2.4 曲线与方程
1.方程x＋｜y－1｜＝0表示的曲线是（ ）
2.设曲线F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0的交点为P，那么曲线F1（x，y）－F2（x，y）＝0必定（ ）
A.经过P点
B.经过原点
C.不一定经过P点
D.经过P点和原点
3.已知0≤α＜2π，点P（cos α，sin α）在曲线（x－2）2＋y2＝3上，则α的值为（ ）
A. B.
C.或 D.或
4.点A在圆x2＋y2＝9上移动时，它与定点B（3，0）连线所得线段AB的中点M的轨迹方程是（ ）
A.x2＋y2＝
B.＋y2＝（x≠3）
C.＋y2＝（x≠3）
D.＋y2＝（y≠0）
5.（多选）关于曲线C：x2－xy＋y2＝9，以下结论正确的是（ ）
A.曲线C关于直线y＝x对称
B.曲线C上恰好有4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C.曲线C上的点到原点距离的最大值为3
D.曲线C上任意一点都不在圆x2＋y2＝6的内部
6.曲线y＝和y＝－x＋公共点的个数为 .
7.已知动点M到A（2，1）的距离与到B（3，4）的距离相等，则点M的轨迹方程是 .
8.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k｜x｜＋2，曲线C2的方程为（x＋1）2＋y2＝4，若C1与C2有且仅有三个公共点，则实数k的值为 .
9.设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝，求点M的轨迹C的方程.
10.在平面直角坐标系中，方程＋＝1所表示的曲线是（ ）
A.两条平行线 B.一个矩形
C.一个菱形 D.一个圆
11.已知△ABC的边AB长为2a，若BC的中线长为m，则顶点C的轨迹方程是 .
12.已知点P（2，2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）当｜OP｜＝｜OM｜时，求直线l的方程及△POM的面积.
13.下列关于曲线C：x4＋y2＝1的说法，正确的是 .（填上所有你认为正确的序号）
①点在曲线C上；
②曲线C关于直线y＝x对称；
③曲线C是中心对称图形；
④曲线C围成的区域的面积小于π.
14.已知A（－1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标.
2.4 曲线与方程
1.B 若x＝1，则｜y－1｜＝－1，不成立，故排除A、C、D三个选项，故选B.
2.A 设曲线F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0的交点P的坐标为（x0，y0），因此有F1（x0，y0）＝0且F2（x0，y0）＝0，因此F1（x0，y0）－F2（x0，y0）＝0，所以曲线F1（x，y）－F2（x，y）＝0必定经过P点，故选A.
3.C 由（cos α－2）2＋sin2α＝3，得cos α＝.又0≤α＜2π，∴α＝或α＝.
4.B 法一 设A（x1，y1），则＋＝9.又B（3，0），设AB中点M（x，y），则即∴（2x－3）2＋4y2＝9，即＋y2＝（x≠3）.
法二 连接OM，则OM⊥AB，∴点M在以OB为直径的圆上除去B点，故轨迹方程为＋y2＝（x≠3）.故选B.
5.ACD x用y替换，y用x替换可得y2－yx＋x2＝9，即x2－xy＋y2＝9，故A正确；曲线C恰好经过（0，3），（0，－3），（3，0），（－3，0），（3，3），（－3，－3）共6个整点，故B错误；设曲线C上的一点P（x，y），x2＋y2＝9＋xy≤9＋，化简可得x2＋y2≤18，所以｜OP｜＝≤3，故C正确；由x2－xy＋y2＝9可得x2＋y2＝9＋xy，而x2＋y2≥2xy，所以9＋xy≥2xy，即xy≤9，则x2＋y2≤18（当且仅当x＝y＝±3时取等号），同理x2＋y2＝9＋xy≥－2xy，解得xy≥－3，从而x2＋y2≥6（当且仅当x＝－y＝±时取等号），综上所述，6≤x2＋y2≤18，故D正确，故选A、C、D.
6.1 解析：由得－x＋＝，两边平方并整理得（x－1）2＝0，所以x＝，y＝，故公共点只有一个.
7.x＋3y－10＝0 解析：设M的坐标为（x，y），由题意，得｜MA｜＝｜MB｜，即＝，两边平方并化简，得x＋3y－10＝0，故点M的轨迹方程为x＋3y－10＝0.
8.－ 解析：由C1与C2有且仅有三个公共点如图，由题意可知，k＜0，C2（－1，0），故C2到直线y＝kx＋2的距离等于圆的半径，即＝2，解得k＝0或－，又k＜0，∴k＝－.
9.解：设点M（x，y），P（x0，y0），
则由题意知P0（x0，0）.
由＝（x0－x，－y），＝（0，－y0），且＝，得（x0－x，－y）＝（0，－y0），
所以于是
又＋＝4，所以x2＋y2＝4，
所以，点M的轨迹C的方程为＋＝1.
