2.7.2 抛物线的几何性质
1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（－4，－2）的抛物线的标准方程为（ ）
A.y2＝－x
B.x2＝－8y
C.y2＝－8x或x2＝－y
D.y2＝－x或x2＝－8y
2.设过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点的弦为AB，则｜AB｜的最小值为（ ）
A. B.p
C.2p D.无法确定
3.已知抛物线C1：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点A在抛物线C1上，且4｜AF｜＝3，抛物线C2：y2＝8px的焦点为F'，若点A的纵坐标为，则｜FF'｜＝（ ）
A. B.
C. D.
4.A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点.若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的面积为12，则∠AOB＝（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.120°
5.（多选）已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（ ）
A.C的准线方程为x＝－4
B.F点的坐标为（0，4）
C.｜FN｜＝12
D.△ONF的面积为16（O为坐标原点）
6.若三个点M（3，2），N（2，2），Q（3，－2）中恰有两个点在抛物线y2＝2px上，则该抛物线的方程为 .
7.已知点A（0，5），过抛物线x2＝12y上一点P作y＝－3的垂线，垂足为B，若｜PB｜＝｜PA｜，则｜PB｜＝ .
8.已知抛物线C：x2＝ay（a＞0）上一点P（2a，4a）到焦点F的距离为17，则直线PF的方程为 .
9.已知点P（1，m）是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且｜PF｜＝2，直线l：y＝k（x－1）与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若｜AB｜＝8，求k的值.
10.过抛物线C：y2＝6x的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：－y2＝1（a＞0）所截得线段长度为2，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
11.在抛物线y2＝－4x上有一点P，P到椭圆＋＝1左顶点的距离最小，这个最小值为（ ）
A.2 B.2＋
C. D.2－
12.设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且｜AF｜＋｜BF｜＝6.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l（斜率存在）经过焦点F，求直线l的方程.
13.已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，＝3，则｜k｜＝（ ）
A.2 B.
C. D.
14.已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2.
（1）求C的方程；
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
2.7.2 抛物线的几何性质
1.D 若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2＝ax，将点P（－4，－2）的坐标代入，得a＝－1，所以抛物线的标准方程为y2＝－x.若焦点在y轴上，设方程为x2＝by，将点P（－4，－2）的坐标代入，得b＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故所求抛物线的标准方程是y2＝－x或x2＝－8y.
2.C 由题意知，AB⊥y轴，故其最小值为2p.
3.B 因为4｜AF｜＝3，所以＋＝，解得p＝.所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F，F'（1，0），所以｜FF'｜＝＝.故选B.
4.C 如图，∵｜OA｜＝｜OB｜，知A，B两点关于y轴对称，设A，B，∴S△AOB＝×2a×＝12，解得a＝2，∴B（2，6），∴tan θ＝＝，∴θ＝30°，∴∠AOB＝2θ＝60°.故选C.
5.ACD 如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F'，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，F点的坐标为（4，0），则｜AN｜＝4，｜FF'｜＝8，在直角梯形ANFF'中，中位线｜BM｜＝＝6，由抛物线的定义有｜MF｜＝｜MB｜＝6，结合题意，有｜MN｜＝｜MF｜＝6，故｜FN｜＝｜FM｜＋｜NM｜＝6＋6＝12，｜ON｜＝＝8，S△ONF＝×8×4＝16.故选A、C、D.
6.y2＝8x 解析：由抛物线的对称性知M（3，2），Q（3，－2）在y2＝2px上，∴6p＝24，可得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
7.7 解析：设P（x，y），由｜PB｜＝｜PA｜，可得y＋3＝，x2－16y＋16＝0，又x2＝12y，代入可得y＝4.所以｜PB｜＝y＋3＝7.
8.y＝x＋1 解析：抛物线C：x2＝ay（a＞0）上一点P（2a，4a）到焦点F的距离为17，可得17＝4a＋＝，解得a＝4，抛物线方程为x2＝4y，则F（0，1），P（8，16），kPF＝＝，则直线PF的方程为y＝x＋1.
9.解：（1）抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由｜PF｜＝2得1＋＝2，得p＝2.
∴抛物线的方程为y2＝4x.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由
可得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，
∴x1＋x2＝.
