第一课时 排列及排列数公式
1.已知＝132，则n＝（ ）
A.11 B.12
C.13 D.14
2.＝（ ）
A.2n！ B.
C. D.2
3.已知自然数x满足3＝2＋6，则x＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
4.给出下列3个等式：①n！＝；②＝；③＝.其中正确的个数为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）下列问题是排列问题的有（ ）
A.在某足球超级联赛中，采取“主客场制”（即每两支球队在双方的主场各赛一场）.若共有12支球队参赛，则比赛的场数为多少？
B.在某足球赛中，采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加，分为8组，每组4支球队进行小组循环，则在小组循环中比赛的场数为多少？
C.会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人入座，有多少种不同的方法？
D.从集合M＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？
6.＝ ，3＋8＝ .
7.已知＝11×10×9×…×5，则mn＝ .
8.若关于x的方程：＝89，则x＝ .
9.写出下列问题的所有排列：
（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
（2）由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
10.（1）解不等式：3≤2＋6；
（2）解方程：3＝4.
11.设x∈N*，且x＞15，则（x－2）（x－3）（x－4）…（x－15）可化简为（ ）
A. B.C. D.
12.三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A.4种 B.5种
C.6种 D.12种
13.若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方式有 种.
14.化简求值：（1）；
（2）＋＋＋…＋.
15.
（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
16.一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？
第一课时 排列及排列数公式
1.B ∵＝n（n－1），∴n（n－1）＝132，整理得，n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11（不合题意，舍去）.
2.B ∵＝n！，∴＝＝＝.
3.C ∵自然数x满足3＝2＋6，∴3（x＋1）x·（x－1）＝2（x＋2）（x＋1）＋6（x＋1）x，由x是自然数且x＋1≥3，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－（舍）或x＝4，∴x＝4.
4.C ＝＝n！，所以①正确；
＝＝，分母为（n－m）！，而不是（m－n）！，所以②不正确；
＝＝＝＝，所以③正确.
5.AC A项是，同样是甲、乙两队比赛，甲队作为主队和乙队作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；B项不是，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需进行一场比赛，与顺序无关，不是排列问题；C项是，“入座”问题同“排队”问题一样，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题；D项不是，焦点在x轴上的椭圆，其标准方程中的a，b必有a＞b，a，b的大小一定，故不是排列问题.
6.3 360 14 280 解析：＝16×15×14＝3 360.
3＋8＝3×7×6×5×4×3＋8×7×6×5×4＝14 280.
7.77 解析：∵＝n×（n－1）×（n－2）×…×（n－m＋1）＝11×10×9×…×5，∴n＝11，n－m＋1＝5，∴m＝7，则mn＝77.
8.15 解析：法一 ∵＝x（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）·（x－5）（x－6）＝（x－5）（x－6）·，
∴原方程可化为＝89.
∵＞0，∴（x－5）（x－6）＝90.
解得x＝－4（舍去）或x＝15.
法二 由＝89，得＝90·，
即＝90·.
∵x！≠0，
∴＝，
∴（x－5）（x－6）＝90.
解得x＝－4（舍去）或x＝15.
9.解：（1）所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
（2）画出树形图，如图所示.
由上面的树形图知，所有的四位数为：
1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，共24个没有重复数字的四位数.
10.解：（1）由题意可知，x∈N*且x≥3，
因为＝x（x－1）（x－2），＝（x＋1）x，＝x（x－1），
所以原不等式可化为3x（x－1）（x－2）≤2x（x＋1）＋6x（x－1），整理得（3x－2）（x－5）≤0，
所以≤x≤5.又x∈N*且x≥3，
所以原不等式的解集为{3，4，5}.
（2）3＝4可化为3×＝4×，即3×＝4×，化简得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13，由题意知解得1＜x≤8，故原方程的解为x＝6.
11.B 先确定最大数，即n，再确定因式的个数，即m，易知n＝x－2，m＝（x－2）－（x－15）＋1＝14，所以原式＝.
12.C 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
13.11 解析：单词中含4个字母，其全排列有＝24个，但其中两个字母一样，因此排列方法种数为＝12，其中只有一种组合是正确的，因此错误拼写方式有12－1＝11种.
