2.5.2 椭圆的几何性质
1.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A.3 B.6
C.8 D.12
2.过点（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左，右焦点，A为上顶点，则△AF1F2的面积为（ ）
A.6 B.15
C.6 D.3
4.明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图①，②，③中椭圆的短轴长与长轴长的比值分别为，，，设图①，②，③中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（ ）
A.e1＞e2＞e3 B.e1＞e3＞e2
C.e2＞e1＞e3 D.e2＞e3＞e1
5.（多选）已知点P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，点Q是圆D：（x＋1）2＋y2＝上的动点，则（ ）
A.椭圆C的焦距为
B.椭圆C的离心率为
C.圆D在椭圆C的内部
D.｜PQ｜的最小值为
6.若椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为 .
7.如图，把椭圆＋＝1的长轴（线段AB）分成8等份，过每个分点作x轴的垂线，分别交椭圆于P1，P2，P3，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则｜P1F｜＋｜P2F｜＋…＋｜P7F｜＝ .
8.已知A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为 .
9.过椭圆的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若｜F1A｜＝2｜F1B｜，求椭圆的离心率e.
10.在椭圆＋y2＝1上有两个动点P，Q，E（1，0）为定点，EP⊥EQ，则·的最小值为（ ）
A. B.
C. D.1
11.若椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 .
12.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，并且经过定点P.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，M（x0，y0）为E上的一点，若△MF1F2为直角三角形，求y0的值.
13.1955年10月29日新疆克拉玛依一号油井出油，标志着新中国第一个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为椭圆C：＋＝1，已知动点P在椭圆C上，若点A的坐标为（3，0），点M满足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值是 .
14.有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少？
2.5.2 椭圆的几何性质
1.B 椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2a＝10，2c＝8，可得a＝5，c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，可得b＝3，所以该椭圆的短轴长2b＝6，故选B.
2.C 由3x2＋8y2＝24化简可得＋＝1，焦点为（±，0）在x轴上，同时又过（3，2）点，设＋＝1，有解得a2＝15，b2＝10，故选C.
3.D 由椭圆方程＋＝1得A（0，3），F1（－，0），F2（，0），∴｜F1F2｜＝2.∴＝｜F1F2｜·｜yA｜＝×2×3＝3.故选D.
4.A 椭圆的短轴长与长轴长的比值为＝，椭圆的离心率公式为e＝＝＝＝，故e1＝，e2＝，e3＝，故e1＞e2＞e3.故选A.
5.BC 由＋y2＝1，可知a＝，b＝1，c＝，则焦距2c＝2，离心率e＝＝＝.设P（x0，y0），易知圆心D（－1，0），半径r＝，则｜PD｜＝＝＝＞，故圆D在椭圆C的内部.当｜PD｜取最小值时，｜PQ｜的最小值为－＝.故选B、C.
6.＋＝1 解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，所以解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
7.35 解析：由椭圆的对称性及定义，知｜P1F｜＋｜P7F｜＝2a，｜P2F｜＋｜P6F｜＝2a，｜P3F｜＋｜P5F｜＝2a，｜P4F｜＝a，所以｜P1F｜＋｜P2F｜＋｜P3F｜＋｜P4F｜＋｜P5F｜＋｜P6F｜＋｜P7F｜＝7a.因为a＝5，所以所求式子的值为35.
8.－1 解析：如图，连接BF2.因为△AF1F2为正三角形，且B为线段AF1的中点，所以F2B⊥BF1.又∠BF2F1＝30°，｜F1F2｜＝2c，所以｜BF1｜＝c，｜BF2｜＝c，由椭圆的定义，得｜BF1｜＋｜BF2｜＝2a，即c＋c＝2a，所以＝－1，所以椭圆的离心率e＝－1.
9.解：如图，设椭圆的右焦点为F2，长轴长为2a，焦距为2c，｜BF1｜＝m，则｜AF1｜＝2m.
由椭圆的定义知｜AF2｜＝2a－2m，｜BF2｜＝2a－m.
在△AF1F2及△BF1F2中，分别用余弦定理，整理，
可得
①÷②，得＝，即＝，
解得e＝.
