2.3.1 圆的标准方程
1.圆C：（x－2）2＋（y＋1）2＝3的圆心坐标为（ ）
A.（2，1） B.（2，－1）
C.（－2，1） D.（－2，－1）
2.已知圆C的圆心为（2，－3），且过点（0，0），则圆的方程为（ ）
A.（x＋2）2＋（y－3）2＝5
B.（x－2）2＋（y＋3）2＝5
C.（x＋2）2＋（y－3）2＝13
D.（x－2）2＋（y＋3）2＝13
3.方程（x＋a）2＋（y－a）2＝2a2（a≠0）表示的圆（ ）
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于直线x－y＝0对称
D.关于直线x＋y＝0对称
4.已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9与圆C2关于x轴对称，则C2的方程为（ ）
A.（x－1）2＋（y＋2）2＝9
B.（x＋1）2＋（y－2）2＝9
C.（x＋1）2＋（y＋2）2＝9
D.（x－2）2＋（y－1）2＝9
5.（多选）过点A（1，－1）与B（－1，1）且半径为2的圆的方程可以为（ ）
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4
B.（x－1）2＋（y－1）2＝4
C.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
D.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
6.圆（x－1）2＋y2－a2＝0的半径是 .
7.已知半径为1的圆C关于直线2x－y－4＝0对称，写出圆C的一个标准方程 .
8.方程｜y｜－1＝所表示的曲线的长度是 .
9.已知圆过点A（1，－2），B（－1，4）.
（1）求周长最小的圆的方程；
（2）求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程.
10.若直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝25的周长，则＋的最小值为 .
11.已知两点A（－1，0），B（0，2），点P是圆（x－1）2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值为 ，最小值为 .
12.已知圆C过直线x＋y－1＝0和2x－3y＋8＝0的交点P及Q（3，－4），圆C的面积存在最小值吗？若存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，若不存在，请说明理由.
13.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是 .
14.已知圆C经过点A（1，1）和点B（2，－2），且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）若与直线l平行的一条直线与圆C相交于M，N两点，求△CMN面积的最大值.
2.3.1 圆的标准方程
1.B 结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为（2，－1）.
2.D 根据题意可设圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2（r＞0），因为圆C过点（0，0），所以（0－2）2＋（0＋3）2＝r2，解得r2＝13，所以圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.故选D.
3.D 易得圆心C（－a，a），即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D.
4.A 圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝9的圆心（1，2）关于x轴对称的点（1，－2），故圆C2的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.故选A.
5.BC 因为圆过点A（1，－1）与B（－1，1），所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中kAB＝＝－1，设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1，又因为A（1，－1）与B（－1，1）的中点坐标为（0，0），所以直线l为y＝x，设圆心坐标为（m，m），因为半径为2，所以圆的方程为（x－m）2＋（y－m）2＝4，代入A（1，－1）得（1－m）2＋（－1－m）2＝4，解得m＝±1，综上圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4或（x＋1）2＋（y＋1）2＝4.故选B、C.
6.｜a｜ 解析：由（x－1）2＋y2－a2＝0，即（x－1）2＋y2＝a2，所以圆的半径为｜a｜.
7.（x－2）2＋y2＝1（答案不唯一）
解析：由题可知，圆C关于直线2x－y－4＝0对称，半径为1，则圆心C在直线2x－y－4＝0上，则当x＝2时，y＝0，所以当圆心C为（2，0）时，圆C的标准方程为（x－2）2＋y2＝1.
8.2π 解析：由｜y｜－1＝，得｜y｜－1≥0，所以y≥1或y≤－1.将原式变形可得（x－2）2＋（｜y｜－1）2＝3，所以曲线为两个半圆，半径为，所以曲线的长度为C＝2π×＝2π.
9.解：（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点（0，1），半径r＝｜AB｜＝.
则所求圆的方程为x2＋（y－1）2＝10.
（2）法一 直线AB的斜率k＝＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C（3，2）.
