2.2.3 两条直线的位置关系
1.过点（－1，2）且与直线2x－3y＋4＝0平行的直线方程为（ ）
A.3x＋2y＋7＝0
B.3x＋2y－1＝0
C.2x－3y＋5＝0
D.2x－3y＋8＝0
2.两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为（ ）
A.（－3，－2） B.（－2，－3）
C.（2，3） D.（3，2）
3.将一张坐标纸折叠一次，使点A（2，0）与B（－6，8）重合，则折痕所在直线方程是（ ）
A.x－y－6＝0
B.x＋y＋6＝0
C.x＋y－6＝0
D.x－y＋6＝0
4.经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A.x＋y＋1＝0或2x－3y＝0
B.x－y－1＝0或2x－3y＝0
C.x－y－1＝0
D.2x－3y＝0
5.（多选）直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m个单位（m∈N*），所得到直线的方程可能为（ ）
A.3x－y＋1＝0 B.x＋3y－1＝0
C.x＋3y－3＝0 D.x＋3y＋3＝0
6.经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为 .
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝ ；若l1∥l2，则m＝ .
8.已知A（1，0），B（3，2），C（0，4），点D满足AB⊥CD，且AD∥BC，则点D的坐标为 .
9.求m，n的值，使直线l1：y＝（m－1）x－n＋7满足：
（1）平行于x轴；
（2）平行于直线l2：7x－y＋15＝0；
（3）垂直于直线l2：7x－y＋15＝0.
10.已知直线l1：xsin α＋y－1＝0，直线l2：x－3ycos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin 2α＝（ ）
A. B.－ C. D.－
11.已知a＞0，b＞0，直线l1：x＋（a－4）y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为（ ）
A.2 B.4
C. D.
12.直线l的倾斜角为30°，点P（2，1）在直线l上，直线l绕点P（2，1）按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A（1，m－1），B（m，2），试求m的值.
13.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为A（1，3），B（2，4），C（3，2），则△ABC的欧拉线方程为（ ）
A.x＋y－5＝0 B.x＋y＋5＝0
C.x－y＋1＝0 D.2x＋y－7＝0
14.已知△ABC的顶点A（3，－1），AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程.
2.2.3 两条直线的位置关系
1.D 由题可得，设平行于直线2x－3y＋4＝0的直线l的方程为2x－3y＋c＝0（c≠4），因为直线过点（－1，2），所以－2－6＋c＝0，解得c＝8，所以直线l的方程为2x－3y＋8＝0.故选D.
2.C 由解得所以两条直线l1与l2的交点坐标为（2，3）.故选C.
3.D 因为＝－2，＝4，所以线段AB的中点坐标为（－2，4），又kAB＝＝－1，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线方程是y－4＝x＋2，即x－y＋6＝0.故选D.
4.B 由求得可得两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点为（3，2）.当要求的直线经过原点时，直线的方程为y＝x，即2x－3y＝0.当要求的直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，把（3，2）代入，可得3－2＝λ，∴λ＝1，此时，直线的方程为x－y－1＝0.综上可得，要求的直线方程为x－y－1＝0或2x－3y＝0.故选B.
5.BC ∵直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，∴直线斜率互为负倒数，∵直线3x－y＝0的斜率为3，∴所求直线的斜率为－，∵向右平移m个单位，∴y＝－（x－m），即x＋3y－m＝0，又∵m∈N*，结合选项可知选B、C.
6.5x－15y－18＝0 解析：由方程组得又所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，故k＝，∴直线方程为y＋＝，即5x－15y－18＝0.
7.－2 2 解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.
8.（10，－6） 解析：设点D的坐标为（x，y），由已知得，直线AB的斜率kAB＝1，直线CD的斜率kCD＝，直线CB的斜率kCB＝－，直线AD的斜率kAD＝，由AB⊥CD，且AD∥BC，得解得所以D的坐标为（10，－6）.
