2.3.2 圆的一般方程
1.“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.已知实数x，y满足方程x2＋y2＋8x－4y＋16＝0，则x的最大值为（ ）
A.3 B.2
C.－1 D.－2
3.若圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋（m－2）＝0，则圆C的最小周长为（ ）
A. B.
C. D.
4.若圆C的方程为x2＋y2＋4x＋4y＋5＝0，点P是圆C上动点，点O为坐标原点，则｜OP｜的最大值为（ ）
A.2＋ B.2－
C.2＋ D.2－
5.（多选）若直线l将圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x－2y＝0
C.x＋y＋1＝0 D.2x＋y＝0
6.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝ .
7.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 .
8.点P，Q在圆x2＋y2＋kx－4y＋3＝0（k∈R）上，且点P，Q关于直线2x＋y＝0对称，则该圆的半径为 .
9.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
10.设a＞0，b＞0，直线ax＋by－1＝0经过圆C：x2＋y2－2x－2y＝0的圆心，则＋的最小值为（ ）
A.1 B.4
C.2 D.
11.四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功、幸福、平安、健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程C：x2＋y2＝2｜x｜＋2｜y｜（如图所示）进行图案绘制.试求曲线C围成的封闭图形的面积 .
12.已知△ABC的顶点C（2，－8），直线AB的方程为y＝－2x＋11，AC边上的高BH所在直线的方程为x＋3y＋2＝0.
（1）求顶点A和B的坐标；
（2）求△ABC外接圆的一般方程.
13.阿波罗尼斯（约公元前262～190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：｜PA｜＝｜PB｜，当P，A，B三点不共线时，△PAB面积的最大值是（ ）
A.2 B.2
C. D.
14.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）＝x2＋2x＋b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
（1）若b＝－1，求圆C的方程；
（2）当b取所允许的不同的实数值时（b＜1且b≠0），圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.
2.3.2 圆的一般方程
1.A x2＋y2－2x－a＝（x－1）2＋y2＝a＋1表示圆，则a＋1＞0，∴a＞－1，a＞0能推出a＞－1，反之不能，故“实数a＞0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的充分不必要条件.故选A.
2.D 将方程变形为（x＋4）2＋（y－2）2＝4，则圆心坐标为（－4，2），半径r＝2，则圆上的点的横坐标的范围为－6≤x≤－2，则x的最大值是－2.故选D.
3.D 因为圆C的方程为x2＋y2＋mx＋2my＋（m－2）＝0，所以圆C的半径为r＝＝＝≥×＝，所以圆C的最小周长为2πr＝.故选D.
4.C 圆C的圆心为（－2，－2），半径为r＝＝，｜OP｜的最大值为｜OC｜＋r＝2＋.故选C.
5.CD 由x2＋y2－2x＋4y－4＝0可得（x－1）2＋（y＋2）2＝9，所以圆心（1，－2），半径为3，若直线l将圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0平分，则直线l过圆心（1，－2），若横纵截距都等于0，则直线l过原点，此时直线l斜率为－2，直线l方程为y＝－2x，即2x＋y＝0，若截距不等于0，设方程为＋＝1，则＋＝1，可得a＝－1，所以－x－y＝1即x＋y＋1＝0，综上所述直线l的方程为x＋y＋1＝0或2x＋y＝0，故选C、D.
6.3 解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即（1，2），故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.
7.（－2，－4） 5 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋（y＋1）2＝－＜0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，则圆心坐标为（－2，－4），半径是5.
8. 解析：由题意，可知直线2x＋y＝0经过圆心，因为圆的方程为x2＋y2＋kx－4y＋3＝0，得圆心坐标为，代入直线方程得2×＋2＝0，解得k＝2，所以圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，化为标准方程得（x＋1）2＋（y－2）2＝2，所以圆的半径为.
9.解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20. ②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
10.B 圆心为（1，1），所以a＋b＝1，于是＋＝（a＋b）·＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号.故选B.
11.8＋4π 解析：当x＞0，y＞0时，方程可化为（x－1）2＋（y－1）2＝2，它表示圆心为（1，1），半径为的圆在第一象限的部分；当x＞0，y≤0时，方程可化为（x－1）2＋（y＋1）2＝2，它表示圆心为（1，－1），半径为的圆在第四象限的部分；当x≤0，y＞0时，方程可化为（x＋1）2＋（y－1）2＝2它表示圆心为（－1，1），半径为的圆在第二象限的部分；当x≤0，y≤0时，方程可化为（x＋1）2＋（y＋1）2＝2，它表示圆心为（－1，－1），半径为的圆在第三象限的部分；综上，四个部分正好围成了一个封闭的区域.这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.所以总面积为S＝（2）2＋2π（）2＝8＋4π.