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴｜AB｜＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得k＝±1，
∴k的值为1或－1.
10.D 抛物线C：y2＝6x的焦点为，令x＝，可得y＝±，所以2＝2，a＝，又b＝1，所以c＝＝，所以e＝＝＝.故选D.
11.A 设P（x，y），椭圆＋＝1左顶点为（－4，0），所以P到椭圆＋＝1左顶点的距离为d＝，而y2＝－4x，所以d＝＝＝≥2，当且仅当x＝－2时取等号，即P到椭圆＋＝1左顶点的距离最小值为2.故选A.
12.解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则线段AB中点M的横坐标x＝＝2，∴x1＋x2＝4，
∴｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，解得p＝2，
∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
（2）由（1）可知抛物线的焦点坐标为F（1，0），
故设直线方程为y＝k（x－1），k≠0，
联立方程组为 k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝＝4，解得k＝±，
∴直线l的方程y＝±（x－1）.
13.B 由＝3，知A，B，F三点共线.设A在第一象限，如图，分别过A，B作AM⊥准线于M，BN⊥准线于N，过B作BE⊥AM于E，根据抛物线定义和＝3，可设｜AF｜＝｜AM｜＝3m，则｜BN｜＝｜BF｜＝m，故｜AB｜＝4m，｜AE｜＝2m，∴∠BAE＝60°，k＝；当A在第四象限时，同理，可得k＝－，故选B.
14.解：（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）由（1）知F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2－x1，y2－y1），＝（1－x2，－y2），
因为＝9，
所以
可得
又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即（10y2）2＝4（10x2－9），化简得＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，
得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
2 / 22.7.2 抛物线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用 数学运算
在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线的一部分……
【问题】 （1）类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能否猜想出抛物线的几何性质呢？
（2）参数p对抛物线开口大小有何影响？
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） x2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围
对称 轴
顶点
离心 率
开口方向
提醒 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
y2＝ax 一次项为x项，对称轴为x轴 a＞0时，焦点在x轴正半轴上，开口向右
a＜0时，焦点在x轴负半轴上，开口向左
x2＝ay 一次项为y项，对称轴为y轴 a＞0时，焦点在y轴正半轴上，开口向上
a＜0时，焦点在y轴负半轴上，开口向下
【想一想】
1.抛物线x2＝2py（p＞0）有几条对称轴？
2.抛物线的范围是x∈R，这种说法正确吗？
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（ ）
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.y2＝±12x
2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）
A.（6，＋∞） B.[6，＋∞）
C.（3，＋∞） D.[3，＋∞）
3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P是抛物线上一点，若｜PF｜＝3，则P点的横坐标为 .
题型一 抛物线方程及其几何性质
【例1】 （1）（链接教科书第164页例1）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程；
（2）设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A（3，0），求｜PA｜的最小值.
尝试解答
通性通法
1.几何性质在求抛物线方程中的应用
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程.
2.研究抛物线的性质，把握三个要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通径）长为2p.
【跟踪训练】
1.顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ）
A.x2＝16y B.x2＝8y
C.x2＝±8y D.x2＝±16y
2.抛物线x2＝8y的准线被圆x2＋y2－6x＝0截得的线段长为（ ）
A.4 B.2
C. D.2
题型二 抛物线几何性质的应用
【例2】 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，又点A到抛物线的焦点F的距离等于，求△AOB的面积.
尝试解答
通性通法
利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题.
【跟踪训练】
边长为2的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程是（ ）
A.y2＝x B.y2＝x
C.y2＝±x D.y2＝±x
题型三 焦点弦问题
【例3】 过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为－4，求抛物线C的方程.
尝试解答
通性通法
1.已知AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A（x1，y1），B（x2，y2），则：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝；
（2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝（θ为直线AB的倾斜角）；
（3）S△ABO＝（θ为直线AB的倾斜角）；
（4）＋＝；
（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
2.当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.
【跟踪训练】
1.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1＋x2＝6，则｜AB｜的值为（ ）
A.10 B.8 C.6 D.4
2.抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，O为原点，则·＝ .
