2.3.3 直线与圆的位置关系
1.直线l： y－1＝k（x－1）和圆x2＋y2－2y＝0的关系是（ ）
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
2.直线x＋2y－5＋＝0被x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为（ ）
A.1 B.2
C.2 D.4
3.点M在圆x2＋y2＝2上，点N在直线l：y＝x－3上，则｜MN｜的最小值是（ ）
A. B.
C. D.1
4.已知圆x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.（多选）过P（2，－2）的直线l与圆（x－1）2＋y2＝1相切，则直线l的方程可能是（ ）
A.3x＋4y＋2＝0
B.4x＋3y－2＝0
C.x＝2
D.y＝－2
6.已知直线l1：y＝x＋a和l2：y＝－x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝ .
7.若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋（y－1）2＝1相切于点B，则｜AB｜＝ .
8.（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
9.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
10.直线l：y＝－x＋m与曲线x＝有两个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A.[－2，2） B.（－2，－2]
C.（－2，2] D.[2，2）
11.若实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则的取值范围是 .
12.已知x，y满足（x＋1）2＋y2＝，试求：
（1）x2＋y2的最值；
（2）x＋y的最值.
13.（多选）过点M（1，）作圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦AC和BD，则四边形ABCD的面积可以是（ ）
A.3.5 B.4
C.4.5 D.5
14.已知直线l：（m＋2）x＋（1－2m）y＋4m－2＝0与圆C：x2－2x＋y2＝0交于M，N两点.
（1）求直线l所过定点的坐标；
（2）求m的取值范围；
（3）若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2.3.3 直线与圆的位置关系
1.C l过定点A（1，1），∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
2.D 圆的方程可化为（x－1）2＋（y－2）2＝5，所以圆心（1，2），半径r＝，圆心（1，2）到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以截得的弦长为2＝2＝4.故选D.
3.B 由题意可知，圆心（0，0），半径r＝，圆心（0，0）到l：y＝x－3的距离为＝，所以｜MN｜的最小值为－r＝－＝.故选B.
4.B 将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程（x－3）2＋y2＝9，设圆心为C，则C（3，0），半径r＝3.设点（1，2）为点A，过点A（1，2）的直线为l，因为（1－3）2＋22＜9，所以点A（1，2）在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝｜AC｜＝＝2，所以｜BD｜min＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2，故选B.
5.AC 当直线l的斜率不存在时，直线x＝2与圆（x－1）2＋y2＝1相切.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋2＝k（x－2），即kx－y－2－2k＝0，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心（1，0）到直线kx－y－2－2k＝0的距离为＝1，解得k＝－，所以直线l的方程为－x－y－2＋＝0，即3x＋4y＋2＝0.所以直线l的方程为x＝2或3x＋4y＋2＝0.故选A、C.
6.0 解析：由题意可知l1⊥l2，且圆心（0，0）为两直线的交点，所以a＝b＝0，故a2＋b2＝0.
7. 解析：设圆心为M，由直线的斜率为知此切线的倾斜角为60°，又切线与y轴交点为A，所以∠MAB＝30°，又∠ABM＝90°，且MB＝1，所以AM＝2，即｜AB｜＝＝.
8.－2（或－或或2，填写任意一个均可）
解析：依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可.
9.解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为（x－3b）2＋（y－b）2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有＋（）2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆的方程为
（x－3）2＋（y－1）2＝9或（x＋3）2＋（y＋1）2＝9.
10.D 由x＝，得x2＋y2＝4（x≥0），如图，当直线l：y＝－x＋m与x2＋y2＝4（x≥0）相切时，m＝2.当直线l：y＝－x＋m过点（0，2）时，有两个交点，∴若直线l：y＝－x＋m与曲线x＝有两个公共点，则实数m的取值范围是[2，2）.故选D.
11.（－∞，－]∪[，＋∞） 解析：因为x2＋y2－4y＋3＝0 x2＋（y－2）2＝1，所以（x，y）表示以（0，2）为圆心，半径为1的圆上的点，表示（x，y）与（0，0）的斜率.
如图所示.设直线y＝kx，则（0，2）到直线kx－y＝0的距离d＝＝1，解得k＝±.所以的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）.
12.解：（1）由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值.
