2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
1.不论k为何值，直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A.（0，1]
B.[1，＋∞）
C.[1，6）∪（6，＋∞）
D.（－∞，0）∪[1，＋∞）
2.在抛物线y＝x2上，到直线2x－y－4＝0的距离最小的点的坐标为（ ）
A. B.
C.（1，1） D.（2，4）
3.过双曲线C：－y2＝1左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为45°的直线与双曲线C相交于x轴上方P1，P2两点，则｜P1F1｜＋｜P2F2｜＝（ ）
A. B.2
C.2 D.4
4.（2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝（ ）
A. B.
C.－ D.－
5.（多选）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点在抛物线上.则（ ）
A.p＝1
B.当AB⊥y轴时，｜AB｜＝4
C.＋为定值1
D.若＝2，则直线AB的斜率为±
6.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 .
7.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是 .
8.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若｜AF1｜＝3｜F1B｜，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 .
9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），离心率e＝，虚轴长为2.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（1，1）能否作直线l，使直线l与双曲线C交于A，B两点，且点P为弦AB的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
10.已知抛物线y2＝4x上两点A，B满足·＝5（O为坐标原点），且A，B分处对称轴的两侧，则直线AB过定点（ ）
A.（5，0） B.（1，0）
C.（3，0） D.（2，0）
11.设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线MA的斜率k1＝2，则MB的斜率k2＝（ ）
A.－24 B.－
C.24 D.
12.已知圆O：x2＋y2＝2，椭圆C：＋＝1（a＞b＞）的离心率为，P是C上的一点，A是圆O上的一点，｜PA｜的最大值为＋.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点M是C上异于P的一点，PM与圆O相切于点N，证明：｜PO｜2＝｜PM｜·｜PN｜.
13.已知椭圆＋＝1上存在关于直线y＝2x＋m对称的点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
14.已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，Q是抛物线上的点，点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）假设直线l通过点M（3，1），与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，求直线l的方程.
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
1.C 直线y＝kx＋1过定点P（0，1），则由题意≤1，又m＞0，所以m≥1，方程表示椭圆，m≠6.故选C.
2.C 设P（x，y）是到直线2x－y－4＝0的距离最小的点，由点到直线的距离公式得d＝，又∵P（x，y）在抛物线上，∴y＝x2，∴d＝＝｜（x－1）2＋3｜.∵当x＝1时，y＝1，dmin＝，∴P（1，1）.
3.C F1（－2，0），则P1F1的方程为y＝x＋2，联立方程解得y＝－1（舍去负值），故｜P1F1｜＝＝＝y＝－；同理可得｜P2F2｜＝＋，故｜P1F1｜＋｜P2F2｜＝2.故选C.
4.C 由题意，F1（－，0），F2（，0），△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3（舍去），故选C.
5.BCD 对于选项A，将点代入抛物线方程，可得p＝2，故错误；
对于选项B，焦点F（0，1），点（2，1）在抛物线上，可得｜AB｜＝4，故正确；
对于选项C，设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程消去y后整理为x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝4k2＋2，y1y2＝＝1，｜AF｜＝y1＋1，｜BF｜＝y2＋1，有＋＝＋＝＝＝1，故正确；
对于选项D，有（－x1，1－y1）＝2（x2，y2－1），可得2x2＝－x1，由有解得k＝±，故正确.故选B、C、D.
6.0或1 解析：由得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0.若k＝0，则y＝2，x＝，符合题意.若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1.
7.[2，＋∞） 解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2.
8.x2＋y2＝1 解析：如图所示，设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，则可设A（c，b2），B（x0，y0）.由｜AF1｜＝3｜F1B｜，可得＝3，故
即代入椭圆方程，可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
9.解：（1）∵e＝＝，2b＝2，∴c＝a，b＝.
∵c2＝a2＋b2，∴3a2＝a2＋2.∴a2＝1.
∴双曲线C的标准方程为x2－＝1.
（2）假设以定点P（1，1）为中点的弦存在，
设以定点P（1，1）为中点的弦的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝2.
由A，B在双曲线上，可得两式相减可得以定点P（1，1）为中点的弦所在的直线斜率为k＝＝＝2，
则以定点P（1，1）为中点的弦所在的直线方程为y－1＝2（x－1）.即为y＝2x－1，
代入双曲线的方程可得2x2－4x＋3＝0，
由Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，
所以不存在这样的直线l.
10.A 设A，B，则lAB：x＝·（y－y1）＋.即x＝y－，又因为·＝＋y1y2＝5，解得y1y2＝4（舍）或y1y2＝－20，即直线AB的方程为x＝y＋5，则直线过点（5，0），故选A.
11.D 由题意可得e＝＝，即有b＝＝＝a，设M（s，t），A（m，n），则B（－m，－n），则－＝1，－＝1，两式相减可得＝，即有＝＝，从而可得k1k2＝·＝＝，因为k1＝2，所以k2＝.故选D.
