2.6.2 双曲线的几何性质
1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（ ）
A.2 B.2
C.4 D.4
2.等轴双曲线的一个焦点是F1（0，－6），则其标准方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
3.已知F为双曲线C：－y2＝1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ）
A.1 B.
C. D.2
4.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，并且焦距为4，则它的方程可以是（ ）
A.y2－x2＝1 B.y2－x2＝2
C.x2－y2＝2 D.x2－y2＝4
6.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 .
7.已知F为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
8.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），点A（0，c），且线段F2A的中点在C的渐近线上，当点P在C的右支上运动时，｜PF1｜＋｜PA｜的最小值为6，则双曲线C的实轴长为 .
9.设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝4，一条渐近线的倾斜角为60°.
（1）求双曲线C的标准方程和离心率；
（2）求分别以F1，F2为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的椭圆的标准方程.
10.过双曲线x2－＝1的右支上的一点P分别向圆C1：（x＋3）2＋y2＝4和圆C2：（x－3）2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则｜PM｜2－｜PN｜2的最小值为（ ）
A.8 B.9
C.10 D.11
11.惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1（a＞0，b＞0）下支的一部分，且此双曲线的离心率为，过点（1，－2），则此双曲线的方程为（ ）
A.y2－2x2＝2 B.2y2－3x2＝5
C.2y2－x2＝4 D.y2－x2＝3
12.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为3，其中一条渐近线的方程为x－y＝0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点P为椭圆E的左顶点，＝2，求｜｜2＋｜｜2的取值范围.
13.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN＝60°，则C的离心率为 .
14.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且过点（2，3）.
（1）求双曲线C的方程；
（2）设点B、F分别为双曲线C的右顶点、左焦点，点A为C上位于第二象限的动点，是否存在常数λ，使得∠AFB＝λ∠ABF？如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由.
2.6.2 双曲线的几何性质
1.C 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
2.C 等轴双曲线的一个焦点是F1（0，－6），故焦点在y轴上，c＝6且a＝b，根据a2＋b2＝c2得a＝b＝3，故双曲线标准方程为－＝1.故选C.
3.A 由双曲线C：－y2＝1，得a＝，b＝1，c＝＝2，不妨取F（2，0），一条渐近线方程为y＝x，即x－y＝0，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为＝1.故选A.
4.A 设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.
5.BC 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），又焦距为4，所以c＝2，所以2｜λ｜＝c2＝4 λ＝±2，所以双曲线方程为y2－x2＝2或x2－y2＝2.故选B、C.
6.y＝±x 解析：因为e＝＝＝2，所以＝，又双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
7.2 解析：设B（c，yB），因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以＝.因为AB的斜率为3，所以yB＝，＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a（舍去）或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2.
8.2 解析：因为｜PF1｜＋｜PA｜＝｜PF2｜＋｜PA｜＋2a≥｜F2A｜＋2a＝2c＋2a，当A，P，F2三点共线时，取等号，此时2c＋2a＝6，F2A的中点坐标为，代入渐近线方程得＝·，所以＝，故＝2，则a＝1，因此双曲线C的实轴长为2.
9.解：（1）由题意，｜F1F2｜＝2c＝4，∴c＝＝2，又＝tan 60°＝，
解得a＝1，b＝.
故双曲线C的标准方程为x2－＝1，
离心率为e＝＝2.
（2）由题意椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1（a'＞b'＞0），故a'＝c＝2，b'＝b＝，即椭圆方程为＋＝1.
10.B 设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，｜PM｜2－｜PN｜2＝（｜PF1｜2－4）－（｜PF2｜2－1）＝｜PF1｜2－－3＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）（｜PF1｜－｜PF2｜）－3＝2（｜PF1｜＋｜PF2｜）－3＝2（2｜PF2｜＋2）－3＝4｜PF2｜＋1≥4×2＋1＝9.故选B.
11.A 双曲线－＝1，由题意可得 ∴双曲线为－x2＝1，即y2－2x2＝2.故选A.
