章末检测（二） 平面解析几何
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.方程（x－y）ln x＝0所表示的曲线为（ ）
A.射线x－y＝0（x＞0） B.直线x＝1
C.射线x－y＝0（x＞0）和直线x＝1 D.无法确定
2.已知直线l的倾斜角为45°，且过点（1，2），则在直线上的点是（ ）
A.（0，1） B.（－2，3） C.（3，3） D.（3，2）
3.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2＝1内切，则此圆的方程为（ ）
A.（x－4）2＋（y－6）2＝6 B.（x±4）2＋（y－6）2＝6
C.（x－4）2＋（y－6）2＝36 D.（x±4）2＋（y－6）2＝36
4.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A.x2－y2＝1 B.x2－y2＝2 C.x2－y2＝ D.x2－y2＝
5.已知△ABC的三个顶点分别为A（－5，0），B（2，4），C（0，2），则BC边上的高所在直线的方程为（ ）
A.y＝－x－5 B.y＝－x＋5 C.y＝x＋5 D.y＝x－5
6.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是（ ）
A.y2＝x B.y2＝x C.x2＝－y D.x2＝－y
7.已知圆C1：（x－2）2＋（y－3）2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y－4）2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为（ ）
A.5－4 B.－1 C.6－2 D.
8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），F1，F2为C的左、右焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内心I（s，1），若△PF1F2的面积为3b，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知直线y＝x与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）无公共点，则双曲线的离心率可能为（ ）
A.1 B. C. D.
10.设椭圆C：＋＝1的焦点为F1，F2，M在椭圆上，则（ ）
A.｜MF1｜＋｜MF2｜＝8 B.｜MF1｜的最大值为7，最小值为1
C.｜MF1｜｜MF2｜的最大值为16 D.△MF1F2面积的最大值为10
11.（2023·新高考Ⅱ卷10题）设O为坐标原点，直线y＝－（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A.p＝2 B.｜MN｜＝
C.以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知圆x2＋y2＝4被直线x－y－4－a＝0截得的弦长为2，则a的值为 .
13.已知曲线x2＋2y2＝4，则以（1，1）为中点的弦所在直线的一般式方程为 .
14.已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是（8，7），则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）命题p：方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：方程＋＝1表示双曲线.
（1）若命题p为真命题，求m的取值范围；
（2）若命题q为假命题，求m的取值范围.
16.（本小题满分15分）已知圆C：x2＋y2＝4.
（1）若直线l过点（，），且与圆C相切，求l的方程；
（2）已知直线l过点（－2，4），且与圆C相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，求l的方程.
17.（本小题满分15分）第一象限内的点P在双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，已知PF1⊥PF2，｜PF1｜＝2｜PF2｜，O为坐标原点.
（1）求证：b＝2a；
（2）若△OF2P的面积为2，求点P的坐标.
18.（本小题满分17分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2＝2py的焦点为M.
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A，B两点，求△OAB的面积.
19.（本小题满分17分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且以两焦点为端点的线段为直径的圆的内接正方形面积为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y＝kx＋2与椭圆C相交于A，B两点，在y轴上是否存在点D，使直线AD与BD的斜率之和kAD＋kBD为定值？若存在，求出点D坐标及该定值，若不存在，试说明理由.
章末检测（二） 平面解析几何
1.C 2.A 3.D
4.B 设双曲线方程为－＝1（a＞0），则c＝a，渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.
5.A 直线BC的斜率为kBC＝＝1，故BC边上的高所在直线的斜率为－1，因此BC边上的高所在直线的方程为y＝－（x＋5），即y＝－x－5.故选A.
6.C 如果设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则抛物线过点（40，30），从而有302＝2p×40，即2p＝，所以所求抛物线方程为y2＝x.虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意.
7.A 圆C1，C2的图象如图所示.
