一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.对圆锥曲线定义的理解是核心素养中的数学抽象.
培优一 圆锥曲线的定义
【例1】 （1）若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0，a是常数）；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是 .
尝试解答
二、数学运算
数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.本章中直线及圆的方程求解体现了核心素养中的数学运算.
培优二 直线的方程
【例2】 （1）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点B（2，0），C（0，－1），且AB＝AC，则△ABC的欧拉线方程为（ ）
A.4x－2y－3＝0 B.4x＋2y－3＝0
C.4x－2y－5＝0 D.4x＋2y＋3＝0
（2）过点（1，1）且方向向量为v＝（1，－2）的直线方程是 .
尝试解答
培优三 距离问题
【例3】 （1）直线l：4x－y－4＝0与l1：x－2y－2＝0及l2：4x＋3y－12＝0所得两交点的距离为（ ）
A. B.
C.3 D.
（2）已知A（1，12），B（3，4），过点C（－1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，点D（0，1）到直线l2：3x＋4y＋k＝0的距离为d，则实数d的取值范围是 .
尝试解答
培优四 圆的方程
【例4】 已知圆C的标准方程是（x－2）2＋（y－4）2＝k（k＞0），若圆C与y轴交于A，B两点，且点A在点B的上方，圆C与x轴交于E，F两点，且点E在点F的右方，则AE中点M的轨迹方程是（ ）
A.（y－2）2－（x－1）2＝3（x＞1，y＞2＋）
B.（y－2）2－（x－1）2＝3
C.（x－2）2－（y－1）2＝3（x＞1，y＞2＋）
D.（x－2）2－（y－1）2＝3
尝试解答
培优五 圆锥曲线的标准方程
【例5】 （1）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0平行，则双曲线的方程为（ ）
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝4 D.－＝1
（2）如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是（ ）
A.2 B.＋1
C.4 D.4＋2
尝试解答
培优六 圆锥曲线的几何性质
【例6】 （1）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
（2）若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x－4y＋10＝0的距离之和的最小值是（ ）
A.2 B. C. D.3
（3）已知某等轴双曲线过（，2），则该双曲线的标准方程为 .
尝试解答
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段.本章内容中的最值问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.
培优七 弦长与切线问题
【例7】 已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝4，直线l过定点A（1，0）.
（1）若l与圆C相切，求l的方程；
（2）若l与圆C相交于P，Q两点，且｜PQ｜＝2，求此时直线l的方程.
尝试解答
培优八 与圆有关的最值问题
【例8】 （1）P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（ ）
A. B.2
C. D.2
（2）已知点P（x，y）在圆x2＋（y－1）2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为 .
尝试解答
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中利用判断法进行推断.
培优九 两条直线的平行与垂直
【例9】 （1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）已知直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，若l1⊥l2，则a＝（ ）
A.2或 B.或－1
C. D.－1
尝试解答
培优十 直线与圆锥曲线的位置关系
【例10】 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点A（－，0），其右焦点为F（1，0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C上一动点（不在x轴上），M为AP中点，过原点O作AP的平行线，与直线x＝3交于点Q.问：直线OM与FQ斜率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 （1）B （2）－＝1（x≥3）
解析：（1）若点P的轨迹是椭圆，则一定有｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0）；反过来，若｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a＞0），则点P的轨迹可能是线段，也可能不存在.
（2）｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故轨迹方程为－＝1（x≥3）.
【例2】 （1）B （2）2x＋y－3＝0
解析：（1）∵B（2，0），C（0，－1），∴线段BC的中点为M，直线BC的斜率为kBC＝＝，则线段BC的垂直平分线方程为y＋＝－2（x－1），即4x＋2y－3＝0，∵AB＝AC，∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，∴△ABC的欧拉线方程为4x＋2y－3＝0.故选B.
（2）∵直线的方向向量为v＝（1，－2），∴直线的斜率为k＝－2，∵直线过点（1，1），∴直线方程为y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0.
【例3】 （1）D （2）[1，2] 解析：（1）由得即A（，－），由得即B，则｜AB｜＝＝＝.故选D.
（2）∵A（1，12），B（3，4），过点C（－1，0）且斜率为k的直线l1与线段AB相交，直线BC的斜率为＝1，直线AC的斜率为＝6，∴1≤k≤6.点D（0，1）到直线l2：3x＋4y＋k＝0的距离为d＝＝∈[1，2].
【例4】 A 由圆C的标准方程是（x－2）2＋（y－4）2＝k（k＞0），根据题意，令x＝0，可得A（0，4＋），令y＝0，可得E（2＋，0），设AE的中点为M（x，y），可得（其中k＞16），化简消去参数k可得（y－2）2－（x－1）2＝3，又由k＞16，可得x＞1，y＞2＋，故选A.