12.解：（1）因为曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为3，所以c＝，
所以a2＋b2＝，因为一条渐近线的方程为x－y＝0，所以＝，
所以
解得a2＝3，b2＝，
因为以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）由（1）知P（－，0），由＝2得G，
设A（x1，y1），则B（－x1，－y1），
所以｜｜2＋｜｜2＝＋＋＋＝2＋2＋＝2＋3－＋＝＋，
因为x1∈[－，]，
所以∈[0，3]，
所以≤＋≤，所以｜｜2＋｜｜2的取值范围为.
13. 解析：如图所示，由题意可得｜OA｜＝a，｜AN｜＝｜AM｜＝b，
∵∠MAN＝60°，∴｜AP｜＝b.又点A（a，0）到直线bx－ay＝0的距离d＝＝＝｜AP｜，∴b＝ e＝＝.
14.解：（1）离心率e＝＝2，
∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，
∴双曲线C的方程为－＝1，
把点（2，3）代入双曲线方程得－＝1，
解得a2＝1，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
（2）设∠AFB＝α，∠ABF＝β，A（x0，y0），其中x0＜－1，y0＞0，
由（1）知B（1，0），F（－2，0），
①当直线AF的斜率不存在时，∠AFB＝90°，｜FB｜＝3，｜AF｜＝3，
∴∠ABF＝45°，此时α＝2β；
②当直线AF的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为y＝±x，∴α∈，β∈，
由－＝1得＝3（－1），
又tan α＝，tan β＝－，
∴tan 2β＝＝＝，
∴tan 2β＝tan α，
又α∈，β∈，∴α＝2β，
综上，存在常数λ＝2，满足∠AFB＝2∠ABF.
2 / 22.6.2 双曲线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解双曲线的简单应用 数学运算
如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性.
【问题】 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何性质呢？
知识点 双曲线的几何性质
标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
性质 图形
范围 或 ， y∈ 或 ， x∈
对称性 对称轴： ；对称中心：
性质 顶点
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 半实轴长： ，半虚轴长：
离心率 e＝ ∈
渐近线
提醒 等轴双曲线：①实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等轴双曲线的一般方程为－＝1或－＝1（a＞0）；②等轴双曲线的渐近线方程为y＝±x，离心率e＝.
【想一想】
1.能否用a，b表示双曲线的离心率？
2.离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
1.已知双曲线C：y2－＝1，则该双曲线的实轴长为（ ）
A.1 B.2 C. D.2
2.双曲线C：－＝1的离心率为3，则m＝（ ）
A.3 B.
C.2 D.1
3.若双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m＝ .
题型一 双曲线的几何性质
角度1 由双曲线方程求解几何性质
【例1】 已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其渐近线的距离是 .
尝试解答
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒 求性质时一定要注意焦点的位置.
角度2 求双曲线的离心率
【例2】 已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线2x－y＋3＝0平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B.
C.2 D.
尝试解答
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程，借助于e＝，转化为关于e的n次方程求解.
【跟踪训练】
1.已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，过焦点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，则｜MF｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.
2.如果双曲线－＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是 .
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
角度1 构造方程组求双曲线的标准方程
【例3】 （链接教科书第156页习题A3题）求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；
（2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分.
尝试解答
通性通法
求双曲线标准方程的步骤
（1）确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；
（2）根据双曲线的几何性质建立关于a，b，c的方程（组），并解出a，b的值；
（3）写出双曲线的标准方程.
角度2 利用渐近线求双曲线的标准方程
【例4】 求过点（2，－2）且与－y2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程.
尝试解答
通性通法
已知渐近线设双曲线标准方程的方法
（1）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
（2）若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线方程可设为－＝λ（λ≠0）；
（3）若双曲线的渐近线方程为mx＋ny＝0或mx－ny＝0，则双曲线的方程可设为（mx＋ny）（mx－ny）＝λ（λ≠0），即m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）.
