与圆有关的探究性问题
如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
（1）当α＝135°时，求AB的长；
（2）是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.
【问题探究】
此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确.如果得到一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答.
【迁移应用】
1.对上述问题进行解答.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（3，3），C（1，－），记△ABC外接圆为圆M.
（1）求圆M的方程；
（2）在圆M上是否存在点P，使得｜PB｜2－｜PA｜2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
1.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋（y－1）2＝2没有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－）∪（，＋∞）
B.（，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（2，＋∞）
2.以点（2，－1）为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为（ ）
A.（x－2）2＋（y＋1）2＝3
B.（x＋2）2＋（y－1）2＝3
C.（x＋2）2＋（y－1）2＝9
D.（x－2）2＋（y＋1）2＝9
3.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0，则以P（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（ ）
A.x－y＝0 B.x＋2y－3＝0
C.x＋y－2＝0 D.x－y＋2＝0
4.（多选）直线l过点P（1，2）且与直线x＋ay－3＝0平行.若直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值可以是（ ）
A.0 B.
C. D.－
5.若点P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 .
拓视野 与圆有关的探究性问题
迁移应用
1.解：（1）直线AB的斜率为k＝tan 135°＝－1，
∴直线AB的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0.
∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d＝＝，
∴弦长｜AB｜＝2＝2＝.
（2）假设存在弦AB被点P0平分，
∴P0为弦AB的中点，又｜OA｜＝｜OB｜＝r，∴OP0⊥AB.
又∵＝＝－2，∴kAB＝.
∴直线AB的方程为y－2＝（x＋1），即x－2y＋5＝0.
由以上求解可知，存在被P0点平分的弦AB，此弦所在直线方程为x－2y＋5＝0.
2.解：（1）设△ABC外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A（0，0），B（3，3），C（1，－）代入上述方程得解得
则圆M的方程为x2＋y2－6x＝0.
（2）设点P的坐标为（x，y），
因为｜PB｜2－｜PA｜2＝12，所以（x－3）2＋（y－3）2－x2－y2＝12，
化简得x＋y－1＝0.
因为圆M的圆心M（3，0）到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，又圆M的半径r＝3，＜3，
所以直线x＋y－1＝0与圆M相交，故满足条件的点P有两个.
随堂检测
1.C 由题得圆心坐标为（a，1），半径为，∴＞，∴｜a｜＞2，∴a＞2或a＜－2.∴实数a的取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.故选C.
2.D 圆心到直线3x－4y＋5＝0的距离d＝＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝9.
3.C 由圆的方程可知圆心坐标为C（2，2），则kPC＝＝1，则所求直线的斜率k＝－1，直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0.故选C.
4.AD 设直线l的方程为x＋ay＋c＝0，过点P（1，2），故c＝－1－2a，所以直线l的方程为x＋ay－2a－1＝0，圆x2＋y2＝4的圆心（0，0），半径为2，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，半弦长为，则弦心距为1，圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝0或a＝－，故选A、D.
5.x＋2y－5＝0 解析：设切线斜率为k，则由已知得 k·kOP＝－1.∴k＝－.∴切线方程为x＋2y－5＝0.
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拓 视 野 与圆有关的探究性问题
如图，圆 x2＋ y2＝8内有一点 P0（－1，2）， AB 为过点 P0且倾斜角为
α的弦.
（1）当α＝135°时，求 AB 的长；
（2）是否存在弦 AB 被点 P0平分？若存在，写出直线 AB 的方程；若
不存在，请说明理由.
【问题探究】
此题目为探究性问题，属探究题存在类型范畴，解决这类问题一般
思路：首先假设所探究的问题存在，在这个假设条件下进行推理论
证，如果能得到一个合情合理的推理结果，就肯定假设正确.如果得到
一个矛盾结论，就应否定假设，对问题作出反面回答.
【迁移应用】
1. 对上述问题进行解答.
解：（1）直线 AB 的斜率为 k ＝tan 135°＝－1，
∴直线 AB 的方程为 y －2＝－（ x ＋1），即 x ＋ y －1＝0.
∵圆心 O （0，0）到直线 AB 的距离 d
∴弦长｜ AB ｜＝2 2 .