12.解：（1）｜PA｜≤｜PO｜＋｜OA｜≤a＋＝＋，所以a＝，
设C的焦距是2c，则＝，解得c＝，则b2＝a2－c2＝3，
所以C的方程是＋＝1.
（2）证明：①当直线PM斜率不存在时，PM的方程为x＝或x＝－.
当x＝时，P（，），M（，－），此时·＝0，即OP⊥OM；
当x＝－时，同理可得OP⊥OM.
②当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.
因为直线与圆相切，所以＝，即m2＝2k2＋2.
联立得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0.
设P（x1，y1），M（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝（1＋k2）×＋km×＋m2＝，
代入m2＝2k2＋2整理可得·＝0，即OP⊥OM.
综上，OP⊥OM，又PM与圆O相切于点N，所以ON⊥PM，易得△PON∽△PMO，
所以＝，即｜PO｜2＝｜PM｜·｜PN｜.
13.C 设椭圆上关于直线y＝2x＋m对称的两点分别为C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为G（x0，y0），直线CD的方程为y＝－x＋n，联立直线CD与椭圆的方程，得消元可得x2－nx＋n2－3＝0，∴Δ＝n2－4（n2－3）＝12－3n2＞0，x1＋x2＝n，∴n2＜4，x0＝，∴y0＝－x0＋n＝n，∴G，又∵点G在直线y＝2x＋m上，∴n＝2×＋m，∴n＝－4m，∴（－4m）2＜4，解得－＜m＜，∴实数m的取值范围为.故选C.
14.解：（1）由已知，可设抛物线的方程为y2＝2px，又Q到焦点F的距离是1，
∴点Q到准线的距离是1，又Q到y轴的距离是，
∴＝1－，解得p＝，则抛物线方程是y2＝x.
（2）假设直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，与y2＝x联立可得交点A，B的坐标分别为，，易得·＝，可知直线OA与直线OB不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线l的斜率存在.设直线l为y－1＝k（x－3），整理得y＝kx－3k＋1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程得
消去y，并整理得k2x2－（6k2－2k＋）x＋9k2－6k＋1＝0，于是x1·x2＝，
x1＋x2＝，
∴y1·y2＝（kx1－3k＋1）（kx2－3k＋1）＝k2x1x2－k（3k－1）（x1＋x2）＋（3k＋1）2＝，
又OA⊥OB，因此·＝0，即x1·x2＋y1·y2＝0，
∴＋＝0，
解得k＝或k＝2.
当k＝时，直线l的方程是y＝x，不满足OA⊥OB，舍去.
当k＝2时，直线l的方程是y－1＝2（x－3），即2x－y－5＝0，
∴直线l的方程是2x－y－5＝0.
2 / 22.8 直线与圆锥曲线的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.直线与圆锥曲线的位置关系 直观想象
2.弦长、存在性、探索性问题，直线与圆锥曲线的定点与定值，最值与范围问题 数学运算
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题.
【问题】 （1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？
（2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？
知识点 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定
（1）代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点
a＝0 b＝0 无解（含l是双曲线的渐近线）
b≠0 有一解（含l与抛物线的对称轴平行（重合）或与双曲线的渐近线平行）
a≠0 Δ＞0 两个 的解
Δ＝0 两个相等的解
Δ＜0 无实数解
（2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.
2.直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则
｜AB｜＝｜x1－x2｜
＝
＝｜y1－y2｜
＝.
【想一想】
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
1.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.过点（2，4）的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.过双曲线－＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为 .
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 （链接教科书第168页例2、第169页例3、第170页例4）对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系.
尝试解答
通性通法
判断直线与圆锥曲线的位置关系，通过解直线方程与曲线方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ＞0 直线与曲线相交；
Δ＝0 直线与曲线相切；
Δ＜0 直线与曲线相离.
【跟踪训练】
1.“直线l和曲线C只有一个交点”是“l与C相切”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.直线l：y＝k（x＋）与曲线C：x2－y2＝1（x＜0）交于P，Q两点，l的倾斜角的取值范围为 .
题型二 弦长及中点弦问题
【例2】 （链接教科书第168页例1）已知点P（4，2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长.
通性通法
解决椭圆中点弦问题的两种方法
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上的两个不同的点，M（x0，y0）是线段AB的中点，
则
由①－②，得（－）＋（－）＝0，变形得＝－·＝－·，即kAB＝－.
【跟踪训练】
1.若过抛物线C：y2＝4x的焦点且斜率为2的直线与C交于A，B两点，则线段AB的长为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
2.直线y＝x＋1与双曲线x2－＝1相交于A，B，则AB中点P的坐标为 .
题型三 直线与圆锥曲线的综合问题
【例3】 已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）经过点P（2，）.