1.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若｜AB｜＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为（ ）
A. B. C. D.
2.已知点（x，y）在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋y2＋3的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.0
3.过抛物线x2＝4y的焦点的直线交抛物线于A，B两点，若｜AB｜＝10，则AB的中点到x轴的距离为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.8
4.（多选）平面内到定点F（0，1）和到定直线l：y＝－1的距离相等的动点的轨迹为曲线C.则（ ）
A.曲线C的方程为x2＝4y
B.曲线C关于y轴对称
C.当点P（x，y）在曲线C上时，y≥2
D.当点P在曲线C上时，点P到直线l的距离d≥2
5.顶点在原点，对称轴为y轴且经过点（4，1）的抛物线的准线与对称轴的交点坐标是 .
2.7.2 抛物线的几何性质
【基础知识·重落实】
知识点
F F F F
x＝－ x＝ y＝－ y＝ x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x轴 y轴 O（0，0） e＝1 向右 向左 向上 向下
想一想
1.提示：有一条对称轴.
2.提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如y2＝2px（p＞0）的范围是x≥0，y∈R，故此说法错误.
自我诊断
1.C 可设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），依题意知＝3，∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.
2.D ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围为[3，＋∞）.
3.2 解析：由抛物线方程可得2p＝4，即p＝2，则｜PF｜＝xP＋＝xP＋1＝3，解得xP＝2.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设所求抛物线的方程为y2＝2px（p＞0）或y2＝－2px（p＞0），抛物线与圆的交点A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞0，y2＜0），则｜y1｜＋｜y2｜＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点（1，）在抛物线y2＝2px上，点（－1，）在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.
（2）设点P的坐标为（x，y），则y2＝4x，x≥0，
｜PA｜2＝（x－3）2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝（x－1）2＋8.
当x＝1时，｜PA｜的最小值为2.
跟踪训练
1.D 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py（p＞0）.由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求的抛物线的标准方程为x2＝±16y.故选D.
2.B 因为抛物线x2＝8y的准线方程为y＝－2，圆x2＋y2－6x＝0整理得（x－3）2＋y2＝9，则圆心坐标为（3，0），半径为r＝3，则圆心到直线y＝－2的距离为d＝2，因此y＝－2被圆x2＋y2－6x＝0截得的弦长为2＝2.故选B.
【例2】 解：∵△AOB是等边三角形，
∴顶点A，B关于抛物线y2＝x的对称轴（x轴）对称.
不妨设A（y0，y0）（y0＞0），则B（y0，－y0）.
由｜AF｜＝y0＋＝，解得y0＝，
∴△AOB的边长为｜AB｜＝2y0＝2，
∴S△AOB＝×（2）2×＝3，即△AOB的面积为3.
跟踪训练
D 不妨设点A在x轴的上方，当抛物线开口向右时，设其方程为y2＝2px，
∵等边△AOB的边长为2，AB⊥x轴，∴设AB交x轴于点M，则｜OM｜＝｜AB｜＝，｜AM｜＝｜AB｜＝1，由此可得点A的坐标为（，1），代入抛物线方程，得12＝2p×，解得2p＝，因此，抛物线的方程为y2＝x.同理可得，抛物线开口向左时，其方程为y2＝－x.综上所述，过A、B的抛物线的方程是y2＝x或y2＝－x.故选D.
【例3】 解：由于抛物线的焦点F，
故可设直线AB的方程为x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p＞0，可得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
跟踪训练
1.B 根据过抛物线焦点的弦长公式有｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故选B.
2.－ 解析：①当直线AB⊥x轴时，在y2＝2x中，令x＝，有y＝±1，则A，B，得·＝·＝－.
②当直线AB与x轴不互相垂直时，设AB的方程为：y＝k，由消去y，整理得k2x2－（k2＋2）x＋k2＝0，显然k≠0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，x1·x2＝，得·＝（x1，y1）·（x2，y2）＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k·k＝（1＋k2）x1x2－（x1＋x2）＋k2＝（1＋k2）－·＋k2＝－.综①②所述，有·＝－.
随堂检测
1.A 线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.
2.B 因为点（x，y）在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋y2＋3＝x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3.故选B.
3.C 设A（xA，yA）、B（xB，yB），则由抛物线的焦点弦长公式可得yA＋yB＋p＝10，∴yA＋yB＝8，则AB的中点到x轴的距离为＝4.故选C.