（2）假设存在弦 AB 被点 P0平分，
∴ P0为弦 AB 的中点，又｜ OA ｜＝｜ OB ｜＝ r ，∴ OP0⊥ AB .
又∵ 2，∴ kAB .
∴直线 AB 的方程为 y －2 x ＋1），即 x －2 y ＋5＝0.
由以上求解可知，存在被 P0点平分的弦 AB ，此弦所在直线方程为 x
－2 y ＋5＝0.
2. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ ABC 的顶点坐标分别是 A （0，
0）， B （3，3）， C （1， △ ABC 外接圆为圆 M .
（1）求圆 M 的方程；
解：设△ ABC 外接圆 M 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
将 A （0，0）， B （3，3）， C （1，
则圆 M 的方程为 x2＋ y2－6 x ＝0.
（2）在圆 M 上是否存在点 P ，使得｜ PB ｜2－｜ PA ｜2＝12？若存
在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由.
解：设点 P 的坐标为（ x ， y ），
因为｜ PB ｜2－｜ PA ｜2＝12，所以（ x －3）2＋（ y －3）2－
x2－ y2＝12，
化简得 x ＋ y －1＝0.
因为圆 M 的圆心 M （3，0）到直线 x ＋ y －1＝0的距离为 d M 的半径 r ＝3 3，
所以直线 x ＋ y －1＝0与圆 M 相交，故满足条件的点 P 有两个.
1. 若直线 x － y ＋1＝0与圆（ x － a ）2＋（ y －1）2＝2没有公共点，则
实数 a 的取值范围是（ ）
A.（－∞， B.
C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （2，＋∞）
解析： 由题得圆心坐标为（ a ，1），半径
∴ ∴｜ a ｜＞2，∴ a ＞2或 a ＜－2.∴实数 a 的
取值范围是（－∞，－2）∪（2，＋∞）.故选C.
2. 以点（2，－1）为圆心，且与直线3 x －4 y ＋5＝0相切的圆的方程
为（ ）
A. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝3
B. （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝3
C. （ x ＋2）2＋（ y －1）2＝9
D. （ x －2）2＋（ y ＋1）2＝9
解析： 圆心到直线3 x －4 y ＋5＝0的距离 d 3，
即圆的半径为3，所以所求圆的方程为（ x －2）2＋（ y ＋1）2＝9.
3. 已知圆 C ： x2＋ y2－4 x －4 y ＝0，则以 P （1，1）为中点的弦所在
的直线方程为（ ）
A. x － y ＝0 B. x ＋2 y －3＝0
C. x ＋ y －2＝0 D. x － y ＋2＝0
解析： 由圆的方程可知圆心坐标为 C （2，2），则 kPC
1，则所求直线的斜率 k ＝－1，直线方程为 y －1＝－（ x －1），即
x ＋ y －2＝0.故选C.
4. （多选）直线 l 过点 P （1，2）且与直线 x ＋ ay －3＝0平行.若直线 l
被圆 x2＋ y2＝4截得的弦长为2 a 的值可以是（ ）
A. 0 B.
C. D.
解析： 设直线 l 的方程为 x ＋ ay ＋ c ＝0，过点 P （1，2），故
c ＝－1－2 a ，所以直线 l 的方程为 x ＋ ay －2 a －1＝0，圆 x2＋ y2＝4
的圆心（0，0），半径为2，直线 l 被圆 x2＋ y2＝4截得的弦长为2
1，圆心到直线的距离 d
1，解得 a ＝0或 a ＝ A、D.
5. 若点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切
线方程为 .
x ＋2 y －5＝0
解析：设切线斜率为 k ，则由已知得 k · kOP ＝－1.∴ k ＝ .∴切线
方程为 x ＋2 y －5＝0.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 直线 l ： y －1＝ k （ x －1）和圆 x2＋ y2－2 y ＝0的关系是（ ）
A. 相离 B. 相切或相交
C. 相交 D. 相切
解析： l 过定点 A （1，1），∵12＋12－2×1＝0，∴点 A 在圆
上，∵直线 x ＝1过点 A 且为圆的切线，又 l 斜率存在，∴ l 与圆一定
相交，故选C.
