2.7.1 抛物线的标准方程
1.抛物线的准线方程为x＝－4，则抛物线方程为（ ）
A.x2＝16y B.x2＝8y
C.y2＝16x D.y2＝8x
2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A.4 B.6
C.8 D.12
3.在x轴的上方的动点M到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，则动点M的轨迹的标准方程为（ ）
A.x2＝2y B.y2＝2x
C.x2＝4y D.y2＝4x
4.如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面5 m，水面宽AB＝30 m.若水面下降5 m，则水面宽是（ ）
A.10 m B.15 m
C.20 m D.30 m
5.（多选）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上，若｜MF｜＝4，则（ ）
A.x0＝3 B.y0＝2
C.｜OM｜＝ D.F的坐标为（0，1）
6.已知Pi（i＝1，2，3，…，2 024）是抛物线C：y2＝2x上的点，F是抛物线C的焦点，若＋＋…＋＝0，则｜｜＋｜｜＋…＋｜｜＝ .
7.已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝ .
8.已知A，B是抛物线y2＝4x上的动点，且满足｜AB｜＝10，则AB中点M的横坐标x0的最小值为 .
9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程.
10.设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，｜MF｜＝5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（ ）
A.y2＝4x或y2＝8x
B.y2＝2x或y2＝8x
C.y2＝4x或y2＝16x
D.y2＝2x或y2＝16x
11.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，｜AB｜＝4，则C的实轴长为（ ）
A.2 B.4
C.4 D.8
12.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴），且｜AF｜＋｜BF｜＝8，线段AB的垂直平分线恒经过定点Q（6，0），求抛物线的方程.
13.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为 .
14.如图所示，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程；
（2）问变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
2.7.1 抛物线的标准方程
1.C 抛物线的准线为x＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物线.设方程为y2＝2px（p＞0），则＝4，p＝8，抛物线方程为y2＝16x.
2.B 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
3.C 因为动点M（x，y）到定点（0，1）的距离比到x轴的距离多1，所以动点M（x，y）到定点（0，1）的距离与到直线y＝－1的距离相等.根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线，并且其焦点为（0，1），准线为y＝－1，所以其抛物线的方程为x2＝4y.故选C.
4.D 以抛物线形拱桥的最高点作为坐标原点建立坐标系，如图所示.设该抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由图可知，B（15，－5），则225＝10p，p＝22.5，即x2＝－45y，当y＝－10时，x2＝－45×（－10）＝450，故所求水面宽度为2×＝30 m.故选D.
5.AC 由题可知F（1，0），由｜MF｜＝x0＋1＝4，＝4x0，所以x0＝3，y0＝±2.｜OM｜＝＝＝.故选A、C.
6.2 024 解析：设Pi（xi，yi）（i＝1，2，3，…，2 024），因为Pi是抛物线C：y2＝2x上的点，F是抛物线C的焦点，所以F，因此＝.因为＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝0，即x1＋x2＋…＋x2 024＝＝1 012.又由抛物线的定义，可得｜｜＝｜PiF｜＝xi＋，所以 ｜｜＋｜｜＋…＋｜｜＝＋＋…＋＝（x1＋x2＋…＋x2 024）＋＝1 012＋1 012＝2 024.
7. 解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8.不妨取M（1，4），则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝.
8.4 解析：设抛物线y2＝4x的准线为l，焦点为F，则l：x＝－1，过点A作AA1⊥l于A1，过点B作BB1⊥l于B1，连接FA，FB（图略），则2（x0＋1）＝｜AA1｜＋｜BB1｜＝｜FA｜＋｜FB｜≥｜AB｜＝10，得x0＋1≥5，解得x0≥4，所以x0的最小值为4.
9.解：法一 如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，
则｜MN｜＝｜MF｜＝5，又｜MN｜＝3＋，∴3＋＝5，
即p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.
由m2＝－8×（－3）＝24，得m＝±2.
法二 设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F.∵M（m，－3）在抛物线上，且｜MF｜＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
10.C 抛物线的焦点F，设M（x，y），根据抛物线的定义可知｜MF｜＝x＋＝5，所以x＝5－.圆心是MF的中点，根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为＝，圆的半径为，所以该圆与y轴相切于点（0，2），所以圆心纵坐标为2，则M点的纵坐标为4，即M，代入抛物线方程得42＝2p·，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.