10.C 由题意得·＝·（－）＝－·＝.设椭圆上一点P（x，y），则＝（x－1，y），∴＝（x－1）2＋y2＝（x－1）2＋＝＋，又－2≤x≤2，∴当x＝时，取得最小值.故选C.
11. 解析：设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a.∵F1（－c，0），F2（c，0），∴＝（－c－x0，－y0），＝（c－x0，－y0）.∵∠F1MF2＝90°，∴·＝0，∴＋＝c2.又＝b2－，∴＋＝b2＋∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），∴c2≥b2＝a2－c2，∴≥，∴e≥，又0＜e＜1，故椭圆的离心率e的取值范围是.
12.解：（1）设椭圆E的半焦距为c，
则解得
所以椭圆方程为＋y2＝1.
（2）由（1）得F1（－，0），F2（，0），
若MF1⊥F1F2，则M（－，y0），代入椭圆方程得＋＝1，得y0＝±；
若MF2⊥F1F2，则M（，y0），代入椭圆方程得＋＝1，得y0＝±；
若MF2⊥MF1，则·＝－3＋＝0，
又＋＝1，解得
所以y0＝±，
综上，y0＝±或y0＝±满足题意.
13.2 解析：因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要想使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝＝6－m在[－6，6]上单调递减，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2.
14.解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x轴，y轴，以长轴的中点为坐标原点O，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD关于原点O及x轴，y轴对称.已知椭圆的长轴长2a＝100 m，短轴长2b＝60 m，则a＝50 m，b＝30 m，所以椭圆的方程为＋＝1.
设点A的坐标为（x0，y0），x0＞0，y0＞0，
则＋＝1，即＝（502－）.
根据矩形ABCD的对称性，可知它的面积S＝4x0y0.
因为＝·（502－）
＝，
所以当＝时，取得最大值，此时S也取得最大值.
这时x0＝25，y0＝15.
矩形ABCD的周长为4（x0＋y0）＝4×（25＋15）＝160（m）.
因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为160 m.
1 / 22.5.2 椭圆的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想 数学运算
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准 方程
范围
顶点
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝
对称性 对称轴 ，对称中心
离心率 e＝
提醒 椭圆的离心率e的大小反映椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆.
1.椭圆＋＝1的长轴长为（ ）
A.2 B.4
C.8 D.4
2.椭圆x2＋4y2＝4的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
3.已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为 .
题型一 椭圆的几何性质
角度1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 （1）椭圆＋＝1的焦距等于2，则m的值为（ ）
A.6 B.9
C.6或4 D.9或1
（2）（多选）关于椭圆3x2＋4y2＝12有以下结论，其中正确的有（ ）
A.离心率为
B.长轴长是2
C.焦点在y轴上
D.焦点坐标为（－1，0），（1，0）
尝试解答
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置；
（3）求出a，b，c；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
【跟踪训练】
1.（多选）已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则（ ）
A.a2＝25 B.b2＝25
C.a2＝9 D.b2＝9
2.已知椭圆C：＋＝1的长轴长为4，则C的焦距为 .
角度2 椭圆离心率的求法
【例2】 （1）椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点是圆M：（x－3）2＋y2＝1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于 ；
（2）已知a，b，c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x的方程ax2＋2bx＋c＝0无实根，则椭圆E的离心率e的取值范围是 .
尝试解答
通性通法
求椭圆离心率及范围的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解；
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.
【跟踪训练】
1.若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
2.已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为 .
题型二 利用几何性质求标准方程
【例3】 （链接教科书第141页练习A2题）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）长轴长是10，离心率是；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
尝试解答
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.列方程（组）时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等.
【跟踪训练】
已知椭圆一个焦点（2，0），离心率为，则椭圆的标准方程（ ）
A.＋＝1 B.x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
题型三 椭圆的实际应用问题
【例4】 （链接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439 km，远地点B（离地面最远的点）距地面2 384 km，并且F2，A，B在同一直线上，地球半径约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）.