∴r2＝｜AC｜2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圆的方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20.
法二 设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
则
∴所求圆的方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20.
10.5 解析：∵直线l：ax＋by－5＝0（ab＞0）始终平分圆C：（x－3）2＋（y－2）2＝25的周长，∴圆心C（3，2）在直线l上，可得3a＋2b＝5，又ab＞0，∴a＞0，b＞0，则＋＝（3a＋2b）＝≥＝5，当且仅当a＝b＝1时等号成立.∴＋的最小值为5.
11.（4＋） （4－） 解析：点A（－1，0），B（0，2）所在的直线方程为2x－y＋2＝0，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线的距离为＝，又｜AB｜＝，所以△PAB面积的最大值为××＝（4＋），最小值为××＝（4－）.
12.解：联立方程组解得即交点P（－1，2），又因为圆C过点Q（3，－4），所以线段PQ是圆C的弦，此时kPQ＝＝－，线段PQ的中点M（1，－1）.
设圆心的坐标为C（a，b），C在PQ的垂直平分线上.
因为PQ的垂直平分线的方程为y＋1＝（x－1），
即2x－3y－5＝0，
所以2a－3b－5＝0，即a＝，
半径r＝｜PC｜＝＝，
当b＝－1时，r取得最小值，此时a＝＝1.
所以当圆心为C（1，－1），半径r＝时，圆C的面积最小为S＝πr2＝13π，此时，圆C的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝13.
13.t≤－或t≥ 解析：曲线y＝表示x2＋y2＝9（y≥0）的上半圆，t可以看成该上半圆上的动点P（x，y）与定点A（－1，－3）连线的斜率kAP，如图所示，A（－1，－3），B（3，0），C（－3，0），则kAB＝，kAC＝－，AQ⊥x轴，Q点在上半圆上，当动点P由Q点运动到C点时，－∞＜kAP≤kAC，当动点P由B点运动到Q点时，kAB≤kAP＜＋∞，所以t≤－或t≥.
14.解：（1）kAB＝＝－3，AB中点为，AB的垂直平分线为：y＝－，
即y＝x－1，联立方程
解得
即圆心为（－3，－2），r＝＝5，圆C的方程为（x＋3）2＋（y＋2）2＝25.
（2）S＝r2sin∠MCN＝sin∠MCN≤，当∠MCN＝90°时等号成立.
故△CMN面积的最大值为.
2 / 22.3.1 圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程 直观想象、数学运算
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高.
【问题】 （1）游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？
（2）若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点（x，y）的坐标满足什么关系？
知识点 圆的标准方程
1.圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
2.确定圆的要素是 和 ，如图所示.
3.圆的标准方程：圆心为A（a，b），半径长为r的圆的标准方程是 .
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以 为圆心、半径为r的圆.
【想一想】
若点P（x0，y0）在圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上，需要满足（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，那么P在圆C内和圆C外又满足怎样的关系？
1.点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，则a的取值范围是（ ）
A.－1＜a＜1 B.a＜－1
C.a＜－1或a＞1 D.a＞1
2.已知圆的方程：（x－2）2＋（y＋8）2＝9，则圆心坐标 ，半径为 .
3.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是 .
题型一 求圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）求圆心为点C（－2，1），且过点A（2，－2）的圆的方程；
（2）求经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程.
尝试解答
通性通法
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C（a，b）及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.
【跟踪训练】
1.以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A.（x－1）2＋（y－2）2＝10
B.（x－1）2＋（y－2）2＝25
C.（x－1）2＋（y－2）2＝5
D.（x－1）2＋（y－2）2＝100
2.在平面直角坐标系中，已知点A（－4，2）是Rt△OAB的直角顶点，点O是坐标原点，点B在x轴上，则△OAB的外接圆的方程是 .
题型二 点与圆的位置关系
【例2】 （链接教科书第106页练习A3题）已知圆N的标准方程为（x－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）.