10.C 当x≥0，y≥0时，方程为＋＝1；当x≥0，y≤0时，方程为－＝1；当x≤0，y≤0时，方程为＋＝－1；当x≤0，y≥0时，方程为－＋＝1，因此原方程所表示的曲线是一个以（3，0），（0，2），（－3，0），（0，－2）为顶点的菱形.故选C.
11.（x＋3a）2＋y2＝4m2（y≠0）
解析：由题意，以线段AB的中点为原点，AB边所在的直线为x轴建立直角坐标系，如图所示，则A（－a，0），B（a，0）.设C（x，y），则线段BC的中点为E.∵｜AE｜＝m，∴＝m，化简，得（x＋3a）2＋y2＝4m2.由于点C在直线AB上时，不能构成三角形，故去掉曲线与x轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是（x＋3a）2＋y2＝4m2（y≠0）.
12.解：（1）圆C的方程可化为x2＋（y－4）2＝16，
所以圆心为C（0，4），半径为4.
设M（x，y），则＝（x，y－4），＝（2－x，2－y）.
由题设知·＝0，
故x（2－x）＋（y－4）（2－y）＝0，
即（x－1）2＋（y－3）2＝2.
所以点M的轨迹方程是（x－1）2＋（y－3）2＝2.
（2）由（1）可知点M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆.
由于｜OP｜＝｜OM｜，故点O在线段PM的垂直平分线上.
又点P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，
故直线l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0.
又｜OM｜＝｜OP｜＝2，点O到直线l的距离为＝，｜PM｜＝2＝，
所以△POM的面积为××＝.
13.①③ 解析：对①，将点代入C：x4＋y2＝1可得＋＝1，故①正确；对②，替换x，y可得y4＋x2＝1，与原表达式不同，故②错误；对③，将x替换成－x，y替换成－y可得x4＋y2＝1，故③正确；对④，因为x4＋y2＝1，故｜x｜≤1，x4≤x2，故x2＋y2≥x4＋y2＝1，设M为曲线上一点（x0，y0），故＋≥＋＝1，说明（x0，y0）在圆上或圆外，故曲线C围成的区域的面积应大于或等于πr2＝π，故④错误.综上所述，①③正确.
14.解：（1）设G（x，y）（x≠±1），因为GA⊥GB，所以·＝－1，整理得C的方程为x2＋y2＝1（x≠±1）.
（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有＋＝1，
则直线AM的方程为y＝（x＋1），令x＝3，得y＝，即E，
直线BM的方程为y＝（x－1），令x＝3，得y＝，即F，
从而以EF为直径的圆的方程为（x－3）2＋＝0，
令y＝0，则（x－3）2＋·＝0，即（x－3）2＋＝0，
又因为＋＝1，所以＝1－，代入可得x2－6x＋1＝0，解得x＝3±2，
所以定点T（3＋2，0）或（3－2，0）.
2 / 22.4 曲线与方程
新课程标准解读 核心素养
1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系 数学抽象
2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 直观想象
笛卡尔是被誉为“近代科学的始祖”“近代哲学之父”，是17世纪的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，他在哲学、数学、物理学、天文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式：r＝a（1－sin θ）.你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线（如图所示），是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.
【问题】 你能举例说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？
知识点 曲线与方程
1.曲线的方程、方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F（x，y）＝0之间具有如下关系：
（1）曲线C上的 都是方程F（x，y）＝0的解；
（2）以方程F（x，y）＝0的解为 都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）＝0的曲线，方程F（x，y）＝0为曲线C的方程.
2.求曲线的方程的步骤
【想一想】
1.从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？
2.怎样判断曲线F（x，y）＝0与G（x，y）＝0是否有交点？
1.方程（3x－y＋1）（y－）＝0表示的曲线为（ ）
A.两条线段
B.一条直线和半个圆
C.一条线段和半个圆
D.一条射线和半个圆
2.平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A.｜x｜－｜y｜＝1
B.｜x－y｜＝1
C.｜｜x｜－｜y｜｜＝1
D.｜x±y｜＝1
3.曲线x2＋y2＋2x＝0与曲线y＋｜x｜＝0的交点个数是 .
题型一 曲线与方程关系的应用
【例1】 （链接教科书第124页例1）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
（1）过点A（2，0）平行于y轴的直线与方程｜x｜＝2之间的关系；
（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
（3）第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系.
尝试解答
通性通法
判定曲线和方程的对应关系的策略
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性.
提醒 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程.
【跟踪训练】
1.方程x2＋y2＝1（xy＜0）表示的曲线是（ ）
2.已知条件甲：曲线C是方程f（x，y）＝0的曲线，条件乙：曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
题型二 由方程研究曲线的性质
【例2】 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋｜x｜y就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；
②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；
③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
尝试解答
通性通法
讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面
（1）研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；
（2）研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
（3）研究曲线的对称性（关于x轴、y轴、原点）；
（4）研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；
（5）根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图象，然后根据对称性画出整条曲线.