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2. 直线 x ＋2 y －5 0被 x2＋ y2－2 x －4 y ＝0截得的弦长为（ ）
A. 1 B. 2
C. 2 D. 4
解析： 圆的方程可化为（ x －1）2＋（ y －2）2＝5，所以圆心
（1，2），半径 r 1，2）到直线 x ＋2 y －5 0
的距离 d 1，所以截得的弦长为2 2
4.故选D.
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3. 点 M 在圆 x2＋ y2＝2上，点 N 在直线 l ： y ＝ x －3上，则｜ MN ｜的
最小值是（ ）
A. B.
C. D. 1
解析： 由题意可知，圆心（0，0），半径 r 0，
0）到 l ： y ＝ x －3的距离 ｜ MN ｜的最小值 r .故选B.
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4. 已知圆 x2＋ y2－6 x ＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的
长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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解析： 将圆的方程 x2＋ y2－6 x ＝0化为标准方程（ x －3）2＋ y2
＝9，设圆心为 C ，则 C （3，0），半径 r ＝3.设点（1，2）为点
A ，过点 A （1，2）的直线为 l ，因为（1－3）2＋22＜9，所以点 A
（1，2）在圆 C 的内部，则直线 l 与圆 C 必相交，设交点分别为 B ，
D . 易知当直线 l ⊥ AC 时，直线 l 被该圆所截得的弦的长度最小，设
此时圆心 C 到直线 l 的距离为 d ，则 d ＝｜ AC ｜ 2 ｜ BD ｜min＝2 2
2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
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5. （多选）过 P （2，－2）的直线 l 与圆（ x －1）2＋ y2＝1相切，则
直线 l 的方程可能是（ ）
A. 3 x ＋4 y ＋2＝0 B. 4 x ＋3 y －2＝0
C. x ＝2 D. y ＝－2
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解析： 当直线 l 的斜率不存在时，直线 x ＝2与圆（ x －1）2＋
y2＝1相切.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y ＋2＝ k （ x －
2），即 kx － y －2－2 k ＝0，圆（ x －1）2＋ y2＝1的圆心（1，0）
到直线 kx － y －2－2 k ＝0的距离 1，解得 k ＝
l 的方程 x － y －2 0，即3 x ＋4 y ＋2＝0.
所以直线 l 的方程为 x ＝2或3 x ＋4 y ＋2＝0.故选A、C.
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6. 已知直线 l1： y ＝ x ＋ a 和 l2： y ＝－ x ＋ b 将单位圆 C ： x2＋ y2＝1分
成长度相等的四段弧，则 a2＋ b2＝ .
解析：由题意可知 l1⊥ l2，且圆心（0，0）为两直线的交点，所以 a
＝ b ＝0，故 a2＋ b2＝0.
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7. 若斜率 y 轴交于点 A ，与圆 x2＋（ y －1）2＝1相切于
点 B ，则｜ AB ｜＝ .
解析：设圆心为 M ，由直线的斜率 60°，
又切线与 y 轴交点为 A ，所以∠ MAB ＝30°，又∠ ABM ＝90°，且
MB ＝1，所以 AM ＝2，即｜ AB ｜ .
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8. （2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线 x － my ＋1＝0与☉ C ：（ x －1）
2＋ y2＝4交于 A ， B 两点，写出满足“△ ABC 面积 m 的一个
值 .
解析：依题意可得圆 C 的圆心为 C （1，0），半径 r ＝2，则圆心 C
（1，0）到直线 x － my ＋1＝0的距离 d ｜ AB ｜＝2
S△ ABC d ×｜ AB ｜ m ＝2或 m ＝－2或 m m ＝ .填写任意一个均可.
－2（或 2，填写任意一个均可）
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9. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线 x －3 y ＝0上，且直线 y ＝ x 截圆所得
弦长为2 .
解：因为圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x －3 y ＝0上，
故设圆的方程为（ x －3 b ）2＋（ y － b ）2＝9 b2.
