椭圆、双曲线特性归纳及应用
已知点B（6，0）和C（－6，0），过点B的直线l和过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，如果k1k2＝－，求点A的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.
提示：动点A的轨迹方程为＋＝1（x≠±6），其轨迹是椭圆，除去它与x轴的两个交点.
【问题探究】
若示例中“k1k2＝－”变为“k1k2＝”试说明上述问题.
提示：动点A的轨迹方程为－＝1（x≠±6），其轨迹是双曲线，除去它与x轴的两个交点.
结论：已知点A（a，0），B（－a，0），过A点的直线l1与过B点的直线l2相交于一点M，设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
（1）当k1·k2＝时，点M的轨迹方程为双曲线－＝1（x≠±a，a＞0，b＞0）；
（2）当k1·k2＝－时，点M的轨迹方程为椭圆＋＝1（x≠±a，a＞b＞0）.
【迁移应用】
1.两条直线y＝kx＋1与y＝－x－1的交点轨迹是（ ）
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.一条射线 D.圆的一部分
2.在平面直角坐标系Oxy中，点B与点A（－1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.x2－3y2＝－2
B.x2－3y2＝2（x≠±1）
C.x2－3y2＝2
D.x2－3y2＝－2（x≠±1）
1.“ab＜0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设双曲线C：x2－4y2＋64＝0的焦点为F1，F2，点P为C上一点，｜PF1｜＝6，则｜PF2｜＝（ ）
A.22 B.14
C.10 D.2
3.椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝（ ）
A. B.－1
C.1 D.－1或1
4.（多选）已知F1（－3，0），F2（3，0），满足条件｜PF1｜－｜PF2｜＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是（ ）
A.2 B.－1
C. D.－3
5.已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线x＋y＝6上，且c＝2a，则此双曲线的标准方程为 .
拓视野 椭圆、双曲线特性归纳及应用
迁移应用
1.A 令l1：y＝kx＋1，l2：y＝－x－1，则k1＝k，k2＝－，所以k1·k2＝－2，l1过定点A（0，1），l2过定点B（0，－1），令l1与l2的交点为P（x，y），则k1＝，k2＝，所以k1·k2＝·＝－2，整理得2x2＋y2＝1，因为k1、k2存在，所以x≠0，所以P点的轨迹为椭圆上除去两点（0，1）和（0，－1）后的部分.故选A.
2.D 由题意得，A（－1，1），B（1，－1），设P（x，y）（x≠±1），则kAP＝，kBP＝.由kAP·kBP＝得kAP·kBP＝·＝，整理得x2－3y2＝－2（x≠±1）.故选D.
随堂检测
1.A 当方程表示双曲线时，一定有ab＜0，反之，当ab＜0时，若c＝0，则方程不表示双曲线.
2.B 将x2－4y2＋64＝0化为－＝1，所以a＝4，2a＝8，由双曲线的定义，得｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝8，即｜｜PF2｜－6｜＝8， 所以｜PF2｜＝14或｜PF2｜＝－2（舍）.故选B.
3.D 因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以由题意可得，4－a2＝a2＋2 a2＝1 a＝±1，故选D.
4.AB 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a＜2c＝6，∴｜2m－1｜＜6，且｜2m－1｜≠0，∴－＜m＜，且m≠，∴A、B满足条件.故选A、B.
5.－＝1或－＝1
解析：直线x＋y＝6与坐标轴的交点坐标为（6，0），（0，6），当双曲线的焦点在横轴时，c＝6，因为c＝2a，所以a＝3，因此b＝＝＝3，即双曲线方程为－＝1；当双曲线的焦点在纵轴时，c＝6，因为c＝2a，所以a＝3，因此b＝＝＝3，即双曲线方程为－＝1.
2 / 2(共38张PPT)
拓 视 野
椭圆、双曲线特性归纳及应用
已知点 B （6，0）和 C （－6，0），过点 B 的直线 l 和过点 C 的直线 m
相交于点 A ，设直线 l 的斜率为 k1，直线 m 的斜率为 k2，如果 k1 k2＝
A 的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.
提示：动点 A 的轨迹方程 1（ x ≠±6），其轨迹是椭圆，
除去它与 x 轴的两个交点.
【问题探究】
若示例中“ k1 k2＝ k1 k2 .
提示：动点 A 的轨迹方程 1（ x ≠±6），其轨迹是双曲
线，除去它与 x 轴的两个交点.