9.解：（1）当直线l1平行于x轴时，直线l1的斜率为0，即m－1＝0，m＝1.
又直线l1不与x轴重合，∴－n＋7≠0，即n≠7.
综上，当m＝1且n≠7时，直线l1平行于x轴.
（2）将7x－y＋15＝0化为斜截式得，y＝7x＋15，∴直线l2的斜率k2＝7，截距b＝15，
当l1∥l2时，应有直线l1的斜率k1＝7且截距b1≠15，即m－1＝7且－n＋7≠15，∴m＝8，且n≠－8.
（3）由题意及（2）可得（m－1）·7＝－1，n∈R，即m＝，n∈R时，l1⊥l2.
10.A 直线l1：xsin α＋y－1＝0，直线l2：x－3ycos α＋1＝0，若l1⊥l2，则sin α－3cos α＝0，即tan α＝＝3.所以sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝＝.故选A.
11.D 因为l1⊥l2，所以2b＋a－4＝0，即a＋1＋2b＝5，因为a＞0，b＞0，所以a＋1＞0，2b＞0，所以＋＝×（a＋1＋2b）＝（2＋＋）≥＝，当且仅当a＝，b＝时，等号成立.故选D.
12.解：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.∵l1与l2平行，∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
13.A 由题可知，△ABC的重心为G（2，3），可得直线AB的斜率为＝1，则AB边上高所在的直线斜率为－1，则方程为y＝－x＋5，直线AC的斜率为＝－，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为y＝2x，联立方程可得△ABC的垂心为H，则直线GH斜率为＝－1，则可得直线GH方程为y－3＝－（x－2），故△ABC的欧拉线方程为x＋y－5＝0.故选A.
14.解：设A关于∠B的平分线的对称点为A'（x0，y0），
则解得即A'（1，7）.
设B的坐标为（4a－10，a），所以AB的中点在直线6x＋10y－59＝0上，
所以6×＋10×－59＝0，
所以a＝5，
即B（10，5）.又因为点C在直线A'B上，由直线的两点式方程可得直线BC的方程为2x＋9y－65＝0.
2 / 22.2.3 两条直线的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算
2.能根据直线的斜率或方程的系数判定两条直线平行或垂直 逻辑推理
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟……
【问题】 每一道拉烟之间有怎样的位置关系？
知识点 两条直线的位置关系
1.直线斜截式判定法
提醒 当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互相垂直.
2.直线一般式判定法
【想一想】
1.l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是什么？
2.l1⊥l2 k1·k2＝－1成立的前提条件是什么？
1.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
2.直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是（ ）
A.（4，1） B.（1，4）
C. D.
3.l1过点A（m，1），B（－3，4），l2过点C（0，2），D（1，1），且l1∥l2，则m＝ .
题型一 两条直线平行的判定与应用
【例1】 （1）经过点（0，－1）且与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的方程为（ ）
A.2x＋3y＋3＝0 B.2x＋3y－3＝0
C.2x＋3y＋2＝0 D.3x－2y－2＝0
（2）已知直线l1：3mx＋（m＋2）y＋1＝0，直线l2：（m－2）x＋（m＋2）y＋2＝0，且l1∥l2，则m的值为（ ）
A.－2 B.－1
C.－2或－1 D.2
尝试解答
通性通法
判断两条直线是否平行的步骤
【跟踪训练】
1.若过点A（3，a）和点B（4，b）的直线与y＝2x＋3平行，则｜AB｜的值为（ ）
A.3 B. C.5 D.
2.已知条件p：直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行，条件q：a＝－1，则p是q的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
题型二 两条直线的交点坐标
【例2】 （1）若三条直线2x＋ky＋8＝0，x－y－1＝0和2x－y＝0交于一点，则k的值为（ ）
A.－2 B.－
C.3 D.
（2）直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
通性通法
过两条直线交点的直线方程求法
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1（A1x＋B1y＋C1）＋λ2（A2x＋B2y＋C2）＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；②A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0不能表示直线l2.