（1）若点M（6，9）在圆上，求a的值；
（2）已知点P（3，3）和点Q（5，3），线段PQ（不含端点）与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围.
尝试解答
通性通法
判断点与圆的位置关系的方法
（1）确定圆的方程：化为（x－a）2＋（y－b）2＝r2；
（2）将点的坐标（x0，y0）代入代数式（x－a）2＋（y－b）2，比较代数式的值与r2的大小关系；
（3）下结论：若（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2，表示点在圆上；若（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2，表示点在圆外；若（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2，表示点在圆内.
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内.
【跟踪训练】
若点（4a－1，3a＋2）不在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝25的外部，则a的取值范围是（ ）
A.－＜a＜ B.－1＜a＜1
C.－≤a≤ D.－1≤a≤1
题型三 圆的方程的应用
【例3】 为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形拱桥，河面跨度AB为32米，拱桥顶点C离河面8米.
（1）如果以跨度AB所在直线为x轴，以AB中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利通过这座拱桥，并说出理由.
尝试解答
通性通法
坐标法解决此类问题的“三步曲”
【跟踪训练】
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01 m）.
1.圆心为（－1，0），半径为5的圆的方程是（ ）
A.（x＋1）2＋y2＝ B.（x＋1）2＋y2＝25
C.（x－1）2＋y2＝ D.（x－1）2＋y2＝25
2.点P（a，10）与圆（x－1）2＋（y－1）2＝2的位置关系是（ ）
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.不确定
3.若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.（多选）已知圆的方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则下列坐标表示点在圆外的有（ ）
A.（－3，2） B.（3，2）
C.（1，4） D.（1，1）
5.点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，则圆的方程是 .
2.3.1 圆的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.定点 定长 2.圆心 半径 3.（x－a）2＋（y－b）2＝r2 原点
想一想
提示：若点P在圆C内，则有（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.若点P在圆C外，则有（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2.
自我诊断
1.A ∵点（1，1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的内部，∴（1－a）2＋（1＋a）2＜4，解得－1＜a＜1.故选A.
2.（2，－8） 3
3.（x＋2）2＋y2＝4 解析：圆心是（－2，0），半径是2，所以圆的方程是（x＋2）2＋y2＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）将圆心（－2，1）代入圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
有（x＋2）2＋（y－1）2＝r2，再将点A（2，－2）代入方程有r2＝（2＋2）2＋（－2－1）2＝52.
从而圆的方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝25.
（2）法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为（4，－3），半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
跟踪训练
1.B 由题意可得，圆心为线段AB的中点C（1，2），半径为r＝｜AB｜＝＝5，故要求的圆的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25，故选B.
2.＋y2＝ 解析：∵A（－4，2）是Rt△OAB的直角顶点，∴OA⊥AB，又kOA＝＝－，∴kAB＝2，∴直线AB的方程为y－2＝2（x＋4），∴B（－5，0）.∵△OAB的外接圆是以线段OB的中点为圆心，｜OB｜长为半径的圆，又OB的中点坐标为，｜OB｜＝，∴所求外接圆的方程是＋y2＝.
【例2】 解：（1）因为点M在圆上，
所以（6－5）2＋（9－6）2＝a2，
又a＞0，可得a＝.
（2）由两点间距离公式可得，
｜PN｜＝＝，
｜QN｜＝＝3.
因为线段PQ（不含端点）与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是（3，）.
跟踪训练
D 由已知得（4a）2＋（3a）2≤25，解得a2≤1，∴｜a｜≤1，即－1≤a≤1.故选D.
【例3】 解：（1）B（16，0），C（0，8），设圆心（0，b），圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2，
由圆过点B、C可得解得b＝－12，r＝20，
所以拱桥所在圆的方程是x2＋（y＋12）2＝400.
（2）可设船右上角竖直方向0.5米处点为P（4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，所以点P在圆内，故船可以通过.
跟踪训练
解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在y轴上.设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋（y－b）2＝r2.
因为P，B都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足方程x2＋（y－b）2＝r2.于是，得到方程组
解得b＝－10.5，r2＝14.52.