【例5】 （1）B （2）A 解析：（1）∵双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c＝，又双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0平行，∴－＝－2，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴双曲线的方程为x2－＝1.故选B.
（2）由于△POF2是面积为的正三角形，∴P，∴×c2＝，c＝2，则P（1，），代入椭圆方程得＋＝1，＋＝1，解得b2＝2.故选A.
【例6】 （1）A （2）B （3）y2－x2＝1
解析：（1）由e＝，根据选项中的椭圆的方程，可得的值满足＜＜＜，因为椭圆的离心率越大，椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆＋＝1的离心率最大，故其形状最扁.故选A.
（2） y2－4y＋10＝0，因为Δ＝16－4××10＜0，所以直线3x－4y＋10＝0与抛物线y2＝4x相离.所以P到准线l的距离与P到直线3x－4y＋10＝0的距离之和的最小值为抛物线y2＝4x的焦点（1，0）到直线3x－4y＋10＝0的距离，d＝＝.故选B.
（3）设等轴双曲线为x2－y2＝λ，因为双曲线过点（，2），所以λ＝－1，所以双曲线标准方程为y2－x2＝1.
【例7】 解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l：x＝1，符合题意.
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－1），
即kx－y－k＝0.
由题意知，圆心（3，4）到直线l的距离等于2，即＝2，解得k＝，此时直线l的方程为3x－4y－3＝0.
综上可得，所求直线l的方程是x＝1或3x－4y－3＝0.
（2）由直线l与圆C相交可知，直线l的斜率必定存在，且不为0，设直线l的方程为k0x－y－k0＝0，圆心（3，4）到直线l的距离为d，
因为｜PQ｜＝2＝2，所以d＝，
即＝，解得k0＝1或k0＝7，
所以所求直线l的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
【例8】 （1）C （2），－ 解析：（1）圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1，圆心C（1，1），半径r＝1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC＝2××｜PA｜×r＝｜PA｜＝＝.要使四边形PACB的面积最小，则只需｜PC｜最小，最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，所以四边形PACB面积的最小值为＝，故选C.
（2）设＝k，则k表示点P（x，y）与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值.由＝1，解得k＝±.
【例9】 （1）C （2）B 解析：（1）当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立.
（2）因为直线l1：2ax＋（a＋1）y＋1＝0，l2：（a＋1）x＋（a－1）y＝0，l1⊥l2，所以2a（a＋1）＋（a＋1）（a－1）＝0，解得a＝或a＝－1.故选B.
【例10】 解：（1）因为椭圆C：＋＝1过点A（－，0），其右焦点为F（1，0），
所以即a2＝3，c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），则M，
所以kAP＝，所以过原点O与AP平行的直线方程为y＝x，所以Q，所以kOM＝，
kFQ＝＝，
所以kOM·kFQ＝·＝，
因为＋＝1，
故＝1－＝，
所以kOM·kFQ＝－1，
所以直线OM与FQ斜率的乘积为定值－1.
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章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.数学抽
象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.对
圆锥曲线定义的理解是核心素养中的数学抽象.
培优一 圆锥曲线的定义
【例1】 （1）若命题甲：动点 P 到两定点 A ， B 的距离之和｜ PA ｜
＋｜ PB ｜＝2 a （ a ＞0， a 是常数）；命题乙：点 P 的轨迹是椭圆，
则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：若点 P 的轨迹是椭圆，则一定有｜ PA ｜＋｜ PB ｜
＝2 a （ a ＞0）；反过来，若｜ PA ｜＋｜ PB ｜＝2 a （ a ＞
0），则点 P 的轨迹可能是线段，也可能不存在.
（2）平面内有两个定点 F1（－5，0）和 F2（5，0），动点 P 满足｜
PF1｜－｜ PF2｜＝6，则动点 P 的轨迹方程是 1（ x
.
解析： ｜ PF1｜－｜ PF2｜＝6＜｜ F1 F2｜＝10，根据双曲线的定
义可知点 P 的轨迹为双曲线的右支，且 a ＝3， c ＝5，故 b2＝
16，故轨迹方程 1（ x ≥3）.
1（ x
≥3）
二、数学运算
数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是
得到数学结果的重要手段.本章中直线及圆的方程求解体现了核心素养
中的数学运算.