原点（0，0）到圆心（－1，0）的距离为d＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，
最小距离为1－＝，
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
（2）令y＋x＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值.
当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，
此时有＝，解得z＝±－1，
即最大值为－1，最小值为－－1.
13.BCD 如图，作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，∵AC⊥BD，∴四边形OEMF为矩形，又OM＝，
设圆心O到AC，BD的距离分别为d1，d2，则＋＝OM2＝3.四边形ABCD的面积为S＝｜AC｜（｜BM｜＋｜MD｜），从而S＝｜AC｜·｜BD｜＝2≤8－（＋）＝5，当且仅当＝时取等号，又S＝2＝2＝2≥4，四边形ABCD的面积最大值是5，最小值是4.故选B、C、D.
14.解：（1）由直线l：（m＋2）x＋（1－2m）y＋4m－2＝0，
得m（x－2y＋4）＋（2x＋y－2）＝0，联立解得∴直线l恒过点（0，2）.
（2）由圆C：x2－2x＋y2＝0，知圆心C（1，0），半径r＝1，
由题意，得＜1，得－＜m＜，
∴当直线l与圆C相交时，m的取值范围为.
（3）由（2）知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
联立得（1＋k2）x2＋（2kb－2）x＋b2＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴k1＋k2＝＋＝＝＝
＝2k＋b·＝2k＋b·＝2k＋－2k＝.
由（1）可知，b＝2，则k1＋k2＝1，
∴k1＋k2是定值，且定值为1.
2 / 22.3.3 直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
【问题】 （1）图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
（2）结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有几种位置关系？
（3）如何判断直线与圆的位置关系？
知识点 直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
相离 公共点
提醒 直线Ax＋By＋C＝0与圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
1.直线3x－4y＋8＝0与圆（x－1）2＋（y＋1）2＝16的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定
2.求直线y＝2x＋3被圆x2＋y2－6x－8y＝0所截得的弦长.
题型一 直线与圆位置关系的判断
【例1】 （链接教科书第113页例1）已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：（x－7）2＋（y－1）2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.
尝试解答
通性通法
判断直线与圆位置关系的方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
【跟踪训练】
1.直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是（ ）
A.相交 B.相离
C.相交或相切 D.相切
2.直线ax＋by＝r2与圆x2＋y2＝r2相离，则P（a，b）与圆x2＋y2＝r2的位置关系是点在圆 .（填“外”“上”或“内”）
题型二 直线与圆相切的有关问题
【例2】 （1）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（ ）
A. B. C. D.
（2）经过点M（2，），且与圆x2＋y2＝10相切的直线的方程为 ；
（3）若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是 .
尝试解答
通性通法
1.过圆上一点（x0，y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
2.过圆外一点（x0，y0）的切线方程的求法
设切线方程为y－y0＝k（x－x0），由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方程组的方法求解.
3.求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【跟踪训练】
1.已知圆C：（x－2k＋1）2＋（y－k）2＝1与x轴和y轴均相切，则实数k的值为 .
2.点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为 .
题型三 直线截圆所得弦长问题
【例3】 直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程.
尝试解答
通性通法
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有两种：
（1）由于半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋＝r2求解，这是常用解法；
（2）联立直线（y＝kx＋b）与圆的方程，消元转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·或｜AB｜＝·｜y1－y2｜＝·.
【跟踪训练】
1.已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点.若｜AB｜＝6，则r的值为 .
2.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（ ）
A.±2 B.± C.± D.±3
2.3.3 直线与圆的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
两个 一个 没有
自我诊断
1.B 圆（x－1）2＋（y＋1）2＝16的圆心坐标为（1，－1），半径为4，圆心到直线的距离d＝＝＝3＜4，所以相交.故选B.
2.解：圆的方程可化为（x－3）2＋（y－4）2＝25.故圆心为（3，4），半径r＝5.
又直线方程为2x－y＋3＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝，
所以弦长为2＝2×＝2＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一（代数法） 由方程组
消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝（－50）2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交.
法二（几何法） 圆心（7，1）到直线l的距离为d＝＝2.∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交.
跟踪训练
1.C 直线x－ky＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）在圆上，故直线与圆相切或相交.
2.内 解析：圆x2＋y2＝r2的圆心为（0，0），半径为r，由于直线ax＋by＝r2与圆x2＋y2＝r2相离，所以＞r，r＞，所以a2＋b2＜r2，所以P（a，b）与圆x2＋y2＝r2的位置关系是点在圆内.