12.解：（1）由可得所以点B的坐标为（7，－3），
由x＋3y＋2＝0可得y＝－x－，所以kBH＝－.由AC⊥BH，可得kAC＝3，
因为C（2，－8），所以直线AC的方程为y＋8＝3（x－2），即3x－y－14＝0，
由可得所以点A的坐标为（5，1）.
（2）设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将A（5，1），B（7，－3）和C（2，－8）三点的坐标分别代入圆的方程可得：解得
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－4x＋6y－12＝0.
13.C 依题意，以线段AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A（－1，0），B（1，0），设P（x，y），因｜PA｜＝｜PB｜，则＝·，化简整理得（x－2）2＋y2＝3，因此，点P的轨迹是以点（2，0）为圆心，为半径的圆，点P不在x轴上时，与点A，B可构成三角形，当点P到直线AB（x轴）的距离最大时，△PAB的面积最大，显然，点P到x轴的最大距离为，此时，（S△PAB）max＝×2×＝，所以△PAB面积的最大值是.故选C.
14.解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，与f（x）＝x2＋2x＋b＝0是同一方程，
所以D＝2，F＝b，
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，即y2＋Ey＋b＝0，又f（0）＝b，所以b是方程y2＋Ey＋b＝0的一个根，故b2＋bE＋b＝0，因为f（x）图象与坐标轴有三个交点，所以b＜1且b≠0，
所以E＝－b－1，
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x＋（－b－1）y＋b＝0，
当b＝－1时，圆C的方程为x2＋y2＋2x－1＝0.
（2）由（1）知，圆C的方程为x2＋y2＋2x＋（－b－1）y＋b＝0，
转化为x2＋y2＋2x－y－（y－1）b＝0，
令解得或故圆C经过定点（0，1），（－2，1）.
1 / 22.3.2 圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程 直观想象、数学运算
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.
【问题】 如果把圆的标准方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2中的括号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆心为 ，半径长为 .
【想一想】
1.圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
2.求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
3.所有二元二次方程均表示圆吗？
1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是（ ）
A.（2，3） B.（－2，3）
C.（－2，－3） D.（2，－3）
2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（ ）
A.m＜ B.m≤
C.m＜2 D.m≤2
3.已知圆C的圆心为C（－2，1），面积为12π，则圆C的一般方程为 .
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】 （链接教科书第109页例2）若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）圆心坐标和半径.
尝试解答
通性通法
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.
【跟踪训练】
1.（多选）若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m可取的值有（ ）
A.－ B.0
C.1 D.2
2.已知圆的方程为x2＋y2－kx－2y－k2＝0，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为 .
题型二 求圆的一般方程
【例2】 （链接教科书第107页例1）（1）已知△ABC顶点的坐标为A（4，3），B（5，2），C（1，0），求△ABC外接圆的方程；
（2）已知一圆过P（4，－2），Q（－1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.
尝试解答
通性通法
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
【跟踪训练】
1.与圆C：x2＋y2－2x－35＝0同圆心，且面积为圆C面积的一半的圆的方程为（ ）
A.（x－1）2＋y2＝3 B.（x－1）2＋y2＝6
C.（x－1）2＋y2＝9 D.（x－1）2＋y2＝18
2.圆C：x2＋y2＋6x－8y＋24＝0关于直线y＝x对称的圆的方程为（ ）
A.（x－4）2＋（y＋3）2＝1
B.（x－4）2＋（y－3）2＝49
C.（x＋4）2＋（y－3）2＝1
D.（x＋4）2＋（y＋3）2＝49
题型三 与圆有关的轨迹方程
【例3】 设定点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
尝试解答
通性通法
求解与圆有关的轨迹问题方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【跟踪训练】
1.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P（－1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方程为 .