培优二 直线的方程
【例2】 （1）数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂
心位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一
半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ ABC 的顶点 B
（2，0）， C （0，－1），且 AB ＝ AC ，则△ ABC 的欧拉线方程为
（ ）
A. 4 x －2 y －3＝0 B. 4 x ＋2 y －3＝0
C. 4 x －2 y －5＝0 D. 4 x ＋2 y ＋3＝0
解析：∵ B （2，0）， C （0，－1），∴线段 BC 的中点
为 M （1 ），直线 BC 的斜率为 kBC BC
的垂直平分线方程为 y 2（ x －1），即4 x ＋2 y －3＝0，
∵ AB ＝ AC ，∴△ ABC 的外心、重心、垂心都在线段 BC 的垂直
平分线上，∴△ ABC 的欧拉线方程为4 x ＋2 y －3＝0.故选B.
（2）过点（1，1）且方向向量为 v ＝（1，－2）的直线方程是
.
解析： ∵直线的方向向量为 v ＝（1，－2），∴直线的斜率为 k
＝－2，∵直线过点（1，1），∴直线方程为 y －1＝－2（ x －
1），即2 x ＋ y －3＝0.
2 x
＋ y －3＝0
培优三 距离问题
【例3】 （1）直线 l ：4 x － y －4＝0与 l1： x －2 y －2＝0及 l2：4 x ＋
3 y －12＝0所得两交点的距离为（ ）
A. B.
C. 3 D.
解析：由 A （ ），由 B （ 2），则｜ AB ｜ .故选D.
解析： ∵ A （1，12）， B （3，4），过点 C （－1，0）且斜率为
k 的直线 l1与线段 AB 相交，直线 BC 的斜率 1，直线 AC
的斜率 6，∴1≤ k ≤6.点 D （0，1）到直线 l2：3 x ＋4 y
＋ k ＝0的距离为 d 1，2].
（2）已知 A （1，12）， B （3，4），过点 C （－1，0）且斜率为 k
的直线 l1与线段 AB 相交，点 D （0，1）到直线 l2：3 x ＋4 y ＋ k
＝0的距离为 d ，则实数 d 的取值范围是 .
[1，2]
培优四 圆的方程
【例4】 已知圆 C 的标准方程是（ x －2）2＋（ y －4）2＝ k （ k ＞
0），若圆 C 与 y 轴交于 A ， B 两点，且点 A 在点 B 的上方，圆 C 与 x 轴
交于 E ， F 两点，且点 E 在点 F 的右方，则 AE 中点 M 的轨迹方程是
（ ）
A. （ y －2）2－（ x －1）2＝3（ x ＞1， y ＞2
B. （ y －2）2－（ x －1）2＝3
C. （ x －2）2－（ y －1）2＝3（ x ＞1， y ＞2
D. （ x －2）2－（ y －1）2＝3
解析： 由圆 C 的标准方程是（ x －2）2＋（ y －4）2＝ k （ k ＞
0），根据题意，令 x ＝0，可得 A （0，4 y ＝0，可得
E （2 0），设 AE 的中点为 M （ x ， y ），可得
k ＞16），化简消去参数 k 可得（ y －2）2－
（ x －1）2＝3，又由 k ＞16，可得 x ＞1， y ＞2 A.
培优五 圆锥曲线的标准方程
【例5】 （1）已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为2
2 x ＋ y ＝0平行，则双曲线的方程
为（ ）
A. y2＝1 B. x2 1
C. 4 D. 1
解析：∵双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的焦距为2
∴ c 2 x ＋ y ＝0平行，
∴ 2，∴ b ＝2 a ，∵ c2＝ a2＋ b2，∴ a ＝1， b ＝2，∴双
曲线的方程为 x2 1.故选B.
（2）如图， F1， F2分别为椭 1（ a ＞ b ＞0）的左右焦
点，点 P 在椭圆上，△ POF2是面积 b2的值
是（ ）
A. 2 B. 1
C. 4 D. 4＋2
解析：由于△ POF2是面积 ∴ P （ c
c ），∴ c2 c ＝2，则 P （1 1 1，解得 b2＝2 .故选A.
培优六 圆锥曲线的几何性质
【例6】 （1）下列四个椭圆中，形状最扁的是（ ）
A. 1 B. 1
C. 1 D. 1
解析：由 e
1的离心率最大，故其形状最扁.故选A.
（2）若抛物线 y2＝4 x 的准线为 l ， P 是抛物线上任意一点，则 P 到准
线 l 的距离与 P 到直线3 x －4 y ＋10＝0的距离之和的最小值是
（ ）
A. 2 B.
C. D. 3
解析： y2－4 y ＋10＝0，因为Δ＝16－4 10＜0，所以直线3 x －4 y ＋10＝0与抛物线 y2＝4 x 相离.所以
P 到准线 l 的距离与 P 到直线3 x －4 y ＋10＝0的距离之和的最小
值为抛物线 y2＝4 x 的焦点（1，0）到直线3 x －4 y ＋10＝0的距
离， d .故选B.
