阶段检测卷（第一章及第二章前二节）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ＝（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.若向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝（ ）
A.2 B.－2
C.－2或 D.2或－
3.若直线l过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ）
A.x＋3y－9＝0 B.4x＋y＋16＝0
C.x＋3y－9＝0或4x－y＋16＝0 D.x－3y－9＝0
4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分别是AB，AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ）
A. B.
C.3 D.
6.设a∈R，则直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：（a＋1）x－ay＋4＝0垂直的充分不必要条件是（ ）
A.a＝－1 B.a＝1
C.a＝0或1 D.a＝0或－1
7.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AB＝5，AC＝3，AA1＝4，则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B'-AC-D，M，N分别为AC，B'D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.[1，]
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知平面α内有一点M（1，－1，2），平面α的一个法向量为n＝（6，－3，6），则下列点中，在平面α内的是（ ）
A.（2，3，3） B.（1，1，3） C. D.（2，2，3）
10.已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－（2a－3）y＋a－2＝0，则（ ）
A.l2始终过定点 B.若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a＝1
C.若l1⊥l2，则a＝0或2 D.若l1∥l2，则a＝1或－3
11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，正方体棱长为1，E，F分别是线段A1D，AC上的动点（不含端点），则（ ）
A.EF可能与BD1垂直 B.EF可能与BD1平行
C.线段EF的最小值为 D.直线EF与直线BD1可能相交
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.如图所示，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ （用a，b，c表示）.
13.如图，在平面角为锐角的二面角α-EF-β中，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α-EF-β的大小为 .
14.已知m∈R，动直线l1：x－my－2＝0过定点A，动直线l2：mx＋y－4m＋2＝0过定点B，若直线l1与l2相交于点M（异于点A，B），则△MAB周长的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：AM⊥平面BDF.
16.（本小题满分15分）已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.
（1）已知P（1，5），若点P到直线l的距离为d，求d最大时直线l的方程；
（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求△AOB面积的最小值.
17.（本小题满分15分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置；
（2）若E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，PQ⊥AE，＝λ，求λ的值.
18.（本小题满分17分）已知三条直线l1：2x－y＋a＝0（a＜0），l2：－4x＋2y＋1＝0，l3：x＋y－1＝0，若l1与l2的距离是.
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离等于P点到l2的距离；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是1∶，若能，求出P点坐标；若不能，说明理由.
19.（本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；
（3）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值.
阶段检测卷（第一章及第二章前二节）
1.B 2.C 3.C
4.C 建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，1，0），A1（1，0，1），O（，，1），＝（1，0，1）是平面ABC1D1的一个法向量.又＝，∴BO与平面ABC1D1所成角θ的正弦值为sin θ＝｜cos＜，＞｜＝＝＝.故选C.
5.B 建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，则G（0，0，2），A（4，4，0），B（0，4，0），E（2，4，0），F（4，2，0），故＝（2，－2，0），＝（2，4，－2），＝（2，0，0）.设平面GEF的一个法向量为n＝（1，b，c），则n⊥，n⊥，所以n·＝2－2b＝0，n·＝2＋4b－2c＝0，得b＝1，c＝3，于是n＝（1，1，3），所以点B到平面GEF的距离为d＝＝.故选B.
6.B 直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：（a＋1）x－ay＋4＝0垂直，等价于a（a＋1）＋2·（－a）＝0，解得a＝0或a＝1，所以直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：（a＋1）x－ay＋4＝0垂直的充分不必要条件是B选项.故选B.
7.D 由题意可得，BC＝＝4，以C为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），C1（0，0，4），C（0，0，0），B1（0，4，4），所以＝（－3，0，4），＝（0，4，4），·＝16，｜｜＝5，｜｜＝4，因此异面直线AC1与BC1所成角的余弦值为｜cos＜，＞｜＝＝＝.故选D.
8.A 如图，连接B'M，DM，得AC⊥B'M，AC⊥DM，∴∠DMB'是二面角B'-AC-D的平面角，且B'M＝DM＝，在等腰△DMB'中，MN⊥B'D，且∠DMN＝∠DMB'＝θ，θ∈，则MN＝DMcosθ∈.∴线段MN长度的取值范围为.
