第二课时 排列的综合应用
新课程标准解读 核心素养
1.掌握一些排列问题的常用解决方法 逻辑推理
2.能运用排列知识解决简单的实际问题 数学抽象
经历了6月高考的洗礼，考生们就可以报考自己理想的大学了.大学录取是按批次进行的，每个批次里考生可以选择若干个学校.假如你已经选中了第一批本科中较为满意的8个学校和5个专业.
【问题】 在填写录取志愿表时，将有多少种不同的填写方法呢？
知识点一 解简单的排列应用题的基本思想
知识点二 解简单的排列应用题
解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序.如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解.
提醒 （1）排列问题的解题策略：解决排列问题的关键是认真审题，把握问题的实质，分清分类与分步的标准，并且要遵循两个原则：①按事情发生的过程进行分步；②按元素的性质进行分类.
（2）常见的解题策略有以下几种：①特殊元素优先安排的策略；②合理分类与准确分步的策略；③正难则反、等价转化的策略；④相邻问题捆绑处理的策略；⑤不相邻问题插空处理的策略；⑥定序问题除法处理的策略；⑦分排问题直排处理的策略.
1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A.280种 B.240种
C.180种 D.96种
2.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一种画必须放在一起，并且水彩画不放两端，那么不同的排法种数是（ ）
A. B.
C. D.
3.数字1，2，3与符号“＋”和“－”五个元素的所有排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是 .
题型一 特殊元素或特殊位置问题
【例1】 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站右端，也不站左端；
（2）甲、乙站在两端；
（3）甲不站左端，乙不站右端.
尝试解答
通性通法
“特殊”优先原则
常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题就是典型的特殊元素或特殊位置问题，解题原则是谁“特殊”谁优先.一般从以下三种思路考虑：（1）以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化为图表如下：
当限制条件有两个或两个以上时，若互不影响，则直接按分步解决；若相互影响，则先分类，然后在每一类中再分步解决.
【跟踪训练】
在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A，B，C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A，B项目，乙不能参加B，C项目，那么共有多少种不同的志愿者分配方案（ ）
A.18 B.21
C.27 D.33
题型二 相邻问题
【例2】 有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同排法的种数为（ ）
A.72 B.96
C.144 D.288
尝试解答
通性通法
解决“相邻”问题用“捆绑法”
将n个不同的元素排成一排，其中k个元素排在相邻位置上，求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）先将这k个元素“捆绑”在一起，看成一个整体；
（2）把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有种；
（3）“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有种；
（4）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种.
【跟踪训练】
6本不同的书摆放在书架的同一层上，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）
A.24种 B.36种
C.48种 D.60种
题型三 不相邻问题
【例3】 已知A，B，C，D，E五名同学，按下列要求进行排列，求所有满足条件的排列方法数.
（1）把5名同学排成一排且A，B不相邻；
（2）把5名同学排成一排且A，B都不与C相邻；
（3）把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B不相邻.
尝试解答
通性通法
解决不相邻问题用“插空法”
将n个不同的元素排成一排，其中k个元素互不相邻（k≤n－k＋1），求不同排法的种数，具体求解步骤如下：
（1）将没有不相邻要求的元素共（n－k）个排成一排，其排列方法有种；
（2）将要求两两不相邻的k个元素插入（n－k＋1）个空隙中，相当于从（n－k＋1）个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素，其排列方法有种；
（3）根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有·种.
【跟踪训练】
国际冬奥会和残奥会两个奥运会于2022年在北京召开，这是我国在2008年成功举办夏季奥运会之后的又一奥运盛事.某电视台计划在奥运会期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的奥运宣传广告，要求第一个和最后一个播放的必须是奥运宣传广告，且3个奥运宣传广告不能两两相邻播放，则不同的播放方式有（ ）
A.144种 B.72种
C.36种 D.24种
题型四 定序问题
【例4】 （1）用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有 个七位数符合条件；
（2）将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻）.这样的排列方法有 种（用数字作答）.
尝试解答
通性通法
部分元素定序的排列问题的解法
部分元素定序的排列问题，有两种解法：
一是把不要求定序的元素首先排列，剩余的位置就是定序的元素，这些定序的元素只有一种排法，所以问题就转化为不要求定序的元素有多少种排法；
二是用“倍缩法”，有（m＋n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m＋n）个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
【跟踪训练】
《中国诗词大会》亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ）
A.144种 B.288种
C.360种 D.720种
圆排列问题
有10个人围着一张圆桌坐成一圈，共有多少种不同的坐法？
解：为了更方便的说明这个问题，我们先将10人编为1～10，然后以他们的编号按照顺序站成一圈，这样就形成了一个圆排列.