【跟踪训练】
（多选）如图A（2，0），B（1，1），C（－1，1），D（－2，0），是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是（ ）
A.曲线W与x轴围成的面积等于2π
B.曲线W上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C.所在圆的方程为x2＋（y－1）2＝1
D.与的公切线方程为x＋y＝＋1
题型三 求曲线方程
角度1 直接法求曲线方程
【例3】 （链接教科书第126页例3）已知圆C：x2＋（y－3）2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程.
尝试解答
通性通法
直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（x，y），然后根据题目中的等量关系列出x，y之间的关系并化简.主要有以下两类常见题型；
（1）题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程；
（2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等量关系，得出方程.
提醒 求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.
【跟踪训练】
已知点A（－4，0），B（－1，0），动点M（x，y）满足｜MA｜＝2｜MB｜，则动点M轨迹方程为（ ）
A.x2＋y2＝4 B.＋y2＝1
C.x2－＝1 D.y2＝4x
角度2 代入法求曲线方程
【例4】 已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B（3，0）连线的中点为P，求P点的轨迹方程.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例中把条件“M和定点B（3，0）连线的中点为P”改为“＝2”，求P点的轨迹方程.
2.（变条件）本例中把条件“M和定点B（3，0）连线的中点为P”改为“一动点P和定点B（3，0）连线的中点为M”，试求动点P的轨迹方程.
通性通法
代入法求解曲线方程的步骤
（1）设动点P（x，y），相关动点M（x0，y0）；
（2）利用条件求出两动点坐标之间的关系
（3）代入相关动点的轨迹方程；
（4）化简、整理，得所求轨迹方程.
1.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是（ ）
2.若M（1，2）在曲线x2＋ay2＝2上，则a的值为（ ）
A. B.4
C. D.3
3.方程＋（y＋2）2＝0表示的图形是（ ）
A.圆 B.两条直线
C.一个点 D.两个点
4.（多选）方程xy（x＋y）＝1所表示的曲线（ ）
A.关于原点对称
B.关于直线y＝x对称
C.与直线x＝－1没有交点
D.不经过第三象限
5.已知圆O1：x2＋y2＝1和圆O2：（x－4）2＋y2＝4，过点P（x，y）分别作O1，O2的切线PA，PB，其中A，B为切点，且｜PA｜＝｜PB｜，则动点P的轨迹方程为 .
2.4 曲线与方程
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）点的坐标 （2）坐标的点 2.有序实数对（x，y） P＝{M｜P（M）} 条件P（M） F（x，y）＝0 方程F（x，y）＝0
想一想
1.提示：设A是曲线C上的所有点组成的点集，B是所有以方程F（x，y）＝0的实数解为坐标的点组成的点集，那么集合A与集合B具有一一对应关系.即A中任一元素在B中都有唯一一个元素与之对应，并且B中任一元素在A中都有唯一一个元素与之对应.
2.提示：转化为方程组是否有实数解.
自我诊断
1.C 由1－x2≥0，解得－1≤x≤1.因为（3x－y＋1）（y－）＝0，所以3x－y＋1＝0或y＝.故3x－y＋1＝0表示一条线段.因为y＝，所以x2＋y2＝1，y≥0，即y＝表示以原点为圆心的半个圆.故选C.
2.C 设点的坐标为（x，y），由题意可知，平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是｜｜x｜－｜y｜｜＝1，故选C.
3.2 解析：由可得x2＋x＝0，
所以或所以交点个数是2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）过点A（2，0）平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程｜x｜＝2的解；但以方程｜x｜＝2的解为坐标的点不一定都在过点A（2，0）且平行于y轴的直线上.因此，｜x｜＝2不是过点A（2，0）平行于y轴的直线的方程.
（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.
（3）第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.
跟踪训练
1.D 因为x2＋y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，又xy＜0，说明图象在二、四象限，故选D.
2.A 因为若曲线是方程f（x，y）＝0的曲线，则曲线上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的根；但若曲线上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的根，曲线不一定是方程f（x，y）＝0的曲线.故甲是乙的充分不必要条件.故选A.
【例2】 B 因为x2＋y2＝1＋｜x｜y≤1＋｜xy｜≤1＋，所以x2＋y2≤2，故曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，①正确；当x＝0时，y＝±1，当x＝±1时，y＝0或1，故曲线过（0，1），（0，－1），（1，0），（1，1），（－1，0），（－1，1）6个整数点，③正确；当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误.
跟踪训练
BCD 如图所示，连接BC，过点C作CK⊥x轴于K，BL⊥x轴于L并取点E（0，2）.则面积S＝π＋2，故A错误；曲线W上有A，B，C，D，E5个整点，故B正确；所在圆的圆心为（0，1），半径为1，故圆的方程为x2＋（y－1）2＝1，C正确；设与的公切线方程为y＝kx＋b，根据图象知k＜0，则＝1，＝1，解得k＝－1，b＝＋1，即x＋y＝＋1，D正确；故选B、C、D.
【例3】 解：如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.
设Q（x，y），由题意，得
｜OQ｜2＋｜QC｜2＝｜OC｜2，
即x2＋y2＋x2＋（y－3）2＝9，
所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋＝（去掉原点）.
