2.2.4 点到直线的距离
1.点P（1，－1）到直线l：3y＝2的距离是（ ）
A.3 B.
C.1 D.
2.已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则｜PQ｜的最小值为（ ）
A.3 B.
C. D.
3.已知斜率为1的直线l过直线3x－y＋1＝0与2x＋y－6＝0交点，则原点到直线l的距离为（ ）
A. B.2
C.1 D.2
4.若动直线l经过点P（1，3），当点Q（3，－3）到直线l的距离最远时，直线l的方程为（ ）
A.3x＋y－6＝0 B.3x＋y＋6＝0
C.x－3y＋8＝0 D.x＋3y－10＝0
5.（多选）已知直线l过点P（3，4）且与点A（－2，2），B（4，－2）等距离，则直线l的方程可能是（ ）
A.x＋2y＋2＝0
B.2x－y－2＝0
C.2x＋3y－18＝0
D.3x－2y＋18＝0
6.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 .
7.已知m，n满足m＋n＝1，则点（1，1）到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为 .
8.平行四边形ABCD的边AB和BC所在的直线方程分别是x＋y－1＝0，3x－y＋4＝0，对角线的交点是M（3，3），则平行四边形ABCD的面积为 .
9.已知直线l过点P（0，1），且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分.
（1）求直线l的方程；
（2）设点D（0，m），且AD∥l1，求△ABD的面积.
10.原点到直线l：3x＋4y－2＋λ（2x＋y＋2）＝0的距离的最大值为（ ）
A. B.2
C. D.
11.直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若A，B两点的坐标分别为（－4，2），（3，1），则点C的坐标为 .
12.在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得：
（1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差最大；
（2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小.
13.若恰有三组不全为0的实数对（a，b）满足关系式｜3a＋1｜＝｜4b＋1｜＝t，则实数t的所有可能的值为 .
14.已知点P（2，－1）.
（1）求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
（2）求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，并求出最大距离；
（3）是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
2.2.4 点到直线的距离
1.B 点P（1，－1）到直线l的距离d＝＝，故选B.
2.B 由于所给的两条直线平行，所以｜PQ｜的最小值就是这两条平行直线间的距离.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝，即｜PQ｜的最小值为.
3.A 联立解得又直线斜率为1，∴直线l的方程为y＝x＋3，即x－y＋3＝0，∴原点到直线l的距离为＝.故选A.
4.C ∵直线l经过P（1，3），∴当Q（3，－3）与直线l的距离最远时有PQ⊥l，则PQ的斜率等于＝－3，故直线l的斜率等于，用点斜式求得直线l的方程为y－3＝（x－1），即x－3y＋8＝0.故选C.
5.BC 设所求直线的方程为y－4＝k（x－3），即kx－y－3k＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得＝，解得k＝－或k＝2，即所求直线方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0，故选B、C.
6.3 解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0（m≠－7且m≠－5），根据平行线间的距离公式，得＝ ｜m＋7｜＝｜m＋5｜ m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.
7. 解析：∵m＋n＝1，∴直线mx－y＋2n＝0恒过定点（2，2），∴点（1，1）到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为点（1，1）和（2，2）两点间的距离d＝＝.
8.50 解析：设直线CD为x＋y＋m＝0，M到直线CD的距离d等于M到直线AB的距离，所以d＝＝，解得m＝－11或m＝－1（舍去）.即m＝－11.直线CD为x＋y－11＝0.由得即B.由得即C，所以｜BC｜＝.M到BC的距离为h1＝＝，所以S＝｜BC｜·2h1＝×2×＝50.
9.解：（1）∵点B在直线l1上，∴可设B（a，8－2a）.
又P（0，1）是AB的中点，∴A（－a，2a－6）.
∵点A在直线l2上，∴－a－3（2a－6）＋10＝0，
解得a＝4，即B（4，0）.
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
（2）由（1）知A（－4，2）.
又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离d＝＝，
｜AD｜＝＝4，
∴S△ABD＝｜AD｜·d＝×4×＝28.