分别以1，2，3，4，5，6，7，8，9，10号作为开头将这个圆排列打开，就可以得到10种排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…，10，1，2，3，4，5，6，7，8，9.这就是说，这个圆排列对应了10个排列.因此，要求的圆排列数，只需要求出全排列数再除以10就可以了，即不同的坐法有＝362 880种.
【问题探究】
所谓圆排列，即n个不同的事物围成一个圆时总的排法有（n－1）！种.
下面使用递归的方法，推导这个公式的由来.
从最简单的做起：当圆排列只有一个人时，显然只有一种排法，即（1－1）！，两个人时也只有一种排法，即（2－1）！.为了清晰表示这种情况，用简单的图形（如图）表示，可以基于下面的思路：三个人圆排列时，可以看成是在前面两个人圆排列的基础上再加一个人，两个人圆排列时有（2－1）！种排法，同时两个人之间形成两个空隙，第三个人只需在两个空隙中任选一个空隙坐下即可，故三个人的圆排列有2×（2－1）！＝（3－1）！种.同理，四个人圆排列时，可以看成是在三个人圆排列的基础上再加一个人，三个人的圆排列有（3－1）！种，同时三个人之间会形成三个空隙，第四个人可以从三个空隙中任选一个坐下，故四个人的圆排列有3×（3－1）！＝（4－1）！种.依次类推，n个人圆排列时，可以看成是在（n－1）个人圆排列的基础上再加一个人，（n－1）个人的圆排列有（n－2）！种，同时（n－1）个人之间会形成（n－1）个空隙，第n个人可以从（n－1）个空隙中任选一个坐下，故n个人的圆排列有（n－1）×（n－2）！＝（n－1）！种.
结论：圆排列问题一般分两类：
第一类（人排列），n个人站成一圈，不同的站法一共有＝＝（n－1）！种；
第二类（项链排列），如果排成一圈的是某种可以翻转的物体（如珍珠、无正反面），那么围成的圆圈就是可以翻转的，而翻转过后，圆圈上的顺时针就会变为逆时针，打开时对应的排列数就要乘以2.因此，这时求排列数，需要用正常情况下的圆排列数再除以2，即不同的排法一共有＝（n≥3）种.
【迁移应用】
有5对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只有随机安排座位.则这5对夫妇恰好都被安排到一起相邻而坐的概率（ ）
A.在1‰到5‰之间
B.在5‰到1%之间
C.超过1%
D.不超过1‰
1.将3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则不同的分法种数是（ ）
A.1 260 B.120 C.240 D.720
2.有m位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n位同学，但是不能改变原来的m位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ）
A. B.
C. D.＋
3.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有 种.
4.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表.要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为 （用数字作答）.
5.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种（用数字作答）.
第二课时 组合的综合应用
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.D 个位数字可以是1，3，5中的1个，故奇数的个数为＝72.
2.180 解析：6位游客选2人去A风景区，有种，余下4位游客选2人去B风景区，有种，余下2人去C，D风景区，有种，所以分配方案共有＝180（种）.
3.36 解析：法一 第一步，选2名同学报名某个社团，有＝12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36（种）报法.
法二 第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共种方法.由分步乘法计数原理得共有＝36种报法.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）B （3）D
解析：（1）由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有种不同的放法.
（2）由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可，故共有种不同的放法.
（3）由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第2个球有8种放法，…，第5个球也有8种放法.故不同的放法共有8×8×8×8×8＝85（种）.
跟踪训练
解：（1）小组赛中，每组6队进行单循环比赛，即6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2＝2×＝30（场）.
（2）半决赛中，甲组第一名与乙组第二名（或乙组第一名与甲组第二名）主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2＝2×1×2＝4（场）.
（3）决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35（场）.
【例2】 解：（1）分两步完成：第一步，选3名男运动员，有种选法；
第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有·＝120（种）选法.
（2）法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得选法共有＋＋＋＝246（种）.
法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.
从10人中任选5人有种选法，其中全是男运动员的选法有种.所以“至少有1名女运动员”的选法有－＝246（种）.
（3）法一（直接法） 可分类求解：
“只有男队长”的选法种数为；
“只有女队长”的选法种数为；
“男、女队长都入选”的选法种数为，
所以共有2＋＝196（种）选法.
法二（间接法） 从10人中任选5人有种选法，其中不选队长的方法有种.所以“至少有1名队长”的选法有－＝196（种）.
（4）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有种选法，其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时的选法共有（－）种.所以既要有队长又要有女运动员的选法共有＋－＝191（种）.
跟踪训练
解：（1）根据题意，选法可以分成两类：
第一类，选出的2名代表为1男1女，有＝20种选法；
第二类，选出的2名代表都为女生，有＝6种选法；
则必须有女生的选法有20＋6＝26（种）.