11.B 设等轴双曲线C的方程为x2－y2＝λ（λ＞0）， ①
∵抛物线y2＝8x，2p＝8，p＝4，∴＝2.∴抛物线的准线方程为x＝－2，设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2的两个交点A（－2，y），B（－2，－y）（y＞0），则｜AB｜＝｜y－（－y）｜＝2y＝4，∴y＝2.将x＝－2，y＝2代入①，得－（2）2＝λ，∴λ＝8，∴等轴双曲线C的方程为x2－y2＝8，即－＝1，∴a＝＝2，∴C的实轴长为2a＝4.故选B.
12.解：设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
则其准线为x＝－.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为｜AF｜＋｜BF｜＝8，
所以x1＋＋x2＋＝8，
即x1＋x2＝8－p.
因为Q（6，0）在线段AB的垂直平分线上，所以｜QA｜＝｜QB｜，
即＝，
又＝2px1，＝2px2，
所以（x1－x2）（x1＋x2－12＋2p）＝0，
因为AB与x轴不垂直，所以x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线的方程为y2＝8x.
13.x＝－ 解析：法一（通解） 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan ∠PQF，所以＝，即＝，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－.
法二（优解） 由题易得｜OF｜＝，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的准线方程为x＝－.
14.解：（1）如图所示，以过点B且垂直于l（垂足为K）的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立直角坐标系xOy，则B（0，2），A（2，4）.
因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线.设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即｜MA｜＋｜MB｜的值最小.
如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜，所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M.
故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
1 / 22.7.1 抛物线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.
【问题】 （1）这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？
（2）抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？
知识点一 抛物线的定义
设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离 的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的 ，定直线l称为抛物线的 .
【想一想】
在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
提醒 四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
1.抛物线y＝8x2的准线方程是（ ）
A.y＝－2 B.x＝－1
C.y＝－ D.x＝－
2.抛物线y2＝16x上点P的横坐标为4，则P到抛物线焦点F的距离｜PF｜＝（ ）
A.12 B.10 C.8 D.6
3.焦点为F（－1，0）的抛物线的标准方程为 .
题型一 抛物线的标准方程
【例1】 （链接教科书第160页例1）求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）过点M（－6，6）；
（2）焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上.
尝试解答
通性通法
求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求p，最后写标准方程
待定系数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程
提醒 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay（a≠0）的形式，以简化讨论过程.
【跟踪训练】
1.若某抛物线过点（－1，3），且关于x轴对称，则该抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝－9x B.x2＝y
C.y2＝－9x或x2＝y D.y2＝±9x
2.已知抛物线y＝x2，其准线方程为（ ）
A.x＝－ B.x＝
C.y＝ D.y＝－
3.若抛物线y2＝2px（p≠0）的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则实数p＝ .
题型二 抛物线定义的应用
【例2】 （1）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，M为抛物线C上一点，N（2，2），则｜MF｜＋｜MN｜的最小值为（ ）
A.3 B.2
C.1 D.4
（2）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且｜FM｜＝6，则M的横坐标是 ；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝ .
尝试解答
通性通法
抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
【跟踪训练】
1.已知在平面直角坐标系中有一定点F（1，0），动点P（x，y）（x≥0）到y轴的距离为d，且｜PF｜－d＝1，则动点P的轨迹方程为（ ）
A.y2＝x B.y2＝4x
C.y2＝8x D.y2＝2x
2.设O为坐标原点，抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，若｜PF｜＝3，则△OPF的面积为 .
题型三 抛物线的实际应用
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
尝试解答
通性通法
求抛物线实际应用问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）设出合适的抛物线标准方程；
（3）通过计算求出抛物线的标准方程；
（4）求出需要求出的量；
（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.
【跟踪训练】
如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋一头焊接在镜口圆边沿，另一头焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.
2.7.1 抛物线的标准方程
【基础知识·重落实】
知识点一
相等 焦点 准线
想一想
提示：当F∈l时，点的轨迹是一条直线.
知识点二
y2＝2px（p＞0） x＝－ y2＝－2px（p＞0） x＝ x2＝2py（p＞0）
y＝－ x2＝－2py（p＞0） y＝
自我诊断
1.C 由y＝8x2可得x2＝y，所以2p＝，可得p＝，所以抛物线y＝8x2的准线方程是y＝－.故选C.
2.C 因为2p＝16，所以p＝8，所以｜PF｜＝4＋＝4＋4＝8.故选C.