结论：已知点 A （ a ，0）， B （－ a ，0），过 A 点的直线 l1与过 B 点
的直线 l2相交于一点 M ，设直线 l1的斜率为 k1，直线 l2的斜率为 k2.
（1）当 k1· k2 M 的轨迹方程为双曲 1（ x ≠±
a ， a ＞0， b ＞0）；
（2）当 k1· k2＝ M 的轨迹方程为椭 1（ x ≠±
a ， a ＞ b ＞0）.
【迁移应用】
1. 两条直线 y ＝ kx ＋1与 y ＝ x －1的交点轨迹是（ ）
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分
C. 一条射线 D. 圆的一部分
解析： 令 l1： y ＝ kx ＋1， l2： y ＝ x －1，则 k1＝ k ， k2＝
k1· k2＝－2， l1过定点 A （0，1）， l2过定点 B （0，－
1），令 l1与 l2的交点为 P （ x ， y ），则 k1 k2
k1· k2 · 2，整理得2 x2＋ y2＝1，因为 k1、 k2存在，所以
x ≠0，所以 P 点的轨迹为椭圆上除去两点（0，1）和（0，－1）后
的部分.故选A.
2. 在平面直角坐标系 Oxy 中，点 B 与点 A （－1，1）关于原点 O 对
称， P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等 P 的轨
迹方程为（ ）
A. x2－3 y2＝－2 B. x2－3 y2＝2（ x ≠±1）
C. x2－3 y2＝2 D. x2－3 y2＝－2（ x ≠±1）
解析： 由题意得， A （－1，1）， B （1，－1），设 P （ x ，
y ）（ x ≠±1），则 kAP kBP . 由 kAP · kBP kAP · kBP
· x2－3 y2＝－2（ x ≠±1）.故选D.
1. “ ab ＜0”是“方程 ax2＋ by2＝ c 表示双曲线”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当方程表示双曲线时，一定有 ab ＜0，反之，当 ab ＜0
时，若 c ＝0，则方程不表示双曲线.
2. 设双曲线 C ： x2－4 y2＋64＝0的焦点为 F1， F2，点 P 为 C 上一
点，｜ PF1｜＝6，则｜ PF2｜＝（ ）
A. 22 B. 14
C. 10 D. 2
解析： 将 x2－4 y2＋64＝0化 1，所以 a ＝4，2 a ＝
8，由双曲线的定义，得｜｜ PF2｜－｜ PF1｜｜＝8，即｜｜ PF2｜
－6｜＝8， 所以｜ PF2｜＝14或｜ PF2｜＝－2（舍）.故选B.
3. 椭 1与双曲 1有相同的焦点，则实数 a ＝
（ ）
A. B. －1
C. 1 D. －1或1
解析： 因为双曲 1的焦点在 x 轴上，所以由题意可
得，4－ a2＝ a2＋2 a2＝1 a ＝±1，故选D.
4. （多选）已知 F1（－3，0）， F2（3，0），满足条件｜ PF1｜－｜
PF2｜＝2 m －1的动点 P 的轨迹是双曲线的一支，则 m 可以是（ ）
A. 2 B. －1
C. D. －3
解析： 设双曲线的方程 1，则 c ＝3，∵2 a ＜2 c ＝
6，∴｜2 m －1｜＜6，且｜2 m －1｜≠0，∴ m m ∴A、B满足条件.故选A、B.
5. 已知双曲线对称轴为坐标轴，中心在原点，焦点在直线 x ＋ y ＝6
上，且 c ＝2 a ，则此双曲线的标准方程为 1
.
解析：直线 x ＋ y ＝6与坐标轴的交点坐标为（6，0），（0，6），
当双曲线的焦点在横轴时， c ＝6，因为 c ＝2 a ，所以 a ＝3，因此 b
3 1；当双曲
线的焦点在纵轴时， c ＝6，因为 c ＝2 a ，所以 a ＝3，因此 b 3 1.
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知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 设 F1， F2分别是双曲线 x2 1的左、右焦点，若点 P 在双曲线
上，且｜ PF1｜＝5，则｜ PF2｜＝（ ）
A. 5 B. 3
C. 7 D. 3或7
解析： 由双曲线的定义可知｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±2 a ，即5
－｜ PF2｜＝±2，所以｜ PF2｜＝3或｜ PF2｜＝7.故选D.
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2. 已知方 1表示双曲线，则实数 k 的取值范围是
（ ）
A. （－1，1） B. （0，＋∞）
C. [0，＋∞） D. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析： ∵方 1表示双曲线，∴（1＋ k ）（1－ k ）
＞0，∴－1＜ k ＜1.故选A.