所以圆的方程是x2＋（y＋10.5）2＝14.52.
把点P2的横坐标x＝－2代入圆的方程，得
（－2）2＋（y＋10.5）2＝14.52，
即y＋10.5＝（P2的纵坐标y＞0，平方根取正值）.所以y＝－10.5
≈14.36－10.5＝3.86（m）.
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
随堂检测
1.B 因为圆心为（－1，0），半径为5，则圆的方程是（x＋1）2＋y2＝25.故选B.
2.C ∵（a－1）2＋（10－1）2＝81＋（a－1）2＞2，∴点 P在圆外.
3.C 因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞0，因为圆C：（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心为（－a，－b），所以圆心位于第三象限，故选C.
4.AD 选项A，中（－3－2）2＋（2－3）2＝26＞4在圆外；选项B中，（3－2）2＋（2－3）2＝2＜4在圆内；选项C中，（1－2）2＋（4－3）2＝2＜4在圆内；选项D中，（1－2）2＋（1－3）2＝5＞4在圆外.故选A、D.
5.（x＋2）2＋y2＝10 解析：∵点（1，1）在圆（x＋2）2＋y2＝m上，故（1＋2）2＋1＝m.∴m＝10，即圆的方程为（x＋2）2＋y2＝10.
4 / 4(共57张PPT)
2.3.1 圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索
并掌握圆的标准方程 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“南昌之星”摩天轮是目前世界上第二高的摩天轮，它位于江西
省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志
性建筑.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米，比位于英国泰晤
士河边的135米高的“伦敦之眼”摩天轮还要高.
【问题】 （1）游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一
样吗？
（2）若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客
在任一点（ x ， y ）的坐标满足什么关系？
知识点 圆的标准方程
1. 圆的定义：平面内到 的距离等于 的点的集合叫作
圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
2. 确定圆的要素是 和 ，如图所示.
定点
定长
圆心
半径
3. 圆的标准方程：圆心为 A （ a ， b ），半径长为 r 的圆的标准方程
是 .
当 a ＝ b ＝0时，方程为 x2＋ y2＝ r2，表示以 为圆心、半径
为 r 的圆.
【想一想】
若点 P （ x0， y0）在圆 C ：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2上，需要
满足（ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＝ r2，那么 P 在圆 C 内和圆 C 外又满
足怎样的关系？
（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2
原点
提示：若点 P 在圆 C 内，则有（ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＜ r2.若点 P
在圆 C 外，则有（ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＞ r2.
1. 点（1，1）在圆（ x － a ）2＋（ y ＋ a ）2＝4的内部，则 a 的取值范
围是（ ）
A. －1＜ a ＜1 B. a ＜－1
C. a ＜－1或 a ＞1 D. a ＞1
解析： ∵点（1，1）在圆（ x － a ）2＋（ y ＋ a ）2＝4的内部，
∴（1－ a ）2＋（1＋ a ）2＜4，解得－1＜ a ＜1.故选A.
2. 已知圆的方程：（ x －2）2＋（ y ＋8）2＝9，则圆心坐标
，半径为 .
3. 经过原点，圆心在 x 轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是
.
解析：圆心是（－2，0），半径是2，所以圆的方程是（ x ＋2）2＋
y2＝4.
（2，－
8）
3
（ x ＋
2）2＋ y2＝4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第104页例1）（1）求圆心为点 C （－2，
1），且过点 A （2，－2）的圆的方程；
解：将圆心（－2，1）代入圆的标准方程（ x － a ）2＋
（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），
有（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝ r2，再将点 A （2，－2）代入方程有
r2＝（2＋2）2＋（－2－1）2＝52.
从而圆的方程为（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝25.
（2）求经过点 P （1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2 x ＋3 y ＋1＝
0上的圆的方程.
解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（ x － a ）2
＋（ y － b ）2＝ r2，
则有
∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知 OP 是圆的弦，其垂直平分线为 x ＋
y －1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由
即圆心坐标为（4，－3），半径 r 5.
