2.5.1 椭圆的标准方程
1.“1＜m＜3”是“方程＋＝1表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.若椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值为（ ）
A.5 B.3
C.5或3 D.8
3.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，·＝0，则△PF1F2的面积是（ ）
A.3 B.6
C.2 D.2
4.若方程＋＝1表示椭圆C，则下面结论正确的是（ ）
A.k∈（1，9）
B.椭圆C的焦距为2
C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（1，5）
D.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈（5，9）
5.（多选）椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标可能是（ ）
A.（－3，0） B.（2，0）
C.（3，0） D.（－2，0）
6.椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点.现从椭圆＋＝1的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为 .
7.已知F1（－3，0），F2（3，0）是椭圆＋＝1（a＞b＞0）两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为 .
8.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若｜PF1｜＝4，则｜PF2｜＝ ，∠F1PF2的大小为 .
9.求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点和；
（2）过点（－3，2）且与椭圆＋＝1有相同的焦点.
10.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A（－4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆＋＝1，则＝（ ）
A. B.
C.5 D.
11.已知F是椭圆C：＋y2＝1的左焦点，P是椭圆C上的任意一点，点Q（4，3），则｜PQ｜＋｜PF｜的最大值为（ ）
A.6 B.3
C.4 D.5
12.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的焦点分别是F1（0，－1），F2（0，1），且3a2＝4b2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P在这个椭圆上，且｜PF1｜－｜PF2｜＝1，求∠F1PF2的余弦值.
13.设P（x，y）是曲线＋＝1上的点，F1（－4，0），F2（4，0），则必有（ ）
A.｜PF1｜＋｜PF2｜≤10
B.｜PF1｜＋｜PF2｜＜10
C.｜PF1｜＋｜PF2｜≥10
D.｜PF1｜＋｜PF2｜＞10
14.设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为（0，－1）.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求｜｜·｜｜的最大值；
（2）若C为椭圆上异于B的一点，且＝λ，求λ的值；
（3）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
2.5.1 椭圆的标准方程
1.B 当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1＜m＜3且m≠2；当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆.故选B.
2.C 由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m＞4时，m＝4＋1＝5；当m＜4时，4＝m＋1，∴m＝3.
3.A 因为·＝0，所以⊥，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，则（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝｜F1F2｜2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2a2－2c2＝2b2＝6，所以＝｜PF1｜·｜PF2｜＝3，故选A.
4.C 因方程表示椭圆，则有9－k＞0，k－1＞0，且9－k≠k－1，即k∈（1，5）∪（5，9），A错误；焦点在x轴上时，9－k＞k－1＞0，解得k∈（1，5），D错误，C正确；焦点在x轴上时，则c2＝9－k－（k－1）＝10－2k，焦点在y轴上时，c2＝k－1－（9－k）＝2k－10，B错误.故选C.
5.AC 记椭圆的两焦点分别为F1，F2，有｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，则知m＝｜PF1｜·｜PF2｜≤＝25，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝5，即点P位于椭圆与x轴的交点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为（－3，0）或（3，0）.故选A、C.
6.12 解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所走的路程正好是4a＝4×3＝12.
7.＋＝1 解析：由题意知c＝3，当△F1PF2的面积最大时，点P与椭圆在y轴上的交点重合，∵α＝时，△F1PF2的面积最大，∴a＝＝2，b＝.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
8.2 120° 解析：∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，∴｜PF2｜＝6－｜PF1｜＝2.如图，在△F1PF2中，
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.
9.解：（1）设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）.∵椭圆过点和，
∴解得
∴所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
（2）由题意得已知椭圆＋＝1中a＝3，b＝2，
且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程为＋＝1.
∵点（－3，2）在所求椭圆上，
∴＋＝1.∴a'2＝15或a'2＝3（舍去）.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
10.A 在椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，则c＝＝4，故点A、C为椭圆的焦点，因此＝＝＝.故选A.
11.D 由题意，点F为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，∴F（－1，0）.∵点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为（4，3），如图，设椭圆C的右焦点为F'（1，0），连接QF'，PF'，根据椭圆定义知，｜PQ｜＋｜PF｜＝｜PQ｜＋2－｜PF'｜＝2＋｜PQ｜－｜PF'｜.∵｜PQ｜－｜PF'｜≤｜QF'｜＝3，∴｜PQ｜＋｜PF｜≤5，当F'在线段QP上时，等号成立.即要求的最大值为5，故选D.