跟踪训练
A ∵M（x，y），A（－4，0），B（－1，0），∴｜MA｜＝，｜MB｜＝，又∵动点M（x，y）满足｜MA｜＝2｜MB｜，∴＝2，两边平方后可得x2＋8x＋16＋y2＝4x2＋8x＋4＋4y2，整理后可得x2＋y2＝4，故选A.
【例4】 解：设P（x，y），M（x0，y0），∵P为MB的中点.
∴即
又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴（2x－3）2＋4y2＝1，
∴P点的轨迹方程为（2x－3）2＋4y2＝1.
母题探究
1.解：设P（x，y），M（x0，y0），
则＝（x－x0，y－y0），＝（3－x，－y），
由＝2得
即又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴（3x－6）2＋9y2＝1，
∴点P的轨迹方程为（3x－6）2＋9y2＝1.
2.解：设P（x，y），M（x0，y0），∵M为PB的中点.
∴又∵M在曲线x2＋y2＝1上，
∴＋＝1，即（x＋3）2＋y2＝4，
∴P点轨迹方程为（x＋3）2＋y2＝4.
随堂检测
1.D 对于A，点（0，－1）满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点（1，－1）满足方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x＜0，y＜0，不满足方程，排除C，故选D.
2.A 因为M（1，2）在曲线x2＋ay2＝2上，代入曲线方程可得a＝.
3.C 由已知得即所以方程表示点（2，－2）.故选C.
4.BCD 在曲线上任取一点（x，y），对于A，关于原点对称的点为（－x，－y），代入方程可得（－x）（－y）（－x－y）＝－xy（x＋y）＝－1，故（－x，－y）不满足方程， 故A不正确；
对于B，原方程xy（x＋y）＝1，将方程中的x换为y，将y换为x，方程为yx（y＋x）＝xy（x＋y）＝1，与原方程相同，故曲线关于直线y＝x对称，故B正确；
对于C，当x＝－1时，－y（－1＋y）＝1，即y2－y＋1＝0，此方程无解，故C正确；
对于D，若（x，y）在第三象限，则x＜0，y＜0，所以xy（x＋y）＜0，所以xy（x＋y）≠1，故D正确.故选B、C、D.
5.x＝ 解析：设P（x，y），则由｜PA｜＝｜PB｜，得｜PA｜2＝｜PB｜2，所以x2＋y2－1＝（x－4）2＋y2－4，化简得x＝，此即为P的轨迹方程.
1 / 5(共67张PPT)
2.4 曲线与方程
新课程标准解读 核心素养
1.结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方
程的对应关系 数学抽象
2.通过具体实例理解“曲线的方程”与“方程的曲
线”的概念 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
笛卡尔是被誉为“近代科学的始
祖”“近代哲学之父”，是17世纪的
欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠
之一，他在哲学、数学、物理学、天
文学、心理学、神学等方面都有研究且成就颇高.其中有一个很有名的故事，笛卡尔给他的恋人写的一封信内容只有短短的一个公式： r ＝ a （1－ sin θ）.你知道这是何意？其实这就是笛卡尔的爱心函数，图形是心形线（如图所示），是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名.
【问题】 你能举例说出一条曲线和它对应的方程有怎样的关系吗？
知识点 曲线与方程
1. 曲线的方程、方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果曲线 C 与方程 F （ x ， y ）＝0之间具有
如下关系：
（1）曲线 C 上的 都是方程 F （ x ， y ）＝0的解；
（2）以方程 F （ x ， y ）＝0的解为 都在曲线 C 上.
则称曲线 C 为方程 F （ x ， y ）＝0的曲线，方程 F （ x ， y ）
＝0为曲线 C 的方程.
点的坐标
坐标的点
2. 求曲线的方程的步骤
1. 从集合角度怎样理解曲线与方程的关系？
提示：设 A 是曲线 C 上的所有点组成的点集， B 是所有以方程 F
（ x ， y ）＝0的实数解为坐标的点组成的点集，那么集合 A 与集合
B 具有一一对应关系.即 A 中任一元素在 B 中都有唯一一个元素与之
对应，并且 B 中任一元素在 A 中都有唯一一个元素与之对应.
2. 怎样判断曲线 F （ x ， y ）＝0与 G （ x ， y ）＝0是否有交点？
提示：转化为方程组.
【想一想】
1. 方程（3 x － y ＋1）（ y 0表示的曲线为（ ）
A. 两条线段 B. 一条直线和半个圆
C. 一条线段和半个圆 D. 一条射线和半个圆
解析： 由1－ x2≥0，解得－1≤ x ≤1.因为（3 x － y ＋1）（ y
＝0，所以3 x － y ＋1＝0或 y .故3 x － y ＋1＝
0表示一条线段.因为 y x2＋ y2＝1， y ≥0，即 y
.故选C.