（1）求抛物线E的方程；
（2）若直线l：y＝kx＋m（km＜0）与抛物线E相交于A，B两点，且·＝4，证明：直线l过定点.
尝试解答
通性通法
解析几何中的“设而不求，整体代换”策略
“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（1）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（2）根据题意，整体消参或整体代入等.
【跟踪训练】
若椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程.
1.直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是（ ）
A. B.－
C.± D.±
2.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点在直线x＋y－1＝0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A.12 B.14
C.16 D.18
3.过椭圆＋＝1（a＞b＞0）左焦点F作x轴的垂线，交椭圆于P，Q两点，A是椭圆与
x轴正半轴的交点，且｜PQ｜＝｜FA｜，则该椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）下列直线过点A（0，1）且与双曲线x2－＝1只有一个公共点的是（ ）
A.2x－y＋1＝0
B.3x－y＋1＝0
C.x－y＋1＝0
D.4x－y＋1＝0
5.若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p的值是 .
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.（1）无交点 一个交点 不相等 两个交点 一个交点 无交点
想一想
提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交.
自我诊断
1.A 直线y＝kx－k＋1＝k（x－1）＋1恒过定点（1，1），又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
2.B 因为点（2，4）在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B.
3. 解析：设弦的两端点A（c，y0），B（c，－y0），y0＞0，a2＝3.b2＝4，∴c2＝7，c＝，由－＝1，∴y0＝，｜AB｜＝2y0＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：由消去y，得＋（x＋m）2＝1，
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
Δ＝（8m）2－4×5（4m2－4）＝16（5－m2）.
当－＜m＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m＜－或m＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离.
跟踪训练
1.D 若直线l与曲线C只有一个交点，直线l与曲线C不一定相切，比如当直线l与双曲线的渐近线平行时，直线l与该双曲线只有一个交点，但不是相切；反之，若直线l与曲线C相切，直线l与曲线C也不一定只有一个交点.故“直线l与曲线C只有一个交点”是“直线l与曲线C相切”的既不充分也不必要条件.故选D.
2.∪ 解析：曲线C：x2－y2＝1（x＜0）的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝k（x＋）与曲线C交于P，Q两点，所以直线的斜率k＞1或k＜－1，所以直线l的倾斜角α∈，由于直线l的斜率存在，所以α≠，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.
【例2】 解：法一（根与系数关系法） 由题意可设直线l的方程为y－2＝k（x－4），
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有（4k2＋1）x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2）2－36＝0.
所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－（x－4），
即x＋2y－8＝0.
法二（点差法） 设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
所以
两式相减，有（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
即k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
母题探究
解：由本例解可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.
法一 解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
＝.
法二 因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.
所以直线l被椭圆截得的弦长为
×＝.
跟踪训练
1.C 抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），所以直线AB的方程为y＝2x－2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y并整理得x2－3x＋1＝0，所以x1＋x2＝3，｜AB｜＝x1＋x2＋2＝5.故选C.
2. 解析：由得4x2－（x＋1）2－4＝0.化简，得3x2－2x－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝，设P（xP，yP），∴xP＝，yP＝.
【例3】 解：（1）∵抛物线y2＝2px（p＞0）过点P（2，），
∴（）2＝2p×2.∴p＝.∴抛物线E的方程为y2＝3x.
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），由
得k2x2＋（2km－3）x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵·＝4，
∴x1x2＋y1y2＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝＝4.
∴m2＋3km－4k2＝0，∴m＝k或m＝－4k.∵km＜0，∴m＝k舍去.
∴m＝－4k，满足Δ＝－12km＋9＞0.∴直线l的方程为y＝kx－4k＝k（x－4）.
∴直线l必过定点（4，0）.
跟踪训练
解：（1）抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），双曲线x2－y2＝1的焦点为（－，0）或（，0），
依题意可得又c2＝a2－b2，所以a2＝3，所以椭圆方程为＋y2＝1.
（2）根据题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程可得，
消去y得，4x2＋6mx＋3m2－3＝0，得x1＋x2＝－，x1x2＝，
则由相交弦长公式可得｜AB｜＝×＝×，
又由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为d＝＝｜m｜，
所以S△OAB＝·d·｜AB｜＝××｜m｜××＝×≤，
当且仅当m2＝2，即m＝±时，△OAB面积取得最大值为，此时直线l的方程为y＝x±.
随堂检测
1.C 由得，（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ＝（12k）2－4×6×（2＋3k2）＝0，解得k＝±，故选C.
2.C 因为直线x＋y－1＝0与y轴的交点为（0，1），所以抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点坐标为（0，1），设F（0，1），抛物线方程为x2＝4y，所以过焦点且倾斜角为60°的直线方程为y＝x＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得y2－14y＋1＝0，所以y1＋y2＝14，所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16，故选C.
3.A 由题意得｜PQ｜＝，｜FA｜＝a＋c，因为｜PQ｜＝｜FA｜，所以＝a＋c，即2b2＝a2＋ac，即2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝－1舍去，故选A.
