2.3.4 圆与圆的位置关系
1.圆x2＋y2－1＝0和圆x2＋y2－6x＋8y＋16＝0的位置关系是（ ）
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
2.圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2＋4y＝0的公共弦长等于（ ）
A. B.
C. D.
3.已知点M在圆C1：（x＋3）2＋（y－1）2＝4上，点N在圆C2：（x－1）2＋（y＋2）2＝9上，则｜MN｜的最大值是（ ）
A.6 B.8
C.10 D.12
4.过圆x2＋y2＝4上一点P作圆O：x2＋y2＝r2（r＞0）的两条切线，切点分别为A，B，若∠APB＝，则r＝（ ）
A.1 B.
C. D.
5.（多选）已知圆C1：x2＋y2－4＝0和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则（ ）
A.两圆圆心的距离为25
B.两圆相交
C.两圆的公共弦所在直线方程为6x＋8y－11＝0
D.两圆的公共弦长为
6.设圆C1：（x－1）2＋（y－1）2＝9和圆C2：（x＋1）2＋（y＋2）2＝4交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为 .
7.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0（a＞0）的公共弦的长为2，则a＝ .
8.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 .
9.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0.
（1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系；
（2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由.
10.若两圆x2＋y2＋2x＋m－4＝0（m＞0）和x2＋y2－4y－1＋4n＝0（n＞0）恰有三条公切线，则＋的最小值为（ ）
A. B.
C.1 D.3
11.已知O为坐标原点，点M是函数f（x）＝（x＞0）图象上任意一点，过点M作直线MA，MB分别与圆O：x2＋y2＝1相切于点A，B，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，则△OCD的面积为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
（1）若直线l：x－y－t＝0将圆C的周长分为1∶2的两部分，求实数t的值；
（2）若与圆C相外切且与x轴相切的圆的圆心记为D，求D点的轨迹方程.
13.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5 h B.1 h
C.1.5 h D.2 h
14.如图，某台机器的三个齿轮，A与B啮合，C与B也啮合.若A轮的直径为200 cm，B轮的直径为120 cm，C轮的直径为250 cm，且∠CAB＝45°.试建立适当的坐标系，用坐标法求出A，C两齿轮的中心距离（精确到1 cm）.
2.3.4 圆与圆的位置关系
1.D 圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），半径r1＝1；圆x2＋y2－6x＋8y＋16＝0的圆心为（3，－4），半径为r2＝3，圆心距d＝＝5＞r1＋r2，所以两圆的位置关系是外离.故选D.
2.D 联立解得或故公共弦长等于＝.故选D.
3.C 圆C1的圆心为（－3，1），半径为2；圆C2的圆心为（1，－2），半径为3.所以｜MN｜的最大值为＋2＋3＝10.故选C.
4.C 由题意可知0＜r＜2，如示意图，四边形OAPB是正方形，因为｜OP｜＝2，则r＝.故选C.
5.BD 圆C1：x2＋y2＝4圆心C1（0，0），半径r1＝2，圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝16圆心C2（3，4），半径r2＝4，圆心距｜C1C2｜＝＝5，A错误；因为｜C1C2｜＝5，r2＋r1＝6，r2－r1＝2，r2－r1＜｜C1C2｜＜r2＋r1，两圆相交，B正确；两圆相减得6x＋8y－13＝0，故两圆的公共弦所在直线方程为6x＋8y－13＝0，C错误；圆心C1（0，0）到6x＋8y－13＝0的距离为＝，由垂径定理得两圆的公共弦长为2＝，D选项正确.故选B、D.
6.3x－2y－1＝0 解析：由题意知C1（1，1），C2（－1，－2），且C1C2垂直平分AB，∴线段AB的垂直平分线所在直线必过C1，C2，故直线的方程为y－1＝·（x－1），整理得3x－2y－1＝0.
7.1 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（x2＋y2＋2ay－6）－（x2＋y2）＝0－4 y＝，又a＞0，结合图象（图略），再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝ ＝1 a＝1.
8.x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0，则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.
9.解：（1）当m＝1时，圆C1的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9，圆心为C1（1，－2），半径长为r1＝3，
圆C2的方程为（x＋1）2＋y2＝1，圆心为C2（－1，0），半径长为r2＝1，
两圆的圆心距d＝＝2，
又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，
所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交.
（2）不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含.理由如下：
圆C1的方程可化为（x－m）2＋（y＋2）2＝9，圆心C1的坐标为（m，－2），半径为3.