10.B 由可得所以直线l过定点A（－2，2），所以原点与点A（－2，2）的连线垂直于直线l，即点A（－2，2）为垂足时，原点到直线l的距离最大，所以原点到直线l距离最大值为｜OA｜＝＝2，故选B.
11.（2，4） 解析：易知点A，B不在直线y＝2x上，因此直线y＝2x为∠C的平分线所在的直线.
设点A（－4，2）关于y＝2x的对称点为A'（a，b），则kAA'＝，线段AA'的中点的坐标为，则解得即A'（4，－2）.
∵y＝2x是∠C的平分线所在的直线，
∴点A'在直线BC上，直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.
由得故点C的坐标为（2，4）.
12.解：（1）如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），连接BB'，
则kBB'·kl＝－1，即×1＝－1，
∴a＋b－4＝0. ①
∵BB'的中点在直线l上，
∴－－1＝0，即a－b－6＝0. ②
由①②得∴点B'的坐标为（5，－1）.
于是AB'所在直线的方程为＝，
即2x＋y－9＝0.
易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜，且当P，B'，A三点共线时｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.
∴联立直线l与AB'的方程，解得x＝，y＝，
即l与AB'的交点坐标为.故点P的坐标为.
（2）如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为（1，2），∴AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，且当Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.
∴联立直线AC'与l的方程，解得x＝，y＝，
即AC'与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.
13. 解析：由己知可得t＞0，整理可得t＝＝，看成恰有三条直线满足A（3，0），B（0，4）到直线ax＋by＋1＝0（不过原点）的距离相等，｜AB｜＝＝5，t∈.（1）当t＝｜AB｜＝时，直线l为AB的垂直平分线6x－8y＋7＝0，符合题意.与直线AB平行的两条直线为8x＋6y＋1＝0和8x＋6y－49＝0.（2）当t＜｜AB｜＝时，有4条直线l会使A，B到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作为增根舍去.设A到直线l的距离为d，若t＝d＝＜，若直线l过AB的中点，A到直线l的距离为，其一方程为4x－3y＝0，故舍去.若过原点且以为方向向量，到直线AB的距离为，其一方程为4x＋3y＝0，故舍去.所以t＝时，有2条直线符合条件.而当t∈∪时，有4条；综上可得，满足题意的t为.
14.解：（1）过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为（2，－1），显然，过点P（2，－1）且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k（x－2），
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.
综上可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
（2）作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图.
由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，
因为kOP＝－，所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2（x－2），即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
（3）由（2）可知，过点P不存在与原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且与原点的距离为6的直线.
2 / 22.2.4 点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 直观想象、数学运算
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.
【问题】 （1）平面直角坐标系中，若P（x0，y0），则P到x轴，y轴的距离分别是多少？
（2）若已知直线l的方程和点P的坐标（x0，y0），如何求P到直线l的距离？
知识点 点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度
公式 点P0（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0（C1≠C2）之间的距离d＝
提醒 （1）已知点P（x0，y0）及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离｜PQ｜等于两点间距离｜PM｜的最小值.
（2）点到直线距离的向量表示：
如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离｜｜＝｜·n｜.
【想一想】
1.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
2.在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为（ ）
A.1 B. C.2 D.
2.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为（ ）
A.1 B. C. D.2
3.若点A（－2，m）和B（m，4）到直线x－y－3＝0的距离相等，则m＝ .
题型一 点到直线的距离
【例1】 （链接教科书第99页例1）已知点A（2，1），B（3，4），C（－2，－1），求△ABC的面积.
尝试解答
通性通法
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
（2）点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
（3）直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【跟踪训练】
1.点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）距离的最大值为（ ）
A.1 B.
C. D.2
2.已知点A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为 .
题型二 两平行线间的距离
【例2】 （1）已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－（m＋1）y＋1－m＝0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）若直线l1：x＋2y－3＝0与直线l2：2x＋4y＋a＝0之间的距离为，则实数a＝ .
尝试解答
通性通法
1.使用两平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离.
2.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来求两直线间的距离.
