2.6.1 双曲线的标准方程
1.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝（ ）
A.5 B.3
C.7 D.3或7
2.已知方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A.（－1，1）
B.（0，＋∞）
C.[0，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.已知平面内两定点A（－5，0），B（5，0），动点M满足｜MA｜－｜MB｜＝6，则点M的轨迹方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1（x≥4）
C.－＝1 D.－＝1（x≥3）
4.设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且｜OP｜＝2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. B.3
C. D.2
5.（多选）已知关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（其中m，n为参数）表示曲线C，下列说法正确的是（ ）
A.若m＝n＞0，则表示圆
B.若mn＞0，则表示椭圆
C.若mn＜0，则表示双曲线
D.若mn＝0，m＋n＞0，则表示两条直线
6.设m是常数，若点F（0，5）是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝ .
7.双曲线C左、右焦点分别为（－2，0），（2，0），且过点（2，），则C的方程是 .
8.设点P在双曲线－＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于 ，cos∠F1PF2＝ .
9.在△ABC中，已知｜AB｜＝4，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程.
10.设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
11.已知F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.直线
12.已知F（－2，0），点A（2，0）是一个定点，P是以F为圆心，半径为r的圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线FP相交于点Q.在下列条件下，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
（1）r＝1时，点P在圆上运动；
（2）r＝9时，点P在圆上运动.
13.设双曲线C：－＝1（b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则△F1PF2的面积为（ ）
A.4 B.8
C.20 D.40
14.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点（P不在x轴上）.
（1）若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2的面积；
（2）若该双曲线与椭圆＋y2＝1有共同的焦点且过点Q（2，1），求△F1PF2内切圆圆心的横坐标.
2.6.1 双曲线的标准方程
1.D 由双曲线的定义可知｜PF1｜－｜PF2｜＝±2a，即5－｜PF2｜＝±2，所以｜PF2｜＝3或｜PF2｜＝7.故选D.
2.A ∵方程－＝1表示双曲线，∴（1＋k）（1－k）＞0，∴－1＜k＜1.故选A.
3.D 由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，∴b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1（x≥3）.
4.B 设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1（－2，0），F2（2，0），又｜OP｜＝2，所以｜OP｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜，所以△PF1F2是直角三角形，所以｜PF1｜2＋＝｜F1F2｜2＝16.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有｜PF1｜－｜PF2｜＝2，两边平方，得｜PF1｜2＋－2｜PF1｜·｜PF2｜＝4，又｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝16，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝6，则＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×6＝3，故选B.
5.ACD 若m＝n＞0，x2＋y2＝＞0，表示圆，A正确；若m＜0，n＜0时，mn＞0，不表示椭圆，B错误；若mn＜0，则表示焦点在x轴或y轴的双曲线，C正确；mn＝0，m＋n＞0，m＝0，n＞0或m＞0，n＝0，则x＝±或y＝±，表示两条直线，D正确；故选A、C、D.
6.16 解析：由点F（0，5）可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m＞0，且m＋9＝52，解得m＝16.
7.－＝1 解析：由题意，得双曲线C的焦点在x轴上，且c＝2.设其方程为－＝1（a＞0，b＞0），则有解得a2＝2，b2＝2，所以C的方程为－＝1.
8.22 － 解析：由题意知｜F1F2｜＝2＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，∴△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.cos∠F1PF2＝＝＝－.
9.解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系（图略），则A（－2，0），B（2，0）.
设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理得sin∠CAB＝，sin∠CBA＝，sin C＝.
∵2sin∠CAB＋sin C＝2sin∠CBA，
∴2｜CB｜＋｜AB｜＝2｜CA｜，
∴｜CA｜－｜CB｜＝｜AB｜＝2＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支.
∵a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝6.
∴顶点C的轨迹方程为－＝1（x＞）.
10.B 设点P（x0，y0），依题意得｜F1F2｜＝2＝4，＝｜F1F2｜·｜y0｜＝2，∴｜y0｜＝1.又－＝1，∴＝3（＋1）＝6.∴·＝（－2－x0，－y0）·（2－x0，－y0）＝＋－4＝3.