3.y2＝－4x 解析：由题意，设抛物线的标准方程为y2＝－2px，则－＝－1，可得p＝2.因此，抛物线的标准方程为y2＝－4x.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由于点M（－6，6）在第二象限，
∴过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，焦点在x轴上，
设其方程为y2＝－2px（p＞0），
将点M（－6，6）代入，可得36＝－2p×（－6），
∴p＝3.∴抛物线的方程为y2＝－6x.
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，
设其方程为x2＝2py（p＞0），
将点M（－6，6）代入，可得36＝2p×6，
∴p＝3，∴抛物线的方程为x2＝6y.
综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
（2）①∵直线l与x轴的交点为（2，0），
∴抛物线的焦点是F（2，0），∴＝2，∴p＝4，
∴抛物线的标准方程是y2＝8x.
②∵直线l与y轴的交点为（0，－3），
即抛物线的焦点是F（0，－3），
∴＝3，∴p＝6，
∴抛物线的标准方程是x2＝－12y.
综上所述，所求抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y.
跟踪训练
1.A 依题意设抛物线解析式为y2＝－2px，把（－1，3）代入得9＝2p，解得p＝，所以抛物线标准方程为y2＝－9x，故选A.
2.D 因为抛物线y＝x2，故其标准方程为x2＝2y，则其准线方程为y＝－.故选D.
3.4 解析：因为椭圆＋＝1，所以a2＝6，b2＝2，所以c2＝a2－b2＝4，故c＝2，所以右焦点为（2，0），所以＝2，p＝4.
【例2】 （1）A （2）5 4 解析：（1）因为抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为x＝－1，根据抛物线定义可知｜MF｜＝xM＋1，所以当MN垂直抛物线准线时，｜MF｜＋｜MN｜最小，最小值为：xN＋1＝3.故选A.
（2）因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F（1，0）.因为｜MF｜＝6，xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2，所以S△FMN＝×（5－1）×2＝4.
跟踪训练
1.B ∵动点P（x，y）（x≥0）到y轴的距离为d，且｜PF｜－d＝1，∴动点P到定点F（1，0）的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，并且其焦点为F（1，0），准线为x＝－1，所以其抛物线的方程为y2＝4x.故选B.
2. 解析：由题可得F（1，0），设P（x0，y0），则由抛物线定义可得｜PF｜＝x0＋1＝3，解得x0＝2，代入抛物线方程可得｜y0｜＝2，所以S△OPF＝×｜OF｜×｜y0｜＝×1×2＝.
【例3】 解：以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系（图略）.设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），由题意可知，点B（4，－5）在抛物线上，故p＝，得x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA'，则A（2，yA），由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h＝｜yA｜＋0.75＝2（m）.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
跟踪训练
解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径.
由已知，得A点坐标是（2，6），
设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
则36＝2p×2，p＝9.
所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，
焦点坐标是F.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，F两点间的距离即为每根铁筋长.
｜AF｜＝＝6.5，故每根铁筋的长度是6.5米.
4 / 4(共71张PPT)
2.7.1 抛物线的标准方程
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界
和解决实际问题中的作用 数学抽象
2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图，在黑板上画一条直线 EF ，然后取一个三角板，将一条拉链
AB 固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C
点，将三角板的另一条直角边贴在直线 EF 上，在拉链 D 处放置一支
粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.
【问题】 （1）这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的
定义吗？
（2）抛物线的定义中， l 能经过点 F 吗？为什么？
知识点一 抛物线的定义
设 F 是平面内的一个定点， l 是不过点 F 的一条定直线，则平面上到
F 的距离与到 l 的距离 的点的轨迹称为抛物线，其中定点 F 称
为抛物线的 ，定直线 l 称为抛物线的 .
【想一想】
在抛物线定义中，若去掉条件“ l 不经过点 F ”，点的轨迹还是抛
物线吗？
提示：当 F ∈ l 时，点的轨迹是一条直线.
相等
焦点
准线
知识点二 抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2 px （ p ＞ 0）
0）
x ＝
y2＝－2 px （ p ＞ 0）
（ 0）
x
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
提醒 四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开
口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方
向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
x2＝2 py （ p ＞ 0）
（0 ）
y ＝
x2＝－2 py （ p ＞ 0）
（0， ）
y
1. 抛物线 y ＝8 x2的准线方程是（ ）
A. y ＝－2 B. x ＝－1
C. y ＝ D. x ＝
解析： 由 y ＝8 x2可得 x2 y ，所以2 p p y ＝8 x2的准线方程是 y ＝ .故选C.