（1）两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝｜x2－x1｜；
（2）两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝｜y2－y1｜.
【跟踪训练】
1.已知A（－1，2），B（3，5），则与直线AB平行且距离为2的直线方程为（ ）
A.3x－4y＋21＝0
B.3x－4y－1＝0
C.3x－4y＋21＝0或3x－4y＋1＝0
D.3x－4y－21＝0或3x－4y－1＝0
2.已知两平行直线l1，l2分别过点P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是（ ）
A.（0，＋∞） B.[0，5]
C.（0，5] D.[0，]
题型三 距离的综合应用
【例3】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程.
尝试解答
通性通法
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.
【跟踪训练】
1.已知△ABC中，点A（1，1），B（4，2），C（－4，6）.则△ABC的面积为 .
2.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，则｜c1－c2｜＝ .
1.点（0，－1）到直线y＝x＋1的距离为（ ）
A.1 B. C. D.2
2.两平行直线l1：x－2y－＝0，l2：2x－4y＋3＝0之间的距离为（ ）
A. B.3 C. D.2
3.过点A（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A.x＋2y－5＝0 B.2x＋y－4＝0
C.x＋3y－7＝0 D.x＋3y－5＝0
4.（多选）与两平行直线l1：3x－4y－5＝0和l2：3x－4y＋7＝0距离之比为1∶2的直线方程为（ ）
A.3x－4y－1＝0
B.3x－4y＋3＝0
C.3x－4y－17＝0
D.3x－4y＋19＝0
5.在直线x＋2y＝0上找一点P，使它到原点的距离与到直线x＋2y－3＝0的距离相等，则点P的坐标为 .
2.2.4 点到直线的距离
【基础知识·重落实】
知识点
想一想
1.提示：直线方程为一般式.
2.提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同.
自我诊断
1.D d＝＝.
2.B 由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.
3.1 解析：由题意，可列式＝，得｜m＋5｜＝｜m－7｜，解得m＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：设AB边上的高为h，则S△ABC＝｜AB｜·h.
｜AB｜＝＝.
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离.
AB边所在直线的方程为＝，
即3x－y－5＝0.
点C（－2，－1）到直线3x－y－5＝0的距离h＝＝，所以S△ABC＝｜AB｜·h＝××＝5.
跟踪训练
1.B 法一 由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离d＝＝＝＝.当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴当k＝1时，dmax＝，故选B.
法二 记点A（0，－1），直线y＝k（x＋1）恒过点B（－1，0），当AB垂直于直线y＝k（x＋1）时，点A（0，－1）到直线y＝k（x＋1）的距离最大，且最大值为｜AB｜＝，故选B.
2.－2或－1 解析：∵A（1，－2），B（5，6）到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，∴＝，解得a＝－2或a＝－1.
【例2】 （1）B （2）4或－16 解析：（1）∵直线l1与l2平行，∴＝≠，解得m＝7.∴l2的方程为3x－4y－3＝0，∴l1与l2之间的距离d＝＝2.故选B.
（2）把l1：x＋2y－3＝0变形为l1：2x＋4y－6＝0，则＝，解得a＝4或－16.
跟踪训练
1.C 由题意得kAB＝＝，直线AB的方程为y－2＝（x＋1），即3x－4y＋11＝0，设所求直线的方程为3x－4y＋m＝0（m≠11），则＝2，解得m＝1或m＝21，∴所求直线的方程为3x－4y＋1＝0或3x－4y＋21＝0.故选C.
2.C 当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d＝＝5，∴0＜d≤5.
【例3】 解：设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0（c≠－5）.由得正方形的中心坐标为P（－1，0），
由点P到两直线l，l1的距离相等，
得＝，得c＝7或c＝－5（舍去）.
∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，
得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
跟踪训练
1.10 解析：由两点式得直线BC的方程为＝，即为x＋2y－8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，∴△ABC的面积为×4×＝10.
2.2 解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所以＝，解得｜c1－c2｜＝2.
随堂检测
1.B （0，－1）到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，故选B.