设P是x轴上任意一点，则｜PM｜的最小值为｜PC1｜－1，同理｜PN｜的最小值为｜PC2｜－3，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为｜PC1｜＋｜PC2｜－4.作C1关于x轴的对称点C1'（2，－3），连接C1'C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知｜PC1｜＋｜PC2｜的最小值为｜C1'C2｜＝＝5，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值为5－4.
8.D 由题意可知，△PF1F2的内心I（s，1）到x轴的距离就是内切圆的半径，∵P为C上一点，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜＝2a＋2c，∴＝（2a＋2c）×1＝a＋c＝3b，
又∵c＝ea，∴b＝，∵a2＝b2＋c2，∴＋a2e2＝a2，即（1＋e）2＋9e2＝9，∴10e2＋2e－8＝0，解得e＝或－1（舍去），即椭圆的离心率为.故选D.
9.BC 双曲线的一条渐近线为y＝x，因为直线y＝x与双曲线无公共点，故有≤1.即＝＝e2－1≤1，所以e2≤2，所以1＜e≤.故选B、C.
10.ABC 由椭圆方程知a＝4，b＝，c＝3，∴｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝8，故A正确.｜MF1｜max＝a＋c＝7，＝a－c＝1，故B正确.｜MF1｜｜MF2｜≤＝16，此时M在椭圆左右顶点上，同时△MF1F2面积也最大，为3，故C正确，D错误.故选A、B、C.
11.AC 由于y2＝2px的焦点为（，0），直线y＝－（x－1）过焦点，所以－（－1）＝0，解得p＝2，A正确；联立消去y得3x2－10x＋3＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝，所以｜MN｜＝x1＋x2＋p＝.B不正确；以MN为直径的圆的圆心的横坐标为＝，圆心到准线l的距离d＝＋1＝＝｜MN｜，故以MN为直径的圆与l相切，C正确；不妨令点M在第一象限，由3x2－10x＋3＝0得x1＝，x2＝3，所以y1＝，y2＝－2，所以｜ON｜＝＝，｜OM｜＝＝，又｜MN｜＝，所以△OMN不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
12.－6或－2 解析：由已知得＋＝22，解得a＝－6或a＝－2.
13.x＋2y－3＝0 解析：设x2＋2y2＝4的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），所以两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋2（y1＋y2）（y1－y2）＝0，所以2×（x1－x2）＋2×2×（y1－y2）＝0，所以2＋4×＝0.所以k＝－，所以以点P（1，1）为中点的弦所在直线方程为y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0.
14.9 解析：抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示.根据抛物线的定义知，｜PF｜＝｜PM｜＝｜PQ｜＋1.所以｜PA｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PM｜－1＝｜PA｜＋｜PF｜－1≥｜AF｜－1＝10－1＝9.
15.解：（1）根据题意，得
解得0＜m＜2，
故命题p为真命题时，m的取值范围为（0，2）.
（2）若命题q为真命题，则（m＋1）（m－1）＜0，解得－1＜m＜1，故命题q为假命题时，m的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
16.解：（1）点P（，）满足x2＋y2＝4，所以P为圆C上一点.
圆C：x2＋y2＝4的圆心为C（0，0），则kCP＝1，所以直线l的斜率为－1，
所以l的方程为y－＝－（x－），即x＋y－2＝0.
（2）当直线l垂直于x轴时，显然不符合题意，
故设直线l的方程为y－4＝k（x＋2），即kx－y＋2k＋4＝0.
设圆心C到直线l的距离为d，则·2·d＝2，
则d4－4d2＋4＝0，解得d＝，则＝，解得k＝－1或k＝－7.
所以l的方程为x＋y－2＝0或7x＋y＋10＝0.
17.解：（1）证明：因为P是双曲线－＝1第一象限内的点，于是得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，而｜PF1｜＝2｜PF2｜，则｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，
令双曲线的半焦距为c，则｜F1F2｜＝2c，因为PF1⊥PF2，则＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，
即（4a）2＋（2a）2＝（2c）2，化简得c2＝5a2，又a2＋b2＝c2，则有b2＝4a2，所以b＝2a.