∴圆的标准方程是（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝25.
通性通法
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心 C （ a ， b ）及半径 r ，其求
解的方法：一是待定系数法，建立关于 a ， b ， r 的方程组，进而求得
圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.一般地，
在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.
【跟踪训练】
1. 以两点 A （－3，－1）和 B （5，5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A. （ x －1）2＋（ y －2）2＝10
B. （ x －1）2＋（ y －2）2＝25
C. （ x －1）2＋（ y －2）2＝5
D. （ x －1）2＋（ y －2）2＝100
解析： 由题意可得，圆心为线段 AB 的中点 C （1，2），半径为
r ｜ AB ｜ 5，故要求的圆的方程为（ x －1）2＋
（ y －2）2＝25，故选B.
2. 在平面直角坐标系中，已知点 A （－4，2）是Rt△ OAB 的直角顶
点，点 O 是坐标原点，点 B 在 x 轴上，则△ OAB 的外接圆的方程
是 .
解析：∵ A （－4，2）是Rt△ OAB 的直角顶点，∴ OA ⊥ AB ，又
kOA ∴ kAB ＝2，∴直线 AB 的方程为 y －2＝2（ x ＋
4），∴ B （－5，0）.∵△ OAB 的外接圆是以线段 OB 的中点为圆心
｜ OB ｜长为半径的圆，又 OB 的中点坐标为（ 0） ｜
OB ｜ ∴所求外接圆的方程是（ x ）2＋ y2 .
（ x ）2＋ y2
题型二 点与圆的位置关系
【例2】 （链接教科书第106页练习A3题）已知圆 N 的标准方程为
（ x －5）2＋（ y －6）2＝ a2（ a ＞0）.
（1）若点 M （6，9）在圆上，求 a 的值；
解：因为点 M 在圆上，
所以（6－5）2＋（9－6）2＝ a2，
又 a ＞0，可得 a .
（2）已知点 P （3，3）和点 Q （5，3），线段 PQ （不含端点）与圆
N 有且只有一个公共点，求 a 的取值范围.
解：由两点间距离公式可得，
｜ PN ｜
｜ QN ｜ 3.
因为线段 PQ （不含端点）与圆有且只有一个公共点，即 P ， Q
两点一个在圆 N 内，另一个在圆 N 外，又3 3＜ a .即 a 的取值范围是（3 .
通性通法
判断点与圆的位置关系的方法
（1）确定圆的方程：化为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2；
（2）将点的坐标（ x0， y0）代入代数式（ x － a ）2＋（ y － b ）2，比
较代数式的值与 r2的大小关系；
（3）下结论：若（ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＝ r2，表示点在圆上；若
（ x0－ a ）2＋（ y0－ b ）2＞ r2，表示点在圆外；若（ x0－ a ）2
＋（ y0－ b ）2＜ r2，表示点在圆内.
此外，也可以利用点与圆心的距离 d 与半径 r 的大小关系来
判断.当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r
时，点在圆内.
【跟踪训练】
若点（4 a －1，3 a ＋2）不在圆（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝25的外
部，则 a 的取值范围是（ ）
A. a B. －1＜ a ＜1
C. a D. －1≤ a ≤1
解析： 由已知得（4 a ）2＋（3 a ）2≤25，解得 a2≤1，∴｜ a ｜
≤1，即－1≤ a ≤1.故选D.
题型三 圆的方程的应用
【例3】 为了开发古城旅游观光，某市决定在护城河上建一座圆形
拱桥，河面跨度 AB 为32米，拱桥顶点 C 离河面8米.
（1）如果以跨度 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 中垂线为 y 轴建立如图所
示的直角坐标系，试求出该圆形拱桥所在圆的方程；
解： B （16，0）， C （0，8），设圆心（0， b ），圆的方程为 x2＋（ y － b ）2＝ r2，
由圆过点 B 、 C 可得 b ＝－12， r ＝20，
所以拱桥所在圆的方程是 x2＋（ y ＋12）2＝400.