2.A 直线l1：x－2y－＝0 l1：2x－4y－2＝0，两平行直线之间的距离为d＝＝.故选A.
3.A 设所求直线斜率为k，因为所求直线过点A（1，2）且与原点距离最大，则k×＝－1，解得k＝－，又因为其经过点A（1，2），故其方程为y－2＝－（x－1），整理得x＋2y－5＝0.故选A.
4.AC 设所求直线方程为3x－4y＋C＝0（C≠－5且C≠7）.∴由题意可得∶＝1∶2.∴｜C－7｜＝2｜C＋5｜.∴C＝－1或－17.∴所求的直线方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－17＝0.
5.或 解析：设点P的坐标为（－2t，t），则＝，解得t＝±.∴点P的坐标为P或P.
1 / 3(共66张PPT)
22.2.4 点到直线的距离
新课程标准解读 核心素养
探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平
行直线间的距离 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起
来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直
线 l ，仓库看作点 P .
【问题】 （1）平面直角坐标系中，若 P （ x0， y0），则 P 到 x 轴， y
轴的距离分别是多少？
（2）若已知直线 l 的方程和点 P 的坐标（ x0， y0），如何求 P 到直线 l
的距离？
知识点 点到直线的距离与两条平行线间的距离
点到直线的距离 两条平行直线间的距离
定
义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线
段的长度
公
式 点 P0（ x0， y0）到直线 l ： Ax ＋ By
＋ C ＝0的距离 d ＝ 两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋
C1＝0与 l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0
（ C1≠ C2）之间的距离
d ＝
提醒 （1）已知点 P （ x0， y0）及直线 l 上任意一点 M ，那么点 P 到
直线 l 的距离｜ PQ ｜等于两点间距离｜ PM ｜的最小值.
（2）点到直线距离的向量表示：
如图，设 n 为过点 P 且垂直于 l 的单位向量， 就是 在 n 上
的投影向量，点 P 到直线 l 的距离｜ ｜＝｜ · n ｜.
【想一想】
1. 在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：直线方程为一般式.
2. 在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
提示：两直线的方程为一般式且 x ， y 的系数分别相同.
1. 原点到直线 x ＋2 y －5＝0的距离为（ ）
A. 1 B.
C. 2 D.
解析： d .
2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1， l2之间的距离
为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
解析： 由题意知 l1， l2平行，则 l1∥ l2之间两直线的距离
.
3. 若点 A （－2， m ）和 B （ m ，4）到直线 x － y －3＝0的距离相等，
则 m ＝ .
解析：由题意，可列 ｜ m ＋5｜
＝｜ m －7｜，解得 m ＝1.
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型
一 点到直线的距离
【例1】 （链接教科书第99页例1）已知点 A （2，1）， B （3，
4）， C （－2，－1），求△ ABC 的面积.
解：设 AB 边上的高为 h ，则 S△ ABC ｜ AB ｜· h .
｜ AB ｜ .
AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.
AB 边所在直线的方程
即3 x － y －5＝0.
点 C （－2，－1）到直线3 x － y －5＝0的距离 h
S△ ABC ｜ AB ｜· h 5.
通性通法
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；
（2）点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；
（3）直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0中， A ＝0或 B ＝0公式也成立，但由于
直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【跟踪训练】
1. 点（0，－1）到直线 y ＝ k （ x ＋1）距离的最大值为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
解析： 法一 由点到直线的距离公式知点（0，－1）到直线 y
＝ k （ x ＋1）的距离 d
.当 k ＝0时， d ＝1；当 k ≠0时， d
d 最大，需 k ＞0且 k ∴当 k ＝1时， dmax
B.
法二 记点 A （0，－1），直线 y ＝ k （ x ＋1）恒过点 B （－1，
0），当 AB 垂直于直线 y ＝ k （ x ＋1）时，点 A （0，－1）到直线 y ＝
k （ x ＋1）的距离最大，且最大值为｜ AB ｜ B.
2. 已知点 A （1，－2）， B （5，6）到直线 l ： ax ＋ y ＋1＝0的距离相
等，则实数 a 的值为 .