【跟踪训练】
1.若直线ax＋by－11＝0与3x＋4y－2＝0平行，并且经过直线2x＋3y－8＝0和x－2y＋3＝0的交点，则a，b的值分别为（ ）
A.－3，－4 B.3，4
C.4，3 D.－4，－3
2.直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y－1＝0，x－4y－6＝0的交点，则直线l的方程为（ ）
A.2x＋y＝0 B.x＋2y＝0
C.2x－y＝0 D.x－2y＝0
题型三 两条直线垂直的判定与应用
【例3】 （1）已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为（ ）
A.3x＋y＋2＝0 B.3x－y＋2＝0
C.x＋3y＋2＝0 D.x－3y＋2＝0
（2）已知直线l：x＋2y－1＝0，点A（a，1），B（2，3），若直线AB⊥l，则a的值为 .
尝试解答
通性通法
判断两直线垂直的方法
（1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0判断；
（2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件：l1⊥l2 k1·k2＝－1判断；
（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断.
【跟踪训练】
1.已知直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，则a＝（ ）
A.2 B.
C.－2 D.－
2.已知点M（1，－2），N（m，2），若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是 .
1.直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（ ）
A.1 B.－2
C.1或－2 D.－1或2
2.若（－1，－2）为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ）
A.8 B.－8 C.9 D.－9
3.过点A（1，2），且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线l的方程是（ ）
A.2x－y＝0 B.2x＋y－4＝0
C.x－2y＋3＝0 D.x＋2y－5＝0
4.（多选）对于以A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为顶点的三角形，下列说法正确的是（ ）
A.kAB＝－
B.kBC＝－
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
5.直线l1：x＋my＋4＝0与l2：2mx＋3y＋m2＋1＝0垂直，则m的值为 .
2.2.3 两条直线的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.k1＝k2 b1≠b2 k1＝k2 b1＝b2 k1≠k2 k1·k2＝－1
2.无解 无数组解 有唯一解 A1B2－A2B1＝0
A1C2－A2C1≠0 A1B2－A2B1＝0 B1C2－B2C1≠0 A1B2－A2B1＝0 A1C2－A2C1＝0 A1B2－A2B1＝0 B1C2－B2C1＝0 A1B2－A2B1≠0 A1A2＋B1B2＝0
想一想
1.提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2）l1与l2不重合.
2.提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2）k1≠0且k2≠0.
自我诊断
1.D 设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.
2.C 由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
3.0 解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，
∴m＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）C 解析：（1）∵直线2x＋3y－4＝0的斜率为－，∴与直线2x＋3y－4＝0平行的直线的斜率也为－，∴经过点（0，－1）且斜率为－的直线的方程为y＝－x－1，整理得2x＋3y＋3＝0.故选A.
（2）∵l1∥l2，∴3m（m＋2）－（m＋2）（m－2）＝0且2×3m－（m－2）≠0，解得m＝－2或－1，且m≠－，综上m的值为－2或－1.故选C.
跟踪训练
1.D 由题意得＝2，即b－a＝2.所以｜AB｜＝＝.故选D.
2.C 若直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行，则1×a2＝1×1，故a＝±1.当a＝1时，x＋a2y－1＝0为x＋y－1＝0，此时直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行.当a＝－1时，x＋a2y－1＝0为x＋y－1＝0，此时直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行.故若直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行，则a＝±1，推不出a＝－1，若a＝－1，则直线x＋y＋1＝0与直线x＋a2y－1＝0平行.故p是q的必要不充分条件.故选C.
【例2】 （1）C （2）A 解析：（1）联立得把代入2x＋ky＋8＝0得k＝3.故选C.
（2）由解得因为直线kx－y－1＝0与直线x＋2y－2＝0的交点在第四象限，所以解得－＜k＜，所以实数k的取值范围为，故选A.
跟踪训练
1.B 由得由题意得解得故选B.
2.B 联立方程解得所以两直线的交点为（2，－1），所以直线的斜率为＝－，则直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.故选B.