【例2】 （1）B （2）2x＋y－10＝0 （3）4
解析：（1）因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，所以可设该圆的方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2（a＞0），所以（2－a）2＋（1－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到直线2x－y－3＝0的距离为＝或＝，故选B.
（2）法一 因为22＋（）2＝10，所以点M在圆x2＋y2＝10上，由题意可知圆心为C（0，0），则直线CM的斜率kCM＝.因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率k＝－.故经过点M的切线方程为y－＝－（x－2），整理得2x＋y－10＝0.
法二 显然点M（2，）在圆x2＋y2＝10上，又因为过圆x2＋y2＝r2上一点（x0，y0）的切线方程为x0x＋y0y＝r2，故所求切线方程为2x＋y＝10，即2x＋y－10＝0.
（3）法一 由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得（x＋1）2＋（y－2）2＝2，依题意得圆心C（－1，2）在直线2ax＋by＋6＝0上，
所以2a×（－1）＋b×2＋6＝0，即a＝b＋3， ①
易知由点（a，b）向圆所作的切线长l＝， ②
将①代入②，得l＝＝.又b∈R，所以当b＝－1时，lmin＝4.
法二 因为过圆外一点的圆的切线长l、半径r和该点到圆心的距离d满足勾股定理，即l2＝d2－r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心C（－1，2），半径r＝，点（a，b）在直线y＝x－3上，所以点（a，b）与圆心的距离的最小值即圆心到直线y＝x－3的距离d'，易求得d'＝＝3，所以切线长的最小值为＝4.
跟踪训练
1.1 解析：圆C：（x－2k＋1）2＋（y－k）2＝1的圆心为（2k－1，k），因为圆C与x轴和y轴均相切，所以｜2k－1｜＝｜k｜＝1，解得k＝1.
2.8 解析：如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA.又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×｜OA｜·｜PA｜＝2＝2.为使四边形PAOB面积最小，当且仅当｜OP｜达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离：｜OP｜min＝＝2.故所求最小值为2＝8.
【例3】 解：据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k（x－5），与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
法一 联立方程组
消去y，得（k2＋1）x2＋10k（1－k）x＋25k（k－2）＝0.
由Δ＝[10k（1－k）]2－4（k2＋1）·25k（k－2）＞0，
解得k＞0.又x1＋x2＝－，
x1x2＝，
由斜率公式，得y1－y2＝k（x1－x2）.
∴｜AB｜＝
＝
＝
＝＝4.
两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2符合题意.
故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
法二 如图所示，｜OH｜是圆心到直线l的距离，｜OA｜是圆的半径，｜AH｜是弦长｜AB｜的一半.
在Rt△AHO中，｜OA｜＝5，
｜AH｜＝｜AB｜＝×4＝2，
则｜OH｜＝＝.
∴＝，
解得k＝或k＝2.
∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.
跟踪训练
1.5 解析：依题意得，圆心（0，0）到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋＝25，又r＞0，所以r＝5.
2.C 由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C.
3 / 3(共35张PPT)
2.3.3 直线与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关
系 直观想象
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.体会用代数
方法处理几何问题的思想 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了
黄昏日落时分塞外特有的景象.如果我们把太阳看成一个圆，地平线看
成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片.
（2）结合初中平面几何中学过的直线与圆的位置关系，直线与圆有
几种位置关系？
（3）如何判断直线与圆的位置关系？
【问题】 （1）图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？
知识点 直线与圆有三种位置关系
位置关系 交点个数 图示
相交 有 公共点
相切 只有 公共点
两个
一个
位置关系 交点个数 图示
相离 公共点
没有
提醒 直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0与圆（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2的位置
关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
判
定
方
法 几何法：设圆心到直线的距离 d
d ＜ r d ＝ r d ＞ r
代数法： 由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
1. 直线3 x －4 y ＋8＝0与圆（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝16的位置关系是
（ ）
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 不确定
解析： 圆（ x －1）2＋（ y ＋1）2＝16的圆心坐标为（1，－
1），半径为4，圆心到直线的距离 d 3
＜4，所以相交.故选B.