4.AB 由抛物线定义，知曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其方程为x2＝4y，故A正确；若点（x，y）在曲线C上，则点（－x，y）也在曲线C上，故曲线C关于y轴对称，故B正确；由x2＝4y知y≥0，故C错误；点P到直线l的距离d≥1，所以D错误.故选A、B.
5.（0，－4） 解析：设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），则有42＝2p·1，即2p＝16，于是抛物线的方程为x2＝16y，其准线为y＝－4，准线与对称轴的交点坐标是（0，－4）.
4 / 4(共67张PPT)
2.7.2 抛物线的几何性质
新课程标准解读 核心素养
1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质 直观想象
2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思
想，了解抛物线的简单应用 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在现实生活中有许多抛物线的原型，如桥拱、卫星接收天线、曲
线与轴截面的交线等，抛掷出的铅球在天空中划过的轨迹也是抛物线
的一部分……
【问题】 （1）类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能否
猜想出抛物线的几何性质呢？
（2）参数 p 对抛物线开口大小有何影响？
知识点 抛物线的简单几何性质
类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
图形
性 质 焦点
准线
范围
对称 轴
F （
0）
F （
0）
F （0 ）
F （0，
）
x ＝
x
y ＝
y
x ≥0， y
∈R
x ≤0， y
∈R
x ∈R， y
≥0
x ∈R， y
≤0
x 轴
y 轴
类型 y2＝2 px （ p ＞0） y2＝－2 px （ p ＞0） x2＝2 py （ p ＞0） x2＝－2 py
（ p ＞0）
性 质 顶点
离心
率
开口
方向
提醒 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系
O （0，0）
e ＝1
向右
向左
向上
向下
y2＝
ax 一次项为 x
项，对称轴为
x 轴 a ＞0时，焦点在 x 轴正半轴上，开口向右
a ＜0时，焦点在 x 轴负半轴上，开口向左
x2＝
ay 一次项为 y
项，对称轴为
y 轴 a ＞0时，焦点在 y 轴正半轴上，开口向上
a ＜0时，焦点在 y 轴负半轴上，开口向下
1. 抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）有几条对称轴？
提示：有一条对称轴.
2. 抛物线的范围是 x ∈R，这种说法正确吗？
提示：抛物线的方程不同，其范围就不一样，如 y2＝2 px （ p ＞0）
的范围是 x ≥0， y ∈R，故此说法错误.
【想一想】
1. 顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的
标准方程为（ ）
A. x2＝±3 y B. y2＝±6 x
C. x2＝±12 y D. y2＝±12 x
解析： 可设抛物线方程为 x2＝2 py （ p ＞0）或 x2＝－2 py （ p ＞
0），依题意 3，∴ p ＝6.∴抛物线方程为 x2＝±12 y .
2. 设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离
的取值范围是（ ）
A. （6，＋∞） B. [6，＋∞）
C. （3，＋∞） D. [3，＋∞）
解析： ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴ 3，即 p ＝6.又
抛物线上的点到准线距离的最小值 ∴抛物线上的点到准线距
离的取值范围为[3，＋∞）.
3. 已知抛物线 y2＝4 x 的焦点为 F ， P 是抛物线上一点，若｜ PF ｜＝
3，则 P 点的横坐标为 .
解析：由抛物线方程可得2 p ＝4，即 p ＝2，则｜ PF ｜＝ xP
xP ＋1＝3，解得 xP ＝2.
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 抛物线方程及其几何性质
【例1】 （1）（链接教科书第164页例1）已知抛物线的顶点为坐标
原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋ y2＝4相交的公共弦长为2
解：设所求抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0）或 y2＝－2
px （ p ＞0），抛物线与圆的交点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）
（ y1＞0， y2＜0），则｜ y1｜＋｜ y2｜＝2 y1－ y2＝2 .
由对称性，知 y2＝－ y1，代入上式，得 y1 y1
x2＋ y2＝4，得 x1＝±1，所以点（1 y2＝2 px 上，
点（－1 y2＝－2 px 上，可得 p .于是所求抛
物线的方程为 y2＝3 x 或 y2＝－3 x .