12.解：（1）依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，
所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）由于点P在椭圆上，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝2×2＝4.又｜PF1｜－｜PF2｜＝1，所以｜PF1｜＝，｜PF2｜＝.又｜F1F2｜＝2c＝2，所以由余弦定理得cos ∠F1PF2＝＝.
故∠F1PF2的余弦值等于.
13.A 曲线＋＝1，化为＋＝1，它表示顶点分别为（±5，0），（0，±3）的菱形，以F1（－4，0），F2（4，0）为焦点，a＝5，b＝3的椭圆方程＋＝1，在直角坐标系中，作出曲线＋＝1和椭圆＋＝1的图形，如图所示.
由图形以及椭圆的定义可知，若P（x，y）在椭圆＋＝1上，又在曲线＋＝1上时，即P（0，±3）或P（±5，0）时，｜PF1｜＋｜PF2｜＝10；若P（x，y）在椭圆＋＝1内部，又在曲线＋＝1上时，则｜PF1｜＋｜PF2｜＜10，综上，｜PF1｜＋｜PF2｜≤10.故选A.
14.解：（1）因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即｜F1F2｜＝2，
又因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，
所以｜PF1｜·｜PF2｜≤＝＝4，
当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时取“＝”，
所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4，
即｜｜·｜｜的最大值为4.
（2）设C（x0，y0），B（0，－1），F1（－，0），
由＝λ得x0＝，y0＝－.
又＋＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，又与方向相反，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.
（3）因为｜PF1｜＋｜PB｜＝4－｜PF2｜＋｜PB｜≤4＋｜BF2｜，
所以△PBF1的周长≤4＋｜BF2｜＋｜BF1｜＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8.
2 / 22.5.1 椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义及标准方程 直观想象
天文学家是如何计算出日食（月食）出现的准确时间的呢？
原来，地球（月球）运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长.
【问题】 （1）给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
（2）在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖（动点）满足的几何条件吗？
知识点一 椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞｜F1F2｜，则平面内满足 的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离｜F1F2｜称为椭圆的焦距.
【想一想】
椭圆定义中，将“大于｜F1F2｜”改为“等于｜F1F2｜”或“小于｜F1F2｜”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图 形
焦点坐标
a，b，c的 关系 c2＝
【想一想】
1.确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
2.根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
1.焦点坐标为（0，3），（0，－3），椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.椭圆＋＝1的焦距为（ ）
A.2 B.2
C.4 D.8
3.已知P为椭圆C：＋y2＝1上一点，点F1，F2为其左右焦点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则｜PF1｜＝ .
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第132页例1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭圆经过点；
（3）椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
尝试解答
通性通法
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
（1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由x2，y2项系数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上；
（2）“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
【跟踪训练】
1.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－3，0）和（3，0），且椭圆经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是 .
题型二 椭圆的定义及其应用
【例2】 （链接教科书第135页练习B2题）（1）椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为 ；
（2）椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若｜PF1｜＝6，则∠F1PF2的大小为 .
尝试解答
通性通法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a；
（2）涉及焦点三角形面积时，可把｜PF1｜·｜PF2｜看作一个整体，运用｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1｜·｜PF2｜及余弦定理求出｜PF1｜·｜PF2｜，而无需单独求解.
【跟踪训练】
1.已知椭圆＋＝1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为4，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（ ）
A.6 B.5
C.4 D.3
2.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，则△PF1F2的面积为（ ）
A.2 B.4
C.4 D.6
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 （1）已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程；
（2）一个动圆与圆Q1：（x＋3）2＋y2＝1外切，与圆Q2：（x－3）2＋y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
尝试解答
通性通法
求动点轨迹方程的方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的定义，则可用定义法求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程.
【跟踪训练】
已知B，C是两个定点，顶点A为动点，｜BC｜＝6，且△ABC的周长为16，求顶点A的轨迹方程.