2.已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且｜MP｜＝5｜MQ｜.求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
1.已知圆的方程是x2＋y2－2x－4＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A.（1，0）与5 B.（1，0）与
C.（－1，0）与5 D.（－1，0）与
2.若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为（ ）
A.2 B.－1 C.－2 D.0
3.若两定点A，B的距离为3，动点M满足｜MA｜＝2｜MB｜，则点M的轨迹围成区域的面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
4.（多选）下列方程表示圆的是（ ）
A.x2＋y2＋xy－1＝0
B.x2＋y2＋2x＋2y－2＝0
C.x2＋y2－3x＋y＋4＝0
D.2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0
5.过O（0，0），A（3，0），B（0，4）三点的圆的一般方程为 .
2.3.2 圆的一般方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.D2＋E2－4F＞0 2.
想一想
1.提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.
2.提示：只要求出一般方程中的D，E，F，圆的方程就确定了.
3.提示：不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆.
自我诊断
1.D 圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即（2，－3）.
2.A 由D2＋E2－4F＞0得（－1）2＋12－4m＞0，解得m＜.故选A.
3.x2＋y2＋4x－2y－7＝0 解析：因为圆C的面积为12π，所以由πr2＝12π，即r2＝12，所以圆C的标准方程为（x＋2）2＋（y－1）2＝12，即圆C的一般方程为x2＋y2＋4x－2y－7＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）据题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
（2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m，
故圆心坐标为（－m，1），半径r＝.
跟踪训练
1.BCD 由题意得D2＋E2－4F＝（－1）2＋12－4×（－2m）＞0，解得m＞－.故选B、C、D.
2.（0，1） 解析：依题意，圆的方程可化为＋（y－1）2＝＋1，于是得该圆圆心，半径r＝，因此，该圆面积S＝πr2＝π≥π，当且仅当k＝0时取“＝”，所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为（0，1）.
【例2】 解：（1）设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵点A，B，C在所求的圆上，故有
故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0.
（2）法一（待定系数法） 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
由已知｜y1－y2｜＝4，其中y1，y2是方程③的两根.
∴（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
联立①②④解得，或
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
法二（几何法） 由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为（a，a－1）.
又圆C的半径长r＝｜CP｜＝.（*）
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为｜a｜.
∴r2＝a2＋，代入（*）并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为（x－1）2＋y2＝13或（x－5）2＋（y－4）2＝37.
跟踪训练
1.D 由题得圆C：（x－1）2＋y2＝36，所以圆C的圆心为（1，0），半径为6.设所求的圆的半径为r，所以πr2＝×π×62，所以r＝3.所以所求的圆的方程为（x－1）2＋y2＝18.故选D.
2.A 圆C的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝1，圆C圆心为（－3，4），半径为1，故所求圆的圆心坐标为（4，－3），半径为1，因此所求圆的方程为（x－4）2＋（y＋3）2＝1.故选A.
【例3】 解：法一（定义法） ｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上.
又因为四边形MONP为平行四边形，
所以O，M，P不共线.当点P在直线OM上时有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
除去点和点.
法二（代入法） 如图所示，设P（x，y），N（x0，y0），
则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.
由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，
＝，
从而又点N（x＋3，y－4）在圆上，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
当点P在直线OM上时，有x＝－，y＝或x＝－，y＝.
因此所求轨迹为圆（x＋3）2＋（y－4）2＝4，除去点和点.
跟踪训练
1.＋y2＝1 解析：设M（x，y），Q（x0，y0），则有＋＝4， ①
从而代入①得，
（2x＋1）2＋（2y）2＝4，∴＋y2＝1.
2.解：由题意得＝5
整理得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
所以点M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－1）2＝25.
轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆.
随堂检测
1.B 由圆的一般方程为x2＋y2－2x－4＝0，配方得圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝5，所以圆心坐标为（1，0），半径为.故选B.
2.D 圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝5，则圆心坐标为（1，－2），∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心.∴2－2＋m＝0得m＝0.
3.D 以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图.设点M（x，y），则＝
2，化简并整理得（x－4）2＋y2＝4，于是得点M的轨迹是以点（4，0）为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，所以M点的轨迹围成区域的面积为4π.故选D.
4.BD 对于A选项，方程x2＋y2＋xy－1＝0中有xy项，该方程不表示圆；
对于B选项，对于方程x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，∵22＋22－4×（－2）＞0，该方程表示圆；
对于C选项，对于方程x2＋y2－3x＋y＋4＝0，∵（－3）2＋12－4×4＜0，该方程不表示圆；
对于D选项，方程2x2＋2y2＋4x＋5y＋1＝0可化为x2＋y2＋2x＋y＋＝0，∵22＋－4×＞0，该方程表示圆.故选B、D.