（2）设 P 是抛物线 y2＝4 x 上任意一点，设 A （3，0），求｜ PA ｜的
最小值.
解：设点 P 的坐标为（ x ， y ），则 y2＝4 x ， x ≥0，
｜ PA ｜2＝（ x －3）2＋ y2＝ x2－6 x ＋9＋4 x ＝ x2－2 x ＋9＝（ x
－1）2＋8.
当 x ＝1时，｜ PA ｜的最小值为2 .
通性通法
1. 几何性质在求抛物线方程中的应用
（1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出
未知数；
（2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出
焦点到准线的距离，从而得到抛物线的标准方程.
2. 研究抛物线的性质，把握三个要点
（1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准一
次项是 x 还是 y ，一次项的系数是正还是负；
（2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线
垂直于对称轴；
（3）定值：焦点到准线的距离为 p ，过焦点垂直于对称轴的弦（又
称为通径）长为2 p .
【跟踪训练】
1. 顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准
方程是（ ）
A. x2＝16 y B. x2＝8 y
C. x2＝±8 y D. x2＝±16 y
解析： 顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线的标准方程为 x2＝
±2 py （ p ＞0）.由顶点到准线的距离为4知 p ＝8，故所求的抛物线
的标准方程为 x2＝±16 y .故选D.
2. 抛物线 x2＝8 y 的准线被圆 x2＋ y2－6 x ＝0截得的线段长为（ ）
A. 4 B. 2
C. D. 2
解析： 因为抛物线 x2＝8 y 的准线方程为 y ＝－2，圆 x2＋ y2－6 x
＝0整理得（ x －3）2＋ y2＝9，则圆心坐标为（3，0），半径为 r ＝
3，则圆心到直线 y ＝－2的距离为 d ＝2，因此 y ＝－2被圆 x2＋ y2－
6 x ＝0截得的弦长为2 2 .故选B.
题型二 抛物线几何性质的应用
【例2】 已知等边三角形 AOB 的顶点 A ， B 在抛物线 y2＝ x 上，
O 为坐标原点，又点 A 到抛物线的焦点 F 的距离等 △
AOB 的面积.
解：∵△ AOB 是等边三角形，
∴顶点 A ， B 关于抛物线 y2＝ x 的对称轴（ x 轴）对称.
不妨设 A y0， y0）（ y0＞0），则 B y0，－ y0）.
由｜ AF ｜ y0 y0
∴△ AOB 的边长为｜ AB ｜＝2 y0＝2
∴ S△ AOB 2 2 3 △ AOB 的面积为3 .
通性通法
利用抛物线的性质可以解决的问题
（1）对称性：解决抛物线的内接三角形问题；
（2）焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题；
（3）范围：解决与抛物线有关的最值问题.
【跟踪训练】
边长为2的等边△ AOB ， O 为原点， AB ⊥ x 轴，以 O 为顶点且过
A 、 B 的抛物线方程是（ ）
A. y2 x B. y2 x
C. y2＝ x D. y2＝ x
解析： 不妨设点 A 在 x 轴的上方，当抛物线开口向右时，设其方程
为 y2＝2 px ，∵等边△ AOB 的边长为2， AB ⊥ x 轴，∴设 AB 交 x 轴于
点 M ，则｜ OM ｜ ｜ AB ｜ ｜ AM ｜ ｜ AB ｜＝1，由
此可得点 A 的坐标为 1），代入抛物线方程，得12＝2 p 2 p y2 x .同理可得，抛物线开口向左时，其方程为 y2＝ x .综上所述，过 A 、 B
的抛物线的方程是 y2 x 或 y2＝ x .故选D.
题型三 焦点弦问题
【例3】 过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 的直线交抛物线于
A ， B 两点，且 A ， B 两点的纵坐标之积为－4，求抛物线 C 的方程.
解：由于抛物线的焦点 F （ 0），
故可设直线 AB 的方程为 x ＝ my .
由 y2－2 pmy － p2＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 y1 y2＝－ p2，
∴－ p2＝－4，由 p ＞0，可得 p ＝2，
∴抛物线 C 的方程为 y2＝4 x .