2. 抛物线 y2＝16 x 上点 P 的横坐标为4，则 P 到抛物线焦点 F 的距离｜
PF ｜＝（ ）
A. 12 B. 10
C. 8 D. 6
解析： 因为2 p ＝16，所以 p ＝8，所以｜ PF ｜＝4 4＋4＝
8.故选C.
3. 焦点为 F （－1，0）的抛物线的标准方程为 .
解析：由题意，设抛物线的标准方程为 y2＝－2 px ， 1，
可得 p ＝2.因此，抛物线的标准方程为 y2＝－4 x .
y2＝－4 x
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 抛物线的标准方程
【例1】 （链接教科书第160页例1）求适合下列条件的抛物线的标
准方程：
（1）过点 M （－6，6）；
解：由于点 M （－6，6）在第二象限，
∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，
设其方程为 y2＝－2 px （ p ＞0），
将点 M （－6，6）代入，可得36＝－2 p ×（－6），
∴ p ＝3.∴抛物线的方程为 y2＝－6 x .
若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，
设其方程为 x2＝2 py （ p ＞0），
将点 M （－6，6）代入，可得36＝2 p ×6，
∴ p ＝3，∴抛物线的方程为 x2＝6 y .
综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6 x 或 x2＝6 y .
（2）焦点 F 在直线 l ：3 x －2 y －6＝0上.
解：①∵直线 l 与 x 轴的交点为（2，0），
∴抛物线的焦点是 F （2，0），∴ 2，∴ p ＝4，
∴抛物线的标准方程是 y2＝8 x .
②∵直线 l 与 y 轴的交点为（0，－3），
即抛物线的焦点是 F （0，－3），
∴ 3，∴ p ＝6，
∴抛物线的标准方程是 x2＝－12 y .
综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8 x 或 x2＝－12 y .
通性通法
求抛物线的标准方程的方法
定义法 根据定义求 p ，最后写标准方程
待定系
数法 设标准方程，列有关的方程组求系数
直接法 建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条
件，列出对应方程，化简方程
提醒 当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设 y2＝ ax
或 x2＝ ay （ a ≠0）的形式，以简化讨论过程.
【跟踪训练】
1. 若某抛物线过点（－1，3），且关于 x 轴对称，则该抛物线的标准
方程为（ ）
A. y2＝－9 x B. x2 y
C. y2＝－9 x 或 x2 y D. y2＝±9 x
解析： 依题意设抛物线解析式为 y2＝－2 px ，把（－1，3）
代入得9＝2 p ，解得 p y2＝－9 x ，
故选A.
2. 已知抛物线 y x2，其准线方程为（ ）
A. x ＝ B. x
C. y D. y ＝
解析： 因为抛物线 y x2，故其标准方程为 x2＝2 y ，则其准线
方程为 y ＝ .故选D.
3. 若抛物线 y2＝2 px （ p ≠0）的焦点与椭 1的右焦点重
合，则实数 p ＝ .
解析：因为椭 1，所以 a2＝6， b2＝2，所以 c2＝ a2－ b2
＝4，故 c ＝2，所以右焦点为（2，0），所 2， p ＝4.
4
题型二 抛物线定义的应用
【例2】 （1）设抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ， M 为抛物线 C 上一
点， N （2，2），则｜ MF ｜＋｜ MN ｜的最小值为（ ）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 4
解析：因为抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F （1，0），准线为 x ＝－1，根据抛物线定义可知｜ MF ｜＝ xM ＋1，所以当 MN 垂直抛物线准线时，｜ MF ｜＋｜ MN ｜最小，最小值为： xN ＋1＝3.故选A.
（2）已知抛物线 C ： y2＝4 x ，焦点为 F ，点 M 为抛物线 C 上的点，
且｜ FM ｜＝6，则 M 的横坐标是 ；作 MN ⊥ x 轴于 N ，则
S△ FMN ＝ .
解析：因为抛物线的方程为 y2＝4 x ，故 p ＝2且 F （1，0）.因
为｜ MF ｜＝6， xM 6，解得 xM ＝5，故 yM ＝±2
S△ FMN 5－1）×2 4 .
5
4
通性通法
抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化.根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的
距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点
距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最
小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决
最值问题.
