模块综合检测
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A.x－y＋1＝0 B.x－y－＝0 C.x＋y－＝0 D.x＋y＋＝0
2.已知向量a＝（－1，1，0），b＝（1，0，2），且ka＋b与a－2b互相垂直，则k＝（ ）
A.－ B. C. D.
3.已知圆x2＋y2＝25的一条弦经过点P（1，3），当弦长最短时，该弦所在直线的方程为（ ）
A.3x－y＝0 B.2x＋y－5＝0 C.x＋3y－10＝0 D.x＋y－4＝0
4.若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为（1，－1），则椭圆C的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
7.圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2＝，则｜FN｜＝（ ）
A. B. C. D.1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.平行于直线x＋y＋1＝0，且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程可能是（ ）
A.x＋y＋2＝0 B.x＋y－2＝0 C.x＋y－2＝0 D.x＋y＋2＝0
10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.B1G⊥EF B.A1H∥平面AEF
C.点B1到平面AEF的距离为2 D.二面角E-AF-C的大小为
11.已知抛物线E：x2＝4y与圆C：x2＋（y－1）2＝16的公共点为A，B，点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，过点P作垂直于x轴的直线l交抛物线E于点N，则下列四个命题中正确的是（ ）
A.｜AB｜＝2
B.点P纵坐标的取值范围是（3，5]
C.点N到圆心C距离的最小值为1
D.若l不经过原点，则△CPN周长的取值范围是（8，10）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.若一条过原点的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为 .
13.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 .
14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离为.
（1）求圆C的标准方程；
（2）斜率存在的直线l过点M且与圆C相交于A，B两点，求弦长｜AB｜的最小值.
16.（本小题满分15分）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上（点P不在x轴上），且｜PF1｜＝5｜PF2｜.
（1）用a表示｜PF1｜，｜PF2｜；
（2）若∠F1PF2是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝2，AB＝3.
（1）求SA与BC所成角的余弦值；
（2）求证：AB⊥SD.
18.（本小题满分17分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为A1D1的中点，直线B1C1交平面CDE于点F.
（1）证明：点F为B1C1的中点；
（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M CF E的余弦值为，求的值.
19.（本小题满分17分）如图，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，过点A（0，－b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（－1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由.
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1.D 2.D 3.C
4.B 由题意得，＝2 b＝2a. ①
因为C2的焦距2c＝4，所以c＝＝2. ②
联立①②，得b＝4，故选B.
5.C 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），D1（0，0，2），E（0，0，1），F（1，1，0），所以＝（－2，0，2），＝（1，1，－1），故cos＜，＞＝＝＝－，所以直线AD1与EF所成角的余弦值是.故选C.
6.B 设M（x1，y1），N（x2，y2），所以两式相减得b2（y1＋y2）（y1－y2）＋a2（x1＋x2）（x1－x2）＝0，所以b2（－2）（y1－y2）＋2a2（x1－x2）＝0，所以－b2＋a2＝0，所以a2＝2b2，即a2＝2（a2－c2），所以＝，e＝，故选B.
7.D 建立空间直角坐标系，如图.设A（0，－1，0），B（0，1，0），S（0，0，），M，P（x，y，0）.于是有＝，＝.因为AM⊥MP，所以·＝0，即·＝0，即y＝，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2×＝.故选D.
8.A 因为F是抛物线C：y＝2x2的焦点，所以F，抛物线C的准线方程为y＝－，如图，过点M作抛物线的准线的垂线，交x轴于点A，交抛物线C的准线于点B，则MA∥OF，所以＝.因为2＝，所以｜MA｜＝×＝，｜MF｜＝｜MB｜＝＋＝，｜FN｜＝3｜FM｜＝.故选A.
9.AC 根据题意，所求直线平行于直线x＋y＋1＝0，则设所求直线的方程为x＋y＋m＝0，若所求直线与圆x2＋y2＝4相切，则＝2，解得m＝±2，则所求直线的方程为x＋y±2＝0.