1.到两定点F1（－2，0）和F2（2，0）的距离之和为4的点的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.线段
C.圆 D.以上都不对
2.椭圆＋y2＝1的焦点坐标是（ ）
A.（0，±） B.（±，0）
C.（0，±） D.（±，0）
3.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则△F2MN的周长为（ ）
A.3 B.4
C.6 D.8
4.（多选）若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值可以是（ ）
A.2 B.1
C.0.5 D.0.3
5.设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A到F1，F2两点的距离之和为4，求椭圆C的方程是 .
2.5.1 椭圆的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a
想一想
提示：2a与｜F1F2｜的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 结论
2a＞｜F1F2｜ 动点的轨迹是椭圆
2a＝｜F1F2｜ 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜｜F1F2｜ 动点不存在，因此轨迹不存在
知识点二
＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） （－c，0），（c，0） （0，－c），（0，c） a2－b2
想一想
1.提示：a，b的值及焦点所在的位置.
2.提示：把方程化为标准形式，x2，y2的分母哪个大，焦点就在相应的坐标轴上.
自我诊断
1.C 由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2.C 由题意得a2＝10，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝10－2＝8，所以c＝2，焦距为2c＝4.故选C.
3.3 解析：由题意可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，又因为｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以4｜PF2｜＝4，则｜PF2｜＝1，所以｜PF1｜＝3.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.
由椭圆的定义，知2a＝＋
＝＋＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
（3）∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6. ①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练
1.A 因为焦点坐标为（－3，0）和（3，0），焦点在x轴，所以c＝3，椭圆经过点（4，0），所以a＝4，又b2＋c2＝a2， 所以b＝.故选A.
2.＋＝1或＋＝1
解析：由题意，椭圆的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，则b2＝a2－c2＝25－9＝16，当焦点可以在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.
【例2】 （1）20 （2）60° 解析：（1）A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a.
又∵｜AB｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜，
∴△ABF2的周长为｜AB｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AF2｜＋｜BF2｜＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
（2）由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
∴｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝2，｜F1F2｜＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝＝，
∴∠F1PF2＝60°.
跟踪训练
1.C 如图，不妨设焦点F为左焦点，右焦点为F1，连接MF1，因为N是MF的中点，O是FF1的中点，故ON是△MFF1的中位线，故ON＝MF1，由＋＝1得a＝6，由椭圆的定义可知MF＋MF1＝2a＝12，因为MF＝4，所以MF1＝8，故ON＝MF1＝4，故选C.
2.D 易知a2＝，b2＝6，所以c2＝a2－b2＝，a＝，即c＝，由椭圆的定义，知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝7，又因为｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝3，又｜F1F2｜＝2c＝5，所以△PF1F2为直角三角形，所以＝×3×4＝6.故选D.
【例3】 解：（1）设Q（x，y），P（x0，y0），由点Q是线段OP的中点知x0＝2x，y0＝2y，
又＋＝1.
所以＋＝1，
即x2＋＝1.
（2）由已知，得两定圆的圆心和半径分别为Q1（－3，0），R1＝1；Q2（3，0），R2＝9.
设动圆圆心为M（x，y），半径为R，如图.
由题设有｜MQ1｜＝1＋R，｜MQ2｜＝9－R，
所以｜MQ1｜＋｜MQ2｜＝10＞｜Q1Q2｜＝6.
由椭圆的定义，知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练
解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设A（x，y），由题意知：
B（－3，0），C（3，0），｜AB｜＋｜AC｜＋｜BC｜＝16.
又｜BC｜＝6，
∴｜AB｜＋｜AC｜＝10.
∵｜AB｜＋｜AC｜＞｜BC｜，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆.
易知a＝5，c＝3，则b＝4，
又A，B，C构成三角形，
∴点A，B，C不共线，∴x≠±5.
∴点A的轨迹方程为＋＝1（x≠±5）.
随堂检测
1.B ｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜＝4，∴点M的轨迹为线段F1F2.
2.B 由题设方程，椭圆焦点在x轴上且c＝＝，∴焦点坐标为（±，0）.故选B.
3.D 由题意，椭圆C：＋＝1，可得a2＝4，即a＝2，如图所示，根据椭圆的定义，可得△F2MN的周长为｜MN｜＋｜MF2｜＋｜NF2｜＝｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜NF1｜＋｜NF2｜＝2a＋2a＝4a＝8.故选D.