9.AB 设平面α内一点P（x，y，z），则＝（x－1，y＋1，z－2）.∵n＝（6，－3，6）是平面的法向量，∴n⊥，n·＝6（x－1）－3（y＋1）＋6（z－2）＝6x－3y＋6z－21.∴由n·＝0得2x－y＋2z－7＝0.把各选项代入上式可知A、B适合.
10.AC l2：ax－（2a－3）y＋a－2＝0化为a（x－2y＋1）＋3y－2＝0，由x－2y＋1＝0且3y－2＝0，解得x＝，y＝，即直线l2恒过定点，故A正确；若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为－1，则a＝2或－＝－1 a＝1，故B错误；若l1⊥l2，则1×a＋a×（3－2a）＝0，解得a＝0或2，故C正确；若l1∥l2，则先由1×（3－2a）＝a×a，解得a＝1或－3，再检验当a＝1时l1，l2重合，故D错误.故选A、C.
11.BC 以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），设E（a，0，a），F（b，1－b，0），A（1，0，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），则＝（1，0，1），＝（－1，1，0），所以＝（－1，－1，1），＝（b－a，1－b，－a），由于·＝a－b＋b－1－a＝－1≠0，则EF不可能与BD1垂直，A错误；当b－a＝1－b＝a时，则a＝，b＝时，有∥，B正确；当a＝，b＝时，＝，有·＝0，·＝0，则EF⊥A1D，EF⊥AC，此时｜EF｜最小，最小值为＝，C正确；因为直线BD1与直线AC，A1D均不相交，所以直线EF与直线BD1不可能相交，D错，故选B、C.
12.a＋b＋c 解析：＝＋，＝a，＝＝＝＝（b＋c）－a，∴＝a＋b＋c.
13.45° 解析：作GH⊥β，垂足为H，连接AH，则∠GAH为AG与β所成的角，∠GAH＝30°，作HB⊥EF于B，连接GB，则GB⊥EF，∴∠GBH为α-EF-β的平面角.设GB＝1，则AB＝1，AG＝，∴GH＝，∴sin∠GBH＝＝，∠GBH＝45°，∴二面角α-EF-β为45°.
14.4＋4 解析：因为动直线l1：x－my－2＝0过定点A（2，0），动直线l2：mx＋y－4m＋2＝0，整理可得m（x－4）＋y＋2＝0，可得定点B（4，－2），因为1·m＋（－m）·1＝0，所以两条直线垂直，设交点为M，则MA⊥MB，则｜MA｜2＋｜MB｜2＝｜AB｜2＝（4－2）2＋（－2）2＝16，因为｜MA｜＋｜MB｜≤2·＝2·＝4，当且仅当｜MA｜＝｜MB｜＝2时取等号.所以△MAB的周长为｜MA｜＋｜MB｜＋｜AB｜≤4＋4.
15.证明：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），F（，，1），M.
所以＝，＝（0，，1），＝（，－，0）.
设n＝（x，y，z）是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以
取y＝1，得x＝1，z＝－，
则n＝（1，1，－）.
因为＝，
所以n＝－，得n与共线.
所以AM⊥平面BDF.
16.解：（1）由kx－y＋1＋2k＝0变形得y＝k（x＋2）＋1，则直线过M（－2，1），要使点到直线的距离最大，则满足k·kMP＝－1，kMP＝，则k＝－，直线方程为－x－y＋1－＝0，即3x＋4y＋2＝0.
（2）由题知，k＞0，y＝k（x＋2）＋1，令x＝0得y＝2k＋1，即B（0，2k＋1），令y＝0得x＝－－2，即A，则S△AOB＝··（2k＋1）＝·≥·（4＋2）＝4，当且仅当k＝时等号成立，故S△AOB的最小值为4.
17.解：如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E，B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），A1（1，0，1）.
（1）因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为（m，n，0），因为＝（m，n，0）－（ ，0，）＝，＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1），
且∥，所以＝＝，
解得m＝1，n＝.所以点H的坐标为，
所以H为线段AB的中点.
（2）由题意，可设点P的坐标为（a，a，1），
因为3 ＝，所以3（a－1，a－1，0）＝（－a，－a，0），
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为（b，b，0），
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以（－1，－1，0）＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
18.解：（1）∵l2：2x－y－＝0，l1与l2间的距离为d＝＝，∵a＜0，∴a＝－.