2. 平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是
（ ）
A. ｜ x ｜－｜ y ｜＝1 B. ｜ x － y ｜＝1
C. ｜｜ x ｜－｜ y ｜｜＝1 D. ｜ x ± y ｜＝1
解析： 设点的坐标为（ x ， y ），由题意可知，平面直角坐标平
面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是｜｜ x ｜－｜
y ｜｜＝1，故选C.
3. 曲线 x2＋ y2＋2 x ＝0与曲线 y ＋｜ x ｜＝0的交点个数是 .
解析：由 x2＋ x ＝0，
所以2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 曲线与方程关系的应用
【例1】 （链接教科书第124页例1）分析下列曲线上的点与相应方
程的关系：
（1）过点 A （2，0）平行于 y 轴的直线与方程｜ x ｜＝2之间的关系；
解：过点 A （2，0）平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是
方程｜ x ｜＝2的解；但以方程｜ x ｜＝2的解为坐标的点不一定
都在过点 A （2，0）且平行于 y 轴的直线上.因此，｜ x ｜＝2不
是过点 A （2，0）平行于 y 轴的直线的方程.
（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程 xy ＝5之间的关系；
解：与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足
方程 xy ＝5；但以方程 xy ＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离
之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹
方程不是 xy ＝5.
（3）第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 x ＋ y ＝0之间的
关系.
解：第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 x ＋ y ＝0；反之，以方程 x ＋ y ＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 x ＋ y ＝0.
通性通法
判定曲线和方程的对应关系的策略
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解
多”，称为纯粹性；
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比
点多”，称为完备性.
提醒 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程
是曲线的方程.
【跟踪训练】
1. 方程 x2＋ y2＝1（ xy ＜0）表示的曲线是（ ）
解析： 因为 x2＋ y2＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，又 xy ＜
0，说明图象在二、四象限，故选D.
2. 已知条件甲：曲线 C 是方程 f （ x ， y ）＝0的曲线，条件乙：曲线 C
上的点的坐标都是方程 f （ x ， y ）＝0的解，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为若曲线是方程 f （ x ， y ）＝0的曲线，则曲线上的点
的坐标都是方程 f （ x ， y ）＝0的根；但若曲线上的点的坐标都是
方程 f （ x ， y ）＝0的根，曲线不一定是方程 f （ x ， y ）＝0的曲线.
故甲是乙的充分不必要条件.故选A.
题型二 由方程研究曲线的性质
【例2】 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ： x2＋ y2
＝1＋｜ x ｜ y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超
②曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于3；
③曲线 C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： 因为 x2＋ y2＝1＋｜ x ｜ y ≤1＋｜ xy ｜≤1
x2＋ y2≤2，故曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超 ①正
确；当 x ＝0时， y ＝±1，当 x ＝±1时， y ＝0或1，故曲线过（0，
1），（0，－1），（1，0），（1，1），（－1，0），（－1，1）6
个整数点，③正确；当把曲线的6个整数点连接后，可求出矩形加三
角形的面积和为3，显然曲线面积大于3，故②错误.
通性通法
讨论曲线的几何性质一般包括以下几个方面
（1）研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪一些基本
的曲线组成的，在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲
线的大致范围；
（2）研究曲线与坐标轴是否相交，如果相交，求出交点的坐标，因
为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
（3）研究曲线的对称性（关于 x 轴、 y 轴、原点）；
（4）研究曲线的变化趋势，即 y 随 x 的增大或减小的变化情况；
（5）根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线
的对称性，通过列表、描点的方法先画出曲线在一个象限的图
象，然后根据对称性画出整条曲线.
【跟踪训练】
（多选）如图 A （2，0）， B （1，1）， C （－1，1）， D （－2，
0） OD 为直径的圆上一段圆弧 BC 为直径的圆上
一段圆弧 OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线 W .
则下述正确的是（ ）
A. 曲线 W 与 x 轴围成的面积等于2π
B. 曲线 W 上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）
C. x2＋（ y －1）2＝1
D. x ＋ y 1
解析： 如图所示，连接 BC ，过点 C 作 CK
⊥ x 轴于 K ， BL ⊥ x 轴于 L 并取点 E （0，2）.则
面积 S ＝π＋2，故A错误；曲线 W 上有 A ， B ，
C ， D ， E 5个整点，故B正确 0，1），半径为1，故圆的方程为 x2＋（ y －1）2＝1，C正确； y ＝ kx ＋ b ，根据图象知 k ＜0，
1 1，解得 k ＝－1， b 1，即 x ＋ y 1，D正确；故选B、C、D.
题型三 求曲线方程
角度1 直接法求曲线方程
【例3】 （链接教科书第126页例3）已知圆 C ： x2＋（ y －3）2＝
9，过原点作圆 C 的弦 OP ，求 OP 的中点 Q 的轨迹方程.
解：如图所示，连接 QC ，因为 Q 是 OP 的中点，所以∠
OQC ＝90°.
设 Q （ x ， y ），由题意，得
｜ OQ ｜2＋｜ QC ｜2＝｜ OC ｜2，
即 x2＋ y2＋ x2＋（ y －3）2＝9，
所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2＋（ y ）2 .