14.解：（1）＝·＝＝1.
（2）∵＝－，∴＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－.
15.B 依题意得，（n＋1）！≥3 000，又（5＋1）！＝6×5×4×3×2×1＝720，（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040＞3 000，所以n的最小值是6.
16.解：由题意可知，原有车票的种数是种，
现有车票的种数是种，
所以－＝62，
即（n＋m）（n＋m－1）－n（n－1）＝62，
所以m（2n＋m－1）＝62＝2×31，
因为m＜2n＋m－1，
且n≥2，m，n∈N*，
所以解得m＝2，n＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
2 / 2第一课时 排列及排列数公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导排列数公式 数学运算
3.能够运用排列知识解决一些简单的实际应用问题 逻辑推理
两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏.
【问题】 （1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两位数？
（2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
知识点一 排列的定义
一般地，从n个不同对象中，任取m（m≤n）个对象，按照一定的顺序 ，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个 .特别地，m＝n时的排列（即取出所有对象的排列）称为 .
提醒 （1）排列的定义包括三个方面：①取出元素；②排列中的元素互不相同；③按一定的顺序排列.
（2）两个排列必须同时满足下列两个条件时它们才是相同的：①排列中的元素完全相同；②元素的排列顺序也相同.
【想一想】
如何判断一个具体问题是否为排列问题？
知识点二 排列数的定义
从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的 ，用符号 表示.
知识点三 排列数公式
1.＝ ，其中n，m∈N，且m≤n.
2.＝ ，其中n，m∈N，且m≤n.我们把正整数由1到n的连乘积，读作n的阶乘，用 表示，规定0！＝ .
提醒 （1）运用排列数公式计算的注意点：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
（2）排列与排列数的区别：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，“排列”是指“从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它是一个数.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.（ ）
（2）从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题.（ ）
（3）有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题.（ ）
（4）从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题.（ ）
（5）从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题.（ ）
2.18×17×16×…×12×11等于（ ）
A. B.
C. D.
3.＝ ，＝ .
题型一 排列概念的辨析
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10人组成一个学习小组；
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
（6）某班40名学生在假期相互通信.
尝试解答
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
指出下列是否为排列问题：
（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
题型二 排列数公式及应用
【例2】 根据要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）解不等式：＞6；
（3）求证：（n＋1）！－n！＝n·n！.
尝试解答
通性通法
应用排列数公式的方法及注意点
将连续正整数的乘积转化为排列数时，关键是搞清楚其中的最大因数以及因数的个数.求解与排列数有关的方程或不等式时，通常是利用阶乘形式的排列数公式，将方程或不等式通过通分、约分等化简为普通方程或不等式，然后进行求解.但务必注意排列数中，m，n∈N，且m≤n这一隐含条件，根据这一隐含条件对求出的未知数进行取舍，从而得出原方程或不等式的解.
【跟踪训练】
解下列方程：（1）＝140；
（2）3＝4.
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 用排列数表示下列问题：
（1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
（2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数.
尝试解答
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把m个元素按一定顺序排列到n（n≥m）个位置上，排列数为，从n个元素中选 m个（m≤n），排列到m个位置上，排列数也是.
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
1.已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.＝（ ）
A.30 B.24
C.20 D.15
3.若A＝（n＞3，n∈N*），则A＝（ ）
A. B.
C. D.
4.现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是 .
5.求证：＝（n＋1）.
第一课时 排列及排列数公式
【基础知识·重落实】
知识点一
排成一列 排列 全排列
想一想
提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.
知识点二
排列数
知识点三
1.n（n－1）…（n－m＋1） 2. n！ 1
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√
2.A 18×17×16×…×12×11＝＝＝.
3.12 6 解析：＝4×3＝12；＝3×2×1＝6.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（3）、（4）不存在顺序问题，不属于排列问题.
（5）中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（6）A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.
跟踪训练
解：（1）从7本不同的书中选3本送给3名同学，因为每本书是不同的，存在顺序问题，是排列问题.
（2）从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，不是排列问题.