（2）设点P（x0，y0），由条件②知，点P在直线2x－y＋c＝0上，且＝，∴c＝－，∴4x0－2y0－5＝0，
由条件③知，＝，
∴｜4x0－2y0－9｜＝｜x0＋y0－1｜，即3x0－3y0－8＝0或5x0－y0－10＝0，
∵点P在第一象限，∴x0＞0，y0＞0，
∴或
解得（舍），或
∴存在点P同时满足①②③.
19.解：（1）证明：因为四边形AA1C1C为正方形，
所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.
（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB.由题意知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）.
所以＝（0，3，－4），＝（4，0，0），＝（0，0，4），＝（4，－3，4）.
设平面A1BC1的法向量为n＝（x，y，z），
则即
令z＝3，则x＝0，y＝4，
所以平面A1BC1的一个法向量为n＝（0，4，3）.
设平面B1BC1的一个法向量为m＝（a，b，c），
则即
令a＝3，得b＝4，c＝0，
故平面B1BC1的一个法向量为m＝（3，4，0）.
所以cos＜n，m＞＝＝.
由题意知二面角A1-BC1-B1为锐角，
所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
（3）假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且＝λ（λ∈[0，1]），
所以（x1，y1－3，z1）＝λ（4，－3，4）.
解得x1＝4λ，y1＝3－3λ，z1＝4λ，
所以＝（4λ，3－3λ，4λ）.
由·＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝.
因为∈[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，
使得AD⊥A1B.此时＝.
1 / 3(共46张PPT)
阶段检测卷
（第一章及第二章前二节）
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知 a ＝（0，－1，1）， b ＝（4，1，0），｜λ a ＋ b ｜ λ＞0，则λ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由题意，得λ a ＋ b ＝（4，1－λ，λ）.因为｜λ a ＋ b ｜ 42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，
所以λ＝3.
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2. 若向量 a ＝（1，λ，2）， b ＝（2，－1，2），且 a 与 b 的夹角的余
弦值 λ＝（ ）
A. 2 B. －2
C. －2 D. 2或
解析： 由 cos ＜ a ， b ＞ λ＝－
2或λ .
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3. 若直线 l 过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，则直
线 l 的方程为（ ）
A. x ＋3 y －9＝0
B. 4 x ＋ y ＋16＝0
C. x ＋3 y －9＝0或4 x － y ＋16＝0
D. x －3 y －9＝0
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解析： 由题意可设直线 l 的方程 1（ a ≠0， b ≠0），
则 a ＋ b ＝12. ①
又直线 l 过点（－3，4），所 1. ②
由①②解得 l 的方程 1 1，即 x ＋3 y －9＝0或4 x － y ＋16＝0.
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4. 如图，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1， O 是平面 A1 B1 C1 D1的
中心，则 BO 与平面 ABC1 D1所成角的正弦值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，
则 B （1，1，0）， A1（1，0，1）， O （
1） 1，0，1）是平面 ABC1 D1的
一个法向量. （ －1），∴ BO 与
平面 ABC1 D1所成角θ的正弦值为 sin θ＝｜ cos ｜ .故选C.
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5. 已知正方形 ABCD 的边长为4， CG ⊥平面 ABCD ， CG ＝2， E ， F
分别是 AB ， AD 的中点，则点 B 到平面 GEF 的距离为（ ）
A. B.
C. 3 D.
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解析： 建立空间直角坐标系 C - xyz ，如图所
示，则 G （0，0，2）， A （4，4，0）， B （0，
4，0）， E （2，4，0）， F （4，2，0），
2，－2，0） 2，4，－2）
2，0，0）.设平面 GEF 的一个法向量为 n ＝（1， b ， c ），则 n n n · 2－2 b ＝0， n · 2＋4 b －2 c ＝0，得 b ＝1， c ＝3，于是 n ＝（1，1，3），所以点 B 到平面 GEF 的距离为 d .故选B.
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6. 设 a ∈R，则直线 l1： ax ＋2 y －1＝0与直线 l2：（ a ＋1） x － ay ＋4
＝0垂直的充分不必要条件是（ ）
A. a ＝－1 B. a ＝1
C. a ＝0或1 D. a ＝0或－1
解析： 直线 l1： ax ＋2 y －1＝0与直线 l2：（ a ＋1） x － ay ＋4＝
0垂直，等价于 a （ a ＋1）＋2·（－ a ）＝0，解得 a ＝0或 a ＝1，所
以直线 l1： ax ＋2 y －1＝0与直线 l2：（ a ＋1） x － ay ＋4＝0垂直的
充分不必要条件是B选项.故选B.