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3－1，
即（m＋1）2＜0，此不等式无解.
故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含.
10.C 由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（x＋）2＋y2＝4，x2＋（y－2）2＝1，圆心分别为（－，0），（0，2），半径分别为2和1，故有＝3，∴m＋4n＝9，∴＝1，∴＋＝＋＝＋＋＋≥＋2＝1，当且仅当＝，即m＝2n＝3时，等号成立.故选C.
11.D 由切线性质可知，M，A，B，O四点在以MO为直径的圆上，设该圆为圆T，设M，则圆T为＋＝， ①
而圆O为x2＋y2＝1， ②
②－①得mx＋y＝1，故直线AB的方程为mx＋y＝1，所以C，D，所以S△OCD＝××＝.故选D.
12.解：（1）由圆方程化为标准式（x－3）2＋（y－4）2＝4，可知圆心C（3，4），半径r＝2，
而直线l：x－y－t＝0将圆C的周长分为1∶2的两部分，
知C到直线l：x－y－t＝0的距离为d＝r＝1，即d＝＝1，解得t＝－1±.
（2）设D（x，y），易知所求的圆在x轴上方，且半径为y，
由于所求圆与圆C相外切，所以｜CD｜＝2＋y，即＝2＋y，
整理得D点的轨迹方程为x2－6x－12y＋21＝0.
13.B 如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B（40，0）为圆心，30为半径的圆内MN之间（含端点）为危险区，可求得｜MN｜＝20，∴时间为1 h.
14.解：根据题意，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则AB＝160，A（0，0），B（160，0），
由于∠CAB＝45°，
所以直线AC的方程为y＝x，
故设C（t，t），t＞0，
则BC＝（250＋120）＝185，
由于圆B与圆C相外切，
故BC＝＝185，
解方程得t≈183.5.
所以AC＝t≈259.5≈260 cm.
故A，C两齿轮的中心距离约为260 cm.
2 / 22.3.4 圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 直观想象
2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想 数学运算
如图为1973年12月24日在哥斯达黎加拍到的日环食全过程.可以用两个圆来表示变化过程.
【问题】 （1）根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？
（2）能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
（3）直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？
知识点 圆与圆的位置关系
1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 .
2.判定方法
（1）几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2 的关系
（2）代数法：设两圆的一般方程为
C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0（＋－4F1＞0），
C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0（＋－4F2＞0），
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系
【想一想】
1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
2.当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
1.圆（x＋2）2＋y2＝4与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
2.两圆（x－a）2＋（y－b）2＝c2和（x－b）2＋（y－a）2＝c2相切，则（ ）
A.（a－b）2＝c2 B.（a－b）2＝2c2
C.（a＋b）2＝c2 D.（a＋b）2＝2c2
3.已知两圆x2＋y2＝10和（x－1）2＋（y－3）2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 .
题型一 圆与圆位置关系的判断
【例1】 （链接教科书第119页例1）已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系.
尝试解答
通性通法
判断两圆位置关系的两种方法
（1）几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
【跟踪训练】
1.已知圆C1：（x－a）2＋（y－b）2＝4（a，b为常数）与C2：x2＋y2－2x＝0.若圆心C1与C2关于直线x－y＝0对称，则圆C1与C2的位置关系为（ ）
A.内含 B.相交
C.相切 D.相离
2.以A（3，－4）为圆心，以r为半径的圆A与圆B：x2＋y2＝64内含，则r的取值范围为 .
题型二 两圆相交问题
【例2】 已知圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－）2＝9.则两圆公共弦所在直线的方程为 ；两圆公共弦长为 .
尝试解答
通性通法
1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【跟踪训练】
1.若圆O：x2＋y2＝4，与圆C：x2＋y2＋2y－6＝0相交于A，B两点，则公共弦AB的长为 .
2.已知圆C：x2＋y2＝1，过点P向圆C引两条切线PA，PB，切点为A，B，若点P的坐标为（2，1），则直线AB的方程为 .
题型三 两圆相切问题
【例3】 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M（3，－）的圆的方程.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点（3，－）的圆的方程”.
2.（变条件、变设问）将本例改为“若圆x2＋y2－2x＝0与圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，试求实数m的值.”