（2）根据题意，从4名女生中任选2人的选法有＝6种，从5名男生中任选2人的选法有＝10种.
则从中选出男、女各2名的选法有6×10＝60（种）.
（3）根据题意，要完成安排，可以分为两步：
第一步，从9人中任选4人，要求男生甲与女生乙至少有1人在内，有－＝91（种）方法；
第二步，将选出的4人全排列，对应四个不同岗位，有＝24种方法，因此共有91×24＝2 184（种）安排方法.
【例3】 解：（1）、（2）、（3）中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，可由分步乘法计数原理进行计算.
（4）、（5）、（6）属于不定向分配问题，不定向分配问题属于排列问题，可分为两步：第一步，把6本书分为3组；第二步，把分好的书分给甲、乙、丙3人.因此只要将分组方法数再乘以甲、乙、丙3人的全排列数即可.
（1）不同的分配方法种数为＝90.
（2）不同的分配方法种数为＝60.
（3）不同的分配方法种数为＝30.
（4）不同的分配方法种数为÷×＝90.
（5）不同的分配方法种数为＝360.
（6）不同的分配方法种数为÷×＝90.
跟踪训练
解：根据题意，分两步进行分析：第一步：将5项工作分成3组，若分成1，1，3的三组，有＝10种分组方法，若分成1，2，2的三组，有＝15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10＋15＝25（种）分组方法；第二步：将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有＝6种情况，则有25×6＝150（种）不同的分组方法.
拓视野 用隔板法解相同元素的分配问题
迁移应用
1.解：（1）需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放法对应着一种分法，故共有＝10种.
（2）恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有＝40种.
（3）恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5个空隙中的任意1处，故共有＝30种.
2.解：（1）问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为＝＝455.故不同的分配方案共有455种.
（2）问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串成一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔板，插法种数为＝84，因此不同的分配方案共有84种.
随堂检测
1.C ＋＝2×3＋1×3＝9.
2.B 分两种情况：若选1女2男，则有＝12种选法；若选2女1男，则有＝4种选法，根据分类加法计数原理可得，共有12＋4＝16（种）选法，故选B.
3.C 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有＝4种，其余人的拿法有＝120种，则梨子的不同分法共有4×120＝480（种）.
4.C 根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有种安排方法.故满足题意的分配方案共有·＝240（种）.
5.解：法一 以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有＝48个不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有＝112个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有＝56个不同的三角形.
由分类加法计数原理知，共有48＋112＋56＝216（个）不同的三角形.
法二（间接法） 从12个点中任意取3个点，有＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有＝4种.
故这12个点构成三角形的个数为－＝216.
6 / 6第二课时 组合的综合应用
1.自2020年起，山东省高考科目将由“3＋3”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
2.十四届全国人大二次会议于2024年3月5日至11日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A，B两市代表团）安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A，B两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为（ ）
A.6 B.12
C.16 D.18
3.2024年春节期间，因工作需要，M，N两社区需要招募义务宣传员，现有A，B，C，D，E，F六位大学生和甲、乙、丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往M，N两社区开展宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且B由于工作原因只能派往M社区，则不同的选派方案种数为（ ）
A.120 B.90
C.60 D.30
4.如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的选法种数为（ ）
A.25 B.30
C.35 D.40
5.（多选）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）
A.18 B.
C. D.
6.某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五项运动可以选择，则共有 种运动组合方式.
A运动 B运动 C运动 D运动 E运动
7点～ 8点 8点～ 9点 9点～ 10点 10点～ 11点 11点～ 12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
7.从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作 个不同的平面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作 个四面体.
8.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为 （用数字作答）.
9.某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，那么不同的调度方法有多少种？
10.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一张，不同取法的种数为（ ）
A.232 B.252
C.472 D.484
11.中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，若三位同学选取的礼物都满意，则选法有（ ）
A.30种 B.50种
C.60种 D.90种
12.有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科（包含语文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.
（1）有女生担任课代表但人数必须少于男生；
（2）某女生一定要担任语文课代表；
（3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；
（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
13.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数（用数字作答）.
14.将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
第二课时 组合的综合应用
1.D 由题意知，该同学3科选考科目的不同选法的种数为＝9，故选D.
2.B 如果仅有A，B入住a宾馆，则余下3个代表团中必有2个代表团人员入住同一家宾馆，此时共有＝6种安排种数，如果有A，B及其余一个代表团入住a宾馆，则余下2个代表团分别入住b，c，此时共有＝6种安排种数.综上，共有不同的安排种数为12.
3.C 由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B.
按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.
第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有＝10种，
第二步：按题意将3位党员教师分成一组1人，一组2人，有＝3种，
再分别派往两个社区的不同选派种数为10×3×2＝60（种），故选C.