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7. 如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ⊥ BC ， AB ＝5， AC ＝3，
AA1＝4，则异面直线 AC1与 B1 C 所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意可得， BC 4，以 C 为坐标原点，
向 x ， y ， z 轴正方向，建立空间直角坐
标系，则 A （3，0，0）， C1（0，0，4）， C （0，0，0）， B1
（0，4，4），
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所 －3，0，4） 0，4，4）
· 16，｜ ｜＝5，｜ ｜＝4 AC1
与 BC1所成角的余弦值为｜ cos ｜ .故选D.
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8. 如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成大小等于θ的二
面角B'- AC - D ， M ， N 分别为 AC ，B'D的中点，若θ∈［ ］，则线段 MN 长度的取值范围为（ ）
A. ［ ］ B. ［ ］
C. ［ ］ D. [1
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解析： 如图，连接B'M， DM ，得 AC
⊥B'M， AC ⊥ DM ，∴∠DMB'是二面角B'- AC
- D 的平面角，且B'M＝ DM
△DMB'中， MN ⊥B'D，且∠ DMN DMB'
θ，θ∈［ ］，则 MN ＝ DM cos θ∈［ ］.∴线段 MN 长度的取值范围为［ ］.
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二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得
部分分，有选错的得0分）
9. 已知平面α内有一点 M （1，－1，2），平面α的一个法向量为 n ＝
（6，－3，6），则下列点中，在平面α内的是（ ）
A. （2，3，3） B. （1，1，3）
C. （ ） D. （2，2，3）
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解析： 设平面α内一点 P （ x ， y ， z ）， x －1， y
＋1， z －2）.∵ n ＝（6，－3，6）是平面的法向量，∴ n
n · 6（ x －1）－3（ y ＋1）＋6（ z －2）＝6 x －3 y ＋6 z －
21.∴由 n · 0得2 x － y ＋2 z －7＝0.把各选项代入上式可知A、B
适合.
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10. 已知直线 l1： x ＋ ay － a ＝0和直线 l2： ax －（2 a －3） y ＋ a －2＝
0，则（ ）
A. l2始终过定点（ ）
B. 若 l2在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a ＝1
C. 若 l1⊥ l2，则 a ＝0或2
D. 若 l1∥ l2，则 a ＝1或－3
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解析： l2： ax －（2 a －3） y ＋ a －2＝0化为 a （ x －2 y ＋1）
＋3 y －2＝0，由 x －2 y ＋1＝0且3 y －2＝0，解得 x y l2恒过定点（ ），故A正确；若 l2在 x 轴和 y 轴上截
距相等，则 l2过原点或其斜率为－1，则 a ＝2
1 a ＝1，故B错误；若 l1⊥ l2，则1× a ＋ a ×（3－2 a ）＝0，解得
a ＝0或2，故C正确；若 l1∥ l2，则先由1×（3－2 a ）＝ a × a ，解
得 a ＝1或－3，再检验当 a ＝1时 l1， l2重合，故D错误.故选A、C.
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11. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，正方体棱长为1， E ， F 分
别是线段 A1 D ， AC 上的动点（不含端点），则（ ）
A. EF 可能与 BD1垂直
B. EF 可能与 BD1平行
C. 线段 EF 的最小值
D. 直线 EF 与直线 BD1可能相交
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解析： 以点 D 为原点， DA ， DC ， DD1
所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐
标系，如图所示，则 D （0，0，0）， B （1，
1，0）， D1（0，0，1），设 E （ a ，0，
a ）， F （ b ，1－ b ，0）， A （1，0，0），
C （0，1，0）， A1（1，0，1）， 1，0，1） －1，1，0），所 －1，－1，1） b － a ，1－ b ，－ a ），由 · a － b ＋ b －1－ a ＝
－1≠0，则 EF 不可能与 BD1垂直，A错误；
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当 b － a ＝1－ b ＝ a 时，则 a b ∥ B正确；
当 a b （ ）， · 0 · 0，则 EF ⊥ A1 D ， EF ⊥ AC ，此时｜ EF ｜最小，最小值 C正确；因为直线 BD1与直线 AC ， A1 D 均不相交，所以直线 EF 与直线 BD1不可能相交，D错，故选B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 如图所示，在四面体 O - ABC 中 a b c ， D 为
BC 的中点， E 为 AD 的中点， a b c （用 a ，
b ， c 表示）.
a b c
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解析： a （ ）
［（ b － a ）＋（ c － a ）］ b ＋ c a ，∴ a b
c .