【例3】 （1）A （2）1 解析：（1）联立解得∴直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点为（－1，1），又直线l和直线x－3y＋2＝0垂直，∴直线l的斜率为－3.则直线l的方程为y－1＝－3（x＋1），即3x＋y＋2＝0.故选A.
（2）∵直线l：x＋2y－1＝0的斜率为k＝－，又点A（a，1），B（2，3），直线AB⊥l，∴kAB·k＝－1，即·＝－1，解得a＝1.
跟踪训练
1.A ∵直线ax＋y＋5＝0与x－2y＋7＝0垂直，∴－a＝－2，∴a＝2.故选A.
2.3 解析：由中点坐标公式，得线段MN的中点是.又点在线段MN的垂直平分线上，所以＋0＝1，所以m＝3.
随堂检测
1.B 由已知，得a（a＋1）－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
2.A 由题意得解得所以ab＝8.故选A.
3.D 2x－y＋3＝0的斜率为2，故直线l的斜率为－，因为A（1，2），故直线l的方程为y－2＝－（x－1），即x＋2y－5＝0.故选D.
4.AC kAB＝＝－，kBC＝＝－5，kAC＝＝，∵kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误.
5.0 解析：由条件可知1×2m＋3m＝0，解得m＝0.
4 / 4(共59张PPT)
2.2.3 两条直线的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 数学运算
2.能根据直线的斜率或方程的系数判定两条直线平行
或垂直 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示是人们平常所说的飞机拉烟……
【问题】 每一道拉烟之间有怎样的位置关系？
知识点 两条直线的位置关系
1. 直线斜截式判定法
提醒 当两条直线都没有斜率时，它们互相平行或重合；当两条直
线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，它们互
相垂直.
2. 直线一般式判定法
【想一想】
1. l1∥ l2 k1＝ k2成立的前提条件是什么？
提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2） l1与 l2不重合.
2. l1⊥ l2 k1· k2＝－1成立的前提条件是什么？
提示：（1）两条直线的斜率都存在；（2） k1≠0且 k2≠0.
1. 直线 l1， l2的斜率是方程 x2－3 x －1＝0的两根，则 l1与 l2的位置关系
是（ ）
A. 平行 B. 重合
C. 相交但不垂直 D. 垂直
解析： 设 l1， l2的斜率分别为 k1， k2，则 k1· k2＝－1.
2. 直线 x ＋2 y －2＝0与直线2 x ＋ y －3＝0的交点坐标是（ ）
A. （4，1） B. （1，4）
C. （ ） D. （ ）
解析： 由方程组 x ＋2 y －
2＝0与直线2 x ＋ y －3＝0的交点坐标是（ ）.
3. l1过点 A （ m ，1）， B （－3，4）， l2过点 C （0，2）， D （1，
1），且 l1∥ l2，则 m ＝ .
解析：∵ l1∥ l2，且 k2 1，∴ k1 1，∴ m ＝0.
0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 两条直线平行的判定与应用
【例1】 （1）经过点（0，－1）且与直线2 x ＋3 y －4＝0平行的直
线的方程为（ ）
A. 2 x ＋3 y ＋3＝0 B. 2 x ＋3 y －3＝0
C. 2 x ＋3 y ＋2＝0 D. 3 x －2 y －2＝0
解析：∵直线2 x ＋3 y －4＝0的斜率 ∴与直线2 x
＋3 y －4＝0平行的直线的斜率也 ∴经过点（0，－1）
且斜率 y ＝ x －1，整理得2 x ＋3 y ＋3
＝0.故选A.
（2）已知直线 l1：3 mx ＋（ m ＋2） y ＋1＝0，直线 l2：（ m －2） x ＋
（ m ＋2） y ＋2＝0，且 l1∥ l2，则 m 的值为（ ）
A. －2 B. －1
C. －2或－1 D. 2
解析： ∵ l1∥ l2，∴3 m （ m ＋2）－（ m ＋2）（ m －2）＝0且
2×3 m －（ m －2）≠0，解得 m ＝－2或－1，且 m ≠
m 的值为－2或－1.故选C.