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3. 已知平面内两定点 A （－5，0）， B （5，0），动点 M 满足｜
MA ｜－｜ MB ｜＝6，则点 M 的轨迹方程是（ ）
A. 1 B. 1（ x ≥4）
C. 1 D. 1（ x ≥3）
解析： 由双曲线的定义知，点 M 的轨迹是双曲线的右支，故排
除A、C. 又由题意可知焦点在 x 轴上，且 c ＝5， a ＝3，∴ b 4，故点 M 的轨迹方程 1（ x ≥3）.
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4. 设 F1， F2是双曲线 C ： x2 1的两个焦点， O 为坐标原点，点
P 在 C 上且｜ OP ｜＝2，则△ PF1 F2的面积为（ ）
A. B. 3
C. D. 2
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解析： 设 F1， F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，则由题意可知
F1（－2，0）， F2（2，0），又｜ OP ｜＝2，所以｜ OP ｜＝｜
OF1｜＝｜ OF2｜，所以△ PF1 F2是直角三角形，所以｜ PF1｜2＋｜
PF2｜2＝｜ F1 F2｜2＝16.不妨令点 P 在双曲线 C 的右支上，则有｜
PF1｜－｜ PF2｜＝2，两边平方，得｜ PF1｜2 2｜
PF1｜·｜ PF2｜＝4，又｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝16，所以｜ PF1｜·｜
PF2｜＝6， ｜ PF1｜·｜ PF2｜ 6＝3，故选B.
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5. （多选）已知关于 x ， y 的方程 mx2＋ ny2＝1（其中 m ， n 为参数）
表示曲线 C ，下列说法正确的是（ ）
A. 若 m ＝ n ＞0，则表示圆
B. 若 mn ＞0，则表示椭圆
C. 若 mn ＜0，则表示双曲线
D. 若 mn ＝0， m ＋ n ＞0，则表示两条直线
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解析： 若 m ＝ n ＞0， x2＋ y2 0，表示圆，A正确；若
m ＜0， n ＜0时， mn ＞0，不表示椭圆，B错误；若 mn ＜0，则表示
焦点在 x 轴或 y 轴的双曲线，C正确； mn ＝0， m ＋ n ＞0， m ＝0，
n ＞0或 m ＞0， n ＝0，则 x ＝ y ＝ D
正确；故选A、C、D.
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6. 设 m 是常数，若点 F （0，5）是双曲 1的一个焦点，则
m ＝ .
解析：由点 F （0，5）可知该双曲 1的焦点落在 y 轴
上，所以 m ＞0，且 m ＋9＝52，解得 m ＝16.
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7. 双曲线 C 左、右焦点分别为（－2，0），（2，0），且过点（2 C 的方程是 1 .
解析：由题意，得双曲线 C 的焦点在 x 轴上，且 c ＝2.设其方程 1（ a ＞0， b ＞0），则有 a2＝2， b2
＝2，所以 C 的方程 1.
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8. 设点 P 在双曲 1上， F1， F2为双曲线的两个焦点，且｜
PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，则△ F1 PF2的周长等于 ， cos ∠ F1
PF2＝ .
解析：由题意知｜ F1 F2｜＝2 10，｜｜ PF2｜－｜
PF1｜｜＝6，又｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，∴｜ PF1｜＝3，｜
PF2｜＝9，∴△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22. cos ∠ F1 PF2 .
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9. 在△ ABC 中，已知｜ AB ｜＝4 A ， B ， C 满足2 sin A ＋ sin
C ＝2 sin B ，建立适当的平面直角坐标系，求顶点 C 的轨迹方程.
解：以 AB 边所在的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建
立平面直角坐标系（图略），则 A （－2 0）， B （2 0）.
设△ ABC 的外接圆半径为 R .
由正弦定理得 sin ∠ CAB sin ∠ CBA sin C . ∵2 sin ∠ CAB ＋ sin C ＝2 sin ∠ CBA ，
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∴2｜ CB ｜＋｜ AB ｜＝2｜ CA ｜，
∴｜ CA ｜－｜ CB ｜ ｜ AB ｜＝2 ｜ AB ｜.
由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支.
∵ a c ＝2 ∴ b2＝ c2－ a2＝6.
∴顶点 C 的轨迹方程 1（ x .