（2）因为O为线段F1F2的中点，则＝2＝4，由（1）知＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4a2，于是有a＝1，则b＝2，c＝，
因此，双曲线方程为x2－＝1，设点P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则有－＝1，
又O是Rt△F1PF2斜边F1F2的中点，则｜OP｜＝｜OF2｜＝c＝，即＋＝5，
联立解得＝，＝，而x0＞0，y0＞0，则有x0＝，y0＝，所以点P的坐标是.
18.解：（1）因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M（0，1）.
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，满足题意.
②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋（2k－4）x＋1＝0.当k＝0时，x＝，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，令Δ＝（2k－4）2－4k2＝0，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.综上，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
（2）结合（1）知抛物线C的方程为y2＝4x，
直线MF的方程为y＝－x＋1.
联立得y2＋4y－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1＋y2＝－4，y1y2＝－4，所以｜y1－y2｜＝4，
所以S△OAB＝｜OF｜·｜y1－y2｜＝2.
19.解：（1）由已知可得
解得a2＝2，b2＝c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.
（2）由得（1＋2k2）x2＋8kx＋6＝0，
由Δ＝64k2－24（1＋2k2）＝16k2－24＞0，
解得k＜－或k＞.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
设存在点D（0，m），
则kAD＝，kBD＝，
所以kAD＋kBD＝
＝＝.
要使kAD＋kBD为定值，只需6k－4k·（2－m）＝6k－8k＋4km＝2（2m－1）k的值与参数k无关，故2m－1＝0，解得m＝，
当m＝时，kAD＋kBD＝0.
综上所述，存在点D，使得kAD＋kBD为定值，且定值为0.
2 / 2(共39张PPT)
章末检测（二）
平面解析几何
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 方程（ x － y ）ln x ＝0所表示的曲线为（ ）
A. 射线 x － y ＝0（ x ＞0）
B. 直线 x ＝1
C. 射线 x － y ＝0（ x ＞0）和直线 x ＝1
D. 无法确定
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解析： 根据题意可得ln x ＝0，即 x － y ＝0（ x ＞
0）或 x ＝1，故原方程表示的是射线 x － y ＝0（ x ＞0）和直线 x ＝1.
故选C.
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2. 已知直线 l 的倾斜角为45°，且过点（1，2），则在直线上的点是
（ ）
A. （0，1） B. （－2，3）
C. （3，3） D. （3，2）
解析： 直线的斜率 k ＝tan 45°＝1，方程为 y －2＝ x －1，即 y ＝
x ＋1，将A，B，C，D中各点代入知， A正确.故选A.
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3. 半径长为6的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋（ y －3）2＝1内切，则此圆
的方程为（ ）
A. （ x －4）2＋（ y －6）2＝6
B. （ x ±4）2＋（ y －6）2＝6
C. （ x －4）2＋（ y －6）2＝36
D. （ x ±4）2＋（ y －6）2＝36
解析： ∵半径长为6的圆与 x 轴相切，设圆心坐标为（ a ，
b ），则 b ＝6.再 5，可以解得 a ＝±4，故所求圆的方
程为（ x ±4）2＋（ y －6）2＝36.
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4. 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点
到一条渐近线的距离
A. x2－ y2＝1 B. x2－ y2＝2
C. x2－ y2 D. x2－ y2
解析： 设双曲线方程 1（ a ＞0），则 c a ，渐
近线方程为 y ＝± x ，∴ ∴ a2＝2.∴双曲线方程为 x2
－ y2＝2.
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5. 已知△ ABC 的三个顶点分别为 A （－5，0）， B （2，4）， C （0，
2），则 BC 边上的高所在直线的方程为（ ）
A. y ＝－ x －5 B. y ＝－ x ＋5
C. y ＝ x ＋5 D. y ＝ x －5
解析： 直线 BC 的斜率为 kBC 1，故 BC 边上的高所在直
线的斜率为－1，因此 BC 边上的高所在直线的方程为 y ＝－（ x ＋
5），即 y ＝－ x －5.故选A.