【跟踪训练】
1.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ）
A.－＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.x2－＝1
2.已知双曲线的焦点（0，2）到其渐近线的距离为1，则双曲线方程是（ ）
A.－y2＝1 B.－x2＝1
C.x2－＝1 D.y2－＝1
题型三 双曲线性质的应用
【例5】 已知F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任何实数m，直线4x＋3y＋m＝0与双曲线C至多有一个公共点，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为（ ）
A.2－6 B.10－3
C.8－ D.2－2
尝试解答
通性通法
1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【跟踪训练】
设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A.4 B.8 C.16 D.32
1.已知双曲线－y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（ ）
A. B.4
C.2 D.
2.双曲线－＝1（λ＞0）的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±3x D.y＝±x
3.已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）与双曲线－＝1有相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率e1、e2分别为（ ）
A.e1＝，e2＝
B.e1＝，e2＝
C.e1＝，e2＝
D.e1＝，e2＝
4.（多选）已知双曲线C：－＝1，则下列关于双曲线C的结论正确的是（ ）
A.实轴长为6
B.焦点坐标为（5，0），（－5，0）
C.离心率为
D.渐近线方程为4x±3y＝0
5.若双曲线E的两条渐近线方程为y＝±2x，且E的两焦点坐标为（0，±），则双曲线E的标准方程为 .
2.6.2 双曲线的几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
x≤－a x≥a R y≤－a y≥a R 坐标轴 原点
A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） A1A2 2a B1B2 2b a b （1，＋∞） y＝±x y＝±x
想一想
1.提示：能.e＝＝＝.
2.提示：有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.
自我诊断
1.B 双曲线C：y2－＝1的实半轴长a＝1，所以该双曲线的实轴长为2.故选B.
2.B 由题意得a2＝m，b2＝4，因为C的离心率为3，所以＝9，得m＝.故选B.
3.4 解析：双曲线x2－＝1焦点在x轴上，∴渐近线为y＝±x，∴＝2 m＝4.
【典型例题·精研析】
【例1】 （3，0） 解析：双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为（3，0），C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝.
【例2】 D 双曲线的渐近线为y＝±x，易知y＝x与直线2x－y＋3＝0平行，所以＝2 e＝＝.故选D.
跟踪训练
1.D 依题意e＝＝＝ b＝.焦点（c，0）到渐近线bx－ay＝0的距离为＝＝b，所以｜MF｜＝b＝.故选D.
2.（2，＋∞） 解析：如图，因为｜AO｜＝｜AF｜，F（c，0），所以xA＝，因为A在右支上且不在顶点处，所以＞a，所以e＝＞2.
【例3】 解： （1）设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），则2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9，故双曲线的标准方程为－＝1.
（2）由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
【例4】 解：法一 当焦点在x轴上时，可知＝，
故可设所求双曲线的方程为－＝1，
代入点（2，－2）得b2＝－2（舍去）；
当焦点在y轴上时，可知＝，
故可设所求双曲线的方程为－＝1，
代入点（2，－2）得a2＝2.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
法二 因为所求双曲线与已知双曲线－y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求双曲线的方程为－y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2）得λ＝－2，所以所求双曲线的方程为－y2＝－2，化为标准方程为－＝1.
跟踪训练
1.A 因为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，所以a＝2，由离心率为，可得＝，c＝2，所以b＝＝＝4，则双曲线的标准方程为－＝1.故选A.
2.B 由题可知双曲线焦点在y轴上，其中一个焦点为（0，c），一条渐近线为y＝x ax－by＝0，焦点到渐近线的距离为＝b，∴c＝2，b＝1，a＝，∴双曲线方程为－x2＝1.故选B.
【例5】 A 由题意得，双曲线的渐近线方程为y＝±x，∵对任意实数m，直线4x＋3y＋m＝0与双曲线C至多有一个公共点，∴直线4x＋3y＋m＝0与双曲线的渐近线方程为y＝±x重合或平行，∴－＝－，得a＝3，c＝5，∴F1为（－5，0），∵P（7，2），∴｜PF1｜＝＝2，∴｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－6≥｜PF1｜－6＝2－6，∴｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为2－6.故选A.