11.A 如图，点F2关于∠F1PF2的平分线PQ的对称点M在PF1上，故｜F1M｜＝｜PF1｜－｜PM｜＝｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故｜OQ｜＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆.故选A.
12.解：（1）当r＝1时，｜｜QF｜－｜QA｜｜＝1＜｜FA｜，所以Q点的轨迹是双曲线，2a＝1，a＝，c＝2，b2＝c2－a2＝.
所以双曲线的方程为－＝1.
（2）当r＝9时，｜QF｜＋｜QA｜＝9＞｜FA｜，
所以Q点的轨迹是椭圆，
2a＝9，a＝，c＝2，b2＝a2－c2＝－4＝－＝，所以椭圆方程为＋＝1.
13.C ∵双曲线C的方程为－＝1（b＞0），∴a＝，设以A1A2为直径的圆与直线PF2相切与Q点，则｜OQ｜＝，且PF1⊥PF2，OQ⊥PF2，∴OQ∥PF1.又∵O为F1F2的中点，∴｜PF1｜＝2｜OQ｜＝2，又∵｜PF2｜－｜PF1｜＝2a＝2，∴｜PF2｜＝4，∴△F1PF2的面积为＝｜PF1｜×｜PF2｜＝×2×4＝20.故选C.
14.解：（1）设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mncos θ＝（m－n）2＋2mn－2mncos θ
＝4a2＋2mn（1－cos θ），可得mn＝，
则△F1PF2的面积S＝mnsin θ＝b2·.
（2）如图所示，F1（－c，0），F2（c，0），
设内切圆与x轴的切点是点H，PF1，PF2与内切圆的切点分别为A，B.
由双曲线的定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，由圆的切线长定理知，｜PA｜＝｜PB｜，
｜AF1｜－｜BF2｜＝2a，即｜HF1｜－｜HF2｜＝2a.
设内切圆圆心的横坐标为x，则点H的横坐标为x，
故（x＋c）－（c－x）＝2a，可得x＝a.
由该双曲线与椭圆＋y2＝1有共同的焦点（±，0），且过点Q（2，1），
可得a2＋b2＝3，－＝1，解得a＝，b＝1，
故△F1PF2内切圆圆心的横坐标为.
2 / 22.6.1 双曲线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几何条件？
知识点一 双曲线的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a＜｜F1F2｜，则平面上满足 的动点P的轨迹称为双曲线，两个定点F1，F2称为双曲线的 ，两个焦点的距离｜F1F2｜称为双曲线的 .
【想一想】
1.双曲线的定义中，若2a＝｜F1F2｜，则点P的轨迹是什么？2a＞｜F1F2｜呢？
2.定义中若常数为0，则点P的轨迹是什么？
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
焦点坐标
a，b，c 的关系 c2＝
提醒 巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上.
【想一想】
双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
1.设P是双曲线－＝1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（ ）
A.2 B.4
C.8 D.16
2.以F1（－，0），F2（，0）为焦点且过点P（2，1）的双曲线的方程是（ ）
A.－y2＝1 B.－y2＝1
C.－y2＝1 D.x2－＝1
3.双曲线－y2＝1的焦距为 .
题型一 双曲线标准方程的认识
【例1】 若双曲线方程为＋＝1，则m的取值范围为（ ）
A.（0，1）
B.（1，＋∞）
C.（－∞，0）
D.（－∞，0）∪（1，＋∞）
尝试解答
通性通法
双曲线方程的辨识方法
将曲线方程化为标准方程的形式，假如曲线的方程为＋＝1，则①当＋＝1表示双曲线时，mn＜0；②当mn＜0时，方程＋＝1表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.
【跟踪训练】
已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a＝（ ）
A. B.5 C.7 D.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 （链接教科书第146页例1）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）a＝4且经过点A；
（2）与双曲线－＝1有公共焦点，且过点（3，2）；
（3）双曲线过两点P，Q，且焦点在坐标轴上.