5.x2＋y2－3x－4y＝0 解析：该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为＋（y－2）2＝.化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.
2 / 3(共64张PPT)
2.3.2 圆的一般方程
新课程标准解读 核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索
并掌握圆的一般方程 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在上一节，我们已经知道圆的标准方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）
2＝ r2.
【问题】 如果把圆的标准方程（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2中的括
号展开、整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程
都能化成这种形式？
知识点 圆的一般方程
1. 圆的一般方程的概念
当 时，二元二次方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0
叫作圆的一般方程.
2. 圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0（ D2＋ E2－4 F ＞0）表示的
圆的圆心为 （ ） ，半径长为 .
D2＋ E2－4 F ＞0
（ ）
1. 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
提示：圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆
的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显.
2. 求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
提示：只要求出一般方程中的 D ， E ， F ，圆的方程就确定了.
3. 所有二元二次方程均表示圆吗？
提示：不是， Ax2＋ Bxy ＋ Cy2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，只有在 A ＝ C
≠0， B ＝0且 D2＋ E2－4 AF ＞0时才表示圆.
【想一想】
1. 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0的圆心坐标是（ ）
A. （2，3） B. （－2，3）
C. （－2，－3） D. （2，－3）
解析： 圆 x2＋ y2－4 x ＋6 y ＝0的圆心坐标为（ ），
即（2，－3）.
2. 若方程 x2＋ y2－ x ＋ y ＋ m ＝0表示一个圆，则实数 m 的取值范围是
（ ）
A. m B. m
C. m ＜2 D. m ≤2
解析： 由 D2＋ E2－4 F ＞0得（－1）2＋12－4 m ＞0，解得 m
.故选A.
3. 已知圆 C 的圆心为 C （－2，1），面积为12π，则圆 C 的一般方程
为 .
x2＋ y2＋4 x －2 y －7＝0
解析：因为圆 C 的面积为12π，所以由π r2＝12π，即 r2＝12，所以圆
C 的标准方程为（ x ＋2）2＋（ y －1）2＝12，即圆 C 的一般方程为
x2＋ y2＋4 x －2 y －7＝0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆的一般方程的辨析
【例1】 （链接教科书第109页例2）若方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2
＋5 m ＝0表示圆，求：
（1）实数 m 的取值范围；
解：据题意知 D2＋ E2－4 F ＝（2 m ）2＋（－2）2－4（ m2
＋5 m ）＞0，
即4 m2＋4－4 m2－20 m ＞0，
解得 m
故 m 的取值范围为（－∞ ）.
（2）圆心坐标和半径.
解：将方程 x2＋ y2＋2 mx －2 y ＋ m2＋5 m ＝0写成标准方程
为（ x ＋ m ）2＋（ y －1）2＝1－5 m ，
故圆心坐标为（－ m ，1），半径 r .
通性通法
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆
的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表
示圆.此时有两种途径：一是看 D2＋ E2－4 F 是否大于零；二是直接配
方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数.
【跟踪训练】
1. （多选）若 x2＋ y2－ x ＋ y －2 m ＝0是一个圆的方程，则实数 m 可取
的值有（ ）
A. B. 0
C. 1 D. 2
解析： 由题意得 D2＋ E2－4 F ＝（－1）2＋12－4×（－2 m ）
＞0，解得 m ＞ .故选B、C、D.
2. 已知圆的方程为 x2＋ y2－ kx －2 y － k2＝0，则当该圆面积最小时，
圆心的坐标为 .
解析：依题意，圆的方程可化为（ x ）2＋（ y －1）2
1，于是得该圆圆心（ 1），半径 r
S ＝π r2＝π（ 1）≥π，当且仅当 k ＝0时取“＝”，所以当该
圆面积最小时，圆心的坐标为（0，1）.
（0，1）
题型二 求圆的一般方程
【例2】 （链接教科书第107页例1）（1）已知△ ABC 顶点的坐标为
A （4，3）， B （5，2）， C （1，0），求△ ABC 外接圆的方程；
解：设所求圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0.
∵点 A ， B ， C 在所求的圆上，故有
故所求圆的方程是 x2＋ y2－6 x －2 y ＋5＝0.