解析：∵ A （1，－2）， B （5，6）到直线 l ： ax ＋ y ＋1＝0的距离
相等，∴ a ＝－2或 a ＝－1.
－2或－1
题型二 两平行线间的距离
【例2】 （1）已知直线 l1：3 x －4 y ＋7＝0与直线 l2：6 x －（ m ＋
1） y ＋1－ m ＝0平行，则 l1与 l2之间的距离为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
答案： B
（2）若直线 l1： x ＋2 y －3＝0与直线 l2：2 x ＋4 y ＋ a ＝0之间的距离
a ＝ .
解析：（1）∵直线 l1与 l2平行，∴ m ＝
7.∴ l2的方程为3 x －4 y －3＝0，∴ l1与 l2之间的距离 d
2.故选B.
（2）把 l1： x ＋2 y －3＝0变形为 l1：2 x ＋4 y －6＝0，
a ＝4或－16.
4或－16
通性通法
1. 使用两平行直线间的距离公式时，直线的方程必须化为一般式，而
且方程中 x ， y 的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先
将系数化为相等后再求距离.
2. 当两条直线都与 x 轴（或 y 轴）垂直时，可利用数形结合来求两直
线间的距离.
（1）两条直线都与 x 轴垂直时， l1： x ＝ x1， l2： x ＝ x2，则 d ＝｜
x2－ x1｜；
（2）两条直线都与 y 轴垂直时， l1： y ＝ y1， l2： y ＝ y2，则 d ＝｜
y2－ y1｜.
【跟踪训练】
1. 已知 A （－1，2）， B （3，5），则与直线 AB 平行且距离为2的直
线方程为（ ）
A. 3 x －4 y ＋21＝0
B. 3 x －4 y －1＝0
C. 3 x －4 y ＋21＝0或3 x －4 y ＋1＝0
D. 3 x －4 y －21＝0或3 x －4 y －1＝0
解析： 由题意得 kAB AB 的方程为 y －2 x
＋1），即3 x －4 y ＋11＝0，设所求直线的方程为3 x －4 y ＋ m ＝0
（ m ≠11）， 2，解得 m ＝1或 m ＝21，∴所求直
线的方程为3 x －4 y ＋1＝0或3 x －4 y ＋21＝0.故选C.
2. 已知两平行直线 l1， l2分别过点 P （－1，3）， Q （2，－1），它
们分别绕 P ， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间的距离的取
值范围是（ ）
A. （0，＋∞） B. [0，5]
C. （0，5] D. [0
解析： 当直线 l1， l2与直线 PQ 垂直时，它们之间的距离 d 达到
最大，此时 d 5，∴0＜ d ≤5.
题型三 距离的综合应用
【例3】 已知正方形的中心为直线2 x － y ＋2＝0， x ＋ y ＋1＝0的交
点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x ＋3 y －5＝0，求正方形其他
三边所在直线的方程.
解：设与直线 l ： x ＋3 y －5＝0平行的边所在的直线方程为 l1： x ＋3 y
＋ c ＝0（ c ≠－5）.由 P
（－1，0），
由点 P 到两直线 l ， l1的距离相等，
c ＝7或 c ＝－5（舍去）.
∴ l1： x ＋3 y ＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与 l 垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3 x － y ＋ a ＝0，3 x － y ＋ b ＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴
得 a ＝9或 a ＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0，3 x － y －3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0， x ＋3 y ＋7＝0，3 x －
y －3＝0.
通性通法
利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，
需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法
的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可
构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题.
【跟踪训练】
1. 已知△ ABC 中，点 A （1，1）， B （4，2）， C （－4，6）.则△
ABC 的面积为 .
解析：由两点式得直线 BC 的方程 x ＋2 y －8＝
0，由点 A 到直线的距离公式得 BC 边上的高 d
BC 两点之间的距离 4 ∴△ ABC
的面积 4 10.
10
2. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为 x
＋2 y ＋1＝0和 x ＋2 y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3 x
－4 y ＋ c1＝0和3 x －4 y ＋ c2＝0，则｜ c1－ c2｜＝ .