尝试解答
通性通法
1.求双曲线标准方程的步骤
（1）定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
（2）定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解.
2.双曲线标准方程的两种求法
（1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程；
（2）待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1（a，b均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
提醒 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
【跟踪训练】
1.焦点分别为（－2，0），（2，0），且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为（ ）
A.x2－＝1 B.－y2＝1
C.y2－＝1 D.－＝1
2.已知双曲线过点P1和P2（，4），则双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题型三 双曲线定义的应用
【例3】 如图，若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.
（1）若双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，求点P到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且｜PF1｜·｜PF2｜＝32，试求△F1PF2的面积.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件，变设问）若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离.
2.（变条件）若本例条件“｜PF1｜·｜PF2｜＝32”改成“｜PF1｜∶｜PF2｜＝2∶5”其它条件不变，求△F1PF2的面积.
3.（变条件）本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.
通性通法
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用.
题型四 双曲线的实际应用
【例4】 （链接教科书第144页情境与问题）A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远.因此4 s后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方向角.
尝试解答
通性通法
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题.
【跟踪训练】某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），｜AP｜＝100 m，｜BP｜＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
2.6.1 双曲线的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a 焦点 焦距
想一想
1.提示：若2a＝｜F1F2｜，点P的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a＞｜F1F2｜，点P的轨迹不存在.
2.提示：此时P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
知识点二
－＝1 －＝1 F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c） a2＋b2
想一想
提示：双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c＞a，c＞b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a＞b＞0，a＞c，c与b的大小关系不确定.
自我诊断
1.C P是双曲线－＝1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又a2＝16，a＝4，2a＝8，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝8.故选C.
2.A 由题意得双曲线焦点在x轴上且c＝，设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），则有a2＋b2＝c2＝3，－＝1，解得a2＝2，b2＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.故选A.
3.2 解析：令双曲线－y2＝1的半焦距为c，则有c2＝4＋1＝5，解得c＝，所以双曲线－y2＝1的焦距为2.
【典型例题·精研析】
【例1】 D ∵＋＝1表示双曲线方程， 则m（1－m）＜0，解得m＞1或m＜0.故选D.
跟踪训练
D 根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.
【例2】 解：（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝－×＜0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1（b＞0），把点A的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.
（2）设双曲线的标准方程为－＝1（－4＜k＜16）.
将点（3，2）代入，解得k＝4或k＝－14（舍去），
∴双曲线的标准方程为－＝1.
（3）设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）.
∵点，在双曲线上，
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练
1.A ∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0）.由题知c＝2，
∴a2＋b2＝4. ①
又∵点（2，3）在双曲线上，∴－＝1. ②
由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.
2.B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B.
【例3】 解：双曲线的标准方程为－＝1，
故a＝3，b＝4，c＝＝5.
（1）由双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，
又双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于16，
假设点P到另一个焦点的距离等于x，
则｜16－x｜＝6，解得x＝10或x＝22.
故点P到另一个焦点的距离为10或22.
（2）将｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝2a＝6，两边平方得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，
∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝36＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos ∠F1PF2＝
＝＝0，
∴∠F1PF2＝90°，
∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝×32＝16.
母题探究
1.解：由双曲线的标准方程－＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，
∴｜10－｜PF2｜｜＝6，
解得｜PF2｜＝4或｜PF2｜＝16.
2.解：由｜PF1｜∶｜PF2｜＝2∶5，
｜PF2｜－｜PF1｜＝6，
可知｜PF2｜＝10，｜PF1｜＝4，∴△F1PF2是底边长为4，腰长为10的等腰三角形.
∴＝×4×4＝8.
3.解：由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.
由定义和余弦定理得｜PF1｜－｜PF2｜＝±6，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜cos 60°，
所以102＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋｜PF1｜·｜PF2｜，
所以｜PF1｜·｜PF2｜＝64，
则＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝×64×＝16.