通性通法
直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略
直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标（ x ， y ），然后根据
题目中的等量关系列出 x ， y 之间的关系并化简.主要有以下两类常见
题型；
（1）题目给出等量关系，求轨迹方程，可直接代入即可得出方程；
（2）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程.可利用已知条件寻找等
量关系，得出方程.
提醒 求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性.
【跟踪训练】
已知点 A （－4，0）， B （－1，0），动点 M （ x ， y ）满足｜
MA ｜＝2｜ MB ｜，则动点 M 轨迹方程为（ ）
A. x2＋ y2＝4 B. y2＝1
C. x2 1 D. y2＝4 x
解析： ∵ M （ x ， y ）， A （－4，0）， B （－1，0），∴｜
MA ｜ ｜ MB ｜ ∵动点
M （ x ， y ）满足｜ MA ｜＝2｜ MB ｜，∴ 2
x2＋8 x ＋16＋ y2＝4 x2＋8 x ＋4＋4
y2，整理后可得 x2＋ y2＝4，故选A.
角度2 代入法求曲线方程
【例4】 已知动点 M 在曲线 x2＋ y2＝1上移动， M 和定点 B （3，0）
连线的中点为 P ，求 P 点的轨迹方程.
解：设 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），∵ P 为 MB 的中点.
∴
又∵ M 在曲线 x2＋ y2＝1上，∴（2 x －3）2＋4 y2＝1，
∴ P 点的轨迹方程为（2 x －3）2＋4 y2＝1.
【母题探究】
1. （变条件）本例中把条件“ M 和定点 B （3，0）连线的中点为 P ”
改为 2 P 点的轨迹方程.
解：设 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），
x － x0， y － y0） 3－ x ，－ y ），
2
即∵ M 在曲线 x2＋ y2＝1上，
∴（3 x －6）2＋9 y2＝1，
∴点 P 的轨迹方程为（3 x －6）2＋9 y2＝1.
2. （变条件）本例中把条件“ M 和定点 B （3，0）连线的中点为 P ”
改为“一动点 P 和定点 B （3，0）连线的中点为 M ”，试求动点 P
的轨迹方程.
解：设 P （ x ， y ）， M （ x0， y0），∵ M 为 PB 的中点.
∴∵ M 在曲线 x2＋ y2＝1上，
∴（ ）2＋（ ）2＝1，即（ x ＋3）2＋ y2＝4，
∴ P 点轨迹方程为（ x ＋3）2＋ y2＝4.
通性通法
代入法求解曲线方程的步骤
（1）设动点 P （ x ， y ），相关动点 M （ x0， y0）；
（2）利用条件求出两动点坐标之间的关系
（3）代入相关动点的轨迹方程；
（4）化简、整理，得所求轨迹方程.
1. 下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是（ ）
解析： 对于A，点（0，－1）满足方程，但不在曲线上，排除
A；对于B，点（1，－1）满足方程，但不在曲线上，排除B；对于
C，曲线上第三象限的点，由于 x ＜0， y ＜0，不满足方程，排除
C，故选D.
2. 若 M （1，2）在曲线 x2＋ ay2＝2上，则 a 的值为（ ）
A. B. 4
C. D. 3
解析： 因为 M （1，2）在曲线 x2＋ ay2＝2上，代入曲线方程可
得 a .
3. 方 y ＋2）2＝0表示的图形是（ ）
A. 圆 B. 两条直线
C. 一个点 D. 两个点
解析： 由已知得
2，－2）.故选C.
4. （多选）方程 xy （ x ＋ y ）＝1所表示的曲线（ ）
A. 关于原点对称
B. 关于直线 y ＝ x 对称
C. 与直线 x ＝－1没有交点
D. 不经过第三象限
解析： 在曲线上任取一点（ x ， y ），对于A，关于原点对称
的点为（－ x ，－ y ），代入方程可得（－ x ）·（－ y ）（－ x －
y ）＝－ xy （ x ＋ y ）＝－1，故（－ x ，－ y ）不满足方程， 故A不
正确；
对于B，原方程 xy （ x ＋ y ）＝1，将方程中的 x 换为 y ，将 y 换为
x ，方程为 yx （ y ＋ x ）＝ xy （ x ＋ y ）＝1，与原方程相同，故曲线
关于直线 y ＝ x 对称，故B正确；
对于C，当 x ＝－1时，－ y （－1＋ y ）＝1，即 y2－ y ＋1＝0，此方
程无解，故C正确；
对于D，若（ x ， y ）在第三象限，则 x ＜0， y ＜0，所以 xy （ x ＋
y ）＜0，所以 xy （ x ＋ y ）≠1，故D正确.故选B、C、D.
5. 已知圆 O1： x2＋ y2＝1和圆 O2：（ x －4）2＋ y2＝4，过点 P （ x ，
y ）分别作 O1， O2的切线 PA ， PB ，其中 A ， B 为切点，且｜ PA ｜
＝｜ PB ｜，则动点 P 的轨迹方程为 .