跟踪训练
B 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝×a×｜DE｜＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
随堂检测
1.D 由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，∴ c2＝a2＋1.∴ 5＝e2＝＝＝1＋.结合a＞0，解得a＝.故选D.
2.D 在双曲线－＝1（λ＞0）中，a＝，b＝，因此，该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选D.
3.B 设公共焦点为（±c，0），则c2＝3a2－3b2＝a2＋b2，则a2＝2b2，即c2＝a2，故c＝a，即e2＝，e1＝＝，故选B.
4.AC 根据题意可得a＝3，b＝4，所以c＝＝5，所以双曲线的实轴长为2a＝6，故A正确；双曲线的焦点在y轴上，所以焦点坐标为（0，5），（0，－5），故B错误；双曲线的离心率为e＝＝，故C正确；双曲线的渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0，故D错误.故选A、C.
5.－x2＝1 解析：因为双曲线E的焦点（0，±）在y轴上，故可设双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），由条件可得解得故双曲线E的标准方程为－x2＝1.
5 / 5(共69张PPT)
2.6.2 双曲线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解双曲线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过双曲线的方程的学习，进一步体会数形结合的思
想，了解双曲线的简单应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，冷却水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，
也是我们在生产生活中经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有
怎样的特性.
【问题】 你能否类比椭圆的几何性质去猜想双曲线有哪些几何
性质呢？
知识点 双曲线的几何性质
标准方程 1 （ a ＞0， b ＞0） 1
（ a ＞0， b ＞0）
性
质 图形
范围 或
， y ∈ 或 ，
x ∈
x ≤－ a
x ≥
a
R
y ≤－ a
y ≥ a
R
标准方程 1（ a ＞0， b ＞0）
1（ a ＞0， b ＞0）
性
质 对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点
坐标轴
原点
A1（－ a ，0）， A2
（ a ，0）
A1（0，－ a ）， A2（0，
a ）
标准方程 1（ a ＞0， b ＞0）
1（ a ＞0， b ＞0）
性
质 轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 半实轴长： ，半虚轴长：
离心率 e ＝
渐近线
A1 A2
2 a
B1 B2
2 b
a
b
1，＋∞）
y ＝ x
y ＝ x
提醒 等轴双曲线：①实轴与虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，等
轴双曲线的一般方程为 1或 1（ a ＞0）；②等轴双
曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，离心率 e .
1. 能否用 a ， b 表示双曲线的离心率？
提示：能. e .
2. 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？
提示：有影响，因为 e y x 的斜率越大，双曲线的开口越大， e 也越
大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它
的开口就越大.
【想一想】
1. 已知双曲线 C ： y2 1，则该双曲线的实轴长为（ ）
A. 1 B. 2
C. D. 2
解析： 双曲线 C ： y2 1的实半轴长 a ＝1，所以该双曲线
的实轴长为2.故选B.
2. 双曲线 C 1的离心率为3，则 m ＝（ ）
A. 3 B.
C. 2 D. 1
解析： 由题意得 a2＝ m ， b2＝4，因为 C 的离心率为3，所 9，得 m .故选B.
3. 若双曲线 x2 1的渐近线方程为 y ＝±2 x ，则实数 m ＝ .
解析：双曲线 x2 1焦点在 x 轴上，∴渐近线为 y ＝ x ，
∴ 2 m ＝4.
4
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 双曲线的几何性质
角度1 由双曲线方程求解几何性质
【例1】 已知双曲线 C 1，则 C 的右焦点的坐标
为 ； C 的焦点到其渐近线的距离是 .
解析：双曲线 C 1中， c2＝6＋3＝9，∴ c ＝3，则 C 的右
焦点的坐标为（3，0）， C 的渐近线方程为 y ＝ x ，即 y ＝
x ，即 x y ＝0，则 C 的焦点到其渐近线的距离 d .
（3，0）
通性通法
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定 a ， b 的值；
（3）由 c2＝ a2＋ b2求出 c 的值，从而写出双曲线的几何性质.
提醒 求性质时一定要注意焦点的位置.