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13. 如图，在平面角为锐角的二面角α- EF -β中， A ∈ EF ， AG α，∠
GAE ＝45°，若 AG 与β所成角为30°，则二面角α- EF -β的大小
为 .
45°
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解析：作 GH ⊥β，垂足为 H ，连接 AH ，则∠ GAH 为 AG 与β所成
的角，∠ GAH ＝30°，作 HB ⊥ EF 于 B ，连接 GB ，则 GB ⊥ EF ，
∴∠ GBH 为α- EF -β的平面角.设 GB ＝1，则 AB ＝1， AG
∴ GH ∴ sin ∠ GBH ∠ GBH ＝45°，∴二面角
α- EF -β为45°.
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14. 已知 m ∈R，动直线 l1： x － my －2＝0过定点 A ，动直线 l2： mx ＋
y －4 m ＋2 0过定点 B ，若直线 l1与 l2相交于点 M （异于点 A ，
B ），则△ MAB 周长的最大值为 .
4＋4
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解析：因为动直线 l1： x － my －2＝0过定点 A （2，0），动直线
l2： mx ＋ y －4 m ＋2 0，整理可得 m （ x －4）＋ y ＋2
0，可得定点 B （4，－2 1· m ＋（－ m ）·1＝0，所以
两条直线垂直，设交点为 M ，则 MA ⊥ MB ，则｜ MA ｜2＋｜
MB ｜2＝｜ AB ｜2＝（4－2）2＋（－2 2＝16，因为｜ MA ｜
＋｜ MB ｜≤2· 2· 4 ｜
MA ｜＝｜ MB ｜＝2 .所以△ MAB 的周长为｜ MA ｜
＋｜ MB ｜＋｜ AB ｜≤4＋4 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的
平面互相垂直， AB AF ＝1， M 是线段 EF 的中点.求证：
AM ⊥平面 BDF .
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证明：以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A
0）， B （0 0）， D 0，0）， F
1）， M （ 1）.
所 （ 1），
0 1） 0）.
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设 n ＝（ x ， y ， z ）是平面 BDF 的法向量，
则 n n
所以
取 y ＝1，得 x ＝1， z ＝
则 n ＝（1，1 .
因 （ 1），
所以 n ＝ n .
所以 AM ⊥平面 BDF .
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16. （本小题满分15分）已知直线 l ： kx － y ＋1＋2 k ＝0（ k ∈R）.
（1）已知 P （1，5），若点 P 到直线 l 的距离为 d ，求 d 最大时直
线 l 的方程；
解：由 kx － y ＋1＋2 k ＝0变形得 y ＝ k （ x ＋2）＋1，
则直线过 M （－2，1），要使点到直线的距离最大，则满足
k · kMP ＝－1， kMP k ＝ x － y ＋1
0，即3 x ＋4 y ＋2＝0.
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（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴正半轴于点 B ，求△
AOB 面积的最小值.
解：由题知， k ＞0， y ＝ k （ x ＋2）＋1，令 x ＝0得 y
＝2 k ＋1，即 B （0，2 k ＋1），令 y ＝0得 x ＝ 2，即 A
（－（ 2），0），则 S△ AOB ·（ 2）·（2 k ＋1
·（4 4 k ） ·（4＋2 ＝4，当且仅当 k S△ AOB 的最小值为4.
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17. （本小题满分15分）在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中.
（1）若 G 是 A1 D 的中点，点 H 在平面 ABCD 上，且 GH ∥ BD1，
试判断点 H 的位置；
解：如图所示，以 D 为原点 x 轴， y 轴， z 轴的正方
向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为
1，则 A （1，0，0）， E （0，0 ）， B
（1，1，0）， B1（1，1，1）， D1（0，
0，1）， A1（1，0，1）.