4.BC 由直线过点A（0，1），可设直线方程为y＝kx＋1，代入双曲线方程可得（9－k2）x2－2kx－10＝0，当k＝2时，Δ＝36（10－k2）＞0，此时直线与双曲线有两个交点，A错误；当k＝3时，9－k2＝0，此时直线与双曲线只有一个交点，B正确；当k＝时，Δ＝0，此时直线与双曲线相切，此时直线与双曲线只有一个交点，C正确；当k＝4时，Δ＜0，此时直线与双曲线没有交点，D错误；故选B、C.
5.2 解析：设过点（3，1）的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），
则
由①－②得－＝2p（x1－x2），即＝，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB＝＝2，所以p＝y1＋y2＝2.
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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
新课程标准解读 核心素养
1.直线与圆锥曲线的位置关系 直观想象
2.弦长、存在性、探索性问题，直线与圆锥曲线的定点
与定值，最值与范围问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能
激光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我
们要用激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学
习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨
道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题.
【问题】 （1）我们知道，可以用圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r
的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用
几何法判断直线与椭圆的位置关系？
（2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？
知识点 直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
（1）代数法：把圆锥曲线方程 C1与直线方程 l 联立消去 y ，整理得
到关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0.
方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的解 l 与 C1的交点
a
＝0 b ＝0 无解（含 l 是双曲线的渐近线）
b
≠0 有一解（含 l 与抛物线的对称轴平行
（重合）或与双曲线的渐近线平行）
a
≠0 Δ＞
0 两个 的解
Δ＝0 两个相等的解
Δ＜0 无实数解
无交点
一个交点
不相等
两个交点
一个交点
无交点
（2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图
象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.
2. 直线与圆锥曲线的相交弦长问题
设斜率为 k （ k ≠0）的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A ， B 两点， A
（ x1， y1）， B （ x2， y2），则
｜ AB ｜ ｜ x1－ x2｜
｜ y1－ y2｜
.
【想一想】
直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？
提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴
平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双
曲线、抛物线相交.
1. 直线 y ＝ kx － k ＋1与椭 1的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
解析： 直线 y ＝ kx － k ＋1＝ k （ x －1）＋1恒过定点（1，1），
又点（1，1）在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
2. 过点（2，4）的直线与抛物线 y2＝8 x 只有一个公共点，这样的直线
有（ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
解析： 因为点（2，4）在抛物线 y2＝8 x 上，所以过该点与抛物
线相切的直线和过该点与 x 轴平行的直线都与抛物线只有一个公共
点.故选B.
3. 过双曲 1的焦点且与 x 轴垂直的弦的长度为 .
解析：设弦的两端点 A （ c ， y0）， B （ c ，－ y0）， y0＞0， a2＝3.
b2＝4，∴ c2＝7， c 1，∴ y0 ｜ AB ｜＝2
y0 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 （链接教科书第168页例2、第169页例3、第170页例4）对
不同的实数值 m ，讨论直线 y ＝ x ＋ m 与椭 y2＝1的位置关系.
解：由 y ， x ＋ m ）2＝1，
整理得5 x2＋8 mx ＋4 m2－4＝0.
Δ＝（8 m ）2－4×5（4 m2－4）＝16（5－ m2）.
m Δ＞0，直线与椭圆相交；
当 m ＝ m Δ＝0，直线与椭圆相切；
当 m ＜ m Δ＜0，直线与椭圆相离.
通性通法
判断直线与圆锥曲线的位置关系，通过解直线方程与曲线方程组
成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元
二次方程，则
Δ＞0 直线与曲线相交；
Δ＝0 直线与曲线相切；
Δ＜0 直线与曲线相离.
【跟踪训练】
1. “直线 l 和曲线 C 只有一个交点”是“ l 与 C 相切”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 若直线 l 与曲线 C 只有一个交点，直线 l 与曲线 C 不一定
相切，比如当直线 l 与双曲线的渐近线平行时，直线 l 与该双曲线只
有一个交点，但不是相切；反之，若直线 l 与曲线 C 相切，直线 l 与
曲线 C 也不一定只有一个交点.故“直线 l 与曲线 C 只有一个交点”
是“直线 l 与曲线 C 相切”的既不充分也不必要条件.故选D.
2. 直线 l ： y ＝ k （ x C ： x2－ y2＝1（ x ＜0）交于 P ， Q
两点， l 的倾斜角的取值范围为 .
解析：曲线 C ： x2－ y2＝1（ x ＜0）的渐近线方程为 y ＝± x ，直线
l ： y ＝ k （ x C 交于 P ， Q 两点，所以直线的斜率 k ＞
1或 k ＜－1，所以直线 l 的倾斜角α∈（ ），由于直线 l 的斜率
存在，所以α l 的倾斜角的取值范围是（ ）∪
（ ）.