【例2】 解：（1）法一 ＝
＝＝＝.
法二 ＝＝＝.
法三 ＝＝＝＝.
（2）原不等式可化为＞，
其中2＜x≤9，x∈N*，即x2－21x＋104＞0，
整理得（x－8）（x－13）＞0，解得x＜8或x＞13.
又∵2＜x≤9，x∈N*，∴2＜x＜8，x∈N*.
故x＝3，4，5，6，7.
（3）证明：∵（n＋1）！－n！＝（n＋1）·n！－n！＝（n＋1－1）n！＝n·n！，所以原等式成立.
跟踪训练
解：（1）由排列数公式，原方程可化为（2x＋1）×2x×（2x－1）×（2x－2）＝140×x×（x－1）×（x－2），化简得（4x2－35x＋69）·（x－1）x＝0，解得x＝3或x＝或x＝1或x＝0.又x应满足所以x的取值范围为{x｜x≥3，x∈N*}.所以原方程的解为x＝3.
（2）由3＝4，得＝，
所以＝.
化简得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
因为0＜x≤8且0＜x－1≤9，所以原方程的解是x＝6.
【例3】 解：（1）从100个两两互质的数中任意取出2个数，分别作为商的分子和分母，由于这些数两两互质，所以商没有相等的个数就是排列数，其排列数即为商的个数.
（2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百数字、十位数字即可，其排列数，即为四位数个数.
（3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，其排列数，即为分配方案数.
跟踪训练
解：（1）本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数，即为没有重复数字的三位数.
（2）这是6个元素的全排列问题，其排列数，即为一天的课程的排法种数.
随堂检测
1.B ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.
2.A ＝6×5＝30.
3.D 易得＝n·（n－1）·（n－2）·…·4＝，所以A＝.
4.336 解析：从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为＝8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案.
5.证明：因为＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，（n＋1）＝（n＋1）·n！＝（n＋1）·n·（n－1）·…·3·2·1，
所以＝（n＋1）.
4 / 4(共60张PPT)
第一课时
排列及排列数公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解排列的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导排列数公式 数学运算
3.能够运用排列知识解决一些简单的实际应用问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数
字游戏.
【问题】 （1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的
两位数？
（2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？
知识点一 排列的定义
一般地，从 n 个不同对象中，任取 m （ m ≤ n ）个对象，按照一定
的顺序 ，称为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一
个 .特别地， m ＝ n 时的排列（即取出所有对象的排列）称
为 .
排成一列
排列
全排列
提醒 （1）排列的定义包括三个方面：①取出元素；②排列中的元
素互不相同；③按一定的顺序排列.
（2）两个排列必须同时满足下列两个条件时它们才是相同的：①排
列中的元素完全相同；②元素的排列顺序也相同.
【想一想】
如何判断一个具体问题是否为排列问题？
提示：判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有
序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”
（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其结果是
否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.
知识点二 排列数的定义
从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有排列的个数，称为从 n 个不
同对象中取出 m 个对象的 ，用符号 表示.
排列数
知识点三 排列数公式
1. ＝ ，其中 n ， m ∈N，且 m ≤
n .
2. ＝ ，其中 n ， m ∈N，且 m ≤ n .我们把正整数由1到
n 的连乘积，读作 n 的阶乘，用 表示，规定0！＝ .
n （ n －1）…（ n － m ＋1）
n ！
1
提醒 （1）运用排列数公式计算的注意点：连续正整数的积可以写
成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数（因式）
的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用.
（2）排列与排列数的区别：“排列”与“排列数”是两个不同的概
念，“排列”是指“从 n 个不同对象中取出 m （ m ≤ n ）个对
象，按照一定的顺序排成一列，它不是数，而是具体的一件
事；而“排列数”是上述完成这件事所有不同的排列个数，它
是一个数.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.（× ）
（2）从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有
多少种选法属于排列问题. （ √ ）
（3）有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分
组方案属于排列问题. （ × ）
（4）从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个
幂属于排列问题. （ √ ）
×
√
×
√
（5）从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个
点属于排列问题. （ √ ）
√
2.18×17×16×…×12×11等于（ ）
A. B. C. D.
解析： 18×17×16×…×12×11＝ ＝ ＝ .