【跟踪训练】
1. 已知在平面直角坐标系中有一定点 F （1，0），动点 P （ x ， y ）
（ x ≥0）到 y 轴的距离为 d ，且｜ PF ｜－ d ＝1，则动点 P 的轨迹方
程为（ ）
A. y2＝ x B. y2＝4 x
C. y2＝8 x D. y2＝2 x
解析： ∵动点 P （ x ， y ）（ x ≥0）到 y 轴的距离为 d ，且｜
PF ｜－ d ＝1，∴动点 P 到定点 F （1，0）的距离与到直线 x ＝－1
的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点 P 的轨迹是抛物线，并
且其焦点为 F （1，0），准线为 x ＝－1，所以其抛物线的方程为 y2
＝4 x .故选B.
2. 设 O 为坐标原点，抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
若｜ PF ｜＝3，则△ OPF 的面积为 .
解析：由题可得 F （1，0），设 P （ x0， y0），则由抛物线定义可
得｜ PF ｜＝ x0＋1＝3，解得 x0＝2，代入抛物线方程可得｜ y0｜＝2
S△ OPF ｜ OF ｜×｜ y0｜ 1×2 .
题型三 抛物线的实际应用
【例3】 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面
宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高
0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船
开始不能通航？
解：以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为 x 轴，建
立平面直角坐标系（图略）.设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），由
题意可知，点 B （4，－5）在抛物线上，故 p x2＝ y .当船
面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA'，则 A
（2， yA ），由22＝ yA ，得 yA ＝ .又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以 h ＝｜ yA ｜＋0.75＝2（m）.所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
通性通法
求抛物线实际应用问题的基本步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）设出合适的抛物线标准方程；
（3）通过计算求出抛物线的标准方程；
（4）求出需要求出的量；
（5）还原到实际问题中，从而解决实际问题.
【跟踪训练】
如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反
光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线
的焦点处，容器由若干根等长的铁筋一头焊接在镜口圆边沿，另一头
焊接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米，镜深2米，若把盛
水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度为多少米.
解：如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反
光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， x 轴垂直
于镜口直径.由已知，得 A 点坐标是（2，6），
设抛物线方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则36＝2 p ×2， p ＝9.
所以所求抛物线的标准方程是 y2＝18 x ，
焦点坐标是 F （ 0）.因为盛水和食物的容器在焦点
处，所以 A ， F 两点间的距离即为每根铁筋长.
｜ AF ｜ 6.5，故每根铁筋的长度是6.5米.
圆锥曲线的共性探究
（链接教科书第143页习题C1题、第157页习题C2题）设动点 M 到
定点 F （－ c ，0）的距离与它到直线 l ： x ＝ .
（1）当 a ＞ c ＞0时，求点 M 的轨迹方程；
（2）当 c ＞ a ＞0时，求点 M 的轨迹方程.
（链接教科书第158页）抛物线的定义.
【问题探究】
由上述教科书中两道典型习题结合链接教科书抛物线的定义可知，
三种曲线都是动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比是一
个常数，当这个常数大于0且小于1时，动点轨迹为椭圆；当常数等于
1时为抛物线；当常数大于1时为双曲线.
结论：动点 M 到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为一个常数，
e .
（1）当0＜ e ＜1时，动点 M 的轨迹是椭圆；
（2）当 e ＝1时，动点 M 的轨迹是抛物线；
（3）当 e ＞1时，动点 M 的轨迹是双曲线.此时定点 F 为圆锥曲线的一
个焦点，定直线 l 叫作圆锥曲线对应该焦点 F 的一条准线 x e 就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义（也称为第二定义）.
【迁移应用】
已知椭 1与双曲线 x2 1有相同的焦点，且椭圆与
双曲线交于一点 P （ y ）.
（1）求 m ， n 的值；
解：由双曲线方程可知，焦点在 x 轴上，
椭圆和双曲线有相同的焦点，可得10－ m ＝1＋ n ，①
又交于点 P （ y ） 1， ②
（ ）2 1， ③
联立①②③，解得 m ＝1， n ＝8.
（2）若双曲线上一点 Q 到左焦点的距离为3，求它到双曲线右准线的
距离.