【例4】 解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B（－3，0），A（3，0），C（－5，2）.因为｜PB｜＝｜PC｜，所以点P在线段BC的垂直平分线上.设敌炮阵地的坐标为P（x，y），BC的中点为D.因为kBC＝－，D（－4，），所以直线PD的方程为y－＝（x＋4）.①
又｜PB｜－｜PA｜＝4，所以P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且方程为－＝1（x≥2）. ②
联立①②，得x＝8，y＝5，所以P的坐标为（8，5）.
因此kPA＝＝.
故炮击的方向角为北偏东30°.
跟踪训练
解：如图，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴
建立平面直角坐标系，设M是分界线上的点，则｜MA｜＋｜AP｜＝｜MB｜＋｜BP｜，即｜MA｜－｜MB｜＝｜BP｜－｜AP｜＝150－100＝50（m），这说明分界线是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a＝25.
在△APB中，｜AB｜2＝｜AP｜2＋｜BP｜2－2｜AP｜·｜BP｜·cos 60°＝17 500，
从而c2＝＝4 375，b2＝3 750，
故所求分界线的方程为－＝1（x≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工.
3 / 4(共44张PPT)
2.6.1 双曲线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界
和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一
点，分别固定在点 F1， F2上，把笔尖放在拉链的拉手 M 处，随着拉链
逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是
双曲线的其中一支.
【问题】 类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几
何条件？
知识点一 双曲线的定义
如果 F1， F2是平面内的两个定点， a 是一个正常数，且2 a ＜｜ F1
F2｜，则平面上满足 的动点 P 的轨
迹称为双曲线，两个定点 F1， F2称为双曲线的 ，两个焦点的
距离｜ F1 F2｜称为双曲线的 .
｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a
焦点
焦距
1. 双曲线的定义中，若2 a ＝｜ F1 F2｜，则点 P 的轨迹是什么？2 a
＞｜ F1 F2｜呢？
提示：若2 a ＝｜ F1 F2｜，点 P 的轨迹是以 F1， F2为端点的两条射
线；若2 a ＞｜ F1 F2｜，点 P 的轨迹不存在.
2. 定义中若常数为0，则点 P 的轨迹是什么？
提示：此时 P 的轨迹为线段 F1 F2的垂直平分线.
【想一想】
知识点二 双曲线的标准方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
标准方程 （ a ＞0， b ＞0）
（ a ＞0， b ＞0）
图形
1
1
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
焦点坐标
a ， b ， c 的关系 c2＝
F1（－ c ，0）， F2（ c ，
0）
F1（0，－ c ）， F2（0，
c ）
a2＋ b2
提醒 巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即
若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，则焦点
在 y 轴上.
【想一想】
双曲线中 a ， b ， c 的关系如何？与椭圆中 a ， b ， c 的关系有
何不同？
提示：双曲线标准方程中的两个参数 a 和 b ，确定了双曲线的形状和
大小，是双曲线的定形条件，这里 b2＝ c2－ a2，即 c2＝ a2＋ b2，其中 c
＞ a ， c ＞ b ， a 与 b 的大小关系不确定；而在椭圆中 b2＝ a2－ c2，即
a2＝ b2＋ c2，其中 a ＞ b ＞0， a ＞ c ， c 与 b 的大小关系不确定.
1. 设 P 是双曲 1右支上任意一点， F1， F2分别是双曲线的
左、右焦点，则｜ PF1｜－｜ PF2｜＝（ ）
A.2 B. 4
C. 8 D. 16
解析：C P 是双曲 1右支上任意一点， F1， F2分别是
双曲线的左、右焦点，所以｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2 a ，又 a2＝16， a
＝4，2 a ＝8，所以｜ PF1｜－｜ PF2｜＝8.故选C.
2. 以 F1（ 0）， F2 0）为焦点且过点 P （2，1）的双曲
线的方程是（ ）
A. y2＝1 B. y2＝1
C. y2＝1 D. x2 1
解析：A 由题意得双曲线焦点在 x 轴上且 c
1（ a ＞0， b ＞0），则有 a2
＋ b2＝ c2＝3 1，解得 a2＝2， b2＝1，故所求双曲线的标
准方程 y2＝1.故选A.