4.A 从某一档的7颗算珠中任取3颗，既有上珠又有下珠的选法种数为＋＝25.故选A.
5.CD 根据捆绑法得到共有·＝36，先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有＝36.由于＝18≠36，故选C、D.
6.23 解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，并且选择两项运动的情况中，AB，DB，EB的组合方式是不符合题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分钟，因此组合方式共有＋＋＋－3＝23（种）.
7.12 58 解析：依题意，从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面所确定的平面有：6个表面，6个对角面，故共有12个不同的平面.从正方体的8个顶点中选4个点，有＝70，则从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作70－12＝58（个）四面体.
8.5 040 解析：根据题意，分两种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，有＝3 600（种）；若甲、乙两人都参加，有＝1 440（种）.则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.
9.解：法一 第一步，从排除甲、乙的5辆车中任选2辆，有种选法；
第二步，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，从4个位置中选2个位置安排甲、乙，甲在乙前，共种方法；
第三步，安排其他两辆车，共种方法.
所以不同的调度方法有＝120（种）.
法二 第一步，从排除甲、乙的5辆车中任选2辆，有种选法；
第二步，连同甲、乙两车共4辆，将它们全排列，有种不同的排法；
第三步，在以上的每个排列中，不是甲在前，就是乙在前，所以取其一半即可.
由分步乘法计数原理，不同调度方法有＝120（种）.
10.C 从16张不同的卡片中任取3张，共有种取法，其中有两张红色的有×种取法，三张卡片颜色相同的有×4种取法.所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法有－×－×4＝472（种）.
11.B 若甲同学选牛，那么乙同学只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，则共有＝20种；若甲同学选马，那么乙同学能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，则有·＝30种.所以共有20＋30＝50（种）.故选B.
12.解：（1）（先选后排）符合条件的课代表人员的选法有（＋）种，排列方法有种，所以满足题意的选法有（＋）·＝5 400（种）.
（2）除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名担任除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为＝840.
（3）（先选后排）从剩余的7名学生中选出4名有种选法；该男生的安排方法有种，其余4人全排列，有种，所以选法共有＝3 360（种）.
（4）先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有种选法；该男生的安排方法有种，其余3人全排列，有种，因此满足题意的选法共有＝360（种）.
13.1 260 解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为＋＝720＋540＝1 260.
14.解：（1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）放法.
（2）为全排列问题，共有＝24（种）放法.
（3）法一 先将4个小球分为三组，有种，
再将三组小球投入4个盒子中的3个盒子，有种投放方法，
故共有·＝144（种）放法.
法二 先取4个小球中的2个“捆”在一起，有种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有种放法，所以共有＝144（种）放法.
（4）1个球的编号与盒子编号相同的选法有种，
当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的投放方法有2种，故共有×2＝8（种）.
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第二课时
组合的综合应用
新课程标准解读 核心素养
1.学会运用组合的知识解决简单的实际问题 数学抽象
2.掌握解决组合问题的常见方法 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某校开展冬季校运会，招募了20名志愿者，他们的编号分别是1
号，2号，…，19号，20号.若要从中任意选取4人再按编号大小分成
两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编
号较大的在另一组.
【问题】 为确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多
少种？
知识点 应用组合知识解决实际问题的四个步骤
1. 判断：判断实际问题是否是组合问题.
2. 方法：选择利用直接法还是间接法解题.
3. 计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算.
4. 结论：根据计算结果写出方案个数.
提醒 （1）解答组合应用题的总体思路：①整体分类：对事件进行
整体分类，从集合的意义上讲，分类要做到各类的并集等于全集，以
保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重
复，计算其结果时，使用分类加法计数原理；②局部分步：整体分类
以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的
不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类相应的
结果时，使用分步乘法计数原理；③考查顺序：区别排列与组合的重
要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题
属排列问题.
（2）如果用间接法来解这类有多个限制条件的组合问题，则应注意
容斥原理“card（ A ∪ B ）＝card（ A ）＋card（ B ）－card（ A
∩ B ）”的运用.
1. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个
数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
解析： 个位数字可以是1，3，5中的1个，故奇数的个数为
＝72.
2. 现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中 A ， B 风景区门票各2
张， C ， D 风景区门票各1张，则不同的分配方案共有 种.
解析：6位游客选2人去 A 风景区，有 种，余下4位游客选2人去 B
风景区，有 种，余下2人去 C ， D 风景区，有 种，所以分配方
案共有 ＝180（种）.
180
3. 某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报
1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有 种（用数字作
答）.
解析：法一 第一步，选2名同学报名某个社团，有 ＝12
种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同
学，有 ＝3种报法.由分步乘法计数原理得共有12×3＝36
（种）报法.