（2）已知一圆过 P （4，－2）， Q （－1，3）两点，且在 y 轴上截得
的线段长为4 .
解：法一（待定系数法） 设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx
＋ Ey ＋ F ＝0，
将 P ， Q 的坐标分别代入上式，
得
令 x ＝0，得 y2＋ Ey ＋ F ＝0， ③
由已知｜ y1－ y2｜＝4 y1， y2是方程③的两根.
∴（ y1－ y2）2＝（ y1＋ y2）2－4 y1 y2＝ E2－4 F ＝48. ④
联立①②④解得，
故所求方程为 x2＋ y2－2 x －12＝0或 x2＋ y2－10 x －8 y ＋4
＝0.
法二（几何法） 由题意得线段 PQ 的中垂线方程为 x － y －
1＝0.
∴所求圆的圆心 C 在直线 x － y －1＝0上，设其坐标为
（ a ， a －1）.
又圆 C 的半径长 r ＝｜ CP ｜ .
（*）
由已知圆 C 截 y 轴所得的线段长为4 C 到 y 轴的
距离为｜ a ｜.
∴ r2＝ a2＋（ ）2，代入（*）并将两端平方得 a2－6 a ＋5
＝0，解得 a1＝1， a2＝5，∴ r1 r2 .
故所求圆的方程为（ x －1）2＋ y2＝13或（ x －5）2＋（ y －
4）2＝37.
通性通法
利用待定系数法求圆的方程的解题策略
（1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或
半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出 a ，
b ， r ；
（2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般
方程，再用待定系数法求出常数 D ， E ， F .
【跟踪训练】
1. 与圆 C ： x2＋ y2－2 x －35＝0同圆心，且面积为圆 C 面积的一半的
圆的方程为（ ）
A. （ x －1）2＋ y2＝3 B. （ x －1）2＋ y2＝6
C. （ x －1）2＋ y2＝9 D. （ x －1）2＋ y2＝18
解析： 由题得圆 C ：（ x －1）2＋ y2＝36，所以圆 C 的圆心为
（1，0），半径为6.设所求的圆的半径为 r ，所以π r2 π×62，
所以 r ＝3 .所以所求的圆的方程为（ x －1）2＋ y2＝18.故选D.
2. 圆 C ： x2＋ y2＋6 x －8 y ＋24＝0关于直线 y ＝ x 对称的圆的方程为
（ ）
A. （ x －4）2＋（ y ＋3）2＝1
B. （ x －4）2＋（ y －3）2＝49
C. （ x ＋4）2＋（ y －3）2＝1
D. （ x ＋4）2＋（ y ＋3）2＝49
解析： 圆 C 的标准方程为（ x ＋3）2＋（ y －4）2＝1，圆 C 圆心
为（－3，4），半径为1，故所求圆的圆心坐标为（4，－3），半
径为1，因此所求圆的方程为（ x －4）2＋（ y ＋3）2＝1.故选A.
题型三 与圆有关的轨迹方程
【例3】 设定点 M （－3，4），动点 N 在圆 x2＋ y2＝4上运动，以
OM ， ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹.
解：法一（定义法） ｜ MP ｜＝｜ ON ｜＝2，所以动点 P 在以 M 为圆心，半径为2的圆上.
又因为四边形 MONP 为平行四边形，
所以 O ， M ， P 不共线.当点 P 在直线 OM 上时有 x ＝ y x ＝ y .
因此所求轨迹为圆（ x ＋3）2＋（ y －4）2＝4，
除去点（ ）和点（ ）.
法二（代入法） 如图所示，设 P （ x ， y ）， N
（ x0， y0），
则线段 OP 的中点坐标为（ ），线段 MN 的中
点坐标为（ ）.
由于平行四边形的对角线互相平分，
从而 N （ x ＋3， y －4）在圆上，故（ x ＋3）2＋（ y －4）2＝4.
当点 P 在直线 OM 上时，有 x ＝ y x ＝ y .
因此所求轨迹为圆（ x ＋3）2＋（ y －4）2＝4，除去点（ ）和点（ ）.
通性通法
求解与圆有关的轨迹问题方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系
式等.
【跟踪训练】
1. 已知圆 O ： x2＋ y2＝4及一点 P （－1，0）， Q 在圆 O 上运动一周，
PQ 的中点 M 形成轨迹 C ，则轨迹 C 的方程为 .