角度2 求双曲线的离心率
【例2】 已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的一条渐近线与直
线2 x － y ＋3＝0平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A. B.
C. 2 D.
解析： 双曲线的渐近线为 y ＝ x ，易知 y x 与直线2 x － y ＋3
＝0平行，所 2 e .故选D.
通性通法
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知 a ， c 可直接利用 e 求解，若已知 a ， b ，可
利用 e ＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出 a ， b ， c 的具体值，但根据条件可确
定 a ， b ， c 之间的关系，可通过 b2＝ c2－ a2，将关系式转
化为关于 a ， c 的齐次方程，借助于 e ，转化为关于 e 的
n 次方程求解.
【跟踪训练】
1. 已知双曲线 C 1的离心率 e F 作双曲线 C
的一条渐近线的垂线，垂足为 M ，则｜ MF ｜＝（ ）
A. 1 B.
C. D.
解析： 依题意 e b .
焦点（ c ，0）到渐近线 bx － ay ＝0的距离 b ，所
以｜ MF ｜＝ b .故选D.
2. 如果双曲 1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离
相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是
.
解析：如图，因为｜ AO ｜＝｜ AF ｜， F （ c ，
0），所以 xA A 在右支上且不在顶点
处，所 a ，所以 e 2.
（2，＋
∞）
题型二 由双曲线的几何性质求标准方程
角度1 构造方程组求双曲线的标准方程
【例3】 （链接教科书第156页习题A3题）求适合下列条件的双曲线
的标准方程：
（1）焦点在 x 轴上，虚轴长为8，离心率
解： 设所求双曲线的标准方程 1（ a ＞0， b ＞
0），则2 b ＝8， e b ＝4， c a ，代入 c2＝ a2＋
b2，得 a2＝9，故双曲线的标准方程 1.
（2）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分.
解： 由两顶点间的距离是6，得2 a ＝6，即 a ＝3.
由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，
可得2 c ＝4 a ＝12，即 c ＝6，于是有 b2＝ c2－ a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程 1 1.
通性通法
求双曲线标准方程的步骤
（1）确定焦点所在的坐标轴，从而确定双曲线标准方程的形式；
（2）根据双曲线的几何性质建立关于 a ， b ， c 的方程（组），并解
出 a ， b 的值；
（3）写出双曲线的标准方程.
角度2 利用渐近线求双曲线的标准方程
【例4】 求过点（2，－2）且 y2＝1有相同渐近线的双曲线的
标准方程.
解：法一 当焦点在 x 轴上时，可
故可设所求双曲线的方程 1，
代入点（2，－2）得 b2＝－2（舍去）；
当焦点在 y 轴上时，可
故可设所求双曲线的方程 1，
代入点（2，－2）得 a2＝2.
所以所求双曲线的标准方程 1.
法二 因为所求双曲线与已知双曲 y2＝1有相同的渐近线，所
以可设所求双曲线的方程 y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2）
得λ＝－2，所以所求双曲线的方程 y2＝－2，化为标准方程 1.
通性通法
已知渐近线设双曲线标准方程的方法
（1）与双曲线 1（ a ＞0， b ＞0）有共同渐近线的双曲线方
程可设为 λ（λ≠0）；
（2）若双曲线的渐近线方程是 y ＝ x ，则双曲线方程可设为
λ（λ≠0）；
（3）若双曲线的渐近线方程为 mx ＋ ny ＝0或 mx － ny ＝0，则双曲线
的方程可设为（ mx ＋ ny ）（ mx － ny ）＝λ（λ≠0），即 m2 x2－
n2 y2＝λ（λ≠0）.
【跟踪训练】
1. 已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的实轴长为4，离心率
A. 1 B. x2 1
C. 1 D. x2 1
解析： 因为双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的实轴长为4，
所以 a ＝2，由离心率 c ＝2 b 4，则双曲线的标准方程 1.故选A.