解析：由题意得，菱形两组对边间的距离相等，所
｜ c1－ c2｜＝2 .
2
1. 点（0，－1）到直线 y ＝ x ＋1的距离为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
解析： （0，－1）到直线 y ＝ x ＋1的距离为 d
B.
2. 两平行直线 l1： x －2 y 0， l2：2 x －4 y ＋3 0之间的距
离为（ ）
A. B. 3
C. D. 2
解析： 直线 l1： x －2 y 0 l1：2 x －4 y －2 0，两
平行直线之间的距离为 d .故选A.
3. 过点 A （1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. x ＋2 y －5＝0 B. 2 x ＋ y －4＝0
C. x ＋3 y －7＝0 D. x ＋3 y －5＝0
解析： 设所求直线斜率为 k ，因为所求直线过点 A （1，2）且与
原点距离最大，则 k 1，解得 k ＝ A
（1，2），故其方程为 y －2＝ x －1），整理得 x ＋2 y －5＝0.
故选A.
4. （多选）与两平行直线 l1：3 x －4 y －5＝0和 l2：3 x －4 y ＋7＝0距离
之比为1∶2的直线方程为（ ）
A. 3 x －4 y －1＝0 B. 3 x －4 y ＋3＝0
C. 3 x －4 y －17＝0 D. 3 x －4 y ＋19＝0
解析：C 设所求直线方程为3 x －4 y ＋ C ＝0（ C ≠－5且 C
≠7）.∴由题意可 ∶ 1∶2.∴｜ C －7｜＝2｜
C ＋5｜.∴ C ＝－1或－17.∴所求的直线方程为3 x －4 y －1＝0或3 x
－4 y －17＝0.
5. 在直线 x ＋2 y ＝0上找一点 P ，使它到原点的距离与到直线 x ＋2 y －
3＝0的距离相等，则点 P 的坐标为 .
解析：设点 P 的坐标为（－2 t ， t ），
t ＝ .∴点 P 的坐标为 P （ ）或 P （
）.
（ ）或（ ）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（ ）
A. 3 B.
C. 1 D.
解析：点 P （1，－1）到直线 l 的距离 d B.
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2. 已知 P ， Q 分别是直线3 x ＋4 y －5＝0与6 x ＋8 y ＋5＝0上的动点，
则｜ PQ ｜的最小值为（ ）
A. 3 B. C. D.
解析： 由于所给的两条直线平行，所以｜ PQ ｜的最小值就是这
两条平行直线间的距离.由两条平行直线间的距离公式，得 d ｜ PQ ｜的最小值 .
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3. 已知斜率为1的直线 l 过直线3 x － y ＋1＝0与2 x ＋ y －6＝0交点，则
原点到直线 l 的距离为（ ）
A. B. 2
C. 1 D. 2
解析： 联立1，
∴直线 l 的方程为 y ＝ x ＋3，即 x － y ＋3＝0，∴原点到直线 l 的距
离 .故选A.
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4. 若动直线 l 经过点 P （1，3），当点 Q （3，－3）到直线 l 的距离最
远时，直线 l 的方程为（ ）
A. 3 x ＋ y －6＝0 B. 3 x ＋ y ＋6＝0
C. x －3 y ＋8＝0 D. x ＋3 y －10＝0
解析： ∵直线 l 经过 P （1，3），∴当 Q （3，－3）与直线 l 的
距离最远时有 PQ ⊥ l ，则 PQ 的斜率等 3，故直线 l 的斜
率等 l 的方程为 y －3 x －1），即 x
－3 y ＋8＝0.故选C.
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5. （多选）已知直线 l 过点 P （3，4）且与点 A （－2，2）， B （4，
－2）等距离，则直线 l 的方程可能是（ ）
A. x ＋2 y ＋2＝0 B. 2 x － y －2＝0
C. 2 x ＋3 y －18＝0 D. 3 x －2 y ＋18＝0
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解析： 设所求直线的方程为 y －4＝ k （ x －3），即 kx － y －3
k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可 k ＝ k ＝2，即所求直线方程为2 x － y －2
＝0或2 x ＋3 y －18＝0，故选B、C.