尝试解答
通性通法
解决椭圆的实际问题的基本步骤
（1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
（2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
（3）利用椭圆知识及其他相关知识求解.
【跟踪训练】
嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3 988公里；③两焦点坐标约为（0，±150）；④离心率约为.则上述结论正确的是（ ）
A.①②④ B.①③
C.①③④ D.②③④
1.椭圆C：＋y2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A.离心率e＝ B.长轴长为4
C.焦距为2 D.短轴长为1
2.已知椭圆C的短轴长与焦距相等，则其离心率e等于（ ）
A. B. C. D.
3.若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4.（多选）已知椭圆的标准方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值可能是（ ）
A.4 B. C.6 D.
5.直线y＝2x－1过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为 .
2.5.2 椭圆的几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a A1（－a，0），A2（a，0），B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a），B1（－b，0），B2（b，0） 2a 2b x轴和y轴 （0，0）
（0＜e＜1）
自我诊断
1.C 由＋＝1，可得a＝4，所以长轴长为2a＝8.故选C.
2.D ∵x2＋4y2＝4 ＋y2＝1，∴a2＝4，b2＝1.∴c2＝a2－b2＝3，e＝＝.故选D.
3.＋＝1或＋＝1
解析：设椭圆的方程为＋＝1或＋＝1（a＞b＞0），由题意可得解得若椭圆的焦点在x轴上，可得椭圆的标准方程为＋＝1，若椭圆的焦点在y轴上，可得椭圆的标准方程为＋＝1.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）C （2）AD 解析：（1）椭圆＋＝1的焦点在x轴时，有c＝.由题意得2c＝2＝2，解得m＝6.椭圆＋＝1的焦点在y轴时，有c＝.由题意得2c＝2＝2，解得m＝4.故选C.
（2）将椭圆方程化为标准方程为＋＝1，所以该椭圆的焦点在x轴上，故C错误；
焦点坐标为（－1，0），（1，0），故D正确；
a＝2，长轴长是4，故B错误；
因为a＝2，b＝，所以c＝1，离心率e＝＝，故A正确.故选A、D.
跟踪训练
1.AD 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，且椭圆＋＝1的短轴长为6，所以椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，即a2＝25，b2＝9.故选A、D.
2.2 解析：因为椭圆C：＋＝1的长轴长为4，所以2＝4，解得m＝4，所以c2＝4－3＝1，即c＝1，故C的焦距为2c＝2.
【例2】 （1） （2） 解析：（1）由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c＝3，由题意2a＝10，所以a＝5，所以椭圆的离心率e＝＝.
（2）由题有Δ＝4b2－4ac＜0，即a2－c2－ac＜0，故e2＋e－1＞0，得e＜或e＞，而0＜e＜1，所以＜e＜1.
跟踪训练
1.B 由题意可得4b＝2a＋2c，平方得4b2＝（a＋c）2，
所以4（a2－c2）＝a2＋2ac＋c2，3a2－2ac－5c2＝0，5e2＋2e－3＝0，解得e＝（负值舍去）.
2. 解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是.
【例3】 解：（1）设椭圆的方程为
＋＝1（a＞b＞0）或＋＝1（a＞b＞0）.
由已知得2a＝10，a＝5.
又∵e＝＝，∴c＝4.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
（2）依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）.
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，
则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的方程为＋＝1.
跟踪训练
D 因为椭圆一个焦点（2，0），所以椭圆的焦点在横轴上，且c＝2，又因为该椭圆的离心率为，所以有＝ a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12，因此椭圆的方程为＋＝1，故选D.
【例4】 解：如图，建立直角坐标系，使点A，B，F2在x轴上，F2为椭圆右焦点（记F1为左焦点），
设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），
则a－c＝｜OA｜－｜OF2｜＝｜F2A｜＝6 371＋439＝6 810，
a＋c＝｜OB｜＋｜OF2｜＝｜F2B｜＝6 371＋2 384＝8 755，
∴a＝7 782.5≈7 783.
∴b＝＝＝≈7 721，
∴卫星运行的轨道方程是＋＝1.