10.ABC 建立空间直角坐标系如图所示，B1（2，2，2），G（0，1，0），E（0，2，1），F（1，2，0），A（2，0，0），A1（2，0，2），H（2，2，1），＝（－2，－1，－2），＝（1，0，－1），·＝0，所以B1G⊥EF，A选项正确.＝（0，2，－1），＝（－1，2，0），设平面AEF的法向量为n＝（x，y，z），则故可设n＝（2，1，2），·n＝0，由于A1H 平面AEF，所以A1H∥平面AEF，B选项正确.＝（0，－2，－2），所以B1到平面AEF的距离为＝＝2，C选项正确.平面AFC的法向量为＝（0，0，2），设二面角E-AF-C的平面角为θ，由图可知，θ为锐角.cos θ＝＝＝，所以θ不是，D选项错误.故选A、B、C.
11.BCD 圆C：x2＋（y－1）2＝16的圆心为C（0，1），半径r＝4，与y轴正半轴交于点（0，5），抛物线E：x2＝4y的焦点F（0，1）与C重合，准线为y＝－1，联立
可得y2＋2y－15＝0，解得或即A（－2，3），B（2，3），所以｜AB｜＝4，故选项A不正确；点P为圆C的劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P纵坐标的取值范围是（3，5]，故选项B正确；抛物线E：x2＝4y的焦点F（0，1）与圆心C重合，抛物线上的点到焦点的距离最小值为＝1，所以点N到圆心C距离的最小值为1，故选项C正确；直线l不经过原点，yP∈（3，5），则△CPN周长为｜PC｜＋｜PN｜＋｜NC｜＝r＋yP＋1＝5＋yP∈（8，10），所以△CPN周长的取值范围是（8，10），故选项D正确.故选B、C、D.
12.60°或120° 解析：圆（x－2）2＋y2＝4的圆心为（2，0），半径为2，由题意，直线斜率存在，设直线方程为y＝kx，因为直线被圆（x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为＝＝，解得k＝±，所以该直线的倾斜角为60°或120°.
13.3x2－y2＝1 解析：由题意可得e＝＝2，则c＝2a，其中一个焦点为F（c，0），渐近线方程为bx±ay＝0，所以＝＝b＝1，又c2＝4a2＝a2＋b2，所以a2＝，所以所求的双曲线方程为3x2－y2＝1.
14. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0）.设M（0，1，t），D1（0，0，z），0≤t≤z，则＝（0，－1，z－t），＝（－，1，t）.∵MD1⊥MA，∴·＝－1＋t（z－t）＝0，即z－t＝，则＝｜AM｜｜MD1｜＝××＝＝≥＝，当且仅当t2＝，即t＝，z＝时等号成立，故CC1的长为.
15.解：（1）由题意可设C（a，a），半径为r.
∵｜CO｜＝＝，∴a＝±1.
又圆C与x轴正半轴相切，∴a＝1，r＝1，
∴圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝1.
（2）设直线l的方程为y－＝k（x－1），
点C到直线l的距离d＝，
弦长｜AB｜＝2，
∴当k＝0时，弦长｜AB｜的最小值为.
16.解：（1）因为点P在双曲线的右支上，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，
又｜PF1｜＝5｜PF2｜，联立解得｜PF1｜＝a，｜PF2｜＝a.
（2）在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝－e2，
因为－1＜cos∠F1PF2＜0，所以－1＜－e2＜0，所以＜e＜.
17.解：（1）因为AD//BC，因此∠SAD即为SA与BC所成的角，在△SAD中，SA＝SD＝2，
又在正方形ABCD中AD＝AB＝3，因此cos∠SAD＝＝＝，
因此SA与BC所成角的余弦值是.
（2）证明：因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，在正方形ABCD中，AB⊥AD，
因此AB⊥平面SAD，又因为SD 平面SAD，因此AB⊥SD.