（ ）∪（ ）
题型二 弦长及中点弦问题
【例2】 （链接教科书第168页例1）已知点 P （4，2）是直线 l 被椭
1所截得的线段的中点，求直线 l 的方程.
解：法一（根与系数关系法） 由题意可设直线 l 的方程为 y －2＝ k
（ x －4），
而椭圆的方程可以化为 x2＋4 y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有（4 k2＋1） x2－8 k （4 k －2） x ＋4（4 k －
2）2－36＝0.
所以 x1＋ x2 8，解得 k ＝ .
所以直线 l 的方程为 y －2＝ x －4），
即 x ＋2 y －8＝0.
法二（点差法） 设直线 l 与椭圆的交点为 A （ x1， y1）， B （ x2，
y2），
所以
两式相减，有（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＋4（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝0.
又 x1＋ x2＝8， y1＋ y2＝4，所
即 k ＝ .所以直线 l 的方程为 x ＋2 y －8＝0.
【母题探究】
（变设问）在本例条件下，求直线 l 被椭圆截得的弦长.
解：由本例解可知直线 l 的方程为 x ＋2 y －8＝0，联立椭圆方程得 x2
－8 x ＋14＝0.
法一 解方程得
所以直线 l 被椭圆截得的弦长
.
法二 因为 x1＋ x2＝8， x1 x2＝14.
所以直线 l 被椭圆截得的弦长为
.
通性通法
解决椭圆中点弦问题的两种方法
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去
一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标
公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分
别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关
系，具体如下：已知 A （ x1， y1）， B （ x2， y2）是椭圆 1（ a ＞ b ＞0）上的两个不同的点， M （ x0， y0）是
线段 AB 的中点，
则
由①－②，得 （ ） （ ）＝0，变形得
· · ，即 kAB ＝ .
【跟踪训练】
1. 若过抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点且斜率为2的直线与 C 交于 A ， B 两
点，则线段 AB 的长为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 抛物线 C ： y2＝4 x 的焦点 F （1，0），所以直线 AB 的方
程为 y ＝2 x －2，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由 y 并整理得 x2－3 x ＋1＝0，所以 x1＋ x2＝3，｜ AB ｜＝ x1＋ x2
＋2＝5.故选C.
2. 直线 y ＝ x ＋1与双曲线 x2 1相交于 A ， B ，则 AB 中点 P 的坐
标为 .
解析：由4 x2－（ x ＋1）2－4＝0.化简，得3 x2－2
x －5＝0.设此方程的解为 x1， x2，则有 x1＋ x2 P （ xP ，
yP ），∴ xP yP .
（ ）
题型三 直线与圆锥曲线的综合问题
【例3】 已知抛物线 E ： y2＝2 px （ p ＞0）经过点 P （2 .
（1）求抛物线 E 的方程；
解：∵抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）过点 P （2
∴ 2＝2 p ×2.∴ p .∴抛物线 E 的方程为 y2＝3 x .
（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋ m （ km ＜0）与抛物线 E 相交于 A ， B 两
点， · 4，证明：直线 l 过定点.
解：证明：设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由
k2 x2＋（2 km －3） x ＋ m2＝0，
∴ x1＋ x2 x1 x2 .∵ · 4，
∴ x1 x2＋ y1 y2＝（1＋ k2） x1 x2＋ km （ x1＋ x2）＋ m2 4.
∴ m2＋3 km －4 k2＝0，∴ m ＝ k 或 m ＝－4 k .∵ km ＜0，∴ m ＝ k 舍去.
∴ m ＝－4 k ，满足Δ＝－12 km ＋9＞0.∴直线 l 的方程为 y ＝ kx
－4 k ＝ k （ x －4）.
∴直线 l 必过定点（4，0）.
通性通法
解析几何中的“设而不求，整体代换”策略
“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不
求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：
（1）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（2）根据题意，整体消
参或整体代入等.
【跟踪训练】
若椭圆 E 1（ a ＞ b ＞0）过抛物线 x2＝4 y 的焦点，且与
双曲线 x2－ y2＝1有相同的焦点.
（1）求椭圆 E 的方程；
解：抛物线 x2＝4 y 的焦点为（0，1），双曲线 x2－ y2＝1
的焦点为 0）或 0），
依题意可得 c2＝ a2－ b2，所以 a2＝3，所以椭圆方程
y2＝1.
（2）不过原点 O 的直线 l ： y ＝ x ＋ m 与椭圆 E 交于 A ， B 两点，求△
OAB 面积的最大值以及此时直线 l 的方程.
解：根据题意，设点 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立
直线方程与椭圆方程可得，
消去 y 得，4 x2＋6 mx ＋3 m2－3＝0，得 x1＋ x2＝ x1 x2 则由相交弦长公式可得｜ AB ｜
又由点到直线距离公式可得，点 O 到直线 AB 的距离即为 d ｜ m ｜，
所以 S△ OAB · d ·｜ AB ｜ ｜ m ｜
当且仅当 m2＝2，即 m ＝ △ OAB 面积取得最大值 l 的方程为 y ＝ x .