2. 已知双曲线的焦点（0，2）到其渐近线的距离为1，则双曲线方程
是（ ）
A. y2＝1 B. x2＝1
C. x2 1 D. y2 1
解析： 由题可知双曲线焦点在 y 轴上，其中一个焦点为（0，
c ），一条渐近线为 y x ax － by ＝0，焦点到渐近线的距离 b ，∴ c ＝2， b ＝1， a ∴双曲线方程 x2＝
1.故选B.
题型三 双曲线性质的应用
【例5】 已知 F1， F2是双曲线 C 1（ a ＞0）的左、右焦
点，点 A 在双曲线的右支上，点 P （7，2）是平面内一定点，若对任
何实数 m ，直线4 x ＋3 y ＋ m ＝0与双曲线 C 至多有一个公共点，则｜
AP ｜＋｜ AF2｜的最小值为（ ）
A. 2 6 B. 10－3
C. 8 D. 2 2
解析： 由题意得，双曲线的渐近线方程为 y ＝ x ，∵对任意实
数 m ，直线4 x ＋3 y ＋ m ＝0与双曲线 C 至多有一个公共点，∴直线4 x
＋3 y ＋ m ＝0与双曲线的渐近线方程为 y ＝ x 重合或平行，∴ a ＝3， c ＝5，∴ F1为（－5，0），∵ P （7，2），∴｜
PF1｜ 2 ∴｜ AP ｜＋｜ AF2｜＝｜ AP ｜
＋｜ AF1｜－6≥｜ PF1｜－6＝2 6，∴｜ AP ｜＋｜ AF2｜的最
小值为2 6.故选A.
通性通法
1. 双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方
程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时
要注意与平面几何知识的联系.
2. 与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助
曲线中不等关系来解决.
【跟踪训练】
设 O 为坐标原点，直线 x ＝ a 与双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞
0）的两条渐近线分别交于 D ， E 两点.若△ ODE 的面积为8，则 C 的焦
距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
解析： 由题意知双曲线的渐近线方程为 y ＝ x .因为 D ， E 分别
为直线 x ＝ a 与双曲线 C 的两条渐近线的交点，所以不妨设 D （ a ，
b ）， E （ a ，－ b ），所以 S△ ODE a ×｜ DE ｜ a ×2 b ＝ ab
＝8，所以 c2＝ a2＋ b2≥2 ab ＝16，所以 c ≥4，所以2 c ≥8，所以 C 的
焦距的最小值为8，故选B.
1. 已知双曲 y2＝1（ a ＞0）的离心率 a ＝（ ）
A. B. 4
C. 2 D.
解析： 由双曲线方 y2＝1，得 b2＝1，∴ c2＝ a2＋1.∴ 5＝
e2 1 .结合 a ＞0，解得 a .故选D.
2. 双曲 1（λ＞0）的渐近线方程为（ ）
A. y ＝ x B. y ＝ x
C. y ＝±3 x D. y ＝ x
解析： 在双曲 1（λ＞0）中， a b y ＝ x ＝ x .故选D.
3. 已知椭 1（ a ＞0， b ＞0）与双曲 1有相
同的焦点，则椭圆和双曲线的离心率 e1、 e2分别为（ ）
A. e1 e2 B. e1 e2
C. e1 e2 D. e1 e2
解析： 设公共焦点为（± c ，0），则 c2＝3 a2－3 b2＝ a2＋ b2，
则 a2＝2 b2，即 c2 a2，故 c a ，即 e2 e1 B.
4. （多选）已知双曲线 C 1，则下列关于双曲线 C 的结论
正确的是（ ）
A. 实轴长为6
B. 焦点坐标为（5，0），（－5，0）
C. 离心率
D. 渐近线方程为4 x ±3 y ＝0
解析： 根据题意可得 a ＝3， b ＝4，所以 c 5，所
以双曲线的实轴长为2 a ＝6，故A正确；双曲线的焦点在 y 轴上，所
以焦点坐标为（0，5），（0，－5），故B错误；双曲线的离心率
为 e C正确；双曲线的渐近线方程为 y ＝ x ，即3 x
±4 y ＝0，故D错误.故选A、C.