通性通法
1. 已知 AB 是过抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点的弦， F 为抛物线的焦
点， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则：
（1） y1 y2＝－ p2， x1 x2 ；
（2）｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p （θ为直线 AB 的倾斜角）；
（3） S△ ABO （θ为直线 AB 的倾斜角）；
（4） ；
（5）以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.
2. 当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛
物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2 p .
【跟踪训练】
1. 过抛物线 y2＝4 x 的焦点作直线交抛物线于 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2）两点，若 x1＋ x2＝6，则｜ AB ｜的值为（ ）
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
解析： 根据过抛物线焦点的弦长公式有｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝6
＋2＝8.故选B.
2. 抛物线 y2＝2 x 与过焦点的直线交于 A ， B 两点， O 为原点，
· .
解析：①当直线 AB ⊥ x 轴时，在 y2＝2 x 中，令 x y ＝±1，
则 A （ 1）， B （ －1）， · （ 1）·（ －
1）＝ .
②当直线 AB 与 x 轴不互相垂直时，设 AB 的方程为： y ＝ k （ x
），由 y ，整理得 k2 x2－（ k2＋2） x
k2＝0，显然 k ≠0.设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），则 x1＋ x2
x1· x2 · x1， y1）·（ x2， y2）＝ x1 x2＋ y1 y2＝ x1 x2＋ k （ x1 ）· k （ x2 ）＝（1＋ k2）· x1 x2 x1＋ x2 k2 1＋ k2 · k2＝ .综①②所述， · .
1. 若抛物线 y2＝2 x 上有两点 A ， B 且 AB 垂直于 x 轴，若｜ AB ｜＝2
AB 的距离为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 线段 AB 所在的直线方程为 x ＝1，抛物线的焦点坐标为
（ 0），则焦点到直线 AB 的距离为1 .
2. 已知点（ x ， y ）在抛物线 y2＝4 x 上，则 z ＝ x2 y2＋3的最小值是
（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 0
解析： 因为点（ x ， y ）在抛物线 y2＝4 x 上，所以 x ≥0，因为 z
＝ x2 y2＋3＝ x2＋2 x ＋3＝（ x ＋1）2＋2，所以当 x ＝0时， z 最
小，最小值为3.故选B.
3. 过抛物线 x2＝4 y 的焦点的直线交抛物线于 A ， B 两点，若｜ AB ｜＝
10，则 AB 的中点到 x 轴的距离为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
解析： 设 A （ xA ， yA ）、 B （ xB ， yB ），则由抛物线的焦点弦
长公式可得 yA ＋ yB ＋ p ＝10，∴ yA ＋ yB ＝8，则 AB 的中点到 x 轴的
距离 4.故选C.
4. （多选）平面内到定点 F （0，1）和到定直线 l ： y ＝－1的距离相
等的动点的轨迹为曲线 C . 则（ ）
A. 曲线 C 的方程为 x2＝4 y
B. 曲线 C 关于 y 轴对称
C. 当点 P （ x ， y ）在曲线 C 上时， y ≥2
D. 当点 P 在曲线 C 上时，点 P 到直线 l 的距离 d ≥2
解析： 由抛物线定义，知曲线 C 是以 F 为焦点，直线 l 为准线
的抛物线，其方程为 x2＝4 y ，故A正确；若点（ x ， y ）在曲线 C
上，则点（－ x ， y ）也在曲线 C 上，故曲线 C 关于 y 轴对称，故B
正确；由 x2＝4 y 知 y ≥0，故C错误；点 P 到直线 l 的距离 d ≥1，所
以D错误.故选A、B.
5. 顶点在原点，对称轴为 y 轴且经过点（4，1）的抛物线的准线与对
称轴的交点坐标是 .
解析：设抛物线的方程为 x2＝2 py （ p ＞0），则有42＝2 p ·1，即2 p
＝16，于是抛物线的方程为 x2＝16 y ，其准线为 y ＝－4，准线与对
称轴的交点坐标是（0，－4）.