（2）现有游船船宽8米，船顶离水面7米，为保证安全，要求行船顶
部与拱桥顶部的竖直方向高度差至少要0.5米.问这条船能否顺利
通过这座拱桥，并说出理由.
解：可设船右上角竖直方向
0.5米处点为 P （4，7.5），
代入圆方程左端得396.25＜400，
所以点 P 在圆内，故船可以通过.
通性通法
坐标法解决此类问题的“三步曲”
【跟踪训练】
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个圆的圆拱跨度 AB ＝20
m，拱高 OP ＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱
A2 P2的高度（精确到0.01 m）.
解：建立如图所示的平面直角坐标系，使圆心在 y 轴上.设圆心的坐标
是（0， b ），圆的半径是 r ，那么圆的方程是 x2＋（ y － b ）2＝ r2.
因为 P ， B 都在圆上，所以它们的坐标（0，4），（10，0）都满足方
程 x2＋（ y － b ）2＝ r2.于是，得到方程组
b ＝－10.5， r2＝14.52.
所以圆的方程是 x2＋（ y ＋10.5）2＝14.52.
把点 P2的横坐标 x ＝－2代入圆的方程，得
（－2）2＋（ y ＋10.5）2＝14.52，
即 y ＋10.5 P2的纵坐标 y ＞0，平方根取正值）.
所以 y 10.5
≈14.36－10.5＝3.86（m）.
故支柱 A2 P2的高度约为3.86 m.
1. 圆心为（－1，0），半径为5的圆的方程是（ ）
A. （ x ＋1）2＋ y2 B. （ x ＋1）2＋ y2＝25
C. （ x －1）2＋ y2 D. （ x －1）2＋ y2＝25
解析： 因为圆心为（－1，0），半径为5，则圆的方程是（ x ＋
1）2＋ y2＝25.故选B.
2. 点 P （ a ，10）与圆（ x －1）2＋（ y －1）2＝2的位置关系是（ ）
A. 在圆内 B. 在圆上
C. 在圆外 D. 不确定
解析： ∵（ a －1）2＋（10－1）2＝81＋（ a －1）2＞2，∴点 P
在圆外.
3. 若直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，则圆 C ：（ x ＋ a ）2＋
（ y ＋ b ）2＝1的圆心位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 因为直线 y ＝ ax ＋ b 经过第一、二、三象限，所以 a ＞
0， b ＞0，因为圆 C ：（ x ＋ a ）2＋（ y ＋ b ）2＝1的圆心为（－
a ，－ b ），所以圆心位于第三象限，故选C.
4. （多选）已知圆的方程是（ x －2）2＋（ y －3）2＝4，则下列坐标
表示点在圆外的有（ ）
A. （－3，2） B. （3，2）
C. （1，4） D. （1，1）
解析： 选项A，中（－3－2）2＋（2－3）2＝26＞4在圆外；
选项B中，（3－2）2＋（2－3）2＝2＜4在圆内；选项C中，（1－
2）2＋（4－3）2＝2＜4在圆内；选项D中，（1－2）2＋（1－3）2
＝5＞4在圆外.故选A、D.
5. 点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，则圆的方程是
.
解析：∵点（1，1）在圆（ x ＋2）2＋ y2＝ m 上，故（1＋2）2＋1＝
m .∴ m ＝10，即圆的方程为（ x ＋2）2＋ y2＝10.
（ x ＋2）2
＋ y2＝10
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 圆 C ：（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝3的圆心坐标为（ ）
A. （2，1） B. （2，－1）
C. （－2，1） D. （－2，－1）
解析： 结合圆的标准形式可知，圆 C 的圆心坐标为（2，－1）.