解析：设 P （ x ， y ），则由｜ PA ｜＝｜ PB ｜，得｜ PA ｜2＝｜
PB ｜2，所以 x2＋ y2－1＝（ x －4）2＋ y2－4，化简得 x
P 的轨迹方程.
x
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 方程 x ＋｜ y －1｜＝0表示的曲线是（ ）
解析： 若 x ＝1，则｜ y －1｜＝－1，不成立，故排除A、C、D
三个选项，故选B.
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2. 设曲线 F1（ x ， y ）＝0和 F2（ x ， y ）＝0的交点为 P ，那么曲线 F1
（ x ， y ）－ F2（ x ， y ）＝0必定（ ）
A. 经过 P 点 B. 经过原点
C. 不一定经过 P 点 D. 经过 P 点和原点
解析： 设曲线 F1（ x ， y ）＝0和 F2（ x ， y ）＝0的交点 P 的坐
标为（ x0， y0），因此有 F1（ x0， y0）＝0且 F2（ x0， y0）＝0，因
此 F1（ x0， y0）－ F2（ x0， y0）＝0，所以曲线 F1（ x ， y ）－ F2
（ x ， y ）＝0必定经过 P 点，故选A.
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3. 已知0≤α＜2π，点 P （ cos α， sin α）在曲线（ x －2）2＋ y2＝3
上，则α的值为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由（ cos α－2）2＋ sin 2α＝3，得 cos α .又0≤α＜
2π，∴α α .
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4. 点 A 在圆 x2＋ y2＝9上移动时，它与定点 B （3，0）连线所得线段
AB 的中点 M 的轨迹方程是（ ）
A. x2＋ y2
B. （ x ）2＋ y2 x ≠3）
C. （ x ）2＋ y2 x ≠3）
D. （ x ）2＋ y2 y ≠0）
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解析： 法一 设 A （ x1， y1）， 9.又 B （3，0），
设 AB 中点 M （ x ， y ），则∴（2 x
－3）2＋4 y2＝9，即（ x ）2＋ y2 x ≠3）.
法二 连接 OM ，则 OM ⊥ AB ，∴点 M 在以 OB 为直径的圆上除去 B
点，故轨迹方程为（ x ）2＋ y2 x ≠3）.故选B.
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5. （多选）关于曲线 C ： x2－ xy ＋ y2＝9，以下结论正确的是（ ）
A. 曲线 C 关于直线 y ＝ x 对称
B. 曲线 C 上恰好有4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线 C 上的点到原点距离的最大值为3
D. 曲线 C 上任意一点都不在圆 x2＋ y2＝6的内部
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解析： x 用 y 替换， y 用 x 替换可得 y2－ yx ＋ x2＝9，即 x2－ xy
＋ y2＝9，故A正确；曲线 C 恰好经过（0，3），（0，－3），
（3，0），（－3，0），（3，3），（－3，－3）共6个整点，故B
错误；设曲线 C 上的一点 P （ x ， y ）， x2＋ y2＝9＋ xy ≤9 x2＋ y2≤18，所以｜ OP ｜ 3
C正确；由 x2－ xy ＋ y2＝9可得 x2＋ y2＝9＋ xy ，而 x2＋ y2≥2 xy ，所以9＋ xy ≥2 xy ，即 xy ≤9，则 x2＋ y2≤18（当且仅当 x ＝ y ＝±3时取等号），同理 x2＋ y2＝9＋ xy ≥－2 xy ，解得 xy ≥－3，从而 x2＋ y2≥6（当且仅当 x ＝－ y ＝ 6≤ x2＋ y2≤18，故D正确，故选A、C、D.
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6. 曲线 y y ＝－ x .
解析：由－ x
x －1）2＝0，所以 x y （ ）.
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7. 已知动点 M 到 A （2，1）的距离与到 B （3，4）的距离相等，则点
M 的轨迹方程是 .
解析：设 M 的坐标为（ x ， y ），由题意，得｜ MA ｜＝｜ MB ｜，
x ＋3 y －10＝0，
故点 M 的轨迹方程为 x ＋3 y －10＝0.
x ＋3 y －10＝0
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8. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y ＝ k ｜ x ｜＋2，曲线 C2的
方程为（ x ＋1）2＋ y2＝4，若 C1与 C2有且仅有三个公共点，则实数
k 的值为 .
解析：由 C1与 C2有且仅有三个公共点如
图，由题意可知， k ＜0， C2（－1，0），
故 C2到直线 y ＝ kx ＋2的距离等于圆的半
径， 2，解得 k ＝0 k ＜0，∴ k ＝ .
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9. 设点 P 是圆 x2＋ y2＝4上任意一点，由点 P 向 x 轴作垂线 PP0，垂足
为 P0， M 的轨迹 C 的方程.
解：设点 M （ x ， y ）， P （ x0， y0），
则由题意知 P0（ x0，0）.
x0－ x ，－ y ） 0，－ y0）， x0－ x ，－ y 0，－ y0），
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所以
4，所以 x2 y2＝4，
所以，点 M 的轨迹 C 的方程 1.