跟踪训练
C 依题意 2c＝300，①正确；2a＝3 976，②错误；焦点坐标为（0，±150），③正确；离心率e＝＝＝，④正确.所以正确的为①③④.故选C.
随堂检测
1.D 因为椭圆C：＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝，因此离心率e＝，故A正确；长轴长为2a＝4，故B正确；短轴长为2b＝2，故D错误；焦距为2c＝2，故C正确.故选D.
2.B 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c，由题意可得2b＝2c，∴b＝c，a＝＝b，∴e＝＝＝.故选B.
3.A 由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72.又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
4.AB ∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4；当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或.
5. 解析：直线y＝2x－1与y，x轴的交点为（0，－1），，∵直线y＝2x－1过椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个顶点和焦点，且椭圆的焦点在x轴上，∴b＝1，c＝，a2＝b2＋c2＝1＋＝，即a＝，∴e＝＝＝.
1 / 4(共69张PPT)
2.5.2 椭圆的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.掌握椭圆的简单几何性质 直观想象
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一
步体会数形结合的思想 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常
出现.
【问题】 你知道椭圆有什么样的性质吗？
知识点 椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
标准方程 1（ a ＞ b
1（ a ＞ b ＞0）
1（ a ＞ b＞0）
1（ a ＞ b ＞0）
焦点的位
置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
范围
顶点
－ a ≤ x ≤ a 且－ b ≤ y
≤ b
－ b ≤ x ≤ b 且－ a ≤ y ≤ a
A1（－ a ，0）， A2
（ a ，0），
B1（0，－ b ）， B2
（0， b ）
A1（0，－ a ）， A2（0， a ），
B1（－ b ，0）， B2（ b ，0）
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝
对称性 对称轴 ，对称中心
离心率 e ＝ 0＜ e ＜1）
2 a
2 b
x 轴和 y 轴
（0，0）
0＜ e ＜1）
提醒 椭圆的离心率 e 的大小反映椭圆的扁平程度， e 越大，椭圆越
扁； e 越小，椭圆越圆.
1. 椭 1的长轴长为（ ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 4
解析： 1，可得 a ＝4，所以长轴长为2 a ＝8.故选C.
2. 椭圆 x2＋4 y2＝4的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： ∵ x2＋4 y2＝4 y2＝1，∴ a2＝4， b2＝1.∴ c2＝ a2－
b2＝3， e .故选D.
3. 已知椭圆的焦距为8，离心率为0.8，则椭圆的标准方程为
.
1 1
解析：设椭圆的方程 1 1（ a ＞ b ＞0），
由题意可得 x 轴上，
可得椭圆的标准方程 1，若椭圆的焦点在 y 轴上，可得
椭圆的标准方程 1.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 椭圆的几何性质
角度1 由椭圆方程研究几何性质
【例1】 （1）椭 1的焦距等于2，则 m 的值为（ ）
A. 6 B. 9
C. 6或4 D. 9或1
解析：椭 1的焦点在 x 轴时，有 c .由
题意得2 c ＝2 2，解得 m ＝6.椭 1的焦点在
y 轴时，有 c .由题意得2 c ＝2 2，解得 m ＝4.
故选C.
（2）（多选）关于椭圆3 x2＋4 y2＝12有以下结论，其中正确的有
（ ）
A. 离心率
B. 长轴长是2
C. 焦点在 y 轴上
D. 焦点坐标为（－1，0），（1，0）
解析：将椭圆方程化为标准方程 1，所以该椭圆的焦
点在 x 轴上，故C错误；
焦点坐标为（－1，0），（1，0），故D正确；
a ＝2，长轴长是4，故B错误；
因为 a ＝2， b c ＝1，离心率 e A正确.故
选A、D.
通性通法
用标准方程研究几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置；
（3）求出 a ， b ， c ；
（4）写出椭圆的几何性质.
提醒 长轴长、短轴长、焦距不是 a ， b ， c ，而应是 a ， b ， c
的两倍.