36
法二 第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共 种方
法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共
种方法.由分步乘法计数原理得共有 ＝36种报法.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 无限制条件的组合问题
【例1】 （1）将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至
多放一个球，则不同的放法有（ ）
A. 种 B. 种
C. 58种 D. 85种
解析： 由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有 种不同的放法.
（2）将5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个
球，则不同的放法有（ ）
A. 种 B. 种
C. 58种 D. 85种
解析：由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出5个不同的盒子即可，故共有 种不同的放法.
解析：由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种放法，第
2个球有8种放法，…，第5个球也有8种放法.故不同的放法共有
8×8×8×8×8＝85（种）.
（3）将5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不
限，则不同的放法有（ ）
A. 种 B. 种 C. 58种 D. 85种
通性通法
排列、组合和可重复选取元素的三个基本模型
（1） r 个不同的球，放入 n （ r ≤ n ）个不同的盒子中，每个盒里至多
放一个球，共有 种不同的放法；
（2） r 个相同的球，放入 n （ r ≤ n ）个不同的盒子中，每个盒里至多
放一个球，共有 种不同的放法；
（3） r 个不同的球，放入 n 个不同的盒子中，每个盒里放球数量不
限，共有 nr 种不同的放法.
【跟踪训练】
某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行.
（1）小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以
积分及净胜球数取前两名；
解： 小组赛中，每组6队进行单循环比赛，即6支球队的任
两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取
2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2 ＝2× ＝30
（场）.
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名
进行主客场交叉淘汰赛（每两队主客场各赛一场）决出胜者；
解： 半决赛中，甲组第一名与乙组第二名（或乙组第一名
与甲组第二名）主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元
素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2 ＝
2×1×2＝4（场）.
（3）决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负.
问全部赛程共需比赛多少场？
解： 决赛只需比赛1场，即可决出胜负.
所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35（场）.
题型二 有限制条件的组合问题
【例2】 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选
派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
解： 分两步完成：第一步，选3名男运动员，有 种选法；
第二步，选2名女运动员，有 种选法.由分步乘法计数原理
可得，共有 · ＝120（种）选法.
（2）至少有1名女运动员；
解：法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况：1女4
男，2女3男，3女2男，4女1男.
由分类加法计数原理可得选法共有 ＋ ＋ ＋
＝246（种）.
法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间
接法求解.
从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.所
以“至少有1名女运动员”的选法有 － ＝246（种）.
解：法一（直接法） 可分类求解：“只有男队长”的选法种数为
；
“只有女队长”的选法种数为 ；
“男、女队长都入选”的选法种数为 ，
所以共有2 ＋ ＝196（种）选法.
法二（间接法） 从10人中任选5人有 种选法，
其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法有 －
＝196（种）.
（3）队长中至少有1人参加；
解：当有女队长时，其他人任意选，共有 种选法；当不选女队长
时，必选男队长，共有 种选法，其中不含女运动员的选法有
种，所以不选女队长时的选法共有（ － ）种.所以既要有队长又
要有女运动员的选法共有 ＋ － ＝191（种）.
（4）既要有队长，又要有女运动员.
通性通法
组合问题常见的限制条件
（1）特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元
素、特殊元素的多少作为分类依据；
（2）含有“至多”“至少”等限制语句：其解法一般为直接分步
法，即“含”的先取出，“不含”的可把特殊元素去掉后再取
出，分步计数.
必要时，还需对元素进行分类，对题目中的元素分类后，要弄
清被取出的元素“含有”哪一类，“含有”多少个，或者对于
某个特殊元素，被取出的元素中含不含这个特殊元素，这是解
题的关键.
当用直接法分类较多时，可考虑用间接法处理，即“正难则
反”的策略.
【跟踪训练】
现有9名学生，其中女生4名，男生5名.
（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
解： 根据题意，选法可以分成两类：
第一类，选出的2名代表为1男1女，有 ＝20种选法；
第二类，选出的2名代表都为女生，有 ＝6种选法；
则必须有女生的选法有20＋6＝26（种）.
（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
解： 根据题意，从4名女生中任选2人的选法有 ＝6种，
从5名男生中任选2人的选法有 ＝10种.
则从中选出男、女各2名的选法有6×10＝60（种）.
（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且
男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？
解： 根据题意，要完成安排，可以分为两步：
第一步，从9人中任选4人，要求男生甲与女生乙至少有1人在
内，有 － ＝91（种）方法；
第二步，将选出的4人全排列，对应四个不同岗位，有 ＝24
种方法，因此共有91×24＝2 184（种）安排方法.
题型三 分组与分配问题
【例3】 将6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有
多少种不同的分配方法？
（1）甲2本，乙2本，丙2本；
解：（1）、（2）、（3）中，由于每人分的本数固定，属于定向分
配问题，可由分步乘法计数原理进行计算.