5. 若双曲线 E 的两条渐近线方程为 y ＝±2 x ，且 E 的两焦点坐标为
（0， E 的标准方程为 x2＝1 .
解析：因为双曲线 E 的焦点（0 y 轴上，故可设双曲线
的标准方程 1（ a ＞0， b ＞0），由条件可得
E 的标准方程
x2＝1.
x2＝1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 双曲线2 x2－ y2＝8的实轴长是（ ）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
解析： 双曲线方程可变形 1，所以 a2＝4， a ＝2，
从而2 a ＝4，故选C.
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2. 等轴双曲线的一个焦点是 F1（0，－6），则其标准方程为（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析： 等轴双曲线的一个焦点是 F1（0，－6），故焦点在 y 轴
上， c ＝6且 a ＝ b ，根据 a2＋ b2＝ c2得 a ＝ b ＝3
1.故选C.
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3. 已知 F 为双曲线 C y2＝1的一个焦点，则点 F 到双曲线 C 的一
条渐近线的距离为（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
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解析： 由双曲线 C y2＝1，得 a b ＝1， c 2，不妨取 F （2，0），一条渐近线方程为 y x ，
即 x y ＝0，则点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离 1.故选A.
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4. 已知 F1， F2是双曲线 C 的两个焦点， P 为 C 上一点，且∠ F1 PF2＝
60°，｜ PF1｜＝3｜ PF2｜，则 C 的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设｜ PF2｜＝ m ，｜ PF1｜＝3 m ，则｜ F1 F2｜
m ，所以 C 的离心率 e .
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5. （多选）已知双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，并且焦距为4，则它
的方程可以是（ ）
A. y2－ x2＝1 B. y2－ x2＝2
C. x2－ y2＝2 D. x2－ y2＝4
解析： 由双曲线的渐近线方程为 y ＝± x ，设双曲线方程为 x2
－ y2＝λ（λ≠0），又焦距为4，所以 c ＝2，所以2｜λ｜＝ c2＝4 λ
＝±2，所以双曲线方程为 y2－ x2＝2或 x2－ y2＝2.故选B、C.
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6. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0），离心率 e ＝2，则双
曲线 C 的渐近线方程为 .
y ＝ x
解析：因为 e 2，所 x 轴上，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y ＝
x .
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7. 已知 F 为双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点， A 为 C
的右顶点， B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为3，则 C
的离心率为 .
2
解析：设 B （ c ， yB ），因为 B 为双曲线 C 1上的点，所 1，所 .因为 AB 的斜率为3，所以 yB 3，所以 b2＝3 ac －3 a2，所以 c2－ a2＝3 ac －3 a2，所以 c2－3 ac ＋2 a2＝0，解得 c ＝ a （舍去）或 c ＝2 a ，所以 C 的离心率 e 2.
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8. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为
F1（－ c ，0）， F2（ c ，0），点 A （0 c ），且线段 F2 A 的中
点在 C 的渐近线上，当点 P 在 C 的右支上运动时，｜ PF1｜＋｜
PA ｜的最小值为6，则双曲线 C 的实轴长为 .
解析：因为｜ PF1｜＋｜ PA ｜＝｜ PF2｜＋｜ PA ｜＋2 a ≥｜ F2 A ｜
＋2 a ＝2 c ＋2 a ，当 A ， P ， F2三点共线时，取等号，此时2 c ＋2 a
＝6， F2 A 的中点坐标为（ ），代入渐近线方程
· 2，则 a ＝1，因此双曲线 C 的实轴长为2.
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9. 设双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为
F1， F2，且｜ F1 F2｜＝4，一条渐近线的倾斜角为60°.
（1）求双曲线 C 的标准方程和离心率；
解：由题意，｜ F1 F2｜＝2 c ＝4，∴ c 2，
tan 60°
解得 a ＝1， b .
故双曲线 C 的标准方程为 x2 1，离心率为 e 2.
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（2）求分别以 F1， F2为左、右顶点，短轴长等于双曲线虚轴长的
椭圆的标准方程.
解：由题意椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程
1（a'＞b'＞0），故a'＝ c ＝2，b'＝ b 1.