【跟踪训练】
1. （多选）已知椭 1与椭 1有相同的长轴，
椭 1的短轴长与椭 1的短轴长相等，则
（ ）
A. a2＝25 B. b2＝25
C. a2＝9 D. b2＝9
解析： 因为椭 1的长轴长为10，且椭
1的短轴长为6，所以椭 1中， a ＝5， b ＝3，即 a2＝
25， b2＝9.故选A、D.
2. 已知椭圆 C 1的长轴长为4，则 C 的焦距为 .
2
解析：因为椭圆 C 1的长轴长为4，所以2 4，解得
m ＝4，所以 c2＝4－3＝1，即 c ＝1，故 C 的焦距为2 c ＝2.
角度2 椭圆离心率的求法
【例2】 （1）椭圆 C 1（ a ＞ b ＞0）的一个焦点是圆
M ：（ x －3）2＋ y2＝1的圆心，且 C 的长轴长为10，则该椭圆的离心
率等于
解析：由圆 M 的方程可得圆心 M （3，0），所以由题意可得 c ＝3，由题意2 a ＝10，所以 a ＝5，所以椭圆的离心率 e .
（2）已知 a ， b ， c 分别是椭圆 E 的长半轴长、短半轴长和半焦距
长，若关于 x 的方程 ax2＋2 bx ＋ c ＝0无实根，则椭圆 E 的离心
率 e 的取值范围是 .
解析：由题有Δ＝4 b2－4 ac ＜0，即 a2－ c2－ ac ＜0，故 e2
＋ e －1＞0，得 e e 0＜ e ＜1，所
e ＜1.
（ 1）
通性通法
求椭圆离心率及范围的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e 求解.若已知 a ， b 或 b ，
c 可借助于 a2＝ b2＋ c2求出 c 或 a ，再代入公式 e 求解；
（2）方程法：若 a ， c 的值不可求，则可根据条件建立 a ， b ， c 的关
系式，借助于 a2＝ b2＋ c2，转化为关于 a ， c 的齐次方程或不等
式，再将方程或不等式两边同除以 a 的最高次幂，得到关于 e 的
方程或不等式，即可求得 e 的值或范围.
【跟踪训练】
1. 若一个椭圆长轴长与焦距之和等于短轴长的2倍，则该椭圆的离心
率是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意可得4 b ＝2 a ＋2 c ，平方得4 b2＝（ a ＋ c ）2，
所以4（ a2－ c2）＝ a2＋2 ac ＋ c2，3 a2－2 ac －5 c2＝0，5 e2＋2 e －3
＝0，解得 e .
2. 已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围
为 .
解析：依题意可得2 c ≥2 b ，即 c ≥ b .所以 c2≥ b2，从而 c2≥ a2－
c2，即2 c2≥ a2， e2 e .又因为0＜ e ＜1，所以椭
圆离心率的取值范围是［ 1）.
［ 1）
题型二 利用几何性质求标准方程
【例3】 （链接教科书第141页练习A2题）求适合下列条件的椭圆的
标准方程：
（1）长轴长是10，离心率
解：设椭圆的方程为
1（ a ＞ b ＞0） 1（ a ＞ b ＞0）.
由已知得2 a ＝10， a ＝5.
又∵ e ∴ c ＝4.
∴ b2＝ a2－ c2＝25－16＝9.
∴椭圆方程 1 1.
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦
距为6.
解：依题意可设椭圆方程 1（ a
＞ b ＞0）.
如图所示，△ A1 FA2为等腰直角三角形， OF 为斜
边 A1 A2的中线（高），且｜ OF ｜＝ c ，｜ A1
A2｜＝2 b ，
则 c ＝ b ＝3， a2＝ b2＋ c2＝18，
故所求椭圆的方程 1.
通性通法
利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数
法，其步骤是：
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程（对于焦点位置不确定的椭圆可能有
两种标准方程）；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数.
列方程（组）时常用的关系式有 b2＝ a2－ c2， e 等.
【跟踪训练】
已知椭圆一个焦点（2，0），离心率
A. 1 B. x2 1
C. 1 D. 1
解析： 因为椭圆一个焦点（2，0），所以椭圆的焦点在横轴上，
且 c ＝2，又因为该椭圆的离心率 a ＝4，所以 b2
＝ a2－ c2＝16－4＝12，因此椭圆的方程 1，故选D.