通性通法
处理两圆相切问题的两个步骤
（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论；
（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
【跟踪训练】
1.圆C1：（x－2）2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）与圆C2：（x＋1）2＋（y－2）2＝4，若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，则实数r＝（ ）
A.7 B.3
C.3或7 D.不确定
2.圆x2＋4x＋y2＝0与圆（x－2）2＋（y－3）2＝r2有三条公切线，则半径r＝（ ）
A.5 B.4
C.3 D.2
1.两圆x2＋（y－2）2＝1和（x＋2）2＋（y＋1）2＝16的位置关系是（ ）
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
2.圆x2＋（y－1）2＝1与圆（x－1）2＋y2＝1的公切线的条数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
3.圆x2＋y2－1＝0与圆x2＋y2－4x＝0的公共弦所在直线的方程为（ ）
A.4x－1＝0 B.4y－1＝0
C.x＋y－1＝0 D.x－y－1＝0
4.（多选）已知圆A、圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径可能是（ ）
A.6 cm B.10 cm
C.14 cm D.16 cm
5.圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x－16＝0的公共弦长为 .
2.3.4 圆与圆的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.外离 外切 相交 内切 内含 2.（1）d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜
（2）2个 1个 0个 相交 内切或外切 外离或内含
想一想
1.提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
2.提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.
自我诊断
1.B 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为r＝2，R＝3，两圆的圆心距离为＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆相交，故选B.
2.B ∵两圆的半径相等，∴两圆必相外切.∴＝2c，即（a－b）2＝2c2.故选B.
3.x＋3y＝0 解析：圆的方程（x－1）2＋（y－3）2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：法一（几何法） 把圆C1的方程化为标准方程，得（x＋2）2＋（y＋2）2＝10.圆C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长r1＝.
把圆C2的方程化为标准方程，得（x－1）2＋（y－4）2＝25.圆C2的圆心坐标为（1，4），半径长r2＝5.
圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3，
又圆C1与圆C2的两半径之和是r1＋r2＝5＋，两半径之差是r2－r1＝5－.
而5－＜3＜5＋，即r2－r1＜d＜r1＋r2，
所以两圆的位置关系是相交.
法二（代数法） 将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得x＋2y＋1＝0， ③
由③得x＝－2y－1，把此式代入①，
并整理得y2－1＝0， ④
所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.
所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点（－3，1），（1，－1），即两圆的位置关系是相交.
跟踪训练
1.B 依题意C2（1，0），所以C1（0，1），r1＝2，r2＝1，r1＋r2＝3，｜r1－r2｜＝1，又知｜C1C2｜＝＝∈（1，3），所以两圆相交.故选B.
2.（0，3）∪（13，＋∞） 解析：圆x2＋y2＝64的圆心为B（0，0），半径r'＝8，所以圆心距d＝＝5，因为两圆内含｜r－r'｜＞d，所以｜r－8｜＞5，所以r＞13或0＜r＜3.所以r的取值范围为（0，3）∪（13，＋∞）.
【例2】 2x－2y－3＝0
解析：两圆圆心分别为（1，0），（0，），圆心距为2，两圆半径分别为2，3，2＋3＞2，所以两圆相交.两圆对应的方程相减即可得两圆公共弦所在直线的方程为2x－2y－3＝0.已知圆O1的圆心（1，0）到公共弦的距离为d＝＝.所以两圆的公共弦长为2＝＝.
跟踪训练
1.2 解析：由题意AB所在的直线方程为（x2＋y2＋2y－6）－（x2＋y2－4）＝0，即y＝1，因为圆心O到直线y＝1的距离为1，所以｜AB｜＝2＝2.
2.2x＋y－1＝0 解析：由题意，圆C：x2＋y2＝1的圆心坐标为C（0，0），则以C（0，0）和P（2，1）为直径的圆的圆心为，半径为r＝＝.可得以CP为直径的圆的方程为（x－1）2＋＝，即x2＋y2－2x－y＝0，两圆的方程相减可得2x＋y－1＝0，即直线AB的方程为2x＋y－1＝0.
【例3】 解：设所求圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1. ①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
故＝， ②
＝r. ③
解由①②③组成的方程组得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为（x－4）2＋y2＝4或x2＋（y＋4）2＝36.
母题探究
1.解：因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为 （a，0），半径为r，
则所求圆的方程为（x－a）2＋y2＝r2，
又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点（3，－），
所以
解得
所以圆的方程为（x－4）2＋y2＝4.
2.解：圆x2＋y2－2x＝0的圆心为A（1，0），半径为r1＝1，圆x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圆心为B（4，4），半径为r2＝.因为两圆相外切，
所以＝1＋，解得m＝16.