（ x ）2＋ y2＝1
①得，
（2 x ＋1）2＋（2 y ）2＝4，∴（ x ）2＋ y2＝1.
解析：设 M （ x ， y ）， Q （ x0， y0），则 4， ①
2. 已知坐标平面上动点 M （ x ， y ）与两个定点 P （26，1）， Q
（2，1），且｜ MP ｜＝5｜ MQ ｜.求点 M 的轨迹方程，并说明轨
迹是什么图形.
解：由题意
＝5
整理得 x2＋ y2－2 x －2 y －23＝0，
所以点 M 的轨迹方程是（ x －1）2＋（ y －1）2＝25.
轨迹是以（1，1）为圆心，5为半径的圆.
1. 已知圆的方程是 x2＋ y2－2 x －4＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别
为（ ）
A. （1，0）与5 B. （1，0）
C. （－1，0）与5 D. （－1，0）
解析： 由圆的一般方程为 x2＋ y2－2 x －4＝0，配方得圆的标准
方程为（ x －1）2＋ y2＝5，所以圆心坐标为（1，0），半径 .
故选B.
2. 若直线2 x ＋ y ＋ m ＝0过圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＝0的圆心，则 m 的值为
（ ）
A. 2 B. －1
C. －2 D. 0
解析： 圆的标准方程为（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝5，则圆心坐标
为（1，－2），∵直线2 x ＋ y ＋ m ＝0过 x2＋ y2－2 x ＋4 y ＝0的圆
心.∴2－2＋ m ＝0得 m ＝0.
3. 若两定点 A ， B 的距离为3，动点 M 满足｜ MA ｜＝2｜ MB ｜，则点
M 的轨迹围成区域的面积为（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
解析： 以点 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴
的非负半轴建立直角坐标系，如图.设点 M
（ x ， y ）， 2
x －4）2＋
y2＝4，于是得点 M 的轨迹是以点（4，0）为圆
心，2为半径的圆，其面积为4π，所以 M 点的
轨迹围成区域的面积为4π.故选D.
4. （多选）下列方程表示圆的是（ ）
A. x2＋ y2＋ xy －1＝0
B. x2＋ y2＋2 x ＋2 y －2＝0
C. x2＋ y2－3 x ＋ y ＋4＝0
D. 2 x2＋2 y2＋4 x ＋5 y ＋1＝0
解析： 对于A选项，方程 x2＋ y2＋ xy －1＝0中有 xy 项，该方程
不表示圆；
对于B选项，对于方程 x2＋ y2＋2 x ＋2 y －2＝0，∵22＋22－4×（－
2）＞0，该方程表示圆；
对于C选项，对于方程 x2＋ y2－3 x ＋ y ＋4＝0，∵（－3）2＋12－
4×4＜0，该方程不表示圆；
对于D选项，方程2 x2＋2 y2＋4 x ＋5 y ＋1＝0可化为 x2＋ y2＋2 x y
0，∵22＋（ ）2－4 0，该方程表示圆.故选B、D.
5. 过 O （0，0）， A （3，0）， B （0，4）三点的圆的一般方程
为 .
解析：该圆的圆心为（ 2），半径 （ x
）2＋（ y －2）2 .化成一般方程为 x2＋ y2－3 x －4 y ＝0.
x2＋ y2－3 x －4 y ＝0
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. “实数 a ＞0”是“方程 x2＋ y2－2 x － a ＝0”表示圆的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： x2＋ y2－2 x － a ＝（ x －1）2＋ y2＝ a ＋1表示圆，则 a ＋
1＞0，∴ a ＞－1， a ＞0能推出 a ＞－1，反之不能，故“实数 a ＞
0”是“方程 x2＋ y2－2 x － a ＝0”表示圆的充分不必要条件.故选A.
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2. 已知实数 x ， y 满足方程 x2＋ y2＋8 x －4 y ＋16＝0，则 x 的最大值为
（ ）
A. 3 B. 2
C. －1 D. －2
解析： 将方程变形为（ x ＋4）2＋（ y －2）2＝4，则圆心坐标为
（－4，2），半径 r ＝2，则圆上的点的横坐标的范围为－6≤ x ≤
－2，则 x 的最大值是－2.故选D.