通性通法
判断两条直线是否平行的步骤
【跟踪训练】
1. 若过点 A （3， a ）和点 B （4， b ）的直线与 y ＝2 x ＋3平行，则｜
AB ｜的值为（ ）
A. 3 B.
C. 5 D.
解析： 由题意 2，即 b － a ＝2.所以｜ AB ｜ .故选D.
2. 已知条件 p ：直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1＝0平行，条件 q ：
a ＝－1，则 p 是 q 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1＝0平行，则1× a2
＝1×1，故 a ＝±1.当 a ＝1时， x ＋ a2 y －1＝0为 x ＋ y －1＝0，此时
直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1＝0平行.当 a ＝－1时， x ＋ a2 y
－1＝0为 x ＋ y －1＝0，此时直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1＝0
平行.故若直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1＝0平行，则 a ＝±1，
推不出 a ＝－1，若 a ＝－1，则直线 x ＋ y ＋1＝0与直线 x ＋ a2 y －1
＝0平行.故 p 是 q 的必要不充分条件.故选C.
题型二 两条直线的交点坐标
【例2】 （1）若三条直线2 x ＋ ky ＋8＝0， x － y －1＝0和2 x － y ＝0
交于一点，则 k 的值为（ ）
A. －2 B.
C. 3 D.
解析：联立
2 x ＋ ky ＋8＝0得 k ＝3.故选C.
（2）直线 kx － y －1＝0与直线 x ＋2 y －2＝0的交点在第四象限，则实
数 k 的取值范围为（ ）
A. （ ） B. （ 0）
C. （ ） D. （－∞， ）
解析：由 kx － y －1
＝0与直线 x ＋2 y －2＝0的交点在第四象限，所以
k k 的取值范围为
（ ），故选A.
通性通法
过两条直线交点的直线方程求法
求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐
标，再结合其他条件写出直线方程.也可用过两条直线 A1 x ＋ B1 y ＋ C1
＝0与 A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0的交点的直线系方程 A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2
x ＋ B2 y ＋ C2）＝0，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程.
过直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0交点的直
线系有两种：①λ1（ A1 x ＋ B1 y ＋ C1）＋λ2（ A2 x ＋ B2 y ＋ C2）＝0可
表示过 l1、 l2交点的所有直线；② A1 x ＋ B1 y ＋ C1＋λ（ A2 x ＋ B2 y ＋
C2）＝0不能表示直线 l2.
【跟踪训练】
1. 若直线 ax ＋ by －11＝0与3 x ＋4 y －2＝0平行，并且经过直线2 x ＋3
y －8＝0和 x －2 y ＋3＝0的交点，则 a ， b 的值分别为（ ）
A. －3，－4 B. 3，4
C. 4，3 D. －4，－3
解析： 由B.
2. 直线 l 经过原点，且经过另两条直线2 x ＋3 y －1＝0， x －4 y －6＝0
的交点，则直线 l 的方程为（ ）
A. 2 x ＋ y ＝0 B. x ＋2 y ＝0
C. 2 x － y ＝0 D. x －2 y ＝0
解析： 联立方程
2，－1），所以直线的斜率
l 的方程为 y ＝ x ，即 x ＋2 y ＝0.故选B.
题型三 两条直线垂直的判定与应用
【例3】 （1）已知直线 l 过直线 x － y ＋2＝0和2 x ＋ y ＋1＝0的交
点，且与直线 x －3 y ＋2＝0垂直，则直线 l 的方程为（ ）
A. 3 x ＋ y ＋2＝0 B. 3 x － y ＋2＝0
C. x ＋3 y ＋2＝0 D. x －3 y ＋2＝0
解析：联立∴直线 x － y
＋2＝0和2 x ＋ y ＋1＝0的交点为（－1，1），又直线 l 和直线 x
－3 y ＋2＝0垂直，∴直线 l 的斜率为－3.则直线 l 的方程为 y －1
＝－3（ x ＋1），即3 x ＋ y ＋2＝0.故选A.