18.解：（1）证明：如图所示，取B1C1的中点F'，连接DE，EF'，F'C，
因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，E，F'为中点，故EF'∥CD，
所以E，F'，C，D四点共面，平面CDE即平面CDEF'，
据此可得：直线B1C1交平面CDE于点F'，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点F'重合，即点F为B1C1中点.
（2）以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示.
不妨设正方体的棱长为2，＝λ（0≤λ≤1），
则M（2，2λ，2），C（0，2，0），F（1，2，2），E（1，0，2），
从而＝（－2，2－2λ，－2），＝（1，0，2），＝（0，－2，0），
设平面MCF的法向量为m＝（x1，y1，z1），
则
令z1＝－1，可得m＝，
设平面CFE的法向量为n＝（x2，y2，z2），
则
令z1＝－1，可得n＝（2，0，－1），
从而m·n＝5，｜m｜＝，｜n｜＝，
则cos ＜m，n＞＝＝＝，
整理可得（λ－1）2＝，故λ＝，故＝.
19.解：（1）直线AB的方程为bx－ay－ab＝0.
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1.
（2）假设存在这样的k值，由得
（1＋3k2）x2＋12kx＋9＝0.
∴Δ＝（12k）2－36（1＋3k2）＞0. ①
设C（x1，y1），D（x2，y2），则 ②
而y1y2＝（kx1＋2）（kx2＋2）＝k2x1x2＋2k（x1＋x2）＋4.要使以CD为直径的圆过点E（－1，0），
当且仅当CE⊥DE，即·＝－1.
∴y1y2＋（x1＋1）（x2＋1）＝0.
∴（k2＋1）x1x2＋（2k＋1）（x1＋x2）＋5＝0. ③
将②式代入③整理解得k＝.经验证k＝使①成立.
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E.
1 / 3(共43张PPT)
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（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 倾斜角为120°，在 x 轴上的截距为－1的直线方程是（ ）
A. x － y ＋1＝0 B. x － y 0
C. x ＋ y 0 D. x ＋ y 0
解析： 由于倾斜角为120°，故斜率 k ＝ .又直线过点（－1，
0），所以直线方程为 y ＝ x ＋1）， x ＋ y 0.
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2. 已知向量 a ＝（－1，1，0）， b ＝（1，0，2），且 ka ＋ b 与 a －2
b 互相垂直，则 k ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： ka ＋ b ＝（－ k ＋1， k ，2）， a －2 b ＝（－3，1，－4），由（ ka ＋ b ）·（ a －2 b ）＝3（ k －1）＋ k －8＝0，解得 k .
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3. 已知圆 x2＋ y2＝25的一条弦经过点 P （1，3），当弦长最短时，该
弦所在直线的方程为（ ）
A. 3 x － y ＝0 B. 2 x ＋ y －5＝0
C. x ＋3 y －10＝0 D. x ＋ y －4＝0
解析： 圆心为 O （0，0）， P （1，3）， kOP ＝3，12＋32＜25，
P 在圆内.所以所求直线方程为 y －3＝ x －1）， x ＋3 y －10＝
0.故选C.
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4. 若双曲线 C1 1与 C2 1（ a ＞0， b ＞0）的渐
近线相同，且双曲线 C2的焦距为4 b ＝（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 由题意得 2 b ＝2 a . ①
因为 C2的焦距2 c ＝4 c 2 . ②
联立①②，得 b ＝4，故选B.
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5. 正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 DD1， BD 的中点，则直
线 AD1与 EF 所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 以 D 为坐标原点，建立如图所示的空
间直角坐标系 Dxyz ，设正方体的棱长为2，则 A
（2，0，0）， D1（0，0，2）， E （0，0，
1）， F （1，1，0），所 －2，0，2） 1，1，－1），故 cos
AD1与 EF 所成角的余弦值 .故选C.