1. 直线 y ＝ kx ＋2与椭 1有且只有一个交点，则 k 的值是
（ ）
A. B.
解析： 由2＋3 k2） x2＋12 kx ＋6＝0，由题
意知Δ＝（12 k ）2－4×6×（2＋3 k2）＝0，解得 k ＝ C.
C. D.
2. 已知抛物线 C ： x2＝2 py （ p ＞0）的焦点在直线 x ＋ y －1＝0上，又
经过抛物线 C 的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线 C 于 A ， B 两
点，则｜ AB ｜＝（ ）
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
解析： 因为直线 x ＋ y －1＝0与 y 轴的交点为（0，1），所以抛
物线 C ： x2＝2 py （ p ＞0）的焦点坐标为（0，1），设 F （0，
1），抛物线方程为 x2＝4 y ，所以过焦点且倾斜角为60°的直线方程
为 y x ＋1，设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），由
y2－14 y ＋1＝0，所以 y1＋ y2＝14，所以｜ AB ｜＝ y1＋ y2＋ p ＝
14＋2＝16，故选C.
3. 过椭 1（ a ＞ b ＞0）左焦点 F 作 x 轴的垂线，交椭圆于
P ， Q 两点， A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，且｜ PQ ｜＝｜ FA ｜，
则该椭圆的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意得｜ PQ ｜ ｜ FA ｜＝ a ＋ c ，因为｜
PQ ｜＝｜ FA ｜，所 a ＋ c ，即2 b2＝ a2＋ ac ，即2 c2＋ ac －
a2＝0，即2 e2＋ e －1＝0，解得 e e ＝－1舍去，故选A.
4. （多选）下列直线过点 A （0，1）且与双曲线 x2 1只有一个
公共点的是（ ）
A. 2 x － y ＋1＝0 B. 3 x － y ＋1＝0
C. x － y ＋1＝0 D. 4 x － y ＋1＝0
解析： 由直线过点 A （0，1），可设直线方程为 y ＝ kx ＋1，
代入双曲线方程可得（9－ k2） x2－2 kx －10＝0，当 k ＝2时，Δ＝36
（10－ k2）＞0，此时直线与双曲线有两个交点，A错误；当 k ＝3
时，9－ k2＝0，此时直线与双曲线只有一个交点，B正确；当 k Δ＝0，此时直线与双曲线相切，此时直线与双曲线只有一
个交点，C正确；当 k ＝4时，Δ＜0，此时直线与双曲线没有交点，
D错误；故选B、C.
5. 若点（3，1）是抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的一条弦的中点，且这条
弦所在直线的斜率为2，则 p 的值是 .
解析：设过点（3，1）的直线交抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）于 A ， B
两点， A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则
由①－② 2 p （ x1－ x2），
kAB ＝2，且 y1＋ y2＝2，故 kAB 2，所以 p ＝ y1＋ y2＝2.
2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不论 k 为何值，直线 y ＝ kx ＋1与椭 1总有公共点，则实
数 m 的取值范围是（ ）
A. （0，1]
B. [1，＋∞）
C. [1，6）∪（6，＋∞）
D. （－∞，0）∪[1，＋∞）
解析： 直线 y ＝ kx ＋1过定点 P （0，1），则由题 1，又
m ＞0，所以 m ≥1，方程表示椭圆， m ≠6.故选C.
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2. 在抛物线 y ＝ x2上，到直线2 x － y －4＝0的距离最小的点的坐标为
（ ）
A. （ ） B. （ ）
C. （1，1） D. （2，4）
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解析： 设 P （ x ， y ）是到直线2 x － y －4＝0的距离最小的点，
由点到直线的距离公式得 d ∵ P （ x ， y ）在抛物
线上，∴ y ＝ x2，∴ d ｜（ x －1）2＋3｜.∵当 x
＝1时， y ＝1， dmin ∴ P （1，1）.
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3. 过双曲线 C y2＝1左、右焦点 F1， F2分别作倾斜角为45°的直
线与双曲线 C 相交于 x 轴上方 P1， P2两点，则｜ P1 F1｜＋｜ P2 F2｜
＝（ ）
A. B. 2
C. 2 D. 4
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解析： F1（－2，0），则 P1 F1的方程为 y ＝ x ＋2，联立方程
y 1（舍去负值），故｜ P1 F1｜
y ｜ P2 F2｜
｜ P1 F1｜＋｜ P2 F2｜＝2 .故选C.