解：由（1）知，双曲线 x2 1，所以 a ＝1， b ＝2
c ＝3，所以左焦点 F （－3，0），左准线 x1＝ x2 a
＋ c ＝4＞3，所以点 Q 在双曲线的左支上，设点 Q 到左准线的距
离为 d1，由双曲线第二定义， e 3 d1＝1，所
以点 Q 到右准线的距离 d2＝ d1＋ x2－ x1 .
1. 若抛物线 y2＝16 x 上的点 M 到焦点的距离为12，则它到 y 轴的距离
是（ ）
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
解析： 抛物线 y2＝16 x 的焦点 F （4，0），准线为 x ＝－4，由 M
到焦点的距离为12，可知 M 到准线的距离也为12，故点 M 到 y 轴的
距离是8.故选B.
2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上一点（－2，
m ）到焦点距离为4，那么抛物线的方程是（ ）
A. y2＝8 x B. y2＝－8 x
C. y2＝4 x D. y2＝－4 x
解析： 因为抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且点（－2，
m ）在抛物线上，所以设抛物线方程为 y2＝－2 px （ p ＞0），因为
点（－2， m ）到焦点距离为4，所 －2）＝4，解得 p ＝4，
所以抛物线方程为 y2＝－8 x ，故选B.
3. 已知点 P 是抛物线 y2＝－4 x 上的一个动点，则点 P 到点 M （0，2）
的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. 3 B.
C. D.
解析： 如图所示，由抛物线的定义得｜
PN ｜＝｜ PF ｜，所以｜ PN ｜＋｜ PM ｜＝｜
PF ｜＋｜ PM ｜，由图象知，当 P ， F ， M 三
点共线时，｜ PN ｜＋｜ PM ｜最小，（｜ PN ｜＋｜ PM ｜）min＝｜ FM ｜ .故选C.
4. （多选）已知抛物线的焦点在直线 x －2 y －4＝0上，则此抛物线的
标准方程是（ ）
A. y2＝16 x B. x2＝－8 y
C. x2＝16 y D. x2＝8 y
解析： 对于A，抛物线 y2＝16 x 开口向右，焦点坐标为（4，
0），在直线 x －2 y －4＝0上；对于B，抛物线 x2＝－8 y 开口向下，
焦点坐标为（0，－2），在直线 x －2 y －4＝0上；对于C，抛物线
x2＝16 y 开口向上，焦点坐标为（0，4），不在直线 x －2 y －4＝0
上；对于D，抛物线 x2＝8 y 开口向上，焦点坐标为（0，2），不在
直线 x －2 y －4＝0上；故选A、B.
5. 已知 M 是抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）上一点， F 是抛物线 C 的焦
点，过 M 作抛物线 C 的准线的垂线，垂足为 N ，若∠ MFO ＝60°
（ O 为坐标原点），△ MNF 的周长为12，则｜ NF ｜＝
.
解析：因为∠ MFO ＝60°，所以∠ FMN ＝120°.又 M 是抛物线 C 上
一点，所以｜ FM ｜＝｜ MN ｜ ｜ NF ｜.又△ FMN
的周长为12，所 ｜ NF ｜＋｜ NF ｜＝12，得｜ NF ｜＝24
36.
24
36
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 抛物线的准线方程为 x ＝－4，则抛物线方程为（ ）
A. x2＝16 y B. x2＝8 y
C. y2＝16 x D. y2＝8 x
解析： 抛物线的准线为 x ＝－4，易知抛物线是开口向右的抛物
线.设方程为 y2＝2 px （ p ＞0）， 4， p ＝8，抛物线方程为 y2
＝16 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 设抛物线 y2＝8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是4，则点 P 到该抛物线焦点
的距离是（ ）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 12
解析： 由抛物线的方程 2，再根据抛物线的定义，可
知所求距离为4＋2＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 在 x 轴的上方的动点 M 到定点（0，1）的距离比到 x 轴的距离多1，
则动点 M 的轨迹的标准方程为（ ）
A. x2＝2 y B. y2＝2 x
C. x2＝4 y D. y2＝4 x
解析： 因为动点 M （ x ， y ）到定点（0，1）的距离比到 x 轴的
距离多1，所以动点 M （ x ， y ）到定点（0，1）的距离与到直线 y
＝－1的距离相等.根据抛物线的定义可知，动点 M 的轨迹是抛物
线，并且其焦点为（0，1），准线为 y ＝－1，所以其抛物线的方程
为 x2＝4 y .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 如图是抛物线形拱桥，现拱顶离水面5 m，水面宽 AB ＝30 m.若水面
下降5 m，则水面宽是（ ）
A. 10 m B. 15 m
C. 20 m D. 30 m
解析： 以抛物线形拱桥的最高点作为坐标
原点建立坐标系，如图所示.设该抛物线方程为
x2＝－2 py （ p ＞0），由图可知， B （15，－
5），则225＝10 p ， p ＝22.5，即 x2＝－45 y ，当 y ＝－10时， x2＝－45×（－10）＝450，故所求水面宽度为2 30 m.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）已知抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点为 F ，点 M （ x0， y0）在抛
物线 C 上，若｜ MF ｜＝4，则（ ）
A. x0＝3 B. y0＝2
C. ｜ OM ｜ D. F 的坐标为（0，1）
解析： 由题可知 F （1，0），由｜ MF ｜＝ x0＋1＝4 4
x0，所以 x0＝3， y0＝±2 .｜ OM ｜ .