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10. 设 F1， F2是双曲 y2＝1的两个焦点，点 P 在双曲线上，当△
F1 PF2的面积为2时 ·
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
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解析： 设点 P （ x0， y0），依题意得｜ F1 F2｜＝2 4
｜ F1 F2｜·｜ y0｜＝2，∴｜ y0｜＝1. 1，
∴ 3 1）＝6.∴ · －2－ x0，－ y0）·（2－
x0，－ y0 4＝3.
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11. 已知 F1， F2是双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的左，右焦
点，点 P 为双曲线 C 上的动点，过点 F2作∠ F1 PF2的平分线的垂
线，垂足为 Q ，则点 Q 的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 直线
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解析： 如图，点 F2关于∠ F1 PF2的
平分线 PQ 的对称点 M 在 PF1上，故｜ F1
M ｜＝｜ PF1｜－｜ PM ｜＝｜ PF1｜
－｜ PF2｜＝2 a ，又 OQ 是△ F2 F1 M 的
中位线，故｜ OQ ｜＝ a ，所以点 Q 的轨
迹是以原点为圆心， a 为半径的圆.故选A.
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12. 已知 F （－2，0），点 A （2，0）是一个定点， P 是以 F 为圆
心，半径为 r 的圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线
FP 相交于点 Q . 在下列条件下，求点 Q 的轨迹方程，并说明轨
迹是什么曲线.
（1） r ＝1时，点 P 在圆上运动；
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解：当 r ＝1时，｜｜ QF ｜－｜ QA ｜｜＝1＜｜
FA ｜，所以 Q 点的轨迹是双曲线，2 a ＝1， a c ＝2，
b2＝ c2－ a2 .
所以双曲线的方程 1.
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（2） r ＝9时，点 P 在圆上运动.
解：当 r ＝9时，｜ QF ｜＋｜ QA ｜＝9＞｜ FA ｜，
所以 Q 点的轨迹是椭圆，
2 a ＝9， a c ＝2， b2＝ a2－ c2 4 1.
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13. 设双曲线 C 1（ b ＞0）的左、右顶点分别为 A1， A2，
左、右焦点分别为 F1， F2，以 F1 F2为直径的圆与双曲线左支的一
个交点为 P . 若以 A1 A2为直径的圆与直线 PF2相切，则△ F1 PF2的面
积为（ ）
A. 4 B. 8
C. 20 D. 40
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解析： ∵双曲线 C 的方程
1（ b ＞0），∴ a A1 A2为直径
的圆与直线 PF2相切与 Q 点，则｜ OQ ｜
PF1⊥ PF2， OQ ⊥ PF2，∴ OQ
∥ PF1.又∵ O 为 F1 F2的中点，∴｜ PF1｜＝2｜ OQ ｜＝2 ∵｜ PF2｜－｜ PF1｜＝2 a ＝2 ∴｜ PF2｜＝4 ∴△ F1 PF2的面积 ｜ PF1｜×｜ PF2｜ 2 4 20.故选C.
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14. 已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的左、右焦点分别为 F1，
F2， P 为双曲线右支上一点（ P 不在 x 轴上）.
（1）若∠ F1 PF2＝θ，求△ F1 PF2的面积；
解：设｜ PF1｜＝ m ，｜ PF2｜＝ n ，由双曲线的定义
可得 m － n ＝2 a ，
在△ F1 PF2中，由余弦定理，得4 c2＝ m2＋ n2－2 mn cos θ＝
（ m － n ）2＋2 mn －2 mn cos θ
＝4 a2＋2 mn （1－ cos θ），可得 mn
则△ F1 PF2的面积 S mn sin θ＝ b2· .
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（2）若该双曲线与椭 y2＝1有共同的焦点且过点 Q （2，
1），求△ F1 PF2内切圆圆心的横坐标.
解：如图所示， F1（－ c ，0）， F2（ c ，0），
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设内切圆与 x 轴的切点是点 H ， PF1， PF2与内切圆的切点分别为 A ， B .
由双曲线的定义可得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2 a ，由圆的切线
长定理知，｜ PA ｜＝｜ PB ｜，
｜ AF1｜－｜ BF2｜＝2 a ，即｜ HF1｜－｜ HF2｜＝2 a .
设内切圆圆心的横坐标为 x ，则点 H 的横坐标为 x ，
故（ x ＋ c ）－（ c － x ）＝2 a ，可得 x ＝ a .
由该双曲线与椭 y2＝1有共同的焦点 0），
且过点 Q （2，1），
可得 a2＋ b2＝3 1，解得 a b ＝1，
故△ F1 PF2内切圆圆心的横坐标 .
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谢 谢 观 看！