（2）已知直线 l ： x ＋2 y －1＝0，点 A （ a ，1）， B （2，3），若直
线 AB ⊥ l ，则 a 的值为 .
解析： ∵直线 l ： x ＋2 y －1＝0的斜率为 k ＝ A （ a ，
1）， B （2，3），直线 AB ⊥ l ，∴ kAB · k ＝－1，
·（ ）＝－1，解得 a ＝1.
1
通性通法
判断两直线垂直的方法
（1）若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件， l1⊥ l2 A1 A2
＋ B1 B2＝0判断；
（2）若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件： l1⊥ l2 k1· k2
＝－1判断；
（3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般
式再判断.
【跟踪训练】
1. 已知直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，则 a ＝（ ）
A. 2 B.
C. －2 D.
解析： ∵直线 ax ＋ y ＋5＝0与 x －2 y ＋7＝0垂直，∴－ a ＝－
2，∴ a ＝2.故选A.
2. 已知点 M （1，－2）， N （ m ，2），若线段 MN 的垂直平分线的方
程 y ＝1，则实数 m 的值是 .
解析：由中点坐标公式，得线段 MN 的中点是（ 0）.又点
（ 0）在线段 MN 的垂直平分线上，所 0＝1，所以
m ＝3.
3
1. 直线 x ＋ ay －7＝0与直线（ a ＋1） x ＋2 y －14＝0平行，则 a 的值是
（ ）
A. 1 B. －2
C. 1或－2 D. －1或2
解析： 由已知，得 a （ a ＋1）－2＝0，解得 a ＝－2或 a ＝1.当 a
＝1时，两直线重合，∴ a ＝－2.
2. 若（－1，－2）为直线2 x ＋3 y ＋ a ＝0与直线 bx － y －1＝0的交
点，则 ab 的值为（ ）
A. 8 B. －8
C. 9 D. －9
解析： 由题意得 ab ＝8.
故选A.
3. 过点 A （1，2），且与直线2 x － y ＋3＝0垂直的直线 l 的方程是
（ ）
A. 2 x － y ＝0 B. 2 x ＋ y －4＝0
C. x －2 y ＋3＝0 D. x ＋2 y －5＝0
解析： 2 x － y ＋3＝0的斜率为2，故直线 l 的斜率 A
（1，2），故直线 l 的方程为 y －2＝ x －1），即 x ＋2 y －5＝
0.故选D.
4. （多选）对于以 A （－1，1）， B （2，－1）， C （1，4）为顶点
的三角形，下列说法正确的是（ ）
A. kAB ＝
B. kBC ＝
C. 以 A 点为直角顶点的直角三角形
D. 以 B 点为直角顶点的直角三角形
解析： kAB kBC 5， kAC
∵ kAB · kAC ＝－1，∴ AB ⊥ AC ，∴△ ABC 是以 A 点为直角顶点的直角三角形.故A、C正确，B、D错误.
5. 直线 l1： x ＋ my ＋4＝0与 l2：2 mx ＋3 y ＋ m2＋1＝0垂直，则 m 的值
为 .
解析：由条件可知1×2 m ＋3 m ＝0，解得 m ＝0.