4.CD ∵方程x2＋ky2＝2，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴＞2，故0＜k＜1.故选C、D.
5.＋＝1 解析：｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝4得a＝2，∴原方程化为＋＝1，将A代入方程得b2＝3，∴椭圆方程为＋＝1.
4 / 4(共66张PPT)
2.5.1 椭圆的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解椭圆的实际背景 数学抽象
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭
圆的定义及标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
天文学家是如何计算出日食（月食）出现的准确时间的呢？
原来，地球（月球）运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中
的一些有关数据，可以推算出它运行轨道的方程，从而算出它运行的
周期及轨道的周长.
【问题】 （1）给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画
出椭圆吗？
（2）在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖（动点）满足的几何
条件吗？
知识点一 椭圆的定义
如果 F1， F2是平面内的两个定点， a 是一个常数，且2 a ＞｜ F1
F2｜，则平面内满足 的动点 P 的轨迹称
为椭圆，其中，两个定点 F1， F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距
离｜ F1 F2｜称为椭圆的焦距.
｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a
提示：2 a 与｜ F1 F2｜的大小关系所确定的点的轨迹如下表：
条件 结论
2 a ＞｜ F1 F2｜ 动点的轨迹是椭圆
2 a ＝｜ F1 F2｜ 动点的轨迹是线段 F1 F2
2 a ＜｜ F1 F2｜ 动点不存在，因此轨迹不存在
【想一想】
椭圆定义中，将“大于｜ F1 F2｜”改为“等于｜ F1 F2｜”或“小
于｜ F1 F2｜”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
知识点二 椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程
图 形
焦点坐标
a ， b ， c
的关系 c2＝
1（ a ＞ b ＞0）
1（ a ＞b ＞0）
（－ c ，0），（ c ，0）
（0，－ c ），（0， c ）
a2－ b2
【想一想】
1. 确定椭圆的标准方程需要知道哪些量？
提示： a ， b 的值及焦点所在的位置.
2. 根据椭圆方程，如何确定焦点位置？
提示：把方程化为标准形式， x2， y2的分母哪个大，焦点就在相应
的坐标轴上.
1. 焦点坐标为（0，3），（0，－3），椭圆上一点到两焦点的距离之
和为10，则椭圆的标准方程为（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 由题意 a ＝5， c ＝3，且焦点在 y 轴上，∴ b
4，∴椭圆的标准方程 1.
2. 椭 1的焦距为（ ）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 8
解析： 由题意得 a2＝10， b2＝2，所以 c2＝ a2－ b2＝10－2＝8，
所以 c ＝2 2 c ＝4 .故选C.
3. 已知 P 为椭圆 C y2＝1上一点，点 F1， F2为其左右焦点，｜
PF1｜＝3｜ PF2｜，则｜ PF1｜＝ .
解析：由题意可得｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝4，又因为｜ PF1｜＝3｜
PF2｜，所以4｜ PF2｜＝4，则｜ PF2｜＝1，所以｜ PF1｜＝3.
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求椭圆的标准方程
【例1】 （链接教科书第132页例1）求适合下列条件的椭圆的标准
方程：
（1）椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上
一点 P 到两焦点距离的和等于10；
解：椭圆的焦点在 x 轴上，故设椭圆的标准方程
1（ a ＞ b ＞0）.
∵2 a ＝10， c ＝4，∴ b2＝ a2－ c2＝9，
∴椭圆的标准方程 1.
（2）椭圆的两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0，2），并且椭
圆经过点（ ）；
解：椭圆的焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程
1（ a ＞ b ＞0）.
由椭圆的定义，知2 a
2
∴ a .
又∵ c ＝2，∴ b2＝ a2－ c2＝10－4＝6，
∴椭圆的标准方程 1.
（3）椭圆的焦点在 x 轴上， a ∶ b ＝2∶1， c .
解：∵ c ∴ a2－ b2＝ c2＝6. ①
又由 a ∶ b ＝2∶1，得 a ＝2 b ，代入①得4 b2－ b2＝6，
∴ b2＝2，∴ a2＝8.