故选A、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 已知 Pi （ i ＝1，2，3，…，2 024）是抛物线 C ： y2＝2 x 上的点， F
是抛物线 C 的焦点， 0，则｜ ｜
＋｜ ｜＋…＋｜ ｜＝ .
2 024
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：设 Pi （ xi ， yi ）（ i ＝1，2，3，…，2 024），因为 Pi 是抛物
线 C ： y2＝2 x 上的点， F 是抛物线 C 的焦点，所以 F （ 0），因
（ xi ，－ yi ）.因 0，所以
（ x1）＋（ x2）＋…＋（ x2 024）＝0，即 x1＋ x2＋…＋ x2
024 1 012.又由抛物线的定义，可得｜ ｜＝｜ PiF ｜＝ xi
｜ ｜＋｜ ｜＋…＋｜ ｜＝（ x1 ）＋
（ x2 ）＋…＋（ x2 024 ）＝（ x1＋ x2＋…＋ x2 024
1 012＋1 012＝2 024.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）上一点 M （1， m ）到其焦点的距离
为5，双曲线 x2 1的左顶点为 A ，若双曲线的一条渐近线与直
线 AM 垂直，则实数 a ＝ .
解析：根据抛物线的定义得1 5， p ＝8.不妨取 M （1，4），
则 AM 的斜率为2，由已知 2＝－1，故 a .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知 A ， B 是抛物线 y2＝4 x 上的动点，且满足｜ AB ｜＝10，则 AB
中点 M 的横坐标 x0的最小值为 .
解析：设抛物线 y2＝4 x 的准线为 l ，焦点为 F ，则 l ： x ＝－1，过点
A 作 AA1⊥ l 于 A1，过点 B 作 BB1⊥ l 于 B1，连接 FA ， FB （图略），
则2（ x0＋1）＝｜ AA1｜＋｜ BB1｜＝｜ FA ｜＋｜ FB ｜≥｜ AB ｜
＝10，得 x0＋1≥5，解得 x0≥4，所以 x0的最小值为4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M （ m ，
－3）到焦点的距离为5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程.
解：法一 如图所示，设抛物线的方程为 x2＝
－2 py （ p ＞0），则焦点 F （0 ），准线
l ： y MN ⊥ l ，垂足为 N ，
则｜ MN ｜＝｜ MF ｜＝5，又｜ MN ｜＝3
∴3 5，
即 p ＝4.∴抛物线方程为 x2＝－8 y ，准线方程为 y ＝2.