又因为直线 y ＝ x 截圆得弦长为2
则有（ ）2＋ 2＝9 b2，
解得 b ＝±1，故所求圆的方程为
（ x －3）2＋（ y －1）2＝9或（ x ＋3）2＋（ y ＋1）2＝9.
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10. 直线 l ： y ＝－ x ＋ m 与曲线 x m
的取值范围是（ ）
A. [－2，2 B. （－2 2]
C. （－2 2] D. [2，2
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解析： 由 x x2＋
y2＝4（ x ≥0），如图，当直线 l ：
y ＝－ x ＋ m 与 x2＋ y2＝4（ x ≥0）
相切时， m ＝2 .当直线 l ： y ＝－
x ＋ m 过点（0，2）时，有两个交
点，∴若直线 l ： y ＝－ x ＋ m 与曲
线 x
m 的取值范围是[2，2 .故选D.
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11. 若实数 x ， y 满足 x2＋ y2－4 y ＋3＝0，
.
解析：因为 x2＋ y2－4 y ＋3＝0 x2＋（ y －2）2
＝1，所以（ x ， y ）表示以（0，2）为圆心，半
径为1的圆上的点 x ， y ）与（0，0）
的斜率.如图所示.设直线 y ＝ kx ，则（0，2）到
直线 kx － y ＝0的距离 d 1，解得 k ＝ .所 －∞ ∪ ＋∞）.
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12. 已知 x ， y 满足（ x ＋1）2＋ y2
（1） x2＋ y2的最值；
解：由题意知 x2＋ y2表示圆上的点到坐标原点距离的
平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值
时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点（0，0）到圆心（－1，0）的距离为 d ＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为1
最小距离为1
因此 x2＋ y2的最大值和最小值分别 .
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（2） x ＋ y 的最值.
解：令 y ＋ x ＝ z 并将其变形为 y ＝－ x ＋ z ，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在 y 轴上的截
距的最值.
当直线和圆相切时在 y 轴上的截距取得最大值和最小值，
此时
解得 z ＝ 1，
即最大值 1，最小值 1.
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13. （多选）过点 M （1 O ： x2＋ y2＝4的两条互相垂直的
弦 AC 和 BD ，则四边形 ABCD 的面积可以是（ ）
A. 3.5 B. 4
C. 4.5 D. 5
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解析： 如图，作 OE ⊥ AC ， OF
⊥ BD ，垂足分别为 E ， F ，∵ AC ⊥
BD ，∴四边形 OEMF 为矩形，又 OM
设圆心 O 到 AC ， BD 的距离分别为 d1，d2，
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OM2＝3.四边形 ABCD的面积为 S ｜ AC ｜（｜ BM ｜＋｜ MD ｜），从而 S ｜ AC ｜·｜ BD ｜＝2 8－ ＝5，当且仅 S ＝2 2 2 4，四边形 ABCD 的面积最大值是5，最小值是4.故选B、C、D.
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14. 已知直线 l ：（ m ＋2） x ＋（1－2 m ） y ＋4 m －2＝0与圆 C ： x2－
2 x ＋ y2＝0交于 M ， N 两点.
（1）求直线 l 所过定点的坐标；
解：由直线 l ：（ m ＋2） x ＋（1－2 m ） y ＋4 m －2＝0，
得 m （ x －2 y ＋4）＋（2 x ＋ y －2）＝0，联立
∴直线 l 恒过点（0，2）.
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（2）求 m 的取值范围；
解：由圆 C ： x2－2 x ＋ y2＝0，知圆心 C （1，0），半
径 r ＝1，
由题意， 1， m
∴当直线 l 与圆 C 相交时， m 的取值范围为（ ）.
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解：由（2）知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程
为 y ＝ kx ＋ b ，
联立1＋ k2） x2＋（2 kb －2） x ＋
b2＝0，
∴ x1＋ x2＝ x1 x2
（3）若 O 为坐标原点，直线 OM ， ON 的斜率分别为 k1， k2，
试问 k1＋ k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请
说明理由.
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∴ k1＋ k2
＝2 k ＋ b · 2 k ＋ b · 2 k 2 k .
由（1）可知， b ＝2，则 k1＋ k2＝1，
∴ k1＋ k2是定值，且定值为1.
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