x －（1＋λ） y －2（3＋2λ）＝0.
（1）证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线；
解：证明：依题意，（2＋λ）2＋[－（1＋λ）]2＝2λ2
＋6λ＋5＝2（λ ）2 0，因此，2＋λ与－（1＋λ）不
同时为零，所以对任意的实数λ，该方程都表示直线.
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（2）这些直线是否都经过同一定点？若是，请求出定点的坐标；
若不是，请说明理由.
解：原方程可变形为2 x － y －6＋λ（ x － y －4）＝0，
由
于是有对 λ∈R，（2，－2）都满足方程（2＋λ） x －（1＋
λ） y －2（3＋2λ）＝0，
所以这些直线都经过同一定点，该定点坐标为（2，－2）.
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12. 已知直线 l 经过点 P （4，6）.
（1）当 l 在两坐标轴上的截距相等时，求 l 的方程；
解：因为 l 在两坐标轴上的截距相等，
当直线不经过原点时，设它的方程为 x ＋ y ＝ n ，把点 P
（4，6）代入可得 n ＝10，
故 l 的方程为 x ＋ y ＝10，即 x ＋ y －10＝0；
当直线过原点时，设它的方程为 y ＝ kx ，把点 P （4，6）代
入可得 k
故 l 的方程为 y x ，即3 x －2 y ＝0；
综上可得，直线 l 的方程为 x ＋ y －10＝0或3 x －2 y ＝0.
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（2）若 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A 、 B 两点，当△ AOB
的面积最小时，求 l 的方程.
解：因为 l 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别相交于 A 、 B 两点，
设直线 l 的方程 1（ a ＞0， b ＞0）， 1，
所以1 2 ab ≥96，当且仅当 a ＝8， b
＝12时，等号成立，
所以直线 l 的方程 1，即3 x ＋2 y －24＝0.
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13. 已知直线 a1 x ＋ b1 y ＋1＝0和直线 a2 x ＋ b2 y ＋1＝0都过点 A （2，
1），则过点 P1（ a1， b1）和点 P2（ a2， b2）的直线方程是（ ）
A. 2 x ＋ y ＋1＝0 B. 2 x － y ＋1＝0
C. 2 x ＋ y －1＝0 D. x ＋2 y ＋1＝0
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解析： 把 A （2，1）代入两条直线 a1 x ＋ b1 y ＋1＝0和 a2 x ＋ b2
y ＋1＝0，得2 a1＋ b1＋1＝0，2 a2＋ b2＋1＝0，∴2（ a1－ a2）＝ b2
－ b1，过点 P1（ a1， b1）， P2（ a2， b2）的直线的方程 ∴ y － b1＝－2（ x － a1），则2 x ＋ y －（2 a1＋ b1）＝0，
∵2 a1＋ b1＋1＝0，∴2 a1＋ b1＝－1，∴所求直线方程为2 x ＋ y ＋1
＝0.故选A.
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14. 如图，射线 OA ， OB 分别与 x 轴正半轴成30°和45°角，过点 P
（1，0）作直线 AB 分别交射线 OA ， OB 于 A ， B 两点，若 AB 的
中点 C 恰好落在直线 y ＝ x 上，求直线 AB 的一般式方程.
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解：由题意可得 kOA ＝tan 30°
kOB ＝tan（180°－45°）＝－1，
所以直线 OA 的方程为 y x ，直线 OB 的方程为 y ＝－ x .
设 A m ， m ）， B （ n ，－ n ），
则 AB 的中点 C （ ）.
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由点 C 在直线 y ＝ x 上，且 A ， P ， B 三点共线，
得
得 n B .
所以 kAB ＝ kBP
所以直线 AB 的方程为 y ＝ x －1），
所以直线 AB 的一般式方程为（3 x ＋2 y －3 0.
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谢 谢 观 看！