3. 双曲 y2＝1的焦距为 2 .
解析：令双曲 y2＝1的半焦距为 c ，则有 c2＝4＋1＝5，解得 c
y2＝1的焦距为2 .
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 双曲线标准方程的认识
【例1】 若双曲线方程 1，则 m 的取值范围为（ ）
A. （0，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，0） D. （－∞，0）∪（1，＋∞）
解析：D ∵ 1表示双曲线方程， 则 m （1－ m ）＜0，解
得 m ＞1或 m ＜0.故选D.
通性通法
双曲线方程的辨识方法
将曲线方程化为标准方程的形式，假如曲线的方程为
1，则①当 1表示双曲线时， mn ＜0；②当 mn ＜0时，方程
1表示双曲线.若则方程表示焦点在 x 轴上的双曲
线；若则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线.
【跟踪训练】
已知双曲 1，焦点在 y 轴上，若焦距为4，则 a ＝
（ ）
A. B. 5
C. 7 D.
解析：D 根据题意可知，双曲线的标准方程 1.由其焦
距为4，得 c ＝2，则有 c2＝2－ a ＋3－ a ＝4，解得 a .
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 （链接教科书第146页例1）根据下列条件，求双曲线的标
准方程：
（1） a ＝4且经过点 A （1， ）；
解：当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程 1
（ b ＞0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝ 0，不符合
题意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程 1（ b ＞
0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程 1.
（2）与双曲 1有公共焦点，且过点（3 2）；
解：设双曲线的标准方程 1（－4＜ k ＜16）.
将点（3 2）代入，解得 k ＝4或 k ＝－14（舍去），
∴双曲线的标准方程 1.
（3）双曲线过两点 P （3 ）， Q （ 5），且焦点在坐
标轴上.
解：设所求双曲线方程为 Ax2＋ By2＝1（ AB ＜0）.
∵点（3 ），（ 5）在双曲线上，
∴
∴双曲线的标准方程 1.
通性通法
1. 求双曲线标准方程的步骤
（1）定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提
下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式；
（2）定量：是指确定 a2， b2的数值，常由条件列方程组求解.
2. 双曲线标准方程的两种求法
（1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a ， b ， c ，再写出双
曲线的标准方程；
（2）待定系数法：先设出双曲线的标准方程 1或
1（ a ， b 均为正数），然后根据条件求出待定的系数代入
方程即可.
提醒 若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双
曲线方程为 mx2＋ ny2＝1的形式，注意标明条件 mn ＜0.
【跟踪训练】
1. 焦点分别为（－2，0），（2，0），且经过点（2，3）的双曲线的
标准方程为（ ）
A. x2 1 B. y2＝1
C. y2 1 D. 1
解析：A ∵双曲线的焦点在 x 轴上，∴设双曲线的标准方程
1（ a ＞0， b ＞0）.由题知 c ＝2，
∴ a2＋ b2＝4. ①
又∵点（2，3）在双曲线上，∴ 1. ②
由①②解得 a2＝1， b2＝3，∴所求双曲线的标准方程为 x2 1.
2. 已知双曲线过点 P1（－2 ）和 P2（ 4），则双曲线的标
准方程为（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析：B 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为
mx2＋ ny2＝1（ mn ＜0）.因为 P1（－2 ）， P2（ 4）两点
在双曲线上，所以1.故选B.
题型三 双曲线定义的应用
【例3】 如图，若 F1， F2是双曲 1的两个焦点.
（1）若双曲线上一点 P 到它的一个焦点的距离等于16，求点 P 到另一
个焦点的距离；
（1）由双曲线的定义得｜｜ PF1｜－｜PF2｜｜＝2 a ＝6，
又双曲线上一点 P 到它的一个焦点的距离等于16，
假设点 P 到另一个焦点的距离等于 x ，
则｜16－ x ｜＝6，解得 x ＝10或 x ＝22.