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6. 已知椭 1（ a ＞ b ＞0），斜率为2的直线与椭圆相交于
两点 M ， N ， MN 的中点坐标为（1，－1），则椭圆 C 的离心率是
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设 M （ x1， y1）， N （ x2， y2），所以
b2（ y1＋ y2）（ y1－ y2）＋ a2（ x1＋ x2）（ x1－ x2）＝
0，所以 b2（－2）（ y1－ y2）＋2 a2（ x1－ x2）＝0，所以－ b2
（ ）＋ a2＝0，所以 a2＝2 b2，即 a2＝2（ a2－ c2），所 e B.
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7. 圆锥的轴截面 SAB 是边长为2的等边三角形， O 为底面的中心， M
为 SO 的中点，动点 P 在圆锥底面内（包括圆周）.若 AM ⊥ MP ，则
点 P 形成的轨迹的长度为（ ）
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C. D.
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解析： 建立空间直角坐标系，如图.设 A （0，
－1，0）， B （0，1，0）， S （0，0 M
（0，0 ）， P （ x ， y ，0）.于是
（0，1 ） （ x ， y ）.因为 AM ⊥ MP ，所 · 0，即（0，1 ）·（ x ， y ）＝0，即 y P 点形成的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2 .故选D.
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8. 已知 F 是抛物线 C ： y ＝2 x2的焦点， N 是 x 轴上一点，线段 FN 与抛
物线 C 相交于点 M ，若2 ｜ FN ｜＝（ ）
A. B.
C. D. 1
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解析： 因为 F 是抛物线 C ： y ＝2 x2的焦点，
所以 F （0 ），抛物线 C 的准线方程为 y ＝
M 作抛物线的准线的垂线，交
x 轴于点 A ，交抛物线 C 的准线于点 B ，则 MA ∥OF ，所 .因为2 ｜ MA ｜ ｜ MF ｜＝｜ MB ｜ ｜ FN ｜＝3｜ FM ｜ .故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的
得部分分，有选错的得0分）
9. 平行于直线 x ＋ y ＋1＝0，且与圆 x2＋ y2＝4相切的直线的方程可能
是（ ）
A. x ＋ y ＋2 0 B. x ＋ y －2＝0
C. x ＋ y －2 0 D. x ＋ y ＋2＝0
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解析：C 根据题意，所求直线平行于直线 x ＋ y ＋1＝0，则设所
求直线的方程为 x ＋ y ＋ m ＝0，若所求直线与圆 x2＋ y2＝4相切， 2，解得 m ＝±2 x ＋ y ±2 0.
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10. 已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的边长为2， E ， F ， G ， H 分别为
CC1， BC ， CD ， BB1的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. B1 G ⊥ EF
B. A1 H ∥平面 AEF
C. 点 B1到平面 AEF 的距离为2
D. 二面角 E - AF - C 的大小
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解析： 建立空间直角坐标系如图所示， B1（2，2，2）， G （0，1，0）， E （0，2，1）， F （1，2，0）， A （2，0，0），
A1（2，0，2）， H （2，2，1） －2，－1，－2） 1，0，－1） · 0，所以 B1 G ⊥ EF ，A选项正确.
0，2，－1） －1，2，
0），设平面 AEF 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 n ＝（2，1，2） · n ＝0，由于 A1 H 平面 AEF ，所以 A1 H ∥平面 AEF ，B选项正确.
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0，－2，－2），所以 B1到平面 AEF 的距离 2，C选项正确.平面 AFC 的法向量 0，0，2），设二面角 E - AF - C 的平面角为θ，由图可知，θ为锐角. cos θ θ不 D选项错误.故选A、B、C.