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6. 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点
处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可
能是（ ）
A. y2 x B. y2 x
C. x2＝ y D. x2＝ y
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解析： 如果设抛物线的方程为 y2＝2 px （ p ＞0），则抛物线过
点（40，30），从而有302＝2 p ×40，即2 p y2 x .虽然选项中没有 y2 x ，但
C中的2 p .
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7. 已知圆 C1：（ x －2）2＋（ y －3）2＝1，圆 C2：（ x －3）2＋（ y －
4）2＝9， M ， N 分别是圆 C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，
则｜ PM ｜＋｜ PN ｜的最小值为（ ）
A. 5 4 B. 1
C. 6－2 D.
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解析： C1， C2的图象如图所示.
设 P 是 x 轴上任意一点，则｜ PM ｜的最小值
为｜ PC1｜－1，同理｜ PN ｜的最小值为｜
PC2｜－3，则｜ PM ｜＋｜ PN ｜的最小值
为｜ PC1｜＋｜ PC2｜－4.作 C1关于 x 轴的对
称点 C1'（2，－3），连接 C1'C2，与 x 轴交于
点 P ，连接 PC1，可知｜ PC1｜＋｜ PC2｜的
最小值为｜ C1'C2｜ 5 ｜PM ｜＋｜ PN ｜的最小值为5 4.
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8. 已知椭圆 C 1（ a ＞ b ＞0）， F1， F2为 C 的左、右焦
点， P 为 C 上一点，且△ PF1 F2的内心 I （ s ，1），若△ PF1 F2的面
积为3 b ，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意可知，△ PF1 F2的内心 I （ s ，1）到 x 轴的距离就
是内切圆的半径，∵ P 为 C 上一点，∴｜ PF1｜＋｜ PF2｜＋｜ F1
F2｜＝2 a ＋2 c ，∴ 2 a ＋2 c ）×1＝ a ＋ c ＝3 b ，
又∵ c ＝ ea ，∴ b ∵ a2＝ b2＋ c2，∴［ ］2＋
a2 e2＝ a2，即（1＋ e ）2＋9 e2＝9，∴10 e2＋2 e －8＝0，解得 e
－1（舍去），即椭圆的离心率 .故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 已知直线 y ＝ x 与双曲 1（ a ＞0， b ＞0）无公共点，则
双曲线的离心率可能为（ ）
A. 1 B.
C. D.
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解析： 双曲线的一条渐近线为 y x ，因为直线 y ＝ x 与双曲
线无公共点，故 1. e2－1≤1，所以 e2≤2，所
以1＜ e .故选B、C.
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10. 设椭圆 C 1的焦点为 F1， F2， M 在椭圆上，则（ ）
A. ｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝8
B. ｜ MF1｜的最大值为7，最小值为1
C. ｜ MF1｜｜ MF2｜的最大值为16
D. △ MF1 F2面积的最大值为10
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解析： 由椭圆方程知 a ＝4， b c ＝3，∴｜ MF1｜
＋｜ MF2｜＝2 a ＝8，故A正确.｜ MF1｜max＝ a ＋ c ＝7 a － c ＝1，故B正确.｜ MF1｜·｜ MF2｜ 16，此时 M 在椭圆左右顶点上，同时△
MF1 F2面积也最大，为3 C正确，D错误.故选A、B、C.