题型三 椭圆的实际应用问题
【例4】 （链接教科书第140页例4）我国发射的第一颗人造地球卫
星的运行轨道是以地心（地球的中心） F2为一个焦点的椭圆.已知它
的近地点 A （离地面最近的点）距地面439 km，远地点 B （离地面最
远的点）距地面2 384 km，并且 F2， A ， B 在同一直线上，地球半径
约为6 371 km，求卫星运行的轨道方程（精确到1 km）.
解：如图，建立直角坐标系，使点 A ， B ， F2在 x 轴上， F2为椭圆右焦点（记 F1为左焦点），
设椭圆的标准方程 1（ a ＞ b ＞0），
则 a － c ＝｜ OA ｜－｜ OF2｜＝｜ F2 A ｜＝6 371＋439＝6 810，
a ＋ c ＝｜ OB ｜＋｜ OF2｜＝｜ F2 B ｜＝6 371＋2384＝8 755，
∴ a ＝7 782.5≈7 783.
∴ b
7 721，
∴卫星运行的轨道方程 1.
通性通法
解决椭圆的实际问题的基本步骤
（1）认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系；
（2）结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系；
（3）利用椭圆知识及其他相关知识求解.
【跟踪训练】
嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日
搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发
射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦
娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦
点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，
其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3 476公里，对该椭圆有四个结论：①焦距长约为300公里；②长轴长约为3 988公里；③两焦点坐标约为（0，±150）；④离心率约 .则上述结论正确的是（ ）
A. ①②④ B. ①③
C. ①③④ D. ②③④
解析： 依题意
2 c ＝300，
①正确；2 a ＝3 976，②错误；焦点坐标为（0，±150），③正确；离
心率 e ④正确.所以正确的为①③④.故选C.
1. 椭圆 C y2＝1，下列结论不正确的是（ ）
A. 离心率 e B. 长轴长为4
C. 焦距为2 D. 短轴长为1
解析： 因为椭圆 C y2＝1，所以 a ＝2， b ＝1， c e A正确；长轴长为2 a ＝4，故B正确；
短轴长为2 b ＝2，故D错误；焦距为2 c ＝2 C正确.故选D.
2. 已知椭圆 C 的短轴长与焦距相等，则其离心率 e 等于（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2 a ，2 b ，2 c ，
由题意可得2 b ＝2 c ，∴ b ＝ c ， a b ，∴ e .故选B.
3. 若中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰
好将长轴三等分，则此椭圆的方程（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 由已知得 a ＝9，2 c 2 a ，∴ c a ＝3， b2＝ a2－
c2＝72.又焦点在 x 轴上，∴椭圆方程 1.
4. （多选）已知椭圆的标准方程 1（ m ＞0），并且焦距
为6，则实数 m 的值可能是（ ）
A. 4 B.
C. 6 D.
解析： ∵2 c ＝6，∴ c ＝3.当椭圆的焦点在 x 轴上时，由椭圆的
标准方程知 a2＝25， b2＝ m2.由 a2＝ b2＋ c2，得25＝ m2＋9，∴ m2＝
16，又 m ＞0，故 m ＝4；当椭圆的焦点在 y 轴上时，由椭圆的标准
方程知 a2＝ m2， b2＝25.由 a2＝ b2＋ c2，得 m2＝25＋9＝34，又 m ＞
0，故 m .综上可知，实数 m 的值为4 .
5. 直线 y ＝2 x －1过椭 1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点和焦
点，则椭圆的离心率为 .
解析：直线 y ＝2 x －1与 y ， x 轴的交点为（0，－1），（ 0），
∵直线 y ＝2 x －1过椭 1（ a ＞ b ＞0）的一个顶点和焦
点，且椭圆的焦点在 x 轴上，∴ b ＝1， c a2＝ b2＋ c2＝1 a ∴ e .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A. 3 B. 6
C. 8 D. 12
解析： 椭圆的长轴长为10，焦距为8，所以2 a ＝10，2 c ＝8，可
得 a ＝5， c ＝4，所以 b2＝ a2－ c2＝25－16＝9，可得 b ＝3，所以该
椭圆的短轴长2 b ＝6，故选B.