2. 直线 y ＝2 x ＋3被圆 x2＋ y2－6 x －8 y ＝0所截得的弦长等于 .
4
解析：圆的方程可化为（ x －3）2＋（ y －4）2＝25.故圆心为（3，
4），半径 r ＝5.又直线方程为2 x － y ＋3＝0，所以圆心到直线的距
离为 d 2 2
2 4 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与圆位置关系的判断
【例1】 （链接教科书第113页例1）已知直线 l ： x －2 y ＋5＝0与圆
C ：（ x －7）2＋（ y －1）2＝36，判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
解：法一（代数法）
由方程组
消去 y 后整理，得5 x2－50 x ＋61＝0.
∵Δ＝（－50）2－4×5×61＝1 280＞0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线 l 与圆 C 相交.
法二（几何法） 圆心（7，1）到直线 l 的距离为 d
2 .∵ d ＜ r ＝6，∴直线 l 与圆 C 相交.
通性通法
判断直线与圆位置关系的方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断；
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
【跟踪训练】
1. 直线 x － ky ＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相离
C. 相交或相切 D. 相切
解析： 直线 x － ky ＋1＝0恒过定点（－1，0），而（－1，0）
在圆上，故直线与圆相切或相交.
2. 直线 ax ＋ by ＝ r2与圆 x2＋ y2＝ r2相离，则 P （ a ， b ）与圆 x2＋ y2＝
r2的位置关系是点在圆 .（填“外”“上”或“内”）
内
解析：圆 x2＋ y2＝ r2的圆心为（0，0），半径为 r ，由于直线 ax
＋ by ＝ r2与圆 x2＋ y2＝ r2相离，所 r ， r
a2＋ b2＜ r2，所以 P （ a ， b ）与圆 x2＋ y2＝ r2
的位置关系是点在圆内.
题型二 直线与圆相切的有关问题
【例2】 （1）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直
线2 x － y －3＝0的距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析：因为圆与两坐标轴都相切，点（2，1）在该圆上，
所以可设该圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － a ）2＝ a2（ a ＞0），
所以（2－ a ）2＋（1－ a ）2＝ a2，即 a2－6 a ＋5＝0，解得 a ＝1
或 a ＝5，所以圆心的坐标为（1，1）或（5，5），所以圆心到
直线2 x － y －3＝0的距离 B.
（2）经过点 M （2 x2＋ y2＝10相切的直线的方程
为 ；
2 x y －10＝0
解析：法一 因为22＋ 2＝10，所以点 M 在圆 x2＋ y2＝10
上，由题意可知圆心为 C （0，0），则直线 CM 的斜率 kCM .
因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切
线的斜率 k ＝ .故经过点 M 的切线方程为 y x －
2），整理得2 x y －10＝0.
法二 显然点 M （2 x2＋ y2＝10上，又因为过圆 x2＋ y2＝
r2上一点（ x0， y0）的切线方程为 x0 x ＋ y0 y ＝ r2，故所求切线方程为2
x y ＝10，即2 x y －10＝0.
（3）若圆 C ： x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0关于直线2 ax ＋ by ＋6＝0对
称，则由点（ a ， b ）向圆所作的切线长的最小值是 .
4
解析： 法一 由 x2＋ y2＋2 x －4 y ＋3＝0，得（ x ＋1）2＋（ y －2）2＝2，依题意得圆心 C （－1，2）在直线2 ax ＋ by ＋6＝0上，
所以2 a ×（－1）＋ b ×2＋6＝0，即 a ＝ b ＋3，
①
易知由点（ a ， b ）向圆所作的切线长 l
②
将①代入②，得 l
.又 b ∈R，所以当 b ＝－1时， lmin＝4.
法二 因为过圆外一点的圆的切线长 l 、半径 r 和该点到圆心的距离 d
满足勾股定理，即 l2＝ d2－ r2，所以切线长最短时该点到圆心的距离
最小，则原问题转化成求该点与圆心的距离的最小值问题.由题意知圆心 C （－1，2），半径 r a ， b ）在直线 y ＝ x －3上，所以点（ a ， b ）与圆心的距离的最小值即圆心到直线 y ＝ x －3的距离d'，易求得d' 3 4.
通性通法
1. 过圆上一点（ x0， y0）的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率 k ，再由垂直关系得切线的斜率为
，由点斜式可得切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图形可
直接得切线方程 y ＝ y0或 x ＝ x0.