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2. 已知圆 C 的圆心为（2，－3），且过点（0，0），则圆的方程为
（ ）
A. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝5
B. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝5
C. （ x ＋2）2＋（ y －3）2＝13
D. （ x －2）2＋（ y ＋3）2＝13
解析： 根据题意可设圆的方程为（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝ r2（ r
＞0），因为圆 C 过点（0，0），所以（0－2）2＋（0＋3）2＝ r2，
解得 r2＝13，所以圆的方程为（ x －2）2＋（ y ＋3）2＝13.故选D.
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3. 方程（ x ＋ a ）2＋（ y － a ）2＝2 a2（ a ≠0）表示的圆（ ）
A. 关于 x 轴对称
B. 关于 y 轴对称
C. 关于直线 x － y ＝0对称
D. 关于直线 x ＋ y ＝0对称
解析： 易得圆心 C （－ a ， a ），即圆心在直线 y ＝－ x 上，所
以该圆关于直线 x ＋ y ＝0对称，故选D.
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4. 已知圆 C1：（ x －1）2＋（ y －2）2＝9与圆 C2关于 x 轴对称，则 C2
的方程为（ ）
A. （ x －1）2＋（ y ＋2）2＝9
B. （ x ＋1）2＋（ y －2）2＝9
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋2）2＝9
D. （ x －2）2＋（ y －1）2＝9
解析： 圆 C1：（ x －1）2＋（ y －2）2＝9的圆心（1，2）关于 x
轴对称的点（1，－2），故圆 C2的方程为（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝
9.故选A.
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5. （多选）过点 A （1，－1）与 B （－1，1）且半径为2的圆的方程可
以为（ ）
A. （ x －3）2＋（ y ＋1）2＝4
B. （ x －1）2＋（ y －1）2＝4
C. （ x ＋1）2＋（ y ＋1）2＝4
D. （ x ＋3）2＋（ y －1）2＝4
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解析： 因为圆过点 A （1，－1）与 B （－1，1），所以圆心在
线段 AB 的垂直平分线上，其中 kAB 1，设圆心所在的
直线为 l ，则 kAB · kl ＝－1，解得 kl ＝1，又因为 A （1，－1）与 B
（－1，1）的中点坐标为（0，0），所以直线 l 为 y ＝ x ，设圆心坐
标为（ m ， m ），因为半径为2，所以圆的方程为（ x － m ）2＋（ y
－ m ）2＝4，代入 A （1，－1）得（1－ m ）2＋（－1－ m ）2＝4，
解得 m ＝±1，综上圆的方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝4或（ x ＋
1）2＋（ y ＋1）2＝4.故选B、C.
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6. 圆（ x －1）2＋ y2－ a2＝0的半径是 .
解析：由（ x －1）2＋ y2－ a2＝0，即（ x －1）2＋ y2＝ a2，所以圆的
半径为｜ a ｜.
｜ a ｜
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7. 已知半径为1的圆 C 关于直线2 x － y －4＝0对称，写出圆 C 的一个标
准方程 .
解析：由题可知，圆 C 关于直线2 x － y －4＝0对称，半径为1，则
圆心 C 在直线2 x － y －4＝0上，则当 x ＝2时， y ＝0，所以当圆心 C
为（2，0）时，圆 C 的标准方程为（ x －2）2＋ y2＝1.
（ x －2）2＋ y2＝1（答案不唯一）
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8. 方程｜ y ｜－1 2 π .
解析：由｜ y ｜－1 ｜ y ｜－1≥0，所以 y
≥1或 y ≤－1.将原式变形可得（ x －2）2＋（｜ y ｜－1）2＝
3，所以曲线为两个半圆，半径 C ＝
2π 2 π.
2 π
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9. 已知圆过点 A （1，－2）， B （－1，4）.
（1）求周长最小的圆的方程；
解：当线段 AB 为圆的直径时，过点 A ， B 的圆的半径最
小，从而周长最小，即圆心为线段 AB 的中点（0，1），半径
r ｜ AB ｜ .
则所求圆的方程为 x2＋（ y －1）2＝10.
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（2）求圆心在直线2 x － y －4＝0上的圆的方程.