又∵椭圆的焦点在 x 轴上，
∴椭圆的标准方程 1.
通性通法
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
（1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提
下，确定焦点位于哪条坐标轴上，即焦点的位置由 x2， y2项系
数分母的大小决定，焦点在系数分母大的项对应的坐标轴上；
（2）“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程求解.
【跟踪训练】
1. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（－3，0）和（3，0），且椭圆
经过点（4，0），则该椭圆的标准方程是（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 因为焦点坐标为（－3，0）和（3，0），焦点在 x 轴，
所以 c ＝3，椭圆经过点（4，0），所以 a ＝4，又 b2＋ c2＝ a2， 所
以 b .故选A.
2. 已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于
10，则椭圆的标准方程是 1 1 .
解析：由题意，椭圆的焦距是6，可得2 c ＝6，即 c ＝3，又由椭圆
上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2 a ＝10，即 a ＝5，则
b2＝ a2－ c2＝25－9＝16，当焦点可以在 x 轴上时，椭圆的方程 1；当椭圆的焦点在 y 轴上时，椭圆的方程 1.
1 1
题型二 椭圆的定义及其应用
【例2】 （链接教科书第135页练习B2题）（1）椭 1的
两焦点为 F1， F2，一直线过 F1交椭圆于 A ， B 两点，则△ ABF2的周长
为 ；
20
解析： ， B 都在椭圆上，由椭圆的定义知｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ，｜ BF1｜＋｜ BF2｜＝2 a .又∵｜ AB ｜＝｜ AF1｜＋｜ BF1｜，∴△ ABF2的周长为｜ AB ｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝｜ AF1｜＋｜ BF1｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝4 a .故△ ABF2的周长为4×5＝20.
（2）椭 1的两焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若｜
PF1｜＝6，则∠ F1 PF2的大小为 .
解析： 1，知 a ＝4， b ＝3， c ∴｜
PF2｜＝2 a －｜ PF1｜＝2，｜ F1 F2｜＝2 c ＝2 ∴ cos ∠ F1
PF2 ∴∠ F1 PF2＝60°.
60°
通性通法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆的定义具有双向作用，即若｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝2 a （2 a
＞｜ F1 F2｜），则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点
M 到两焦点的距离之和必为2 a ；
（2）涉及焦点三角形面积时，可把｜ PF1｜·｜ PF2｜看作一个整体，
运用｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－2｜
PF1｜·｜ PF2｜及余弦定理求出｜ PF1｜·｜ PF2｜，而无需单独
求解.
【跟踪训练】
1. 已知椭 1上的点 M 到该椭圆一个焦点 F 的距离为4， N
是 MF 的中点， O 为坐标原点，那么线段 ON 的长是（ ）
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
解析： 如图，不妨设焦点 F 为左焦点，右
焦点为 F1，连接 MF1，因为 N 是 MF 的中点， O
是 FF1的中点，故 ON 是△ MFF1的中位线，故
ON MF1， 1得 a ＝6，由椭圆的
定义可知 MF ＋ MF1＝2 a ＝12，因为 MF ＝4，
所以 MF1＝8，故 ON MF1＝4，故选C.
2. 设 F1， F2是椭 1的两个焦点， P 是椭圆上的点，且｜
PF1｜∶｜ PF2｜＝4∶3，则△ PF1 F2的面积为（ ）
A. 2 B. 4
C. 4 D. 6
解析： 易知 a2 b2＝6，所以 c2＝ a2－ b2 a
c ｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝7，又因为｜
PF1｜∶｜ PF2｜＝4∶3，所以｜ PF1｜＝4，｜ PF2｜＝3，又｜ F1
F2｜＝2 c ＝5，所以△ PF1 F2为直角三角形，所 3×4
＝6.故选D.
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
【例3】 （1）已知 P 是椭 1上一动点， O 为坐标原点，
求线段 OP 的中点 Q 的轨迹方程；
解：设 Q （ x ， y ）， P （ x0， y0），由点 Q 是线段 OP 的
中点知 x0＝2 x ， y0＝2 y ，
1.
所 1，
即 x2 1.
（2）一个动圆与圆 Q1：（ x ＋3）2＋ y2＝1外切，与圆 Q2：（ x －3）
2＋ y2＝81内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程.