跟踪训练
1.C 由题意C1（2，－2），C2（－1，2），则｜C1C2｜＝＝5，因为圆C1与圆C2有且仅有一个公共点，故圆C1与圆C2相内切或外切，故｜r－2｜＝5或r＋2＝5，从而r＝7或r＝3，故选C.
2.C 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为2，r，由于两圆有三条公切线，∴两圆相外切，∴＝2＋r，即5＝2＋r，∴r＝3.
随堂检测
1.B 两圆圆心分别为（0，2）和（－2，－1），半径分别为1和4，圆心距d＝＝，｜r1－r2｜＜d＜｜r1＋r2｜，故两圆相交.
2.C 圆x2＋（y－1）2＝1的圆心为（0，1），半径r1＝1，圆（x－1）2＋y2＝1的圆心为（1，0），半径r2＝1，则两圆心的距离为r1－r2＝0＜d＝＜r1＋r2＝2，则两圆相交，公切线条数为2.故选C.
3.A 两圆方程相减消去二次项得4x－1＝0，此即为两圆公共弦所在直线方程.
4.AC 因为圆A与圆B相切包括内切与外切，设圆B的半径为r cm，所以10＝4＋r或10＝r－4，即r＝6或r＝14.故选A、C.
5.4 解析：两圆方程作差得x＝2，当x＝2时，由x2＋y2＝8得y2＝8－4＝4，即y＝±2，即两圆的交点坐标为A（2，2），B（2，－2），则｜AB｜＝2－（－2）＝4.
4 / 4(共61张PPT)
2.3.4 圆与圆的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 直观想象
2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数
方法处理几何问题的思想 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图为1973年12月24日在哥斯达黎加拍到的日环食全过程.可以用
两个圆来表示变化过程.
【问题】 （1）根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有
几种？
（2）能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？
（3）直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆
的位置关系能否利用代数法判断？
知识点 圆与圆的位置关系
1. 种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为 、
、 、 、 .
外离
外
切
相交
内切
内含
（1）几何法：若两圆的半径分别为 r1， r2，两圆连心线的长为 d ，
则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r1， r2
的关系
d ＞ r1
＋ r2
d ＝ r1
＋ r2
｜ r1－
r2｜＜ d ＜
r1＋ r2
d ＝｜
r1－ r2｜
d ＜｜
r1－ r2｜
2. 判定方法
（2）代数法：设两圆的一般方程为
C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0 4 F1＞0），
C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y ＋ F2＝0 4 F2＞0），
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数
两圆的位置关系
2个
1个
0个
相交
内切或外切
外离或内含
【想一想】
1. 当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是
多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
2. 当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连
心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于
两圆的公切线.
1. 圆（ x ＋2）2＋ y2＝4与圆（ x －2）2＋（ y －1）2＝9的位置关系为
（ ）
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 相离
解析： 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，1），半径分别为 r
＝2， R ＝3，两圆的圆心距离
R － r R ＋ r ，所以两圆相交，故选B.
2. 两圆（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ c2和（ x － b ）2＋（ y － a ）2＝ c2相
切，则（ ）
A. （ a － b ）2＝ c2 B. （ a － b ）2＝2 c2
C. （ a ＋ b ）2＝ c2 D. （ a ＋ b ）2＝2 c2
解析： ∵两圆的半径相等，∴两圆必相外切.
∴ 2 c ，即（ a － b ）2＝2 c2.故选B.
3. 已知两圆 x2＋ y2＝10和（ x －1）2＋（ y －3）2＝20相交于 A ， B 两
点，则直线 AB 的方程是 .
解析：圆的方程（ x －1）2＋（ y －3）2＝20可化为 x2＋ y2－2 x －6 y
＝10.又 x2＋ y2＝10，两式相减得2 x ＋6 y ＝0，即 x ＋3 y ＝0.
x ＋3 y ＝0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 圆与圆位置关系的判断
【例1】 （链接教科书第119页例1）已知两圆 C1： x2＋ y2＋4 x ＋4 y
－2＝0， C2： x2＋ y2－2 x －8 y －8＝0，判断圆 C1与圆 C2的位置关系.
解：法一（几何法） 把圆 C1的方程化为标准方程，得（ x ＋2）2＋
（ y ＋2）2＝10.圆 C1的圆心坐标为（－2，－2），半径长 r1 .
把圆 C2的方程化为标准方程，得（ x －1）2＋（ y －4）2＝25.圆 C2的
圆心坐标为（1，4），半径长 r2＝5.
圆 C1和圆 C2的圆心距 d ＝ 3
又圆 C1与圆 C2的两半径之和是 r1＋ r2＝5 r2－ r1
＝5 .