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（1）因为 G 是 A1 D 的中点，所以点 G 的坐标为（ 0 ），因为点 H 在平面 ABCD 上，设点 H 的坐标为（ m ， n ，0），因 m ， n ，0）－（ 0 ）＝（ m n ） 0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1）， ∥ 解得 m ＝1， n .所以点 H 的坐标为（1 0），
所以 H 为线段 AB 的中点.
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（2）若 E 是棱 D1 D 的中点， P ， Q 分别为线段 B1 D1， BD 上的
点，且3 PQ ⊥ AE λ λ的值.
解：由题意，可设点 P 的坐标为（ a ， a ，1），
因为3 3（ a －1， a －1，0）＝（－ a ，－
a ，0），
所以3 a －3＝－ a ，解得 a
所以点 P 的坐标为（ 1）.
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由题意可设点 Q 的坐标为（ b ， b ，0），
因为 PQ ⊥ AE ，所 · 0，
所以（ b b －1）·（－1，0 ）＝0，
即－（ b ） 0，解得 b
所以点 Q 的坐标为（ 0），
因 λ －1，－1，0）＝λ（ 0），
所 1，故λ＝－4.
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18. （本小题满分17分）已知三条直线 l1：2 x － y ＋ a ＝0（ a ＜0），
l2：－4 x ＋2 y ＋1＝0， l3： x ＋ y －1＝0，若 l1与 l2的距离 .
（1）求 a 的值；
解：∵ l2：2 x － y 0， l1与 l2间的距离为 d
∵ a ＜0，∴ a ＝ .
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（2）能否找到一点 P ，使 P 同时满足下列三个条件：① P 是第一
象限的点；② P 点到 l1的距离等于 P 点到 l2的距离；③ P 点到
l1的距离与 P 点到 l3的距离之比是1∶ P 点
坐标；若不能，说明理由.
解：设点 P （ x0， y0），由条件②知，点 P 在直线2 x －
y ＋ c ＝0上，
∴ c ＝ ∴4 x0－2 y0－5＝0，
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由条件③知
∴｜4 x0－2 y0－9｜＝｜ x0＋ y0－1｜，即3 x0－3 y0－8＝0或5x0－ y0－10＝0，
∵点 P 在第一象限，∴ x0＞0， y0＞0，
∴
解得
∴存在点 P （ ）同时满足①②③.
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19. （本小题满分17分）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中，四边形 AA1
C1 C 是边长为4的正方形，平面 ABC ⊥平面 AA1 C1 C ， AB ＝3， BC
＝5.
（1）求证： AA1⊥平面 ABC ；
解：证明：因为四边形 AA1 C1 C 为
正方形，
所以 AA1⊥ AC . 因为平面 ABC ⊥平面 AA1
C1 C ，且 AA1垂直于这两个平面的交线
AC ，所以 AA1⊥平面 ABC .
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（2）求二面角 A1- BC1- B1的余弦值；
解：由（1）知 AA1⊥ AC ， AA1⊥ AB .
由题意知 AB ＝3， BC ＝5， AC ＝4，所以 AB
⊥ AC . 如图，以 A 为坐标原点，建立空间直
角坐标系，则 B （0，3，0）， A1（0，0，
4）， B1（0，3，4）， C1（4，0，4）.
所 0，3，－4） 4，
0，0） 0，0，4） 4，－3，4）.
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设平面 A1 BC1的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），
则
令 z ＝3，则 x ＝0， y ＝4，
所以平面 A1 BC1的一个法向量为 n ＝（0，4，3）.
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设平面 B1 BC1的一个法向量为 m ＝（ a ， b ， c ），
令 a ＝3，得 b ＝4， c ＝0，
故平面 B1 BC1的一个法向量为 m ＝（3，4，0）.
所以 cos ＜ n ， m ＞ .
由题意知二面角 A1- BC1- B1为锐角，
所以二面角 A1- BC1- B1的余弦值 .
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（3）证明：在线段 BC1上存在点 D ，使得 AD ⊥ A1 B ，并 .
解：假设 D （ x1， y1， z1）是线段 BC1
上一点， λ λ∈[0，1]），
所以（ x1， y1－3， z1）＝λ（4，－3，4）.
解得 x1＝4λ， y1＝3－3λ， z1＝4λ，
所 4λ，3－3λ，4λ）.
· 0，得9－25λ＝0，解得λ .
因 0，1]，所以在线段 BC1上存在点 D ，
使得 AD ⊥ A1 B . 此 .
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谢 谢 观 看！
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