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4. （2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆 C y2＝1的左、右焦点分别
为 F1， F2，直线 y ＝ x ＋ m 与 C 交于 A ， B 两点，若△ F1 AB 面积是
△ F2 AB 面积的2倍，则 m ＝（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意， F1 0）， F2 0），△ F1 AB 面积
是△ F2 AB 面积的2倍，所以点 F1到直线 AB 的距离是点 F2到直线 AB
的距离的2倍， 2 m ＝ m
＝－3 C.
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5. （多选）已知抛物线 C ： x2＝2 py 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物
线相交于 A ， B 两点，点（ ）在抛物线上.则（ ）
A. p ＝1
B. 当 AB ⊥ y 轴时，｜ AB ｜＝4
C. 1
D. 2 AB 的斜率为
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解析： 对于选项A，将点（ ）代入抛物线方程，可得
p ＝2，故错误；对于选项B，焦点 F （0，1），点（2，1）在抛物线上，可得｜ AB ｜＝4，故正确；对于选项C，设点 A ， B 的坐标分别为（ x1， y1），（ x2， y2），直线 AB 的方程为 y ＝ kx ＋1，联立方程 y 后整理为 x2－4 kx －4＝0，可得 x1＋ x2＝4 k ， x1 x2＝－4， y1＋ y2＝ k （ x1＋ x2）＋2＝4 k2＋2， y1 y2 1，｜ AF ｜
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＝ y1＋1，｜ BF ｜＝ y2＋1， 1，故正确；对于选项D，有（－ x1，1－ y1）＝2（ x2， y2－1），可得2 x2＝－ x1，由 k ＝ .故选B、C、D.
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6. 直线 y ＝ kx ＋2与抛物线 y2＝8 x 有且只有一个公共点，则 k 的值
为 .
解析：由 k2 x2＋（4 k －8） x ＋4＝0.若 k ＝0，则 y
＝2， x .若 k ≠0，则Δ＝0，即64－64 k ＝0，解得 k
＝1，所以直线 y ＝ kx ＋2与抛物线 y2＝8 x 有且只有一个公共点时，
k ＝0或1.
0或1
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7. 已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的右焦点为 F ，若过点 F 且
倾斜角为60°的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲
线的离心率 e 的取值范围是 .
解析：由题意， 3，所以 c2－ a2≥3 a2，即 c2≥4
a2，所以 e2 4，所以 e ≥2.
[2，＋∞）
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8. 设 F1， F2分别是椭圆 E ： x2 1（0＜ b ＜1）的左、右焦点，
过点 F1的直线交椭圆 E 于 A ， B 两点.若｜ AF1｜＝3｜ F1 B ｜，
AF2⊥ x 轴，则椭圆 E 的方程为 .
x2 y2＝1
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解析：如图所示，设 F1（－ c ，0）， F2（ c ，0），其中 c
A （ c ， b2）， B （ x0， y0）.由｜ AF1｜＝3｜ F1
B ｜，可 3
即 b2＝1，解得
b2 x2 1.
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9. 已知双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0），离心率 e 2 .
（1）求双曲线 C 的标准方程；
解：∵ e 2 b ＝2 ∴ c a ， b .
∵ c2＝ a2＋ b2，∴3 a2＝ a2＋2.∴ a2＝1.
∴双曲线 C 的标准方程为 x2 1.
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（2）过点 P （1，1）能否作直线 l ，使直线 l 与双曲线 C 交于 A ， B
两点，且点 P 为弦 AB 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；
若不存在，请说明理由.
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解：假设以定点 P （1，1）为中点的弦存在，
设以定点 P （1，1）为中点的弦的端点坐标为 A （ x1， y1），
B （ x2， y2）（ x1≠ x2），
可得 x1＋ x2＝2， y1＋ y2＝2.
由 A ， B 在双曲线上，可得
P （1，1）为中点的弦所在的直线斜率
为 k 2，
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则以定点 P （1，1）为中点的弦所在的直线方程为 y －1＝2
（ x －1）.即为 y ＝2 x －1，
代入双曲线的方程可得2 x2－4 x ＋3＝0，
由Δ＝（－4）2－4×2×3＝－8＜0，
所以不存在这样的直线 l .
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10. 已知抛物线 y2＝4 x 上两点 A ， B 满 · 5（ O 为坐标原
点），且 A ， B 分处对称轴的两侧，则直线 AB 过定点（ ）
A. （5，0） B. （1，0）
C. （3，0） D. （2，0）
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解析： 设 A （ y1）， B （ y2），则 lAB ： x ·
（ y － y1 .即 x y ·
y1 y2＝5，解得 y1 y2＝4（舍）或 y1 y2＝－20，即直线 AB 的
方程为 x y ＋5，则直线过点（5，0），故选A.
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11. 设双曲线 C 1（ a ＞0， b ＞0）的离心率 A ， B
是双曲线 C 上关于原点对称的两个点， M 是双曲线 C 上异于 A ， B
的动点，直线 MA 的斜率 k1＝2，则 MB 的斜率 k2＝（ ）
A. －24 B.
C. 24 D.
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解析： 由题意可得 e b a ，设 M （ s ， t ）， A （ m ， n ），则 B （－ m ，－ n ）， 1 1，两式相减可 k1 k2 · k1＝2，所以 k2 .故选D.