而5 3 5 r2－ r1＜ d ＜ r1＋ r2，
所以两圆的位置关系是相交.
法二（代数法） 将两圆的方程联立得到方程组
由①－②得 x ＋2 y ＋1＝0， ③
由③得 x ＝－2 y －1，把此式代入①，
并整理得 y2－1＝0， ④
所以 y1＝1， y2＝－1，代入 x ＋2 y ＋1＝0得 x1＝－3， x2＝1.
所以圆 C1与圆 C2有两个不同的公共点（－3，1），（1，－1），即两
圆的位置关系是相交.
通性通法
判断两圆位置关系的两种方法
（1）几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值、半径之
和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中
主要使用的方法；
（2）代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程
组解的个数进而判断两圆位置关系.
【跟踪训练】
1. 已知圆 C1：（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝4（ a ， b 为常数）与 C2： x2
＋ y2－2 x ＝0.若圆心 C1与 C2关于直线 x － y ＝0对称，则圆 C1与 C2的
位置关系为（ ）
A. 内含 B. 相交
C. 相切 D. 相离
解析： 依题意 C2（1，0），所以 C1（0，1）， r1＝2， r2＝1，
r1＋ r2＝3，｜ r1－ r2｜＝1，又知｜ C1 C2｜
1，3），所以两圆相交.故选B.
2. 以 A （3，－4）为圆心，以 r 为半径的圆 A 与圆 B ： x2＋ y2＝64内
含，则 r 的取值范围为 .
解析：圆 x2＋ y2＝64的圆心为 B （0，0），半径r'＝8，所以圆心距
d 5，因为两圆内含｜ r －r'｜＞ d ，所以｜ r －8｜＞
5，所以 r ＞13或0＜ r ＜3.所以 r 的取值范围为（0，3）∪（13，＋
∞）.
（0，3）∪（13，＋∞）
题型二 两圆相交问题
【例2】 已知圆 O1：（ x －1）2＋ y2＝4和圆 O2： x2＋（ y 2＝
9.则两圆公共弦所在直线的方程为 ；两圆公共
弦长为 .
2 x －2 y －3＝0
解析：两圆圆心分别为（1，0），（0 2，两圆半
径分别为2，3，2＋3＞2，所以两圆相交.两圆对应的方程相减即可得
两圆公共弦所在直线的方程为2 x －2 y －3＝0.已知圆 O1的圆心
（1，0）到公共弦的距离为 d .所以两圆的公共
弦长为2 .
通性通法
1. 两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆 C1： x2＋ y2＋ D1 x ＋ E1 y ＋ F1＝0与圆 C2： x2＋ y2＋ D2 x ＋ E2 y
＋ F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为（ D1－ D2） x ＋
（ E1－ E2） y ＋ F1－ F2＝0.
2. 公共弦长的求法
（1）代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的
距离公式求出弦长；
（2）几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦
长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【跟踪训练】
1. 若圆 O ： x2＋ y2＝4，与圆 C ： x2＋ y2＋2 y －6＝0相交于 A ， B 两
点，则公共弦 AB 的长为 .
解析：由题意 AB 所在的直线方程为（ x2＋ y2＋2 y －6）－（ x2＋ y2
－4）＝0，即 y ＝1，因为圆心 O 到直线 y ＝1的距离为1，所以｜
AB ｜＝2 2 .
2
2. 已知圆 C ： x2＋ y2＝1，过点 P 向圆 C 引两条切线 PA ， PB ，切点为
A ， B ，若点 P 的坐标为（2，1），则直线 AB 的方程为
.
解析：由题意，圆 C ： x2＋ y2＝1的圆心坐标为 C （0，0），则以 C
（0，0）和 P （2，1）为直径的圆的圆心为（1 ），半径为 r .可得以 CP 为直径的圆的方程为（ x －1）2＋（ y ）2
x2＋ y2－2 x － y ＝0，两圆的方程相减可得2 x ＋ y －1＝0，
即直线 AB 的方程为2 x ＋ y －1＝0.
2 x ＋ y －
1＝0
题型三 两圆相切问题
【例3】 求与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切且与直线 x y ＝0相切于点 M
（3， .
解：设所求圆的方程为（ x － a ）2＋（ y － b ）2＝ r2（ r ＞0），
由题知所求圆与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，
r ＋1. ①
又所求圆过点 M 的切线为直线 x y ＝0，
②
r . ③
解由①②③组成的方程组得 a ＝4， b ＝0， r ＝2或 a ＝0， b ＝－4
r ＝6.