（2）甲1本，乙2本，丙3本；
（3）甲4本，乙、丙每人1本；
（4）每人2本；
（5）一人1本，一人2本，一人3本；
（6）一人4本，其余两人每人1本.
解： （4）、（5）、 （6）属于不定向分配问题，不定向分配问题属于排列问题，可分为两步：第一步，把6本书分为3组；第二步，把分好的书分给甲、乙、丙3人.因此只要将分组方法数再乘以甲、乙、丙3人的全排列数 即可.
（1）不同的分配方法种数为 ＝90.
（2）不同的分配方法种数为 ＝60.
（3）不同的分配方法种数为 ＝30.
（4）不同的分配方法种数为 ÷ × ＝90.
（5）不同的分配方法种数为 ＝360.
（6）不同的分配方法种数为 ÷ × ＝90.
通性通法
均匀分组与分配问题的解法
（1）有3 m 个不同的元素分配给甲、乙、丙三个位置，每个位置都是
m 个元素，这是均匀分配问题，分配方法数是 ；
（2）有3 m 个不同的元素，要均匀的分成三组，每组有 m 个元素，这
是均匀分组问题，分组方法数是 ÷ （其中3为均
匀分组的组数）；
（3）有 m ＋2 k 个不同的元素，要分成三组，这三组元素的个数分别
是 m ， k ， k 个，这是部分均匀分组问题，分组方法数是
÷ （其中2为部分均匀分组问题中相同元素的个
数）.
【跟踪训练】
第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比
赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工
作由一人完成，共有多少种不同的安排方式？
解：根据题意，分两步进行分析：第一步：将5项工作分成3组，若分
成1，1，3的三组，有 ＝10种分组方法，若分成1，2，2的三
组，有 ＝15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10＋15＝25
（种）分组方法；第二步：将分好的三组全排列，对应3名志愿者，
有 ＝6种情况，则有25×6＝150（种）不同的分组方法.
用隔板法解相同元素的分配问题
1. 把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同
的分法？
2. 将10个志愿者名额分配给4个学校，要求每校至少有一个名额，则
不同的名额分配方法共有 种（用数字作答）.
3. 从4个班中选出7位同学组成体育啦啦队，每班至少1位同学，则不
同的名额分配方案共有 种（用数字作答）.
【问题探究】
上述三个问题可归结为以下两个问题.
1. 把 n 个相同的小球放入 m 个不同的盒子中（ n ≥ m ≥1），要求每个
盒子非空，有多少种不同放法？
提示：先将 n 个小球排成一列，然后在它们之间形成的（ n －1）个
空（不含两端的）中插入（ m －1）块隔板，便将 n 个小球分割成
m 组，每组至少有1个小球，这 m 组小球依次放入 m 个不同的盒
子，（ m －1）块隔板的一块插法就对应了 n 个相同小球投入 m 个
不同盒子的一种放法，故不同的放法共有 种.
2. 将 n 个相同的小球投放到 m （ n ≥ m ≥1）个不同的盒子中，可以有
空盒的不同放法有多少种？
提示：法一 将 m 个盒子排成一排（并在一起的两盒子的外壁视为
一块隔板），除去两端的盒子的外壁，共有（ m －1）块隔板；再
把 n 个相同的小球投放到 m 个不同的盒子中，不同的放法对应着 n
个球和（ m －1）块隔板的不同排法，于是问题转化为从（ n ＋ m
－1）个位置中选出 n 个位置放球，共有不同放法 ＝
种.
法二 “将 n 个相同的小球投放到 m （ n ≥ m ≥1）个不同的盒子中，
允许有空盒子”的放法种数，等于“将 n ＋ m 个相同的小球投放到 m
（ n ≥ m ）个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球”的放法种数，根
据法一可知，共 种不同放法.
结论：相同元素的分配问题用“隔板法”
“隔板法”的解题步骤：
（1）定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量；
（2）定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数；
（3）插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求插入隔板，利用
组合数求解不同的分法种数.
【迁移应用】
1. 将6个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法
的种数.
（1）每个盒子都不空；
解： 需将6个小球分为4组，然后每个盒子放入1组，可
用3块隔板放在6个小球之间的5个空隙中的任意3处，每种放
法对应着一种分法，故共有 ＝10种.
（2）恰有1个盒子空；
解： 恰有1个盒子空，需将6个小球分为3组，然后放入
其中的3个盒子中，每个盒子放1组.这时可用2块隔板放在6个
小球之间的5个空隙中的任意2处，故共有 ＝40种.
（3）恰有2个盒子空.