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3. 若圆 C 的方程为 x2＋ y2＋ mx ＋2 my ＋（ m －2）＝0，则圆 C 的最小
周长为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 因为圆 C 的方程为 x2＋ y2＋ mx ＋2 my ＋（ m －2）＝0，
所以圆 C 的半径为 r C 的最小周长为2π r .故选D.
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4. 若圆 C 的方程为 x2＋ y2＋4 x ＋4 y ＋5＝0，点 P 是圆 C 上动点，点 O
为坐标原点，则｜ OP ｜的最大值为（ ）
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
解析： 圆 C 的圆心为（－2，－2），半径为 r ｜ OP ｜的最大值为｜ OC ｜＋ r ＝2 .故选C.
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5. （多选）若直线 l 将圆 x2＋ y2－2 x ＋4 y －4＝0平分，且在两坐标轴
上的截距相等，则直线 l 的方程为（ ）
A. x － y ＋1＝0 B. x －2 y ＝0
C. x ＋ y ＋1＝0 D. 2 x ＋ y ＝0
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解析： 由 x2＋ y2－2 x ＋4 y －4＝0可得（ x －1）2＋（ y ＋2）2
＝9，所以圆心（1，－2），半径为3，若直线 l 将圆 x2＋ y2－2 x ＋4
y －4＝0平分，则直线 l 过圆心（1，－2），若横纵截距都等于0，
则直线 l 过原点，此时直线 l 斜率为－2，直线 l 方程为 y ＝－2 x ，即
2 x ＋ y ＝0，若截距不等于0，设方程 1， 1，
可得 a ＝－1，所以－ x － y ＝1即 x ＋ y ＋1＝0，综上所述直线 l 的方
程为 x ＋ y ＋1＝0或2 x ＋ y ＝0，故选C、D.
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6. 圆 C ： x2＋ y2－2 x －4 y ＋4＝0的圆心到直线3 x ＋4 y ＋4＝0的距离 d
＝ .
解析：圆 C ： x2＋ y2－2 x －4 y ＋4＝0的圆心坐标为（
），即（1，2），故圆心到直线3 x ＋4 y ＋4＝0的距离 d 3.
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7. 已知 a ∈R，方程 a2 x2＋（ a ＋2） y2＋4 x ＋8 y ＋5 a ＝0表示圆，则
圆心坐标是 ，半径是 .
解析：由二元二次方程表示圆的条件可得 a2＝ a ＋2，解得 a ＝2或
－1.当 a ＝2时，方程为4 x2＋4 y2＋4 x ＋8 y ＋10＝0，即 x2＋ y2＋ x ＋
2 y 0，配方得（ x ）2＋（ y ＋1）2＝ 0，不表示圆；
当 a ＝－1时，方程为 x2＋ y2＋4 x ＋8 y －5＝0，配方得（ x ＋2）2＋
（ y ＋4）2＝25，则圆心坐标为（－2，－4），半径是5.
（－2，－4）
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8. 点 P ， Q 在圆 x2＋ y2＋ kx －4 y ＋3＝0（ k ∈R）上，且点 P ， Q 关于
直线2 x ＋ y ＝0对称，则该圆的半径为 .
解析：由题意，可知直线2 x ＋ y ＝0经过圆心，因为圆的方程为 x2＋
y2＋ kx －4 y ＋3＝0，得圆心坐标为（ 2），代入直线方程得
2×（ ）＋2＝0，解得 k ＝2，所以圆的方程为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋
3＝0，化为标准方程得（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝2，所以圆的半径
.
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9. 已知圆 C ： x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋3＝0，圆心在直线 x ＋ y －1＝0上，
且圆心在第二象限，半径长 .
解：圆心 C （ ），∵圆心在直线 x ＋ y －1＝0上，
∴ 1＝0，即 D ＋ E ＝－2. ①
又∵半径长 r
∴ D2＋ E2＝20. ②
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由①②可得
又∵圆心在第二象限，∴ 0，即 D ＞0.
则
故圆的一般方程为 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0.
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10. 设 a ＞0， b ＞0，直线 ax ＋ by －1＝0经过圆 C ： x2＋ y2－2 x －2 y
＝0的圆心，
A. 1 B. 4
解析： 圆心为（1，1），所以 a ＋ b ＝1，于 a ＋
b ）（ ）＝2＋（ ）≥2＋2 4，当且仅 a ＝ b .故选B.