（3）已知某等轴双曲线过 2），则该双曲线的标准方程
为 .
y2－ x2＝1
解析：设等轴双曲线为 x2－ y2＝λ，因为双曲线过点 2），
所以λ＝－1，所以双曲线标准方程为 y2－ x2＝1.
三、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手
段.本章内容中的最值问题就是利用图形描述、分析数学问题；建立形
与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.
培优七 弦长与切线问题
【例7】 已知圆 C ：（ x －3）2＋（ y －4）2＝4，直线 l 过定点 A
（1，0）.
（1）若 l 与圆 C 相切，求 l 的方程；
解：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l ： x ＝1，符合题意.
若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝ k （ x －1），
即 kx － y － k ＝0.
由题意知，圆心（3，4）到直线 l 的距离等于2，
2，解得 k l 的方程为3 x －4 y －3＝0.
综上可得，所求直线 l 的方程是 x ＝1或3 x －4 y －3＝0.
（2）若 l 与圆 C 相交于 P ， Q 两点，且｜ PQ ｜＝2 l
的方程.
解：由直线 l 与圆 C 相交可知，直线 l 的斜率必定存在，且
不为0，设直线 l 的方程为 k0 x － y － k0＝0，圆心（3，4）到直线
l 的距离为 d ，
因为｜ PQ ｜＝2 2 d
k0＝1或 k0＝7，
所以所求直线 l 的方程为 x － y －1＝0或7 x － y －7＝0.
培优八 与圆有关的最值问题
【例8】 （1） P 是直线 l ：3 x －4 y ＋11＝0上的动点， PA ， PB 是圆
x2＋ y2－2 x －2 y ＋1＝0的两条切线， C 是圆心，那么四边形 PACB 面
积的最小值是（ ）
A. B. 2
C. D. 2
解析：圆的标准方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝1，圆心
C （1，1），半径 r ＝1.根据对称性可知四边形 PACB 的面积等于
2 S△ APC ＝2 ｜ PA ｜× r ＝｜ PA ｜ .要使四边形 PACB 的面积最小，则只需｜ PC ｜最
小，最小值为圆心 C 到直线 l ：3 x －4 y ＋11＝0的距离 d 2，所以四边形 PACB 面积的最小值 C.
解析： k ，则 k 表示点 P （ x ， y ）与点（2，1）连线的
斜率.当该直线与圆相切时， k 取得最大值与最小值.
1，解得 k ＝ .
（2）已知点 P （ x ， y ）在圆 x2＋（ y －1）2＝1上运动， .
四、逻辑推理
在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问
题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲
线位置关系中利用判断法进行推断.
培优九 两条直线的平行与垂直
【例9】 （1）设不同直线 l1：2 x － my －1＝0， l2：（ m －1）· x － y
＋1＝0，则“ m ＝2”是“ l1∥ l2”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：当 m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平
行，即充分性成立.当 l1∥ l2时，显然 m ≠0，从而 m －
1，解得 m ＝2或 m ＝－1，但当 m ＝－1时，两直线重合，不合
要求，故必要性成立.
（2）已知直线 l1：2 ax ＋（ a ＋1） y ＋1＝0， l2：（ a ＋1） x ＋（ a
－1） y ＝0，若 l1⊥ l2，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 1
C. D. －1
解析：因为直线 l1：2 ax ＋（ a ＋1） y ＋1＝0， l2：（ a ＋1） x ＋
（ a －1） y ＝0， l1⊥ l2，所以2 a （ a ＋1）＋（ a ＋1）（ a －
1）＝0，解得 a a ＝－1.故选B.
培优十 直线与圆锥曲线的位置关系
【例10】 已知椭圆 C 1（ a ＞ b ＞0）过点 A （
0），其右焦点为 F （1，0）.
（1）求椭圆 C 的方程；
解：因为椭圆 C 1过点 A 0），其右
焦点为 F （1，0），
所以 a2＝3， c ＝1，所以 b2＝ a2－ c2＝2，
所以椭圆方程 1.
（2）设 P 为椭圆 C 上一动点（不在 x 轴上）， M 为 AP 中点，过原点
O 作 AP 的平行线，与直线 x ＝3交于点 Q . 问：直线 OM 与 FQ 斜
率的乘积是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，请
说明理由.
解：设 P （ x0， y0）（ y0≠0），则 M （ ），
所以 kAP O 与 AP 平行的直线方程为 y x ，
所以 Q （3 ），所以 kOM kFQ
所以 kOM · kFQ ·
因 1， 1
所以 kOM · kFQ ＝－1，
所以直线 OM 与 FQ 斜率的乘积为定值－1.
谢 谢 观 看！