故点 P 到另一个焦点的距离为10或22.
解：双曲线的标准方程 1，
故 a ＝3， b ＝4， c 5.
（2）若 P 是双曲线左支上的点，且｜ PF1｜·｜ PF2｜＝32，试求△ F1
PF2的面积.
解： 将｜｜ PF2｜－｜ PF1｜｜＝2 a ＝6，两
边平方得｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜·｜
PF2｜＝36，
∴｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝36＋2｜ PF1｜·｜
PF2｜＝36＋2×32＝100.
在△ F1 PF2中，由余弦定理得
cos ∠ F1 PF2
0，
∴∠ F1 PF2＝90°，
∴ ｜ PF1｜·｜ PF2｜ 32＝16.
【母题探究】
1. （变条件，变设问）若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点
P 到焦点 F1的距离为10.求点 P 到 F2的距离.
解：由双曲线的标准方 1，
得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.
由双曲线定义得｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝6，
∴｜10－｜ PF2｜｜＝6，
解得｜ PF2｜＝4或｜ PF2｜＝16.
2. （变条件）若本例条件“｜ PF1｜·｜ PF2｜＝32”改成“｜
PF1｜∶｜ PF2｜＝2∶5”其他条件不变，求△ F1 PF2的面积.
解：由｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝2∶5，
｜ PF2｜－｜ PF1｜＝6，
可知｜ PF2｜＝10，｜ PF1｜＝4，∴△ F1 PF2是底边长为4，腰长为
10的等腰三角形.
∴ 4×4 8 .
3. （变条件）本例双曲线方程不变，若双曲线上存在一点 P 使得∠ F1
PF2＝60°，求△ F1 PF2的面积.
解： 1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.
由定义和余弦定理得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±6，
｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜·｜ PF2｜· cos 60°，
所以102＝（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＋｜ PF1｜·｜ PF2｜，
所以｜ PF1｜·｜ PF2｜＝64，
｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin ∠ F1 PF2 64 16 .
通性通法
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件｜｜
PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余
弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思
想的应用.
题型四 双曲线的实际应用
【例4】 （链接教科书第144页情境与问题） A ， B ， C 是我方三个
炮兵阵地， A 在 B 正东6 km， C 在 B 北偏西30°，相距4 km， P 为敌炮
阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B ， C 两地比 A 距 P
地远.因此4 s后， B ， C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1
km/s， A 若炮击 P 地，求炮击的方向角.
解：如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的垂直平分线
为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B （－3，0）， A
（3，0）， C （－5，2 .
因为｜ PB ｜＝｜ PC ｜，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.设敌炮
阵地的坐标为 P （ x ， y ）， BC 的中点为 D . 因为 kBC ＝ D （－4 PD 的方程为 y x ＋4）.①
又｜ PB ｜－｜ PA ｜＝4，所以 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支
上，且方程 1（ x ≥2）. ②
联立①②，得 x ＝8， y ＝5 P 的坐标为（8，5 .
因此 kPA .
故炮击的方向角为北偏东30°.
通性通法
双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从
实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准
方程的问题.
【跟踪训练】
某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路
AP ， BP 运到 P 处（如图），｜ AP ｜＝100 m，｜ BP ｜＝150 m，∠
APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工.
解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分
线为 y 轴建立平面直角坐标系，设 M 是分界线上的
点，则｜ MA ｜＋｜ AP ｜＝｜ MB ｜＋｜ BP ｜，即｜
MA ｜－｜ MB ｜＝｜ BP ｜－｜ AP ｜＝150－100＝50
（m），
这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右支，且 a ＝25.
在△ APB 中，｜ AB ｜2＝｜ AP ｜2＋｜ BP ｜2－2｜AP ｜·｜ BP ｜· cos 60°＝17 500，
从而 c2＝（ ）2＝4 375， b2＝3 750，
故所求分界线的方程 1（ x ≥25）.
即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P
处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工.
谢 谢 观 看！