C. 2 D.
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11. 四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功、幸福、平安、
健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草
吊坠的时候，利用了曲线方程 C ： x2＋ y2＝2｜ x ｜＋2｜ y ｜（如
图所示）进行图案绘制.试求曲线 C 围成的封闭图形的面积
.
8＋
4π
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解析：当 x ＞0， y ＞0时，方程可化为（ x －1）2＋（ y －1）2＝
2，它表示圆心为（1，1），半径
x ＞0， y ≤0时，方程可化为（ x －1）
2＋（ y ＋1）2＝2，它表示圆心为（1，－1），半径
x ≤0， y ＞0时，方程可化为（ x ＋1）
2＋（ y －1）2＝2它表示圆心为（－1，1），半径
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x ≤0， y ≤0时，方程可化为（ x ＋1）
2＋（ y ＋1）2＝2，它表示圆心为（－1，－1），半径
.这个区域的面积可以割
成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.所以总
面积为 S ＝（2 2＋2π 2＝8＋4π.
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12. 已知△ ABC 的顶点 C （2，－8），直线 AB 的方程为 y ＝－2 x ＋
11， AC 边上的高 BH 所在直线的方程为 x ＋3 y ＋2＝0.
（1）求顶点 A 和 B 的坐标；
解：由 B 的
坐标为（7，－3），
由 x ＋3 y ＋2＝0可得 y ＝ x kBH ＝ .由 AC ⊥
BH ，可得 kAC ＝3，
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因为 C （2，－8），所以直线 AC 的方程为 y ＋8＝3（ x －2），即3 x － y －14＝0，
由 A 的坐标为（5，1）.
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（2）求△ ABC 外接圆的一般方程.
解：设△ ABC 的外接圆方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
将 A （5，1）， B （7，－3）和 C （2，－8）三点的坐
标分别代入圆的方程可得：
所以△ ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋ y2－4 x ＋6 y －12
＝0.
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13. 阿波罗尼斯（约公元前262～190年）证明过这样一个命题：平面
内到两定点距离之比为常数 k （ k ＞0且 k ≠1）的点的轨迹是圆，
后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点 A ， B 间的距离为2，动
点 P 与 A ， B 距离之比满足：｜ PA ｜ ｜ PB ｜，当 P ， A ， B
三点不共线时，△ PAB 面积的最大值是（ ）
A. 2 B. 2
C. D.
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解析： 依题意，以线段 AB 的中点为原点，
直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图，则
A （－1，0）， B （1，0），设 P （ x ， y ），
因｜ PA ｜ ｜ PB ｜， · x －2）2＋ y2＝3，因此，点 P 的轨迹是以点（2，0）为圆心 P 不在 x 轴上时，与点 A ， B 可构成三角形，当点 P 到直线 AB （ x 轴）的距离最大时，△ PAB 的面积最大，显然，点 P 到 x 轴的最大距离 S△ PAB ）max 2 △ PAB 面积的最大值 .故选C.
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14. 在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋ b （ x
∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为
C .
（1）若 b ＝－1，求圆 C 的方程；
解：设圆 C 的方程为 x2＋ y2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0，
令 y ＝0得 x2＋ Dx ＋ F ＝0，与 f （ x ）＝ x2＋2 x ＋ b ＝0是同
一方程，
所以 D ＝2， F ＝ b ，
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令 x ＝0得 y2＋ Ey ＋ F ＝0，即 y2＋ Ey ＋ b ＝0，又 f （0）＝
b ，所以 b 是方程 y2＋ Ey ＋ b ＝0的一个根，故 b2＋ bE ＋ b ＝
0，因为 f （ x ）图象与坐标轴有三个交点，所以 b ＜1且 b ≠0，
所以 E ＝－ b －1，
所以圆 C 的方程为 x2＋ y2＋2 x ＋（－ b －1） y ＋ b ＝0，
当 b ＝－1时，圆 C 的方程为 x2＋ y2＋2 x －1＝0.
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（2）当 b 取所允许的不同的实数值时（ b ＜1且 b ≠0），圆 C 是否
经过某定点（其坐标与 b 无关）？请证明你的结论.
解：由（1）知，圆 C 的方程为 x2＋ y2＋2 x ＋（－ b －1） y ＋ b ＝0，
转化为 x2＋ y2＋2 x － y －（ y －1） b ＝0，
令
C 经过定点（0，1），（－2，1）.
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