3. ＝ ， ＝ .
解析： ＝4×3＝12； ＝3×2×1＝6.
12
6
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 排列概念的辨析
【例1】 判断下列问题是否为排列问题：
（1）北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格
（假设来回的票价相同）；
解： 中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样
的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
（2）选2个小组分别去植树和种菜；
解： 植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列
问题.
（3）选2个小组去种菜；
（4）选10人组成一个学习小组；
解： （3）、 （4）不存在顺序问题，不属于排列问题.
（5）选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
解：（5）中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是
不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
（6）某班40名学生在假期相互通信.
解：（6） A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的，所以存在着顺序
问题，属于排列问题.
通性通法
判断一个具体问题是否为排列问题的方法
【跟踪训练】
指出下列是否为排列问题：
（1）有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多
少种不同的送法？
解： 从7本不同的书中选3本送给3名同学，因为每本书是
不同的，存在顺序问题，是排列问题.
（2）有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少
种不同的送法？
解： 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相
同，不是排列问题.
题型二 排列数公式及应用
【例2】 根据要求完成下列各题：
（1）计算： ；
解： 法一
＝
＝ ＝ ＝ .
法二 ＝ ＝ ＝ .
法三 ＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）解不等式： ＞6 ；
解：原不等式可化为 ＞ ，
其中2＜ x ≤9， x ∈N*，即 x2－21 x ＋104＞0，
整理得（ x －8）（ x －13）＞0，解得 x ＜8或 x ＞13.
又∵2＜ x ≤9， x ∈N*，∴2＜ x ＜8， x ∈N*.
故 x ＝3，4，5，6，7.
（3）求证：（ n ＋1）！－ n ！＝ n · n ！.
解：证明：∵（ n ＋1）！－ n ！＝（ n ＋1）· n ！－ n ！＝（ n ＋1－
1） n ！＝ n · n ！，所以原等式成立.
通性通法
应用排列数公式的方法及注意点
将连续正整数的乘积转化为排列数时，关键是搞清楚其中的最大
因数以及因数的个数.求解与排列数有关的方程或不等式时，通常是
利用阶乘形式的排列数公式，将方程或不等式通过通分、约分等化简
为普通方程或不等式，然后进行求解.但务必注意排列数 中， m ，
n ∈N，且 m ≤ n 这一隐含条件，根据这一隐含条件对求出的未知数进
行取舍，从而得出原方程或不等式的解.
【跟踪训练】
解下列方程：（1） ＝140 ；
解： 由排列数公式，原方程可化为（2 x ＋1）×2 x ×（2 x
－1）×（2 x －2）＝140× x ×（ x －1）×（ x －2），化简得
（4 x2－35 x ＋69）（ x －1） x ＝0，解得 x ＝3或 x ＝ 或 x ＝1或
x ＝0.又 x 应满足所以 x 的取值范围
为{ x ｜ x ≥3， x ∈N*}.所以原方程的解为 x ＝3.
（2）3 ＝4 .
解： 由3 ＝4 ，得 ＝ ，
所以 ＝ .
化简得 x2－19 x ＋78＝0，解得 x1＝6， x2＝13.
因为0＜ x ≤8且0＜ x －1≤9，所以原方程的解是 x ＝6.
题型三 无约束条件的排列问题
【例3】 用排列数表示下列问题：
（1）从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
解： 从100个两两互质的数中任意取出2个数，分别作为商
的分子和分母，由于这些数两两互质，所以商没有相等的个数
就是排列数，其排列数 即为商的个数.
（2）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的
个数；
解： 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以
这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确
定千位数字、百数字、十位数字即可，其排列数 ，即为四位
数个数.
（3）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名新员
工，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分
配完毕，其分配方案的个数.
解： 可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大
学生安排到4家单位，其排列数 ，即为分配方案数.
通性通法
无约束条件的排列问题
无约束条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有
特别限制的问题.这一类型题目相对简单，分清元素和位置即可.把 m
个元素按一定顺序排列到 n （ n ≥ m ）个位置上，排列数为 ，从 n
个元素中选 m 个（ m ≤ n ），排列到 m 个位置上，排列数也是 .