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12. 已知圆 O ： x2＋ y2＝2，椭圆 C 1（ a ＞ b P 是 C 上的一点， A 是圆 O 上的一点，
｜ PA ｜的最大值 .
（1）求椭圆 C 的方程；
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解｜ PA ｜≤｜ PO ｜＋｜ OA ｜≤ a
a 设 C 的焦距是2 c ， c b2＝ a2－ c2＝3，
所以 C 的方程 1.
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（2）点 M 是 C 上异于 P 的一点， PM 与圆 O 相切于点 N ，证
明：｜ PO ｜2＝｜ PM ｜·｜ PN ｜.
解：证明：①当直线 PM 斜率不存在时， PM 的方
程为 x x ＝ .
当 x P M
· 0，即 OP ⊥ OM ；
当 x ＝ OP ⊥ OM .
②当直线 PM 斜率存在时，设直线 PM 的方程为 y ＝ kx ＋
m ，即 kx － y ＋ m ＝0.
因为直线与圆相切，所 m2＝2 k2＋2.
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联立1＋2 k2） x2＋4 kmx ＋2 m2－
6＝0.
设 P （ x1， y1）， M （ x2， y2），则 x1＋ x2＝
x1 x2
所 · x1 x2＋ y1 y2＝ x1 x2＋（ kx1＋ m ）·（ kx2
＋ m ）＝（1＋ k2） x1 x2＋ km （ x1＋ x2）＋ m2＝（1＋ k2
km ×（ ）＋ m2
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代入 m2＝2 k2＋2整理可 · 0，即 OP ⊥ OM .
综上， OP ⊥ OM ，又 PM 与圆 O 相切于点 N ，所以 ON
⊥ PM ，易得△ PON ∽△ PMO ，
所 ｜ PO ｜2＝｜ PM ｜·｜ PN ｜.
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13. 已知椭 1上存在关于直线 y ＝2 x ＋ m 对称的点，则实
数 m 的取值范围为（ ）
A. ［－1 ］ B. （ ）
C. （ ） D. （ ）
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解析： 设椭圆上关于直线 y ＝2 x ＋ m 对称的两点分别为 C
（ x1， y1）， D （ x2， y2）， CD 的中点为 G （ x0， y0），直线 CD
的方程为 y ＝ x ＋ n ，联立直线 CD 与椭圆的方程，得
x2－ nx ＋ n2－3＝0，∴Δ＝ n2－4（ n2－
3）＝12－3 n2＞0， x1＋ x2＝ n ，∴ n2＜4， x0 ∴ y0＝ x0＋
n n ，∴ G （ n ），又∵点 G 在直线 y ＝2 x ＋ m 上，∴ n
＝2 m ，∴ n ＝－4 m ，∴（－4 m ）2＜4，解 m
∴实数 m 的取值范围为（ ）.故选C.
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14. 已知抛物线的顶点是坐标原点 O ，焦点 F 在 x 轴的正半轴上， Q 是
抛物线上的点，点 Q 到焦点 F 的距离为1，且到 y 轴的距离 .
（1）求抛物线的标准方程；
解：由已知，可设抛物线的方程为 y2＝2 px ，又 Q 到焦
点 F 的距离是1，
∴点 Q 到准线的距离是1，又 Q 到 y 轴的距离
∴ 1 p y2 x .
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（2）假设直线 l 通过点 M （3，1），与抛物线相交于 A ， B 两
点，且 OA ⊥ OB ，求直线 l 的方程.
解：假设直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x
＝3，与 y2 x 联立可得交点 A ， B 的坐标分别为（3 ），（3 ），易 · OA
与直线 OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，
∴直线 l 的斜率存在.设直线 l 为 y －1＝ k （ x －3），整理
得 y ＝ kx －3 k ＋1，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），联立直线 l 与抛物线的
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方程得消去 y ，并整理得 k2 x2－（6 k2－2 k ） x ＋9 k2－6 k ＋1＝0，于是 x1· x2
x1＋ x2
∴ y1· y2＝（ kx1－3 k ＋1）（ kx2－3 k ＋1）＝ k2 x1 x2－ k
（3 k －1）（ x1＋ x2）＋（3 k ＋1）2
又 OA ⊥ OB ，因 · 0，即 x1· x2＋ y1· y2＝0，
∴ 0，解得 k k ＝2.
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当 k l 的方程是 y x ，不满足 OA ⊥ OB ，
舍去.
当 k ＝2时，直线 l 的方程是 y －1＝2（ x －3），即2 x －
y －5＝0，
∴直线 l 的方程是2 x － y －5＝0.
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谢 谢 观 看！
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