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10. 过双曲线 x2 1的右支上的一点 P 分别向圆 C1：（ x ＋3）2＋
y2＝4和圆 C2：（ x －3）2＋ y2＝1作切线，切点分别为 M ， N ，
则｜ PM ｜2－｜ PN ｜2的最小值为（ ）
A. 8 B. 9
C. 10 D. 11
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解析： 设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，｜ PM ｜2－｜
PN ｜2＝（｜ PF1｜2－4）－（｜ PF2｜2－1）＝｜ PF1｜2
3＝（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）·（｜ PF1｜－｜ PF2｜）
－3＝2（｜ PF1｜＋｜ PF2｜）－3＝2（2｜ PF2｜＋2）－3＝4｜
PF2｜＋1≥4×2＋1＝9.故选B.
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11. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所
steynstudio完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，
你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”.若
将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲 1（ a ＞0， b ＞0）下支的一部分，且此双曲线的离心率 1，－2），则此双曲线的方程为（ ）
A. y2－2 x2＝2 B. 2 y2－3 x2＝5
C. 2 y2－ x2＝4 D. y2－ x2＝3
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解析： 双曲 1，由题意可得
∴双曲线 x2＝1，即 y2－2 x2＝2.
故选A.
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12. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为3
x y ＝0.以双曲线 C 的实轴为长
轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E ，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于
A ， B 两点.
（1）求椭圆 E 的方程；
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解：因为曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的焦距
为3 c
所以 a2＋ b2 x y ＝0，所
所以 a2＝3， b2
因为以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E ，
所以椭圆 E 的方程 y2＝1.
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（2）若点 P 为椭圆 E 的左顶点 2 ｜ ｜2＋｜
｜2的取值范围.
解：由（1）知 P 0）， 2 G
（ 0），设 A （ x1， y1），则 B （－ x1，－ y1），
所以｜ ｜2＋｜ ｜2＝（ x1 ）2 （ x1 ）2
2 2 2 3
因为 x1∈ 0，3]，
所 ｜ ｜2＋｜ ｜2的取值范
围为［ ］.
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13. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的右顶点为 A ，以 A
为圆心， b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，
N 两点.若∠ MAN ＝60°，则 C 的离心率为 .
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∴ b e .
解析：如图所示，由题意可得｜ OA ｜＝ a ，｜ AN ｜＝｜ AM ｜＝
b ，
∵∠ MAN ＝60°，∴｜ AP ｜ b .又点 A （ a ，0）到直线 bx －
ay ＝0的距离 d ｜ AP ｜，
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14. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的离心率为2，且过
点（2，3）.
（1）求双曲线 C 的方程；
解：离心率 e 2，∴ c ＝2 a ， b2＝ c2－ a2＝3 a2，
∴双曲线 C 的方程 1，
把点（2，3）代入双曲线方程 1，解得 a2＝1，
故双曲线 C 的方程为 x2 1.
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（2）设点 B ， F 分别为双曲线 C 的右顶点、左焦点，点 A 为 C 上
位于第二象限的动点，是否存在常数λ，使得∠ AFB ＝λ∠
ABF ？如果存在，请求出λ的值；如果不存在，请说明理由.
解：设∠ AFB ＝α，∠ ABF ＝β， A （ x0， y0），其中 x0
＜－1， y0＞0，
由（1）知 B （1，0）， F （－2，0），
①当直线 AF 的斜率不存在时，∠ AFB ＝90°，｜ FB ｜＝3，｜ AF ｜＝3，
∴∠ ABF ＝45°，此时α＝2β；
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②当直线 AF 的斜率存在时，
由于双曲线渐近线方程为 y ＝ x ，∴α∈（0 ），
β∈（0 ），
1 3 1），
又tan α tan β＝
∴tan 2β
∴tan 2β＝tan α，
又α∈（0 ），β∈（0 ），∴α＝2β，
综上，存在常数λ＝2，满足∠ AFB ＝2∠ ABF .
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谢 谢 观 看！