解：法一 直线 AB 的斜率 k 3，
即线段 AB 的垂直平分线的方程是 y －1 x ，即 x －3 y
＋3＝0.
由
即圆心的坐标是 C （3，2）.
∴ r2＝｜ AC ｜2＝（3－1）2＋（2＋2）2＝20.
∴所求圆的方程是（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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法二 设圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2.
则
∴所求圆的方程为（ x －3）2＋（ y －2）2＝20.
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10. 若直线 l ： ax ＋ by －5＝0（ ab ＞0）始终平分圆 C ：（ x －3）2＋
（ y －2）2＝25的周长， .
解析：∵直线 l ： ax ＋ by －5＝0（ ab ＞0）始终平分圆 C ：（ x －
3）2＋（ y －2）2＝25的周长，∴圆心 C （3，2）在直线 l 上，可
得3 a ＋2 b ＝5，又 ab ＞0，∴ a ＞0， b ＞0， （
）（3 a ＋2 b （13 ） （13＋2 ）＝5，
当且仅当 a ＝ b ＝1时等号成立.∴ 5.
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11. 已知两点 A （－1，0）， B （0，2），点 P 是圆（ x －1）2＋ y2＝1
上任意一点，则△ PAB 面积的最大值为
4 .
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解析：点 A （－1，0）， B （0，2）所在的直线方程为2 x － y ＋2
＝0，圆（ x －1）2＋ y2＝1的圆心到直线的距离 ｜ AB ｜ △ PAB 面积的最大值
（ 1） 4 （ 1）
4 .
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12. 已知圆 C 过直线 x ＋ y －1＝0和2 x －3 y ＋8＝0的交点 P 及 Q （3，
－4），圆 C 的面积存在最小值吗？若存在，求出面积的最小值和
此时圆的方程，若不存在，请说明理由.
解：联立方程组 P （－
1，2），又因为圆 C 过点 Q （3，－4），所以线段 PQ 是圆 C 的
弦，此时 kPQ PQ 的中点 M （1，－1）.
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设圆心的坐标为 C （ a ， b ）， C 在 PQ 的垂直平分线上.
因为 PQ 的垂直平分线的方程为 y ＋1 x －1），
即2 x －3 y －5＝0，
所以2 a －3 b －5＝0，即 a
半径 r ＝｜ PC ｜
当 b ＝－1时， r 取得最小 a 1.
所以当圆心为 C （1，－1），半径 r C 的面积最小为
S ＝π r2＝13π，此时，圆 C 的方程为（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝13.
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13. 已知实数 x ， y 满足 y t
.
t ≤
t
解析：曲线 y x2＋ y2＝9（ y ≥0）
的上半圆， t 可以看成该上半圆上的动点 P
（ x ， y ）与
定点 A （－1，－3）连线的斜率 kAP ，如图所示，
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A （－1，－3）， B （3，0）， C （－3，0），
则 kAB kAC ＝ AQ ⊥ x 轴， Q 点在上半圆上，当动点 P 由 Q 点运动到 C 点时，－∞＜ kAP ≤ kAC ，当动点 P 由 B 点运动到 Q 点时， kAB ≤ kAP ＜＋∞，所以 t ≤ t .
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14. 已知圆 C 经过点 A （1，1）和点 B （2，－2），且圆心 C 在直线
l ： x － y ＋1＝0上.
（1）求圆 C 的方程；
解： kAB 3， AB 中点为（ ）， AB 的
垂直平分线为： y （ x ）
即 y x －1，联立方程
即圆心为（－3，－2）， r
5，圆 C 的方程为（ x ＋3）2＋（ y ＋2）2＝25.
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（2）若与直线 l 平行的一条直线与圆 C 相交于 M ， N 两点，求△
CMN 面积的最大值.
解： S r2 sin ∠ MCN sin ∠ MCN ∠
MCN ＝90°时等号成立.
故△ CMN 面积的最大值 .
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谢 谢 观 看！
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