故所求圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4或 x2＋（ y ＋4 2＝36.
【母题探究】
1. （变条件）将本例变为“求与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，圆心在 x 轴
上，且过点（3， .
解：因为圆心在 x 轴上，
所以可设圆心坐标为 （ a ，0），半径为 r ，
则所求圆的方程为（ x － a ）2＋ y2＝ r2，
又因为与圆 x2＋ y2－2 x ＝0外切，且过点（3
所以
解得
所以圆的方程为（ x －4）2＋ y2＝4.
2. （变条件、变设问）将本例改为“若圆 x2＋ y2－2 x ＝0与圆 x2＋ y2
－8 x －8 y ＋ m ＝0相外切，试求实数 m 的值.”
解：圆 x2＋ y2－2 x ＝0的圆心为 A （1，0），半径为 r1＝1，圆 x2＋
y2－8 x －8 y ＋ m ＝0的圆心为 B （4，4），半径为 r2 .因
为两圆相外切，
所 1 m ＝16.
通性通法
处理两圆相切问题的两个步骤
（1）定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则
必须分两圆内切还是外切两种情况讨论；
（2）转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆
半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）.
【跟踪训练】
1. 圆 C1：（ x －2）2＋（ y ＋2）2＝ r2（ r ＞0）与圆 C2：（ x ＋1）2＋
（ y －2）2＝4，若圆 C1与圆 C2有且仅有一个公共点，则实数 r ＝
（ ）
A. 7 B. 3
C. 3或7 D. 不确定
解析： 由题意 C1（2，－2）， C2（－1，2），则｜ C1 C2｜ 5，因为圆 C1与圆 C2有且仅有一个公共点，故圆 C1与圆
C2相内切或外切，故｜ r －2｜＝5或 r ＋2＝5，从而 r ＝7或 r ＝3，
故选C.
2. 圆 x2＋4 x ＋ y2＝0与圆（ x －2）2＋（ y －3）2＝ r2有三条公切线，
则半径 r ＝（ ）
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
解析： 两圆的圆心分别为（－2，0），（2，3），半径分别为
2， r ，由于两圆有三条公切线，∴两圆相外切，
∴ 2＋ r ，即5＝2＋ r ，∴ r ＝3.
1. 两圆 x2＋（ y －2）2＝1和（ x ＋2）2＋（ y ＋1）2＝16的位置关系是
（ ）
A. 相离 B. 相交
C. 内切 D. 外切
解析： 两圆圆心分别为（0，2）和（－2，－1），半径分别为1
和4，圆心距 d ｜ r1－ r2｜＜ d ＜｜ r1＋ r2｜，故两
圆相交.
2. 圆 x2＋（ y －1）2＝1与圆（ x －1）2＋ y2＝1的公切线的条数是
（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 圆 x2＋（ y －1）2＝1的圆心为（0，1），半径 r1＝1，圆
（ x －1）2＋ y2＝1的圆心为（1，0），半径 r2＝1，则两圆心的距离
为 r1－ r2＝0＜ d r1＋ r2＝2，则两圆相交，公切线条数为2.故
选C.
3. 圆 x2＋ y2－1＝0与圆 x2＋ y2－4 x ＝0的公共弦所在直线的方程为
（ ）
A. 4 x －1＝0 B. 4 y －1＝0
C. x ＋ y －1＝0 D. x － y －1＝0
解析： 两圆方程相减消去二次项得4 x －1＝0，此即为两圆公共
弦所在直线方程.
4. （多选）已知圆 A 、圆 B 相切，圆心距为10 cm，其中圆 A 的半径为
4 cm，则圆 B 的半径可能是（ ）
A. 6 cm B. 10 cm
C. 14 cm D. 16 cm
解析： 因为圆 A 与圆 B 相切包括内切与外切，设圆 B 的半径为
r cm，所以10＝4＋ r 或10＝ r －4，即 r ＝6或 r ＝14.故选A、C.
5. 圆 x2＋ y2＝8与圆 x2＋ y2＋4 x －16＝0的公共弦长为 .