【跟踪训练】
用排列数表示下列问题：
（1）利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的
三位数？
解： 本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三
个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故排列数 ，即
为没有重复数字的三位数.
（2）一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有几种排法？
解： 这是6个元素的全排列问题，其排列数 ，即为一天
的课程的排法种数.
1. 已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习
小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从 a ， b ， c ， d 四个字母中取出2个字母；
④从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数.
其中是排列问题的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析： ①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；
②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排
列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取
出的两个数字还需要按顺序排成一列.
2. ＝（ ）
A. 30 B. 24
C. 20 D. 15
解析： ＝6×5＝30.
3. 若 A ＝ （ n ＞3， n ∈N*），则 A ＝（ ）
A. B.
C. D.
解析： 易得 ＝ n ·（ n －1）·（ n －2）·…·4＝ ，所以 A ＝
.
4. 现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”“生态”和
“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数
是 .
解析：从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为 ＝8×7×6＝
336，故共有336种不同的选派方案.
5. 求证： ＝（ n ＋1） .
证明：因为 ＝（ n ＋1）· n ·（ n －1）·…·3·2·1，
（ n ＋1） ＝（ n ＋1）· n ！＝（ n ＋1）· n ·（ n －1）·…·3·2·1，
所以 ＝（ n ＋1） .
336
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 ＝132，则 n ＝（ ）
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
解析： ∵ ＝ n （ n －1），∴ n （ n －1）＝132，整理得， n2
－ n －132＝0，解得 n ＝12或 n ＝－11（不合题意，舍去）.
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2. ＝（ ）
A. 2 n ！ B.
C. D. 2
解析： ∵ ＝ n ！，∴ ＝ ＝ ＝ .
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3. 已知自然数 x 满足3 ＝2 ＋6 ，则 x ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： ∵自然数 x 满足3 ＝2 ＋6 ，∴3（ x ＋1）
x （ x －1）＝2（ x ＋2）（ x ＋1）＋6（ x ＋1） x ，由 x 是自然数且
x ＋1≥3，整理得：3 x2－11 x －4＝0，解得 x ＝－ （舍）或 x ＝
4，∴ x ＝4.
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4. 给出下列3个等式：① n ！＝ ；② ＝ ；③ ＝
.其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
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解析： ＝ ＝ n ！，所以①正确；
＝ ＝ ，分母为（ n － m ）！，而不是
（ m － n ）！，所以②不正确；
＝ ＝ ＝ ＝ ，所以③正确.
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5. （多选）下列问题是排列问题的有（ ）
A. 在某足球超级联赛中，采取“主客场制”（即每两支球队在双方
的主场各赛一场）.若共有12支球队参赛，则比赛的场数为多少？
B. 在某足球赛中，采用“分组循环淘汰制”.若共有32支球队参加，
分为8组，每组4支球队进行小组循环，则在小组循环中比赛的场
数为多少？
C. 会场有50个座位，要求选出3个座位安排3位客人入座，有多少种
不同的方法？
D. 从集合 M ＝{1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为 a ， b ，
可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 ＋ ＝1？
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解析： A项是，同样是甲、乙两队比赛，甲队作为主队和乙
队作为主队是两场不同的比赛，故与顺序有关，是排列问题；B项
不是，由于是组内循环，故甲、乙两队之间只需进行一场比赛，与
顺序无关，不是排列问题；C项是，“入座”问题同“排队”问题
一样，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题；D
项不是，焦点在 x 轴上的椭圆，其标准方程中的 a ， b 必有 a ＞ b ，
a ， b 的大小一定，故不是排列问题.
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6. ＝ ，3 ＋8 ＝ .
解析： ＝16×15×14＝3 360.
3 ＋8 ＝3×7×6×5×4×3＋8×7×6×5×4＝14 280.
7. 已知 ＝11×10×9×…×5，则 mn ＝ .