解：由已知，得两定圆的圆心和半径分
别为 Q1（－3，0）， R1＝1； Q2（3，0）， R2
＝9.
设动圆圆心为 M （ x ， y ），半径为 R ，如图.
由题设有｜ MQ1｜＝1＋ R ，｜ MQ2｜＝9－ R ，
所以｜ MQ1｜＋｜ MQ2｜＝10＞｜ Q1 Q2｜＝6.
由椭圆的定义，知点 M 在以 Q1， Q2为焦点的
椭圆上，且 a ＝5， c ＝3.
所以 b2＝ a2－ c2＝25－9＝16，
故动圆圆心的轨迹方程 1.
通性通法
求动点轨迹方程的方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆
等）的定义，则可用定义法求解；
（2）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列
出等式后化简，得出动点的轨迹方程；
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨
迹方程.
【跟踪训练】
已知 B ， C 是两个定点，顶点 A 为动点，｜ BC ｜＝6，且△ ABC 的
周长为16，求顶点 A 的轨迹方程.
解：如图所示，以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC
的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，设 A
（ x ， y ），由题意知：
B （－3，0）， C （3，0），｜ AB ｜＋｜ AC ｜＋｜
BC ｜＝16.
又｜ BC ｜＝6，
∴｜ AB ｜＋｜ AC ｜＝10.
∵｜ AB ｜＋｜ AC ｜＞｜ BC ｜，
∴点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的椭圆.
易知 a ＝5， c ＝3，则 b ＝4，
又 A ， B ， C 构成三角形，
∴点 A ， B ， C 不共线，∴ x ≠±5.
∴点 A 的轨迹方程 1（ x ≠±5）.
1. 到两定点 F1（－2，0）和 F2（2，0）的距离之和为4的点的轨迹是
（ ）
A. 椭圆 B. 线段
C. 圆 D. 以上都不对
解析： ｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝｜ F1 F2｜＝4，∴点 M 的轨迹为线
段 F1 F2.
2. 椭 y2＝1的焦点坐标是（ ）
A. （0， B. （ 0）
C. （0， D. （ 0）
解析： 由题设方程，椭圆焦点在 x 轴上且 c
∴焦点坐标为 0）.故选B.
3. 已知椭圆 C 1的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1作直
线 l 交椭圆 C 于 M ， N 两点，则△ F2 MN 的周长为（ ）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 由题意，椭圆 C 1，可得
a2＝4，即 a ＝2，如图所示，根据椭圆的定义，
可得△ F2 MN 的周长为｜ MN ｜＋｜ MF2｜＋｜
NF2｜＝｜ MF1｜＋｜ MF2｜＋｜ NF1｜＋｜
NF2｜＝2 a ＋2 a ＝4 a ＝8.故选D.
4. （多选）若方程 x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的
取值可以是（ ）
A. 2 B. 1
C. 0.5 D. 0.3
解析： ∵方程 x2＋ ky2＝2， 1表示焦点在 y 轴上的
椭圆，∴ 2，故0＜ k ＜1.故选C、D.
5. 设 F1， F2分别为椭圆 C 1（ a ＞ b ＞0）的左、右两个焦
点，若椭圆 C 上的点 A （1 ）到 F1， F2两点的距离之和为4，求
椭圆 C 的方程是 1 .
解析：｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ＝4得 a ＝2，∴原方程化
1，将 A （1 ）代入方程得 b2＝3，∴椭圆方程 1.
1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. “1＜ m ＜3”是“方 1表示椭圆”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当方 1表示椭圆时，必有
1＜ m ＜3且 m ≠2；当 m ＝2时，方程变为 x2
＋ y2＝1，它表示一个圆.故选B.
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2. 若椭 1的焦距为2，则 m 的值为（ ）
A. 5 B. 3
C. 5或3 D. 8
解析： 由题意得 c ＝1， a2＝ b2＋ c2.当 m ＞4时， m ＝4＋1＝5；
当 m ＜4时，4＝ m ＋1，∴ m ＝3.