（0，－4）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P （－4，－2）的抛物线的
标准方程为（ ）
A. y2＝－ x
B. x2＝－8 y
C. y2＝－8 x 或 x2＝－ y
D. y2＝－ x 或 x2＝－8 y
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解析： 若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2＝ ax ，将点 P （－
4，－2）的坐标代入，得 a ＝－1，所以抛物线的标准方程为 y2＝－
x .若焦点在 y 轴上，设方程为 x2＝ by ，将点 P （－4，－2）的坐标
代入，得 b ＝－8，所以抛物线的标准方程为 x2＝－8 y .故所求抛物
线的标准方程是 y2＝－ x 或 x2＝－8 y .
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2. 设过抛物线 x2＝2 py （ p ＞0）的焦点的弦为 AB ，则｜ AB ｜的最小
值为（ ）
A. B. p
C. 2 p D. 无法确定
解析： 由题意知， AB ⊥ y 轴，故其最小值为2 p .
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3. 已知抛物线 C1： x2＝2 py （ p ＞0）的焦点为 F ，点 A 在抛物线 C1
上，且4｜ AF ｜＝3，抛物线 C2： y2＝8 px 的焦点为F'，若点 A 的纵
坐标 ｜FF'｜＝（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 因为4｜ AF ｜＝3，所 p .所以 C1： x2＝ y ， C2： y2＝4 x ， F （0 ）， F '（1，0），所以｜ FF '｜ .故选B.
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4. A ， B 是抛物线 x2＝2 y 上的两点， O 为坐标原点.若｜ OA ｜＝｜
OB ｜，且△ AOB 的面积为12 AOB ＝（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
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解析： 如图，∵｜ OA ｜＝｜ OB ｜，知 A ， B 两点关于 y 轴对称，设 A （－ a ）， B （ a ），
∴ S△ AOB 2 a 12 a ＝2
∴ B （2 6），∴tan θ
∴θ＝30°，∴∠ AOB ＝2θ＝60°.故选C.
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5. （多选）已知 F 是抛物线 C ： y2＝16 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM
的延长线交 y 轴于点 N . 若 M 为 FN 的中点，则（ ）
A. C 的准线方程为 x ＝－4
B. F 点的坐标为（0，4）
C. ｜ FN ｜＝12
D. △ ONF 的面积为16 O 为坐标原点）
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解析： 如图，不妨设点 M 位于第一象限，
设抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 F '，作 MB ⊥ l 于
点 B ， NA ⊥ l 于点 A . 由抛物线的解析式可得准线
方程为 x ＝－4， F 点的坐标为（4，0），则｜
AN ｜＝4，｜ FF '｜＝8，在直角梯形 ANFF '中，
中位线｜ BM ｜ 6，由抛物线的定义有｜ MF ｜＝｜ MB ｜＝6，结合题意，有｜ MN ｜＝｜ MF ｜＝6，故｜ FN ｜＝｜ FM ｜＋｜ NM ｜＝6＋6＝12，｜ ON ｜
8 S△ ONF 8 4＝16 .故选A、C、D.
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6. 若三个点 M （3，2 N （2，2 Q （3，－2
y2＝2 px 上，则该抛物线的方程为
.
解析：由抛物线的对称性知 M （3，2 Q （3，－2 y2
＝2 px 上，∴6 p ＝24，可得 p ＝4，即抛物线的方程为 y2＝8 x .
y2
＝8 x
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7. 已知点 A （0，5），过抛物线 x2＝12 y 上一点 P 作 y ＝－3的垂线，
垂足为 B ，若｜ PB ｜＝｜ PA ｜，则｜ PB ｜＝ .
解析：设 P （ x ， y ），由｜ PB ｜＝｜ PA ｜，可得 y ＋3
x2－16 y ＋16＝0，又 x2＝12 y ，代入可得 y ＝4.
所以｜ PB ｜＝ y ＋3＝7.
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8. 已知抛物线 C ： x2＝ ay （ a ＞0）上一点 P （2 a ，4 a ）到焦点 F 的
距离为17，则直线 PF 的方程为 .
解析：抛物线 C ： x2＝ ay （ a ＞0）上一点 P （2 a ，4 a ）到焦点 F
的距离为17，可得17＝4 a a ＝4，抛物线方程为 x2
＝4 y ，则 F （0，1）， P （8，16）， kPF PF
的方程为 y x ＋1.
y x ＋1
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9. 已知点 P （1， m ）是抛物线 C ： y2＝2 px 上的点， F 为抛物线的焦
点，且｜ PF ｜＝2，直线 l ： y ＝ k （ x －1）与抛物线 C 相交于不同
的两点 A ， B .