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2. 过点（3，2）且与椭圆3 x2＋8 y2＝24有相同焦点的椭圆方程为
（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 由3 x2＋8 y2＝24化简可 1，焦点为
0）在 x 轴上，同时又过（3，2）点， 1，有
a2＝15， b2＝10，故选C.
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3. 已知 F1， F2分别为椭 1的左，右焦点， A 为上顶点，则
△ AF1 F2的面积为（ ）
A. 6 B. 15
C. 6 D. 3
解析： 由椭圆方 1得 A （0，3）， F1
0）， F2 0），∴｜ F1 F2｜＝2 .∴ ｜ F1
F2｜·｜ yA ｜ 2 3＝3 .故选D.
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4. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图①所示，清朝的一个青花山水楼阁纹
饰椭圆盘如图②所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图③所示，这三个
椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图①，②，③中椭圆的短轴长与长轴
长的比值分别
e1， e2， e3，则（ ）
A. e1＞ e2＞ e3
B. e1＞ e3＞ e2
C. e2＞ e1＞ e3
D. e2＞ e3＞ e1
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解析： 椭圆的短轴长与长轴长的比值 e
e1 e2 e3 e1＞
e2＞ e3.故选A.
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5. （多选）已知点 P 是椭圆 C y2＝1上的动点，点 Q 是圆 D ：
（ x ＋1）2＋ y2
A. 椭圆 C 的焦距
B. 椭圆 C 的离心率
C. 圆 D 在椭圆 C 的内部
D. ｜ PQ ｜的最小值
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解析： y2＝1，可知 a b ＝1， c 2
c ＝2 e .设 P （ x0， y0），易知圆心 D
（－1，0），半径 r ｜ PD ｜
D 在椭圆 C 的内部.当｜ PD ｜取最小 ｜ PQ ｜的最小值 .故选B、C.
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6. 若椭 1（ a ＞ b ＞0）的离心率 4，则椭
圆的标准方程为 1 .
解析：由题意可知 e 2 b ＝4，得 b ＝2，所以
1.
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7. 如图，把椭 1的长轴（线段 AB ）分成8等份，过每个分
点作 x 轴的垂线，分别交椭圆于 P1， P2， P3，…， P7七个点， F 是
椭圆的左焦点，则｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋…＋｜ P7 F ｜＝ .
35
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解析：由椭圆的对称性及定义，知｜ P1 F ｜＋｜ P7 F ｜＝2 a ，｜ P2
F ｜＋｜ P6 F ｜＝2 a ，｜ P3 F ｜＋｜ P5 F ｜＝2 a ，｜ P4 F ｜＝ a ，
所以｜ P1 F ｜＋｜ P2 F ｜＋｜ P3 F ｜＋｜ P4 F ｜＋｜ P5 F ｜＋｜ P6
F ｜＋｜ P7 F ｜＝7 a .因为 a ＝5，所以所求式子的值为35.
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8. 已知 A 为 y 轴上一点， F1， F2是椭圆的两个焦点，△ AF1 F2为正三角
形，且 AF1的中点 B 恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为
.
解析：如图，连接 BF2.因为△ AF1 F2为正三角形，
且 B 为线段 AF1的中点，所以 F2 B ⊥ BF1.又∠ BF2
F1＝30°，｜ F1 F2｜＝2 c ，所以｜ BF1｜＝ c ，｜
BF2｜ c ，由椭圆的定义，得｜ BF1｜＋｜
BF2｜＝2 a ，即 c c ＝2 a ，所 1，
所以椭圆的离心率 e 1.
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9. 过椭圆的左焦点 F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于 A ， B 两点，若｜
F1 A ｜＝2｜ F1 B ｜，求椭圆的离心率 e .
解：如图，设椭圆的右焦点为 F2，长轴长为2 a ，焦距为2 c ，｜
BF1｜＝ m ，则｜ AF1｜＝2 m .