解： 恰有2个盒子空，需将6个小球分为2组，然后放入
其中的2个盒子中，每个盒子放1组，这时可用1块隔板放在5
个空隙中的任意1处，故共有 ＝30种.
2. 某校准备参加2024年高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年
级的1～4班，每班至少一个名额.
（1）不同的分配方案共有多少种？
解： 问题相当于将16个小球串成一串，插入3块隔板，
截为4段，16个小球间有15个空隙，从中选3个插入隔板，插
法种数为 ＝ ＝455.故不同的分配方案共有455种.
（2）若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多
少种？
解： 问题等价于先给2班1个小球，3班2个小球，4班3个
小球，再把余下的10个小球放入4个盒子里，求每个盒子里至
少有1个小球的分配方法种数问题.即相当于将10个小球串成
一串，截为4段，10个小球间有9个空隙，从中选3个插入隔
板，插法种数为 ＝84，因此不同的分配方案共有84种.
1. 某校开设 A 类选修课2门， B 类选修课3门，一位同学从中选3门.若
要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A. 3种 B. 6种
C. 9种 D. 18种
解析： ＋ ＝2×3＋1×3＝9.
2. 从2位女生，4位男生中选3人参加比赛，且至少有1位女生入选，则
不同的选法共有（ ）
A. 12种 B. 16种
C. 20种 D. 24种
解析： 分两种情况：若选1女2男，则有 ＝12种选法；若选
2女1男，则有 ＝4种选法，根据分类加法计数原理可得，共有
12＋4＝16（种）选法，故选B.
3. 小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈，包括他共7人，
一天爸爸从果园里摘了7个大小不同的梨，给家里每人一个，小孔
拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿最大的
一个，则梨子的不同分法共有（ ）
A. 96种 B. 120种
C. 480种 D. 720种
解析： 由题意知，小孔拿了最小的一个，爷爷、奶奶、姥爷、
姥姥4位老人之一拿最大的一个的拿法有 ＝4种，其余人的拿法
有 ＝120种，则梨子的不同分法共有4×120＝480（种）.
4. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4
个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分
配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A. 60种 B. 120种
C. 240种 D. 480种
解析： 根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每
个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志
愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有 种分法；第二
步，将分好的4组安排到4个项目中，有 种安排方法.故满足题意
的分配方案共有 · ＝240（种）.
5. 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线.以这
些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？
解：法一 以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.
第1类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有 ＝48个
不同的三角形；
第2类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有 ＝112
个不同的三角形；
第3类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有 ＝56个
不同的三角形.
由分类加法计数原理知，共有48＋112＋56＝216（个）不同的
三角形.
法二（间接法） 从12个点中任意取3个点，有 ＝220种取
法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能
构成三角形的情况有 ＝4种.
故这12个点构成三角形的个数为 － ＝216.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 自2020年起，山东省高考科目将由“3＋3”组成，其中第一个
“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化
学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学
计划从物理、化学、生物3科中任选2科，从政治、历史、地理3科
中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数
为（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由题意知，该同学3科选考科目的不同选法的种数为
＝9，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 十四届全国人大二次会议于2024年3月5日至11日在北京召开，会议
期间工作人员将其中的5个代表团人员（含 A ， B 两市代表团）安
排至 a ， b ， c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾
馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若 A ， B 两市代表团必须
安排在 a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ）
A. 6 B. 12
C. 16 D. 18
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 如果仅有 A ， B 入住 a 宾馆，则余下3个代表团中必有2
个代表团人员入住同一家宾馆，此时共有 ＝6种安排种数，如
果有 A ， B 及其余一个代表团入住 a 宾馆，则余下2个代表团分别入
住 b ， c ，此时共有 ＝6种安排种数.综上，共有不同的安排种
数为12.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 2024年春节期间，因工作需要， M ， N 两社区需要招募义务宣传
员，现有 A ， B ， C ， D ， E ， F 六位大学生和甲、乙、丙三位党
员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往 M ， N 两社区开
展宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，
且 B 由于工作原因只能派往 M 社区，则不同的选派方案种数为
（ ）
A. 120 B. 90
C. 60 D. 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由于 B 只能派往 M 社区，所以分组时不用考虑 B .
按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个
社区.
第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有
＝10种，
第二步：按题意将3位党员教师分成一组1人，一组2人，有
＝3种，
再分别派往两个社区的不同选派种数为10×3×2＝60（种），
故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，
用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算
珠中任取3颗，则既有上珠又有下珠的选法种数为（ ）
A. 25 B. 30
C. 35 D. 40
解析： 从某一档的7颗算珠中任取3颗，既有上珠又有下珠的选
法种数为 ＋ ＝25.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程
车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程
车，共有多少种方式？下列结论正确的有（ ）
A. 18 B.
C. D.
解析： 根据捆绑法得到共有 · ＝36，先选择一个工地有
两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有 ＝36.由
于 ＝18≠36，故选C、D.