0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 过点（－1，2）且与直线2 x －3 y ＋4＝0平行的直线方程为（ ）
A. 3 x ＋2 y ＋7＝0 B. 3 x ＋2 y －1＝0
C. 2 x －3 y ＋5＝0 D. 2 x －3 y ＋8＝0
解析： 由题可得，设平行于直线2 x －3 y ＋4＝0的直线 l 的方程
为2 x －3 y ＋ c ＝0（ c ≠4），因为直线过点（－1，2），所以－2－
6＋ c ＝0，解得 c ＝8，所以直线 l 的方程为2 x －3 y ＋8＝0.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 两条直线 l1：2 x － y －1＝0与 l2： x ＋3 y －11＝0的交点坐标为
（ ）
A. （－3，－2） B. （－2，－3）
C. （2，3） D. （3，2）
解析： 由 l1与 l2
的交点坐标为（2，3）.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 将一张坐标纸折叠一次，使点 A （2，0）与 B （－6，8）重合，则
折痕所在直线方程是（ ）
A. x － y －6＝0 B. x ＋ y ＋6＝0
C. x ＋ y －6＝0 D. x － y ＋6＝0
解析： 因 2 4，所以线段 AB 的中点坐标为
（－2，4），又 kAB 1，所以折痕所在直线的斜率为1，
故折痕所在直线方程是 y －4＝ x ＋2，即 x － y ＋6＝0.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 经过两直线2 x ＋ y －8＝0与 x －2 y ＋1＝0的交点，且在两坐标轴上
的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A. x ＋ y ＋1＝0或2 x －3 y ＝0
B. x － y －1＝0或2 x －3 y ＝0
C. x － y －1＝0
D. 2 x －3 y ＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由2 x ＋ y －
8＝0与 x －2 y ＋1＝0的交点为（3，2）.当要求的直线经过原点时，
直线的方程为 y x ，即2 x －3 y ＝0.当要求的直线不经过原点时，
设直线的方程 1，把（3，2）代入，可得3－2＝λ，∴λ
＝1，此时，直线的方程为 x － y －1＝0.综上可得，要求的直线方程
为 x － y －1＝0或2 x －3 y ＝0.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移 m 个单
位（ m ∈N*），所得到直线的方程可能为（ ）
A. 3 x － y ＋1＝0 B. x ＋3 y －1＝0
C. x ＋3 y －3＝0 D. x ＋3 y ＋3＝0
解析： ∵直线3 x － y ＝0绕原点逆时针旋转90°，∴直线斜率互
为负倒数，∵直线3 x － y ＝0的斜率为3，∴所求直线的斜率
∵向右平移 m 个单位，∴ y ＝ x － m ），即 x ＋3 y － m ＝
0，又∵ m ∈N*，结合选项可知选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 经过两直线2 x －3 y －3＝0和 x ＋ y ＋2＝0的交点且与直线3 x ＋ y －1
＝0垂直的直线 l 的方程为 .
解析：由方程组
3 x ＋ y －1＝0垂直，故 k ∴直线方程为 y
（ x ），即5 x －15 y －18＝0.
5 x －15 y －18＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 直线 l1， l2的斜率 k1， k2是关于 k 的方程2 k2－4 k ＋ m ＝0的两根，若
l1⊥ l2，则 m ＝ ；若 l1∥ l2，则 m ＝ .
解析：由一元二次方程根与系数的关系得 k1· k2 l1⊥ l2， 1，∴ m ＝－2.若 l1∥ l2则 k1＝ k2，即关于 k 的二次方程2 k2－4
k ＋ m ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2× m ＝0，∴ m
＝2.
－2
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知 A （1，0）， B （3，2）， C （0，4），点 D 满足 AB ⊥ CD ，
且 AD ∥ BC ，则点 D 的坐标为 .
解析：设点 D 的坐标为（ x ， y ），由已知得，直线 AB 的斜率 kAB
＝1，直线 CD 的斜率 kCD CB 的斜率 kCB ＝
AD 的斜率 kAD AB ⊥ CD ，且 AD ∥ BC ，得
D 的坐标为（10，－6）.
（10，－6）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 求 m ， n 的值，使直线 l1： y ＝（ m －1） x － n ＋7满足：
（1）平行于 x 轴；
解：当直线 l1平行于 x 轴时，直线 l1的斜率为0，即 m －1
＝0， m ＝1.
又直线 l1不与 x 轴重合，∴－ n ＋7≠0，即 n ≠7.