由椭圆的定义知｜ AF2｜＝2 a －2 m ，｜ BF2｜＝2 a － m .
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在△ AF1 F2及△ BF1 F2中，分别用余弦定理，整理，
可
①÷②， e .
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10. 在椭 y2＝1上有两个动点 P ， Q ， E （1，0）为定点， EP
⊥ EQ ， ·
A. B.
C. D. 1
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解析： 由题意 · · · .设椭圆上一点 P （ x ， y ）， x －1， y ），∴
x －1）2＋ y2＝（ x －1）2＋（1 ） （ x ）2
－2≤ x ≤2，∴当 x .故选C.
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11. 若椭 1（ a ＞ b ＞0）上存在一点 M ，使得∠ F1 MF2＝
90°（ F1， F2分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率 e 的取
值范围为 .
［ 1）
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解析：设点 M 的坐标是（ x0， y0），则｜ x0｜＜ a .∵ F1（－ c ，
0）， F2（ c ，0），∴ － c － x0，－ y0） c －
x0，－ y0）.∵∠ F1 MF2＝90°，∴ · 0，∴ c2.
b2 ∴ b2 b2， a2），即
c2∈[ b2， a2），∴ c2≥ b2＝ a2－ c2，∴ ∴ e 0＜
e ＜1，故椭圆的离心率 e 的取值范围是［ 1）.
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12. 已知椭圆 E 1（ a ＞ b ＞0）的离心率 e P （ ）.
（1）求椭圆 E 的方程；
解：设椭圆 E 的半焦距为 c ，
则
所以椭圆方程 y2＝1.
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（2）设椭圆 E 的左、右焦点分别为 F1， F2， M （ x0， y0）为 E 上
的一点，若△ MF1 F2为直角三角形，求 y0的值.
解：由（1）得 F1 0）， F2 0），
若 MF1⊥ F1 F2，则 M y0），代入椭圆方程 1，得 y0＝
若 MF2⊥ F1 F2，则 M y0），代入椭圆方程
1，得 y0＝
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若 MF2⊥ MF1， · 3 0，
1，解得 y0＝
综上， y0＝ y0＝ .
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13. 1955年10月29日新疆克拉玛依一号油井出油，标志着新中国第一
个大油田的诞生，克拉玛依大油泡是一号油井广场上的标志性建
筑，成为市民与游客的打卡网红地，形状为椭球型，中心截面为
椭圆 C 1，已知动点 P 在椭圆 C 上，若点 A 的坐标为
（3，0），点 M 满足｜ ｜＝1 · 0，则｜ ｜的最
小值是 .
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解析：因为｜ ｜＝1，所以点 M 的轨迹为以 A 为圆心，半径为1
的圆，因 · 0，所以 PM ⊥ AM ，要想使｜ ｜最小，
只需｜ ｜最小，设 P （ m ， n ），－6≤ m ≤6，
1，其中｜ AP ｜ 6 m 在[－6，6]上单调递减，所
以当 m ＝6时，｜ AP ｜min＝3，此时｜ ｜min 2 .
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14. 有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m，短轴长是60 m.现要在这个
溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩
形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是
多少？
解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为 x 轴， y 轴，以长轴的
中点为坐标原点 O ，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy .设矩形
ABCD 的各顶点都在椭圆上.
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易知矩形 ABCD 关于原点 O 及 x 轴， y 轴对称.已知椭圆的长轴长2 a
＝100 m，短轴长2 b ＝60 m，则 a ＝50 m， b ＝30 m，所以椭圆的
方程 1.
设点 A 的坐标为（ x0， y0）， x0＞0， y0＞0，
1， 502 .
根据矩形 ABCD 的对称性，可知它的面积 S ＝4 x0 y0.
因 · 502
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＝（ ）2［－（ ）2 ］，
所以 S 也取得最大值.
这时 x0＝25 y0＝15 .
矩形 ABCD 的周长为4（ x0＋ y0）＝4×（25 15 ＝160
m）.
因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相
距25 m的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的
顶点，这个矩形的周长为160 m.
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谢 谢 观 看！