由 m2＝－8×（－3）＝24，得 m ＝±2 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
法二 设所求抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0），则焦点为 F （0
）.∵ M （ m ，－3）在抛物线上，且｜ MF ｜＝5，
故
∴抛物线方程为 x2＝－8 y ， m ＝±2 y ＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 设抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，点 M 在 C 上，｜
MF ｜＝5，若以 MF 为直径的圆过点（0，2），则 C 的方程为
（ ）
A. y2＝4 x 或 y2＝8 x
B. y2＝2 x 或 y2＝8 x
C. y2＝4 x 或 y2＝16 x
D. y2＝2 x 或 y2＝16 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 抛物线的焦点 F （ 0），设 M （ x ， y ），根据抛物
线的定义可知｜ MF ｜＝ x 5，所以 x ＝5 .圆心是 MF 的中
点，根据中点坐标公式可得圆心的横坐标
y 轴相切于点（0，2），所以圆心纵坐标为2，则 M 点的纵坐标为4，即 M （5 4），代入抛物线方程得42＝2 p ·（5 ），即 p2－10 p ＋16＝0，解得 p ＝2或 p ＝8，所以抛物线方程为 y2＝4 x 或 y2＝16 x .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y2＝8 x
的准线交于 A ， B 两点，｜ AB ｜＝4 C 的实轴长为（ ）
A. 2 B. 4
C. 4 D. 8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 设等轴双曲线 C 的方程为 x2－ y2＝λ（λ＞0）， ①
∵抛物线 y2＝8 x ，2 p ＝8 p ＝4 ∴ 2 .∴抛物线
的准线方程为 x ＝－2 x ＝－2
A （－2 y ）， B （－2 － y ）（ y ＞0），
则｜ AB ｜＝｜ y －（－ y ）｜＝2 y ＝4 ∴ y ＝2 .将 x ＝－2
y ＝2 ①， 2 2＝λ，∴λ＝8，
∴等轴双曲线 C 的方程为 x2－ y2＝8， 1，∴ a
2 ∴ C 的实轴长为2 a ＝4 .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 已知抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 x 轴的正半轴上，设 A ， B
是抛物线 C 上的两个动点（ AB 不垂直于 x 轴），且｜ AF ｜＋｜
BF ｜＝8，线段 AB 的垂直平分线恒经过定点 Q （6，0），求抛物
线的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），
则其准线为 x ＝ .
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
因为｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝8，
所以 x1 x2 8，
即 x1＋ x2＝8－ p .
因为 Q （6，0）在线段 AB 的垂直平分线上，所以｜ QA ｜＝｜
QB ｜，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2 px1 2 px2，
所以（ x1－ x2）（ x1＋ x2－12＋2 p ）＝0，
因为 AB 与 x 轴不垂直，所以 x1≠ x2.
故 x1＋ x2－12＋2 p ＝8－ p －12＋2 p ＝0，即 p ＝4.
从而抛物线的方程为 y2＝8 x .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 已知 O 为坐标原点，抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ， P
为 C 上一点， PF 与 x 轴垂直， Q 为 x 轴上一点，且 PQ ⊥ OP . 若｜
FQ ｜＝6，则 C 的准线方程为 .
x ＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：法一（通解） 由题易得｜ OF ｜ ｜ PF ｜＝ p ，∠
OPF ＝∠ PQF ，所以tan∠ OPF ＝tan ∠ PQF ，所 p ＝3，所以 C 的准线方程为 x ＝ .
法二（优解） 由题易得｜ OF ｜ ｜ PF ｜＝ p ，｜ PF ｜2
＝｜ OF ｜·｜ FQ ｜，即 p2 6，解得 p ＝3或 p ＝0（舍去），
所以 C 的准线方程为 x ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 如图所示， A 地在 B 地东偏北45°方向，相距2 km处， B 地与东
西走向的高铁线（近似看成直线） l 相距4 km.已知曲线形公路 PQ
上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，现要在公路旁建
造一个变电房 M （变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向
A 地、 B 地送电.
（1）试建立适当的直角坐标系，
求曲线形公路 PQ 所在曲线
的方程；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解：如图所示，以过点 B 且垂直于 l （垂足为 K ）的直线为 y 轴，线段 BK 的中点 O 为原点，建立直角坐标系 xOy ，则 B （0，2）， A （2，4）.
因为曲线形公路 PQ 上任意一点到 B 地的距离等于到高铁线 l 的距离，所以 PQ 所在的曲线是以 B （0，2）为焦点， l 为准线的抛物线.设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0），则 p ＝4，故曲线形公路 PQ 所在曲线的方程为 x2＝8 y .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）问变电房 M 应建在相对 A 地的什么位置（方位和距离），才
能使架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度.
解：要使架设电路所用电线
长度最短，即｜ MA ｜＋｜ MB ｜
的值最小.如图所示，过 M 作 MH ⊥ l ，垂足为 H ，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
依题意得｜ MB ｜＝｜ MH ｜，所以｜ MA ｜＋｜ MB ｜＝｜ MA ｜＋｜ MH ｜，故当 A ， M ， H 三点共线时，｜ MA ｜＋｜ MH ｜取
得最小值，即｜ MA ｜＋｜ MB ｜取得最小值，此时 M （2 ）.
故变电房 M 建在 A 地正南方向且与 A 地相 km处时，所用电线长度最短，最短长度为6 km.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