综上，当 m ＝1且 n ≠7时，直线 l1平行于 x 轴.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）平行于直线 l2：7 x － y ＋15＝0；
解：将7 x － y ＋15＝0化为斜截式得， y ＝7 x ＋15，∴直
线 l2的斜率 k2＝7，截距 b ＝15，
当 l1∥ l2时，应有直线 l1的斜率 k1＝7且截距 b1≠15，即 m －1
＝7且－ n ＋7≠15，∴ m ＝8，且 n ≠－8.
（3）垂直于直线 l2：7 x － y ＋15＝0.
解：由题意及（2）可得（ m －1）·7＝－1， n ∈R，即
m n ∈R时， l1⊥ l2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 已知直线 l1： x sin α＋ y －1＝0，直线 l2： x －3 y cos α＋1＝0，若
l1⊥ l2，则 sin 2α＝（ ）
A. B.
解析： 直线 l1： x sin α＋ y －1＝0，直线 l2： x －3 y cos α＋1＝
0，若 l1⊥ l2，则 sin α－3 cos α＝0，即tan α 3.所以 sin 2α
＝2 sin α cos α .故选A.
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 已知 a ＞0， b ＞0，直线 l1： x ＋（ a －4） y ＋1＝0， l2：2 bx ＋ y
－2＝0，且 l1⊥ l2，
A. 2 B. 4
C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 因为 l1⊥ l2，所以2 b ＋ a －4＝0，即 a ＋1＋2 b ＝5，因
为 a ＞0， b ＞0，所以 a ＋1＞0，2 b ＞0，所 （ ） a ＋1＋2 b （2 ） （2＋2
） a b .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 直线 l 的倾斜角为30°，点 P （2，1）在直线 l 上，直线 l 绕点 P
（2，1）按逆时针方向旋转30°后到达直线 l1的位置，此时直线 l1
与 l2平行，且 l2是线段 AB 的垂直平分线，其中 A （1， m －1）， B
（ m ，2），试求 m 的值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：如图，直线 l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
∴直线 l1的斜率 k1＝tan 60° .
当 m ＝1时，直线 AB 的斜率不存在，此时 l2的斜
率为0，不满足 l1∥ l2.当 m ≠1时，直线 AB 的斜
率 kAB ∴线段 AB 的垂直平分
线 l2的斜率为 k2 .∵ l1与 l2平行，∴ k1＝
k2， m ＝4 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任
意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线
为欧拉线.已知△ ABC 的顶点分别为 A （1，3）， B （2，4）， C
（3，2），则△ ABC 的欧拉线方程为（ ）
A. x ＋ y －5＝0 B. x ＋ y ＋5＝0
C. x － y ＋1＝0 D. 2 x ＋ y －7＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由题可知，△ ABC 的重心为 G （2，3），可得直线 AB
的斜率 1，则 AB 边上高所在的直线斜率为－1，则方程为
y ＝－ x ＋5，直线 AC 的斜率 AC 边上高所在的直
线斜率为2，则方程为 y ＝2 x ，联立方程△
ABC 的垂心为 H （ ），则直线 GH 斜率 1，则可
得直线 GH 方程为 y －3＝－（ x －2），故△ ABC 的欧拉线方程为 x
＋ y －5＝0.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 已知△ ABC 的顶点 A （3，－1）， AB 边上的中线所在直线的方程
为6 x ＋10 y －59＝0，∠ B 的平分线所在直线的方程为 x －4 y ＋10
＝0，求 BC 边所在直线的方程.
解：设 A 关于∠ B 的平分线的对称点为A'（ x0， y0），
则
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解得A'（1，7）.
设 B 的坐标为（4 a －10， a ），所以 AB 的中点（ ）在
直线6 x ＋10 y －59＝0上，
所以6 10 59＝0，
所以 a ＝5，
即 B （10，5）.又因为点 C 在直线A'B上，由直线的两点式方程可
得直线 BC 的方程为2 x ＋9 y －65＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