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3. 已知 F1， F2是椭圆 C 1的两个焦点，点 P 在椭圆上 · 0，则△ PF1 F2的面积是（ ）
A. 3 B. 6
C. 2 D. 2
解析： 因 · 0，所 ｜ PF1｜2＋｜
PF2｜2＝｜ F1 F2｜2，则（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）2－2｜ PF1｜·｜
PF2｜＝｜ F1 F2｜2，所以｜ PF1｜·｜ PF2｜＝2 a2－2 c2＝2 b2＝6，
所 ｜ PF1｜·｜ PF2｜＝3，故选A.
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4. 若方 1表示椭圆 C ，则下面结论正确的是（ ）
A. k ∈（1，9）
B. 椭圆 C 的焦距为2
C. 若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，则 k ∈（1，5）
D. 若椭圆 C 的焦点在 x 轴上，则 k ∈（5，9）
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解析： 因方程表示椭圆，则有9－ k ＞0， k －1＞0，且9－ k ≠ k
－1，即 k ∈（1，5）∪（5，9），A错误；焦点在 x 轴上时，9－ k
＞ k －1＞0，解得 k ∈（1，5），D错误，C正确；焦点在 x 轴上
时，则 c2＝9－ k －（ k －1）＝10－2 k ，焦点在 y 轴上时， c2＝ k －1
－（9－ k ）＝2 k －10，B错误.故选C.
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5. （多选）椭 1上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m ，
则当 m 取最大值时，点 P 的坐标可能是（ ）
A. （－3，0） B. （2，0）
C. （3，0） D. （－2，0）
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解析： 记椭圆的两焦点分别为 F1， F2，有｜ PF1｜＋｜ PF2｜
＝2 a ＝10，则知 m ＝｜ PF1｜·｜ PF2｜≤（ ）2＝
25，当且仅当｜ PF1｜＝｜ PF2｜＝5，即点 P 位于椭圆与 x 轴的交
点处时， m 取得最大值25.∴点 P 的坐标为（－3，0）或（3，0）.
故选A、C.
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6. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反
射后恰好穿过另一个焦点.现从椭 1的左焦点 F 发出的一
条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点 F ，则光线所经过的总
路程为 .
解析：依题意可知光线经两次椭圆壁反射后回到 F 点，故根据椭圆
的定义可知所走的路程正好是4 a ＝4×3＝12.
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7. 已知 F1（－3，0）， F2（3，0）是椭 1（ a ＞ b ＞0）两
个焦点， P 在椭圆上，∠ F1 PF2＝α，且当α △ F1 PF2的面
积最大，则椭圆的标准方程为 1 .
解析：由题意知 c ＝3，当△ F1 PF2的面积最大时，点 P 与椭圆在 y
轴上的交点重合，∵α △ F1 PF2的面积最大，∴ a
2 b .∴椭圆的标准方程 1.
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8. 已知椭 1的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在椭圆上.
若｜ PF1｜＝4，则｜ PF2｜＝ ，∠ F1 PF2的大小为 .
解析：∵｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝6，∴｜
PF2｜＝6－｜ PF1｜＝2.如图，在△ F1 PF2中，由
余弦定理得 cos ∠ F1 PF2
∴∠ F1 PF2＝120°.
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解：设所求椭圆方程为 mx2＋ ny2＝1（ m ＞0， n ＞0， m
≠ n ）.∵椭圆过点（ ）和（ 1），
∴
∴所求椭圆的标准方程为 x2 1.
9. 求符合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点（ ）和（ 1）；
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（2）过点（－3，2）且与椭 1有相同的焦点.
解：由题意得已知椭 1中 a ＝3， b ＝2，
且焦点在 x 轴上，∴ c2＝9－4＝5.
∴设所求椭圆方程 1.
∵点（－3，2）在所求椭圆上，
∴ 1.∴a'2＝15或a'2＝3（舍去）.
∴所求椭圆的标准方程 1.
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10. 在平面直角坐标系 Oxy 中，已知△ ABC 的顶点 A （－4，0）和 C
（4，0），顶点 B 在椭 1，
A. B.
C. 5 D.
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解析： 在椭 1中， a ＝5， b ＝3，则 c
4，故点 A 、 C 为椭圆的焦点，因 .故选A.