（1）求抛物线 C 的方程；
解：抛物线 C ： y2＝2 px 的准线为 x ＝
由｜ PF ｜＝2得1 2，得 p ＝2.
∴抛物线的方程为 y2＝4 x .
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（2）若｜ AB ｜＝8，求 k 的值.
解：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
由
可得 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0，Δ＝16 k2＋16＞0，
∴ x1＋ x2 .
∵直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F ，
∴｜ AB ｜＝ x1＋ x2＋ p 2＝8，
解得 k ＝±1，
∴ k 的值为1或－1.
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10. 过抛物线 C ： y2＝6 x 的焦点且垂直于 x 轴的直线被双曲线 E
y2＝1（ a ＞0）所截得线段长度为2
A. B.
C. D.
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解析： 抛物线 C ： y2＝6 x 的焦点为（ 0），令 x
y ＝ 2 2 a b ＝1，所以 c e .故选D.
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11. 在抛物线 y2＝－4 x 上有一点 P ， P 到椭 1左顶点的距
离最小，这个最小值为（ ）
A. 2 B. 2
C. D. 2
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解析： 设 P （ x ， y ），椭 1左顶点为（－4，
0），所以 P 到椭 1左顶点的距离为 d y2＝－4 x ，所以 d 2 x ＝－2时取等号，即 P 到椭 1左顶点的距离最小值为2 .故选A.
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12. 设抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F ，直线 l 与抛物线 C 交
于不同的两点 A ， B ，线段 AB 的中点 M 的横坐标为2，且｜ AF ｜
＋｜ BF ｜＝6.
（1）求抛物线 C 的标准方程；
解：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则线段 AB 中点 M 的横坐标 x 2，∴ x1＋ x2＝4，
∴｜ AF ｜＋｜ BF ｜＝ x1＋ x2＋ p ＝4＋ p ＝6，解得 p ＝2，
∴抛物线的标准方程为 y2＝4 x .
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（2）若直线 l （斜率存在）经过焦点 F ，求直线 l 的方程.
解：由（1）可知抛物线的焦点坐标为 F （1，0），
故设直线方程为 y ＝ k （ x －1）， k ≠0，
联立方程组为 k2 x2－（2 k2＋4） x ＋ k2＝0，
∴ x1＋ x2 4，解得 k ＝
∴直线 l 的方程 y ＝ x －1）.
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13. 已知直线 l 的斜率为 k ，它与抛物线 y2＝4 x 相交于 A ， B 两点， F
为抛物线的焦点 3 ｜ k ｜＝（ ）
A.2 B.
C. D.
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解析： 3 A ， B ， F 三点
共线.设 A 在第一象限，如图，分别过 A ， B
作 AM ⊥准线于 M ， BN ⊥准线于 N ，过 B 作
BE ⊥ AM 于 E ，根据抛物线定义 3
｜ AF ｜＝｜ AM ｜＝3 m ，则｜
BN ｜＝｜ BF ｜＝ m ，故｜ AB ｜＝4 m ，｜
AE ｜＝2 m ，∴∠ BAE ＝60°， k A
在第四象限时，同理，可得 k ＝ B.
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14. 已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点 F 到准线的距离为2.
（1）求 C 的方程；
解：由抛物线的定义可知，焦点 F 到准线的距离为 p ，
故 p ＝2，
所以 C 的方程为 y2＝4 x .
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（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满 9
OQ 斜率的最大值.
解：由（1）知 F （1，0），设 P （ x1， y1）， Q
（ x2， y2）， x2－ x1， y2－ y1） 1－ x2，－ y2），因 9 所以又点 P 在抛物线 C 上，所 4 x1，即（10 y2）2＝4（10 x2－9），化简 x2 Q 的轨迹方程为 y2 x .
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设直线 OQ 的方程为 y ＝ kx ，易知当直线 OQ 与曲线 y2 x
联立 y ＝ kx 与 y2 x k2 x2 x 0，
令Δ＝（ ）2－4 k2· 0，解得 k ＝
所以直线 OQ 斜率的最大值 .
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