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6. 若动点 A ， B 分别在直线 l1： x ＋ y －7＝0和 l2： x ＋ y －5＝0上，则
AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 .
解析：依题意，知 l1∥ l2，故点 M 所在的直线平行于 l1和 l2，可设点
M 所在直线的方程为 l ： x ＋ y ＋ m ＝0（ m ≠－7且 m ≠－5），根据
平行线间的距离公式， ｜ m ＋7｜＝｜ m
＋5｜ m ＝－6，即 l ： x ＋ y －6＝0，根据点到直线的距离公式，
得点 M 到原点的距离的最小值 3 .
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7. 已知 m ， n 满足 m ＋ n ＝1，则点（1，1）到直线 mx － y ＋2 n ＝0的
距离的最大值为 .
解析：∵ m ＋ n ＝1，∴直线 mx － y ＋2 n ＝0恒过定点（2，2），
∴点（1，1）到直线 mx － y ＋2 n ＝0的距离的最大值为点（1，1）
和（2，2）两点间的距离 d .
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8. 平行四边形 ABCD 的边 AB 和 BC 所在的直线方程分别是 x ＋ y －1＝
0，3 x － y ＋4＝0，对角线的交点是 M （3，3），则平行四边形
ABCD 的面积为 .
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解析：设直线 CD 为 x ＋ y ＋ m ＝0， M 到直线 CD 的距离 d 等于 M 到
直线 AB 的距离，所以 d m ＝－11或 m ＝－
1（舍去）.
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即 m ＝－11.直线 CD 为 x ＋ y －11＝0.由 B （ ）.由
C （ ），所以｜ BC ｜ . M 到 BC 的距离为 h1 S ＝｜ BC ｜·2 h1 2 50.
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9. 已知直线 l 过点 P （0，1），且分别与直线 l1：2 x ＋ y －8＝0和 l2：
x －3 y ＋10＝0交于 B ， A 两点，线段 AB 恰被点 P 平分.
（1）求直线 l 的方程；
解：∵点 B 在直线 l1上，∴可设 B （ a ，8－2 a ）.
又 P （0，1）是 AB 的中点，∴ A （－ a ，2 a －6）.
∵点 A 在直线 l2上，∴－ a －3（2 a －6）＋10＝0，
解得 a ＝4，即 B （4，0）.
故直线 l 的方程是 x ＋4 y －4＝0.
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（2）设点 D （0， m ），且 AD ∥ l1，求△ ABD 的面积.
解：由（1）知 A （－4，2）.
又 AD ∥ l1，∴ kAD 2，∴ m ＝－6.
点 A 到直线 l1的距离 d
｜ AD ｜ 4
∴ S△ ABD ｜ AD ｜· d 4 28.
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10. 原点到直线 l ：3 x ＋4 y －2＋λ（2 x ＋ y ＋2）＝0的距离的最大值为
（ ）
A. B. 2
C. D.
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解析： 由 l 过定
点 A （－2，2），所以原点与点 A （－2，2）的连线垂直于直线
l ，即点 A （－2，2）为垂足时，原点到直线 l 的距离最大，所以原
点到直线 l 距离最大值为｜ OA ｜ 2
B.
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11. 直线 y ＝2 x 是△ ABC 的一个内角平分线所在的直线，若 A ， B 两点
的坐标分别为（－4，2），（3，1），则点 C 的坐标为
.
解析：易知点 A ， B 不在直线 y ＝2 x 上，因此直线 y ＝2 x 为∠ C 的
平分线所在的直线.设点 A （－4，2）关于 y ＝2 x 的对称点为A'
（ a ， b ），则 kAA' AA'的中点的坐标为（
），则
（2，
4）
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解得A'（4，－2）.
∵ y ＝2 x 是∠ C 的平分线所在的直线，
∴点A'在直线 BC 上，直线 BC 的方程 3 x ＋ y －10
＝0.
由 C 的坐标为（2，4）.