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10. 在平面直角坐标系中，方 1所表示的曲线是
（ ）
A. 两条平行线 B. 一个矩形
C. 一个菱形 D. 一个圆
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解析： 当 x ≥0， y ≥0时，方程 1；当 x ≥0， y ≤0
时，方程 1；当 x ≤0， y ≤0时，方程 1；
当 x ≤0， y ≥0时，方程 1，因此原方程所表示的曲线
是一个以（3，0），（0，2），（－3，0），（0，－2）为顶点
的菱形.故选C.
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11. 已知△ ABC 的边 AB 长为2 a ，若 BC 的中线长为 m ，则顶点 C 的轨
迹方程是 .
解析：由题意，以线段 AB 的中点为原点， AB 边
所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，如图所示，
则 A （－ a ，0）， B （ a ，0）.设 C （ x ， y ），
则线段 BC 的中点为 E （ ）.∵｜ AE ｜＝ m ，∴ m ，化简，得（ x ＋3 a ）2＋ y2＝4 m2.由于点 C 在直线 AB 上时，不能构成三角形，故去掉曲线与 x 轴的两个交点，从而所求的轨迹方程是（ x ＋3 a ）2＋ y2＝4 m2（ y ≠0）.
（ x ＋3 a ）2＋ y2＝4 m2（ y ≠0）
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12. 已知点 P （2，2），圆 C ： x2＋ y2－8 y ＝0，过点 P 的动直线 l 与圆
C 交于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O 为坐标原点.
（1）求点 M 的轨迹方程；
解：圆 C 的方程可化为 x2＋（ y －4）2＝16，
所以圆心为 C （0，4），半径为4.
设 M （ x ， y ）， x ， y －4） 2－ x ，2
－ y ）.
由题设 · 0，
故 x （2－ x ）＋（ y －4）（2－ y ）＝0，
即（ x －1）2＋（ y －3）2＝2.
所以点 M 的轨迹方程是（ x －1）2＋（ y －3）2＝2.
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（2）当｜ OP ｜＝｜ OM ｜时，求直线 l 的方程及△ POM 的面积.
解：由（1）可知点 M 的轨迹是以点 N （1，3）为圆心 .
由于｜ OP ｜＝｜ OM ｜，故点 O 在线段 PM 的垂直平分线上.
又点 P 在圆 N 上，从而 ON ⊥ PM .
因为 ON 的斜率为3，所以直线 l 的斜率
故直线 l 的方程为 y ＝ x x ＋3 y －8＝0.
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又｜ OM ｜＝｜ OP ｜＝2 O 到直线 l 的距离
｜ PM ｜＝2
所以△ POM 的面积 .
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13. 下列关于曲线 C ： x4＋ y2＝1的说法，正确的是 .（填上所
有你认为正确的序号）
①点（ ）在曲线 C 上；②曲线 C 关于直线 y ＝ x 对称；③
曲线 C 是中心对称图形；④曲线 C 围成的区域的面积小于π.
①③
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解析：对①，将点（ ）代入 C ： x4＋ y2＝1可
1，故①正确；对②，替换 x ， y 可得 y4＋ x2＝1，与原表达式不
同，故②错误；对③，将 x 替换成－ x ， y 替换成－ y 可得 x4＋ y2＝
1，故③正确；对④，因为 x4＋ y2＝1，故｜ x ｜≤1， x4≤ x2，故 x2
＋ y2≥ x4＋ y2＝1，设 M 为曲线上一点（ x0， y0）， 1，说明（ x0， y0）在圆上或圆外，故曲线 C 围成的区域的
面积应大于或等于π r2＝π，故④错误.综上所述，①③正确.
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14. 已知 A （－1，0）， B （1，0），动点 G 满足 GA ⊥ GB ，记动点 G
的轨迹为曲线 C .
（1）求曲线 C 的方程；
解：设 G （ x ， y ）（ x ≠±1），因
为 GA ⊥ GB ，
所 · 1，整理得 C 的方程为 x2
＋ y2＝1（ x ≠±1）.
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（2）如图，点 M 是 C 上任意一点，过点（3，0）且与 x 轴垂直的
直线为 l ，直线 AM 与 l 相交于点 E ，直线 BM 与 l 相交于点
F ，求证：以 EF 为直径的圆与 x 轴交于定点 T ，并求出点 T
的坐标.
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解：设点 M （ x0， y0）（ x0≠±1），且 1，
则直线 AM 的方程为 y x ＋1），
令 x ＝3，得 y E （3 ），
直线 BM 的方程为 y x －1），令 x ＝3，得 y F （3 ），
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从而以 EF 为直径的圆的方程为（ x －3）2＋（ y ）（ y
）＝0，
令 y ＝0，则（ x －3）2 · 0，即（ x －3）2 0，
又因 1，所 1 x2－6 x ＋1＝0，
解得 x ＝3±2
所以定点 T （3＋2 0）或（3－2 0）.
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谢 谢 观 看！
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