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11. 已知抛物线 E ： x2＝4 y 与圆 C ： x2＋（ y －1）2＝16的公共点为
A ， B ，点 P 为圆 C 的劣 A ， B 的一个动点，过点 P
作垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线 E 于点 N ，则下列四个命题中正确
的是（ ）
A. ｜ AB ｜＝2
B. 点 P 纵坐标的取值范围是（3，5]
C. 点 N 到圆心 C 距离的最小值为1
D. 若 l 不经过原点，则△ CPN 周长的取值范围是（8，10）
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解析： 圆 C ： x2＋（ y －1）2＝16的圆心为
C （0，1），半径 r ＝4，与 y 轴正半轴交于
点（0，5），抛物线 E ： x2＝4 y 的焦点
F （0，1）与 C 重合，准线为 y ＝－1，联
立 y2＋2 y －15＝0，解得 A （－2 3）， B （2 3），所以｜ AB ｜＝4 A不正确；
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点 P 为圆 C 的劣 A ， B 的一个动点，所以点 P
纵坐标的取值范围是（3，5]，故选项B正确；抛物线 E ： x2＝4 y
的焦点 F （0，1）与圆心 C 重合，抛物线上的点到焦点的距离最小
值 1，所以点 N 到圆心 C 距离的最小值为1，故选项C正确；
直线 l 不经过原点， yP ∈（3，5），则△ CPN 周长为｜ PC ｜＋｜
PN ｜＋｜ NC ｜＝ r ＋ yP ＋1＝5＋ yP ∈（8，10），所以△ CPN 周
长的取值范围是（8，10），故选项D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 若一条过原点的直线被圆 x2＋ y2－4 x ＝0所截得的弦长为2，则该
直线的倾斜角为 .
60°或120°
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解析：圆（ x －2）2＋ y2＝4的圆心为（2，0），半径为2，由题
意，直线斜率存在，设直线方程为 y ＝ kx ，因为直线被圆（ x －
2）2＋ y2＝4所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离 k ＝ 60°或
120°.
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13. 已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的离心率等于2，它的焦
点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 .
解析：由题意可得 e 2，则 c ＝2 a ，其中一个焦点为 F
（ c ，0），渐近线方程为 bx ± ay ＝0，所 b
＝1，又 c2＝4 a2＝ a2＋ b2，所以 a2
3 x2－ y2＝1.
3 x2－ y2＝1
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14. 如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝1， BC M 在
棱 CC1上，且 MD1⊥ MA ，则当△ MAD1的面积最小时，棱 CC1的长
为 .
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解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 D
（0，0，0）， A 0，0）.设 M （0，1，
t ）， D1（0，0， z ），0≤ t ≤ z ，
0，－1， z － t ） 1， t ）.∵
MD1⊥ MA ，∴ · 1＋ t （ z － t ）＝
0，即 z － t ｜ AM ｜｜ MD1｜
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t2 t z CC1的长 .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知圆 C 的圆心 C 在直线 y ＝ x 上，且与 x 轴
正半轴相切，点 C 与坐标原点 O 的距离 .
（1）求圆 C 的标准方程；
解：由题意可设 C （ a ， a ），半径为 r .
∵｜ CO ｜ ∴ a ＝±1.
又圆 C 与 x 轴正半轴相切，∴ a ＝1， r ＝1，
∴圆 C 的标准方程为（ x －1）2＋（ y －1）2＝1.
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（2）斜率存在的直线 l 过点 M （1 ）且与圆 C 相交于 A ， B 两
点，求弦长｜ AB ｜的最小值.
解：设直线 l 的方程为 y k （ x －1），
点 C 到直线 l 的距离 d
弦长｜ AB ｜＝2
∴当 k ＝0时，弦长｜ AB ｜的最小值 .
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16. （本小题满分15分）已知双曲 1（ a ＞0， b ＞0）的
左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上（点 P 不在 x 轴
上），且｜ PF1｜＝5｜ PF2｜.
（1）用 a 表示｜ PF1｜，｜ PF2｜；
解：因为点 P 在双曲线的右支上，所以｜ PF1｜－｜
PF2｜＝2 a ，
又｜ PF1｜＝5｜ PF2｜，联立解得｜ PF1｜ a ，｜ PF2｜
a .
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（2）若∠ F1 PF2是钝角，求双曲线离心率 e 的取值范围.
解：在△ PF1 F2中，由余弦定理得 cos ∠ F1 PF2 e2，
因为－1＜ cos ∠ F1 PF2＜0，所以－1 e2＜0，所 e .