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11. （2023·新高考Ⅱ卷10题）设 O 为坐标原点，直线 y ＝ x －
1）过抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点，且与 C 交于 M ， N 两
点， l 为 C 的准线，则（ ）
A. p ＝2
B. ｜ MN ｜
C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切
D. △ OMN 为等腰三角形
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解析： 由于 y2＝2 px 的焦点为（ 0），直线 y ＝ x
－1）过焦点，所 （ 1）＝0，解得 p ＝2，A正确；联
立 y 得3 x2－10 x ＋3＝0，设 M （ x1，
y1）， N （ x2， y2），则 x1＋ x2 ｜ MN ｜＝ x1＋ x2＋ p
.B不正确；以 MN 为直径的圆的圆心的横坐标 l 的距离 d 1 ｜ MN ｜，故以 MN 为直
径的圆与 l 相切，C正确；
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不妨令点 M 在第一象限，由3 x2－10 x ＋3＝0得 x1 x2＝3，所以 y1 y2＝－2 ｜ ON ｜ ｜ OM ｜ ｜ MN ｜ △ OMN 不是等腰三角形，D不正确.故选A、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知圆 x2＋ y2＝4被直线 x － y －4－ a ＝0截得的弦长为2 a
的值为 .
解析：由已知得（ ）2＋（ ）2＝22，解得 a ＝－6或 a
＝－2.
－6或－2
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13. 已知曲线 x2＋2 y2＝4，则以（1，1）为中点的弦所在直线的一般
式方程为 .
解析：设 x2＋2 y2＝4的弦的端点为 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
所以 x1＋ x2）·（ x1－ x2）＋2
（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＝0，所以2×（ x1－ x2）＋2×2×（ y1－ y2）
＝0，所以2＋4 0.所以 k ＝ P （1，
1）为中点的弦所在直线方程为 y －1＝ x －1），即 x ＋2 y －
3＝0.
x ＋2 y －3＝0
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14. 已知 P 是抛物线 x2＝4 y 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 Q ，点
A 的坐标是（8，7），则｜ PA ｜＋｜ PQ ｜的最小值为 .
解析：抛物线的焦点为 F （0，1），准线
方程为 y ＝－1，延长 PQ 交准线于点 M ，
如图所示.根据抛物线的定义知，｜ PF ｜
＝｜ PM ｜＝｜ PQ ｜＋1.所以｜ PA ｜
＋｜ PQ ｜＝｜ PA ｜＋｜ PM ｜－1＝｜
PA ｜＋｜ PF ｜－1≥｜ AF ｜－1＝10－1
＝9.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）命题 p ：方 1表示焦点在 y 轴上
的椭圆；命题 q ：方 1表示双曲线.
（1）若命题 p 为真命题，求 m 的取值范围；
解：根据题意，得
解得0＜ m ＜2，
故命题 p 为真命题时， m 的取值范围为（0，2）.
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（2）若命题 q 为假命题，求 m 的取值范围.
解：若命题 q 为真命题，则（ m ＋1）（ m －1）＜0，
解得－1＜ m ＜1，故命题 q 为假命题时， m 的取值范围为
（－∞，－1]∪[1，＋∞）.
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16. （本小题满分15分）已知圆 C ： x2＋ y2＝4.
（1）若直线 l 过点 C 相切，求 l 的方程；
解：点 P x2＋ y2＝4，所以 P 为圆 C 上一点.
圆 C ： x2＋ y2＝4的圆心为 C （0，0），则 kCP ＝1，所以直线
l 的斜率为－1，
所以 l 的方程为 y x x ＋ y －2 0.
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（2）已知直线 l 过点（－2，4），且与圆 C 相交于 A ， B 两点，若
△ ABC 的面积为2，求 l 的方程.
解：当直线 l 垂直于 x 轴时，显然不符合题意，故设直线 l 的方程为 y －4＝ k （ x ＋2），即 kx － y ＋2 k ＋4＝0.
设圆心 C 到直线 l 的距离为 d ， ·2 · d ＝2，
则 d4－4 d2＋4＝0，解得 d
k ＝－1或 k ＝－7.
所以 l 的方程为 x ＋ y －2＝0或7 x ＋ y ＋10＝0.
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17. （本小题满分15分）第一象限内的点 P 在双曲 1（ a ＞
0， b ＞0）上，双曲线的左、右焦点分别记为 F1， F2，已知 PF1⊥
PF2，｜ PF1｜＝2｜ PF2｜， O 为坐标原点.