2. 过圆外一点（ x0， y0）的切线方程的求法
设切线方程为 y － y0＝ k （ x － x0），由圆心到直线的距离等于
半径建立方程，可求得 k ，也就得切线方程.当用此法只求出一
个方程时，另一个方程应为 x ＝ x0，因为在上面解法中不包括斜
率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方
程组的方法求解.
3. 求切线长（最值）的两种方法
（1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量
统一成一个，转化成函数求最值；
（2）几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题.
【跟踪训练】
1. 已知圆 C ：（ x －2 k ＋1）2＋（ y － k ）2＝1与 x 轴和 y 轴均相切，则
实数 k 的值为 .
解析：圆 C ：（ x －2 k ＋1）2＋（ y － k ）2＝1的圆心为（2 k －1，
k ），因为圆 C 与 x 轴和 y 轴均相切，所以｜2 k －1｜＝｜ k ｜＝1，
解得 k ＝1.
1
2. 点 P 是直线2 x ＋ y ＋10＝0上的动点， PA ， PB 与圆 x2＋ y2＝4分别
相切于 A ， B 两点，则四边形 PAOB 面积的最小值为 .
解析：如图所示，因为 S四边形 PAOB ＝2 S△ POA . 又 OA ⊥
AP ，所以 S四边形 PAOB ＝2 ｜ OA ｜·｜ PA ｜＝2
2 .为使四边形
PAOB 面积最小，当且仅当｜ OP ｜达到最小，即为点 O
到直线2 x ＋ y ＋10＝0的距离：｜ OP ｜min 2
.故所求最小值为2 8.
8
题型三 直线截圆所得弦长问题
【例3】 直线 l 经过点 P （5，5）并且与圆 C ： x2＋ y2＝25相交截得
的弦长为4 l 的方程.
解：据题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y －5＝ k （ x －
5），与圆 C 相交于 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
法一 联立方程组
消去 y ，得（ k2＋1） x2＋10 k （1－ k ） x ＋25 k （ k －2）＝0.
由Δ＝[10 k （1－ k ）]2－4（ k2＋1）·25 k （ k －2）＞0，
解得 k ＞0.又 x1＋ x2＝ x1 x2
由斜率公式，得 y1－ y2＝ k （ x1－ x2）.
∴｜ AB ｜
4 .
两边平方，整理得2 k2－5 k ＋2＝0，解得 k k ＝2符合题意.
故直线 l 的方程为 x －2 y ＋5＝0或2 x － y －5＝0.
法二 如图所示，｜ OH ｜是圆心到直线 l 的距
离，｜ OA ｜是圆的半径，｜ AH ｜是弦长｜ AB ｜
的一半.
在Rt△ AHO 中，｜ OA ｜＝5，
｜ AH ｜ ｜ AB ｜ 4 2
则｜ OH ｜ .
∴
解得 k k ＝2.
∴直线 l 的方程为 x －2 y ＋5＝0或2 x － y －5＝0.
通性通法
求弦长的两种方法
涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有两种：
（1）由于半径长 r 、弦心距 d 、弦长 l 的一半构成直角三角形，所以
利用勾股定理 d2＋（ ）2＝ r2求解，这是常用解法；
（2）联立直线（ y ＝ kx ＋ b ）与圆的方程，消元转化为关于 x 的一元
二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长｜ AB ｜
·｜ x1－ x2｜ · 或｜
AB ｜ ·｜ y1－ y2｜ · .
【跟踪训练】
1. 已知直线 x y ＋8＝0和圆 x2＋ y2＝ r2（ r ＞0）相交于 A ， B 两点.
若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为 .
解析：依题意得，圆心（0，0）到直线 x y ＋8＝0的距离 d
4，因此 r2＝ d2＋（ ）2＝25，又 r ＞0，所以 r ＝5.
5
2. 已知圆 C ： x2＋ y2＝4，直线 l ： y ＝ kx ＋ m ，当 k 变化时， l 截得圆
C 弦长的最小值为2，则 m ＝（ ）
A. ±2 B.
C. D. ±3
解析： 由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距
离 d 2 k ＝0时，弦长取得最小
值为2 2，解得 m ＝ .故选C.
谢 谢 观 看！