1
2
3
4
5
6
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6. 某人某天运动的总时长需要大于等于60分钟，现有如下表所示的五
项运动可以选择，则共有 种运动组合方式.
A 运动 B 运动 C 运动 D 运动 E 运动
7点～8点 8点～9点 9点～10点 10点～11点 11点～12点
30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟
解析：若使运动总时长大于等于60分钟，则至少要选择两项运动，
并且选择两项运动的情况中， AB ， DB ， EB 的组合方式是不符合
题意的，选择三项、四项、五项运动均满足总时长大于等于60分
钟，因此组合方式共有 ＋ ＋ ＋ －3＝23（种）.
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7. 从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面，可作 个不同的平
面，从正方体的8个顶点中选4个点作一个四面体，可作 个
四面体.
解析：依题意，从正方体的8个顶点中选4个点作一个平面所确定的
平面有：6个表面，6个对角面，故共有12个不同的平面.从正方体
的8个顶点中选4个点，有 ＝70，则从正方体的8个顶点中选4个
点作一个四面体，可作70－12＝58（个）四面体.
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58
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8. 从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安
排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且
当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不
同的安排种数为 （用数字作答）.
解析：根据题意，分两种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，
有 ＝3 600（种）；若甲、乙两人都参加，有 ＝1
440（种）.则不同的安排种数为3 600＋1 440＝5 040.
5 040
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9. 某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务，要求甲、
乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，那么不同的调度方法有
多少种？
解：法一 第一步，从排除甲、乙的5辆车中任选2辆，有 种
选法；
第二步，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，从4个位置中选2个
位置安排甲、乙，甲在乙前，共 种方法；
第三步，安排其他两辆车，共 种方法.
所以不同的调度方法有 ＝120（种）.
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法二 第一步，从排除甲、乙的5辆车中任选2辆，有 种选法；
第二步，连同甲、乙两车共4辆，将它们全排列，有 种不同的
排法；
第三步，在以上的每个排列中，不是甲在前，就是乙在前，所以取其
一半即可.
由分步乘法计数原理，不同调度方法有 ＝120（种）.
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10. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，
从中任取3张，这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片最多一
张，不同取法的种数为（ ）
A. 232 B. 252
C. 472 D. 484
解析： 从16张不同的卡片中任取3张，共有 种取法，其中
有两张红色的有 × 种取法，三张卡片颜色相同的有 ×4
种取法.所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不
同取法有 － × － ×4＝472（种）.
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11. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每个人的出生年份对应了十二
种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）
中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作
为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪
个吉祥物都喜欢，若三位同学选取的礼物都满意，则选法有
（ ）
A. 30种 B. 50种
C. 60种 D. 90种
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解析： 若甲同学选牛，那么乙同学只能选狗和羊中的一种，
丙同学可以从剩下的10种任意选，则共有 ＝20种；若甲同
学选马，那么乙同学能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩
下的10种中任意选，则有 · ＝30种.所以共有20＋30＝50
（种）.故选B.
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12. 有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科（包含语
文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数.
（1）有女生担任课代表但人数必须少于男生；
解： （先选后排）符合条件的课代表人员的选法有（ ＋ ）种，排列方法有 种，所以满足题意的选法有（ ＋ ）· ＝5 400（种）.
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（2）某女生一定要担任语文课代表；
解： 除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4
名担任除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为
＝840.
（3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表；
解： （先选后排）从剩余的7名学生中选出4名有 种
选法；该男生的安排方法有 种，其余4人全排列，有
种，所以选法共有 ＝3 360（种）.
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（4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但
不担任数学课代表.
解： 先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有
种选法；该男生的安排方法有 种，其余3人全排列，有
种，因此满足题意的选法共有 ＝360（种）.
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13. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，
一共可以组成 个没有重复数字的四位数（用数字作
答）.
解析：若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为
；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为
.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数
为 ＋ ＝720＋540＝1 260.
1 260
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14. 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的
盒子中.
（1）有多少种放法？
解： 每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小
球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256（种）
放法.
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（2）每盒至多1个球，有多少种放法？
（3）恰好有1个空盒，有多少种放法？
解：为全排列问题，共有 ＝24（种）放法.
解：法一 先将4个小球分为三组，有 种，
再将三组小球投入4个盒子中的3个盒子，有 种投放方法，
故共有 · ＝144（种）放法.
法二 先取4个小球中的2个“捆”在一起，有 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有 种放法，
所以共有 ＝144（种）放法.
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解： 1个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，
当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知，其余3个球的
投放方法有2种，故共有 ×2＝8（种）.
（4）每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相
同，有多少种放法？
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