解析：∵ ＝ n ×（ n －1）×（ n －2）×…×（ n － m ＋1）＝
11×10×9×…×5，
∴ n ＝11， n － m ＋1＝5，
∴ m ＝7，则 mn ＝77.
3 360
14 280
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8. 若关于 x 的方程： ＝89，则 x ＝ .
解析：法一 ∵ ＝ x （ x －1）（ x －2）（ x －3）（ x －4）（ x
－5）（ x －6）＝（ x －5）（ x －6）· ，
∴原方程可化为 ＝89.
∵ ＞0，
∴（ x －5）（ x －6）＝90.
解得 x ＝－4（舍去）或 x ＝15.
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法二 由 ＝89，得 ＝90· ，
即 ＝90· .
∵ x ！≠0，∴ ＝ ，
∴（ x －5）（ x －6）＝90.
解得 x ＝－4（舍去）或 x ＝15.
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9. 写出下列问题的所有排列：
（1）从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多
少个不同的两位数？
解： 所有两位数是12，21，13，31，14，41，23，32，
24，42，34，43，共有12个不同的两位数.
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（2）由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位
数？试全部列出.
解： 画出树形图，如图所示.
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由上面的树形图知，所有的四位数为：
1 234，1 243，1 324，1 342，1 423，1 432，2 134，2 143，
2 314，2 341，2 413，2 431，3 124，3 142，3 214，3 241，
3 412，3 421，4 123，4 132，4 213，4 231，4 312，4 321，
共24个没有重复数字的四位数.
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10. （1）解不等式：3 ≤2 ＋6 ；
解： 由题意可知， x ∈N*且 x ≥3，
因为 ＝ x （ x －1）（ x －2）， ＝（ x ＋1） x ，
＝ x （ x －1），
所以原不等式可化为3 x （ x －1）（ x －2）≤2 x （ x ＋1）＋
6 x （ x －1），整理得（3 x －2）（ x －5）≤0，
所以 ≤ x ≤5.又 x ∈N*且 x ≥3，
所以原不等式的解集为{3，4，5}.
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（2）解方程：3 ＝4 .
解： 3 ＝4 可化为3× ＝4× ，即
3× ＝4× ，化简得 x2－19 x ＋78＝
0，解得 x ＝6或 x ＝13，由题意知解得1＜ x
≤8，故原方程的解为 x ＝6.
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11. 设 x ∈N*，且 x ＞15，则（ x －2）（ x －3）（ x －4）…（ x －
15）可化简为（ ）
A. B. C. D.
解析： 先确定最大数，即 n ，再确定因式的个数，
即 m ，易知 n ＝ x －2， m ＝（ x －2）－（ x －15）＋1＝14，
所以原式＝ .
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12. 三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过
4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（ ）
A. 4种 B. 5种 C. 6种 D. 12种
解析： 若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→
甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传
给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法.
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13. 若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼
写方式有 种.
解析：单词中含4个字母，其全排列有 ＝24个，但其中两个字
母一样，因此排列方法种数为 ＝12，其中只有一种组合是正确
的，因此错误拼写方式有12－1＝11种.
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14. 化简求值：（1） ；
解： ＝ · ＝
＝1.
（2） ＋ ＋ ＋…＋ .
解： ∵ ＝ － ，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝
＋ ＋ ＋…＋ ＝1－ .
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15.
（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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解析： 依题意得，（ n ＋1）！≥3 000，又（5＋1）！＝
6×5×4×3×2×1＝720，（6＋1）！＝7×6×5×4×3×2×1＝5 040
＞3 000，所以 n 的最小值是6.
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16. 一条铁路有 n 个车站，为适应客运需要，新增了 m 个车站，且知
m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个
车站？
解：由题意可知，原有车票的种数是 种，
现有车票的种数是 种，所以 － ＝62，
即（ n ＋ m ）（ n ＋ m －1）－ n （ n －1）＝62，
所以 m （2 n ＋ m －1）＝62＝2×31，
因为 m ＜2 n ＋ m －1，且 n ≥2， m ， n ∈N*，
所以解得 m ＝2， n ＝15，
故原有15个车站，现有17个车站.
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谢 谢 观 看！