（1）求证： b ＝2 a ；
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解：证明：因为 P 是双曲 1第一象限内的
点，于是得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝2 a ，而｜ PF1｜＝2｜
PF2｜，则｜ PF1｜＝4 a ，｜ PF2｜＝2 a ，
令双曲线的半焦距为 c ，则｜ F1 F2｜＝2 c ，因为 PF1⊥
PF2，则｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＝｜ F1 F2｜2，
即（4 a ）2＋（2 a ）2＝（2 c ）2，化简得 c2＝5 a2，又 a2＋ b2
＝ c2，则有 b2＝4 a2，所以 b ＝2 a .
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（2）若△ OF2 P 的面积为2，求点 P 的坐标.
解：因为 O 为线段 F1 F2的中点， 2
4，由（1） ｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4 a2，于是有
a ＝1，则 b ＝2， c
因此，双曲线方程为 x2 1，设点 P （ x0， y0）（ x0＞
0， y0＞0），则 1，
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又 O 是Rt△ F1 PF2斜边 F1 F2的中点，则｜ OP ｜＝｜ OF2｜＝
c 5，
联立解 x0＞0， y0＞0，则有 x0
y0
所以点 P 的坐标是（ ）.
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18. （本小题满分17分）已知抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F
（1，0），抛物线 E ： x2＝2 py 的焦点为 M .
（1）若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点，求直线 l 的
方程；
解：因为抛物线 C ： y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F （1，0），抛物线 E ： x2＝2 py 的焦点为 M ，所以 p ＝2， M （0，1）.
①当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x ＝0，满足题意.
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②当直线 l 的斜率存在时，设方程为 y ＝ kx ＋1，代入 y2＝4
x ，得 k2 x2＋（2 k －4） x ＋1＝0.当 k ＝0时， x l 的方程为 y ＝1；当 k ≠0时，令Δ＝（2 k
－4）2－4 k2＝0，解得 k ＝1，所以直线 l 的方程为 y ＝ x ＋1.
综上，直线 l 的方程为 x ＝0或 y ＝1或 y ＝ x ＋1.
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（2）若直线 MF 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，求△ OAB 的面积.
解：结合（1）知抛物线 C 的方程为 y2＝4 x ，
直线 MF 的方程为 y ＝－ x ＋1.
联立 y2＋4 y －4＝0，
设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则 y1＋ y2＝－4， y1 y2＝－4，所以｜ y1－ y2｜＝4
所以 S△ OAB ｜ OF ｜·｜ y1－ y2｜＝2 .
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19. （本小题满分17分）已知椭圆 C 1（ a ＞ b ＞0）的离
心率为 且以两焦点为端点的线段为直径的圆的内接正方形面积为2.（1）求椭圆 C 的标准方程；
解：由已知可得
解得 a2＝2， b2＝ c2＝1，
所以椭圆方程 y2＝1.
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（2）若直线 l ： y ＝ kx ＋2与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，在 y
轴上是否存在点 D ，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD ＋
kBD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存
在，试说明理由.
解：由1＋2 k2） x2＋8 kx ＋6＝0，
由Δ＝64 k2－24（1＋2 k2）＝16 k2－24＞0，
解得 k ＜ k .
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设 A （ x1， y1）， B （ x2， y2），
则 x1＋ x2＝ x1 x2
设存在点 D （0， m ），
则 kAD kBD
所以 kAD ＋ kBD
.
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要使 kAD ＋ kBD 为定值，只需6 k －4 k ·（2－ m ）＝6 k －8 k ＋4
km ＝2（2 m －1） k 的值与参数 k 无关，故2 m －1＝0，解得
m
当 m kAD ＋ kBD ＝0.
综上所述，存在点 D （0 ），使得 kAD ＋ kBD 为定值，且
定值为0.
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谢 谢 观 看！
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