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12. 在直线 l ： x － y －1＝0上求两点 P ， Q ，使得：
（1） P 到 A （4，1）与 B （0，4）的距离之差最大；
解：如图，设点 B 关于 l 的对称点B'
的坐标为（ a ， b ），连接BB'，
则 kBB'· kl ＝－1， 1＝－1，
∴ a ＋ b －4＝0. ①
∵BB'的中点（ ）在直线 l 上，
∴ 1＝0，即 a － b －6＝0. ②
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由①②得∴点B'的坐标为（5，－1）.
于是AB'所在直线的方程 2 x ＋ y －9＝0.
易知｜｜ PB ｜－｜ PA ｜｜＝｜｜PB'｜－｜ PA ｜｜，且当 P ，B'， A 三点共线时｜｜PB'｜－｜ PA ｜｜最大.
∴联立直线 l 与AB'的方程，解得 x y
即 l 与AB'的交点坐标为（ ）.故点 P 的坐标为（ ）.
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（2） Q 到 A （4，1）与 C （3，0）的距离之和最小.
解：如图，设点 C 关于 l 的对称
点为C'，可求得C'的坐标为（1，
2），∴AC'所在直线的方程为 x ＋3 y
－7＝0.
易知｜ QA ｜＋｜ QC ｜＝｜ QA ｜＋｜QC'｜，且当 Q ， A ，C'三点共线时，｜ QA ｜＋｜QC'｜最小.
∴联立直线AC'与 l 的方程，解得 x y
即AC'与 l 的交点坐标为（ ）.故点 Q 的坐标为（ ）.
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13. 若恰有三组不全为0的实数对（ a ， b ）满足关系式｜3 a ＋1｜＝｜
4 b ＋1｜＝ t t 的所有可能的值为 .
解析：由己知可得 t ＞0，整理可得 t A （3，0）， B （0，4）到直线
ax ＋ by ＋1＝0（不过原点）的距离相等，｜ AB ｜ 5， t ∈（0 ］.
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（1）当 t ｜ AB ｜ l 为 AB 的垂直平分线6 x －8 y ＋7＝
0，符合题意.与直线 AB 平行的两条直线为8 x ＋6 y ＋1＝0和8 x ＋6 y －
49＝0.（2）当 t ｜ AB ｜ 4条直线 l 会使 A ， B 到它们的
距离相等，注意到 l 不过原点，所以当其中一条直线经过原点，会作
为增根舍去.设 A 到直线 l 的距离为 d ，若 t ＝ d l 过
AB 的中点（ 2）， A 到直线 l 的距离 4 x －3 y ＝
0，故舍去.
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若过原点且 AB 的距离 4
x ＋3 y ＝0，故舍去.所以 t 2条直线符合条件.而当 t ∈（0 ）∪（ ）时，有4条；综上可得，满足题意的 t .
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14. 已知点 P （2，－1）.
（1）求过点 P 且与原点的距离为2的直线 l 的方程；
解：过点 P 的直线 l 与原点的距离为2，而点 P 的坐标为
（2，－1），显然，过点 P （2，－1）且垂直于 x 轴的直线
满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.
若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝ k （ x －2），
即 kx － y －2 k －1＝0.
由已知 2，解得 k .
此时直线 l 的方程为3 x －4 y －10＝0.
综上可得直线 l 的方程为 x ＝2或3 x －4 y －10＝0.
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（2）求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，并求出最大
距离；
解：作图可得过点 P 与原点 O 的距
离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直
线，如图.
由 l ⊥ OP ，得 kl · kOP ＝－1，
因为 kOP ＝
所以 kl ＝ 2.
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由直线方程的点斜式得 y ＋1＝2（ x －2），
即2 x － y －5＝0.
所以直线2 x － y －5＝0是过点 P 且与原点 O 的距离
最大的直线，最大距离 .
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（3）是否存在过点 P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出
方程；若不存在，请说明理由.
解：由（2）可知，过点 P 不存在与原点的距离超 P 且与原点的距离为6的直线.
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谢 谢 观 看！