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11. 已知 F 是椭圆 C y2＝1的左焦点， P 是椭圆 C 上的任意一
点，点 Q （4，3），则｜ PQ ｜＋｜ PF ｜的最大值为（ ）
A. 6 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 由题意，点 F 为椭圆 C y2＝
1的左焦点，∴ F （－1，0）.∵点 P 为椭圆 C
上任意一点，点 Q 的坐标为（4，3），如图，
设椭圆 C 的右焦点为 F '（1，0），连接 QF '，
PF '，根据椭圆定义知，｜ PQ ｜＋｜ PF ｜＝｜ PQ ｜＋2 ｜ PF '｜＝2 ｜ PQ ｜－｜ PF '｜.∵｜ PQ ｜－｜ PF '｜≤｜ QF '｜＝3 ∴｜ PQ ｜＋｜ PF ｜≤5 F '在线段 QP 上时，等号成立.即要求的最大值为5 D.
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12. 已知椭 1（ a ＞ b ＞0）的焦点分别是 F1（0，－1），
F2（0，1），且3 a2＝4 b2.
（1）求椭圆的标准方程；
解：依题意，知 c2＝1，又 c2＝ a2－ b2，且3 a2＝4 b2，
所以 a2 a2＝1， a2＝1，所以 a2＝4， b2＝3，
故椭圆的标准方程 1.
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（2）设点 P 在这个椭圆上，且｜ PF1｜－｜ PF2｜＝1，求∠ F1
PF2的余弦值.
解：由于点 P 在椭圆上，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a
＝2×2＝4.又｜ PF1｜－｜ PF2｜＝1，所以｜ PF1｜ ｜
PF2｜ .又｜ F1 F2｜＝2 c ＝2，所以由余弦定理得 cos ∠
F1 PF2 .
故∠ F1 PF2的余弦值等 .
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13. 设 P （ x ， y ）是曲 1上的点， F1（－4，0）， F2
（4，0），则必有（ ）
A. ｜ PF1｜＋｜ PF2｜≤10
B. ｜ PF1｜＋｜ PF2｜＜10
C. ｜ PF1｜＋｜ PF2｜≥10
D. ｜ PF1｜＋｜ PF2｜＞10
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解析： 曲 1，
化 1，它表示
顶点分别为（±5，0），（0，
±3）的菱形，以 F1（－4，0）， F2（4，0）为焦点， a ＝5， b ＝3的椭圆方 1，在直角坐标系中，作出曲 1和椭 1的图形，如图所示.
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由图形以及椭圆的定义可知，若 P （ x ， y ）在椭 1上，又在曲 1上时，即 P （0，±3）或 P （±5，0）时，｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝10；若 P （ x ， y ）在椭 1内部，又在曲 1上时，则｜ PF1｜＋｜ PF2｜＜10，综上，｜ PF1｜＋｜ PF2｜≤10.故选A.
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14. 设 F1， F2分别是椭 y2＝1的两焦点， B 为椭圆上的点且坐标
为（0，－1）.
（1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求｜ ｜·｜ ｜的最
大值；
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解：因为椭圆的方程 y2＝1，
所以 a ＝2， b ＝1， c
即｜ F1 F2｜＝2
又因为｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝4，
所以｜ PF1｜·｜ PF2｜≤（ ）2＝（ ）2＝4，
当且仅当｜ PF1｜＝｜ PF2｜＝2时取“＝”，
所以｜ PF1｜·｜ PF2｜的最大值为4，
即｜ ｜·｜ ｜的最大值为4.
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（2）若 C 为椭圆上异于 B 的一点， λ λ的值；
解：设 C （ x0， y0）， B （0，－1）， F1 0），
λ x0 y0＝ .
1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1， λ＝1舍去，
所以λ＝－7.
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（3）设 P 是该椭圆上的一个动点，求△ PBF1的周长的最大值.
解：因为｜ PF1｜＋｜ PB ｜＝4－｜ PF2｜＋｜ PB ｜
≤4＋｜ BF2｜，
所以△ PBF1的周长≤4＋｜ BF2｜＋｜ BF1｜＝8，
所以当 P 点位于直线 BF2与椭圆的交点处时，△ PBF1周长最
大，最大值为8.
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谢 谢 观 看！
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