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17. （本小题满分15分）如图，在四棱锥 S - ABCD 中，底面 ABCD 是
正方形，平面 SAD ⊥平面 ABCD ， SA ＝ SD ＝2， AB ＝3.
（1）求 SA 与 BC 所成角的余弦值；
解：因为AD//BC，因此∠ SAD 即为 SA 与 BC 所成的角，在△ SAD 中， SA ＝ SD ＝2，
又在正方形 ABCD 中 AD ＝ AB ＝3，因此
cos ∠ SAD
因此 SA 与 BC 所成角的余弦值 .
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（2）求证： AB ⊥ SD .
解：证明：因为平面 SAD ⊥平面
ABCD ，平面 SAD ∩平面 ABCD ＝ AD ，在
正方形 ABCD 中， AB ⊥ AD ，
因此 AB ⊥平面 SAD ，又因为 SD 平面
SAD ，因此 AB ⊥ SD .
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18. （本小题满分17分）已知正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1，点 E 为 A1 D1的
中点，直线 B1 C1交平面 CDE 于点 F .
（1）证明：点 F 为 B1 C1的中点；
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解：证明：如图所示，取 B1 C1的中
点F'，连接 DE ，EF'，F'C，
因为 ABCD - A1 B1 C1 D1为正方体， E ，F'
为中点，故EF'∥ CD ，
所以 E ，F'， C ， D 四点共面，平面 CDE即平面CDEF'，
据此可得：直线 B1 C1交平面 CDE 于点F'，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，
故点 F 与点F'重合，即点 F 为 B1 C1中点.
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（2）若点 M 为棱 A1 B1上一点，且二面角 M CF E 的余弦值
.
解：以点 D 为坐标原点， DA ，
DC ， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z
轴建立空间直角坐标系 D - xyz ，如图所
示.
不妨设正方体的棱长为2 λ
（0≤λ≤1），
则 M （2，2λ，2）， C （0，2，0）， F
（1，2，2）， E （1，0，2），
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从 －2，2－2λ，－2）
1，0，2） 0，－2，0），
设平面 MCF 的法向量为 m ＝（ x1， y1， z1），则
令 z1＝－1，可得 m ＝（2 －1），
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设平面 CFE 的法向量为 n ＝（ x2， y2， z2），
则
令 z1＝－1，可得 n ＝（2，0，－1），
从而 m · n ＝5，｜ m ｜ ｜ n ｜
则 cos ＜ m ， n ＞ λ－1）2 λ （λ ）， .
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19. （本小题满分17分）如图，已知椭 1（ a ＞ b ＞0）的
离心率 e A （0，－ b ）和 B （ a ，0）的直线与原点的
距离 .
（1）求椭圆的方程；
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解：直线 AB 的方程为 bx － ay － ab ＝0.
依题意
∴椭圆方程 y2＝1.
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（2）已知定点 E （－1，0），若直线 y ＝ kx ＋2（ k ≠0）与椭圆
交于 C ， D 两点，问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆
过 E 点，请说明理由.
解：假设存在这样的 k 值，由
（1＋3 k2） x2＋12 kx ＋9＝0.
∴Δ＝（12 k ）2－36（1＋3 k2）＞0. ①
设 C （ x1， y1）， D （ x2， y2），则
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而 y1 y2＝（ kx1＋2）（ kx2＋2）＝ k2 x1 2＋2 k （ x1＋ x2）＋4.要使以 CD 为直径的圆过点 E （－1，0），
当且仅当 CE ⊥ DE ， · 1.
∴ y1 y2＋（ x1＋1）（ x2＋1）＝0.
∴（ k2＋1） x1 x2＋（2 k ＋1）（ x1＋ x2）＋5＝0. ③
将②式代入③整理解得 k .经验证 k ①成立.
综上可知，存在 k CD 为直径的圆过点 E .
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谢 谢 观 看！
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