解析：两圆方程作差得 x ＝2，当 x ＝2时，由 x2＋ y2＝8得 y2＝8－4
＝4，即 y ＝±2，即两圆的交点坐标为 A （2，2）， B （2，－2），
则｜ AB ｜＝2－（－2）＝4.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 圆 x2＋ y2－1＝0和圆 x2＋ y2－6 x ＋8 y ＋16＝0的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 相交
C. 外切 D. 外离
解析： 圆 x2＋ y2＝1的圆心为（0，0），半径 r1＝1；圆 x2＋ y2－
6 x ＋8 y ＋16＝0的圆心为（3，－4），半径为 r2＝3，圆心距 d 5＞ r1＋ r2，所以两圆的位置关系是外离.故选D.
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2. 圆 x2＋ y2－2 x ＝0与圆 x2＋ y2＋4 y ＝0的公共弦长等于（ ）
A. B.
C. D.
解析： 联立.故选D.
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3. 已知点 M 在圆 C1：（ x ＋3）2＋（ y －1）2＝4上，点 N 在圆 C2：
（ x －1）2＋（ y ＋2）2＝9上，则｜ MN ｜的最大值是（ ）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
解析： 圆 C1的圆心为（－3，1），半径为2；圆 C2的圆心为
（1，－2），半径为3.所以｜ MN ｜的最大值 2＋3＝10.故选C.
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4. 过圆 x2＋ y2＝4上一点 P 作圆 O ： x2＋ y2＝ r2（ r ＞0）的两条切线，
切点分别为 A ， B ，若∠ APB r ＝（ ）
A. 1 B. C. D.
解析： 由题意可知0＜ r ＜2，如示意图，四
边形 OAPB 是正方形，因为｜ OP ｜＝2，则 r
.故选C.
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5. （多选）已知圆 C1： x2＋ y2－4＝0和圆 C2： x2＋ y2－6 x －8 y ＋9＝
0，则（ ）
A. 两圆圆心的距离为25
B. 两圆相交
C. 两圆的公共弦所在直线方程为6 x ＋8 y －11＝0
D. 两圆的公共弦长
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解析： 圆 C1： x2＋ y2＝4圆心 C1（0，0），半径 r1＝2，圆
C2：（ x －3）2＋（ y －4）2＝16圆心 C2（3，4），半径 r2＝4，圆
心距｜ C1 C2｜ 5，A错误；因为｜ C1 C2｜＝5， r2＋ r1
＝6， r2－ r1＝2， r2－ r1＜｜ C1 C2｜＜ r2＋ r1，两圆相交，B正确；
两圆相减得6 x ＋8 y －13＝0，故两圆的公共弦所在直线方程为6 x ＋
8 y －13＝0，C错误；圆心 C1（0，0）到6 x ＋8 y －13＝0的距离 2 D选项正确.故选B、D.
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6. 设圆 C1：（ x －1）2＋（ y －1）2＝9和圆 C2：（ x ＋1）2＋（ y ＋
2）2＝4交于 A ， B 两点，则线段 AB 的垂直平分线所在直线的方程
为 .
解析：由题意知 C1（1，1）， C2（－1，－2），且 C1 C2垂直平分
AB ，∴线段 AB 的垂直平分线所在直线必过 C1， C2，故直线的方程
为 y －1 ·（ x －1），整理得3 x －2 y －1＝0.
3 x －2 y －1＝0
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7. 若圆 x2＋ y2＝4与圆 x2＋ y2＋2 ay －6＝0（ a ＞0）的公共弦的长为2
a ＝ .
解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（ x2＋ y2＋2
ay －6）－（ x2＋ y2）＝0－4 y a ＞0，结合图象（图
略），再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可
1 a ＝1.
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8. 过两圆 x2＋ y2－2 y －4＝0与 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＝0的交点，且圆心在
直线 l ：2 x ＋4 y －1＝0上的圆的方程是 .
解析：设圆的方程为 x2＋ y2－4 x ＋2 y ＋λ（ x2＋ y2－2 y －4）＝0，
则（1＋λ） x2－4 x ＋（1＋λ） y2＋（2－2λ） y －4λ＝0，把圆心
（ ）代入 l ：2 x ＋4 y －1＝0的方程，可得λ x2＋ y2－3 x ＋ y －1＝0.
x2＋ y2－3 x ＋ y －1＝0
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9. 已知圆 C1： x2＋ y2－2 mx ＋4 y ＋ m2－5＝0和圆 C2： x2＋ y2＋2 x ＝0.
（1）当 m ＝1时，判断圆 C1和圆 C2的位置关系；
解：当 m ＝1时，圆 C1的方程为（ x －1）2＋（ y ＋2）2
＝9，圆心为 C1（1，－2），半径长为 r1＝3，
圆 C2的方程为（ x ＋1）2＋ y2＝1，圆心为 C2（－1，0），半
径长为 r2＝1，
两圆的圆心距 d 2
又 r1＋ r2＝3＋1＝4， r1－ r2＝3－1＝2，
所以 r1－ r2＜ d ＜ r1＋ r2，所以圆 C1和圆 C2相交.
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（2）是否存在实数 m ，使得圆 C1和圆 C2内含？若存在，求出实数
m 的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在实数 m ，使得圆 C1和圆 C2内含.理由如下：
圆 C1的方程可化为（ x － m ）2＋（ y ＋2）2＝9，圆心 C1的坐
标为（ m ，－2），半径为3.
假设存在实数 m ，使得圆 C1和圆 C2内含，
则圆心距 d 3－1，
即（ m ＋1）2＜0，此不等式无解.
故不存在实数 m ，使得圆 C1和圆 C2内含.
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10. 若两圆 x2＋ y2＋2 x ＋ m －4＝0（ m ＞0）和 x2＋ y2－4 y －1
＋4 n ＝0（ n ＞0）恰有三条公切线，
A. B.
C. 1 D. 3
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解析： 由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为（ x 2＋ y2＝4， x2＋（ y －2 2＝1，圆心分别为
0），（0，2 2和1，故 3，∴ m ＋
4 n ＝9，∴ 1，∴ 2 1，当且仅 m ＝2 n ＝3时，等号成
立.故选C.
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11. 已知 O 为坐标原点，点 M 是函数 f （ x ） x ＞0）图象上任意
一点，过点 M 作直线 MA ， MB 分别与圆 O ： x2＋ y2＝1相切于点
A ， B ，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，与 y 轴交于点 D ，则△ OCD 的面
积为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由切线性质可知， M ， A ， B ， O 四点在以 MO 为直径
的圆上，设该圆为圆 T ，设 M （ m ），则圆 T 为（ x ）2＋
（ y ）2 ①
而圆 O 为 x2＋ y2＝1， ②
②－①得 mx y ＝1，故直线 AB 的方程为 mx y ＝1，所以 C
（ 0）， D （0 ），所以 S△ OCD . 故选D.
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12. 已知圆 C ： x2＋ y2－6 x －8 y ＋21＝0.
（1）若直线 l ： x － y － t ＝0将圆 C 的周长分为1∶2的两部分，求
实数 t 的值；
解：由圆方程化为标准式（ x －3）2＋（ y －4）2＝4，
可知圆心 C （3，4），半径 r ＝2，
而直线 l ： x － y － t ＝0将圆 C 的周长分为1∶2的两部分，
知 C 到直线 l ： x － y － t ＝0的距离为 d r ＝1，即 d 1，解得 t ＝－1 .
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（2）若与圆 C 相外切且与 x 轴相切的圆的圆心记为 D ，求 D 点的
轨迹方程.
解：设 D （ x ， y ），易知所求的圆在 x 轴上方，且半径为 y ，
由于所求圆与圆 C 相外切，所以｜ CD ｜＝2＋ y ， 2＋ y ，
整理得 D 点的轨迹方程为 x2－6 x －12 y ＋21＝0.
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13. 台风中心从 A 地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30
km内的地区为危险区，城市 B 在 A 地正东40 km处，则城市 B 处于
危险区内的时间为（ ）
A. 0.5 h B. 1 h
解析：如图，以 A 地为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则以 B （40，0）为圆心，30为半径的圆内 MN 之间（含端点）为危险区，可求得｜ MN ｜＝20，∴时间为1 h.
C. 1.5 h D. 2 h
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14. 如图，某台机器的三个齿轮， A 与 B 啮合， C 与 B 也啮合.若 A 轮的
直径为200 cm， B 轮的直径为120 cm， C 轮的直径为250 cm，且∠
CAB ＝45°.试建立适当的坐标系，用坐标法求出 A ， C 两齿轮的中
心距离（精确到1 cm）.
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解：根据题意，以点 A 为坐标原点，
AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标
系，如图，
则 AB ＝160， A （0，0）， B （160，
0），
由于∠ CAB ＝45°，所以直线 AC 的方程
为 y ＝ x ，
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故设 C （ t ， t ）， t ＞0，则 BC 250＋120）＝185，
由于圆 B 与圆 C 相外切，故 BC 185，
解方程得 t ≈183.5.
所以 AC t ≈259.5≈260 cm.
故 A ， C 两齿轮的中心距离约为260 cm.
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谢 谢 观 看！
