第一课时 组合及组合数公式
1.＋2＋等于（ ）
A. B.
C. D.
2.若＝12，则n等于（ ）
A.8 B.5或6
C.3或4 D.4
3.（多选）下列等式中，正确的是（ ）
A.（n＋1）＝
B.＝（n－2）！
C.＝
D.＝
4.若＝42，则的值为（ ）
A.6 B.7
C.35 D.20
5.异面直线a，b上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面个数是（ ）
A.20 B.9
C. D.＋
6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 .
7.不等式－n＜5的解集为 .
8.若∶∶＝3∶4∶5，则n＝ ，m＝ .
9.要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
（2）至少有1女且至多有3男当选.
10.（1）解方程：3＝5；
（2）求＋的值.
11.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为（ ）
A.4 B.8
C.28 D.64
12.（多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）
A.＝
B.＝＋
C.＝m
D.＋m＝
13.已知＝，则＋＋＋＋＝ .
14.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
（2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
15.算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数为 ，其中所拨数字小于600的有 个.
16.（1）已知＝，求正整数n的值；
（2）解不等式：－＜.
第一课时 组合及组合数公式
1.D ＋2＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝＝，故选D.
2.A 因为＝n（n－1）（n－2），＝n（n－1），所以n（n－1）（n－2）＝12×n（n－1），由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.
3.ABD 通过计算得到选项A、B、D的左右两边都是相等的.对于选项C，＝，所以选项C是错误的，故选A、B、D.
4.C 因为＝42，所以×1×2＝42，即n（n－1）＝42.解得n＝7（负值舍去），所以＝＝＝＝35，故选C.
5.B 分两类：第1类，在直线a上任取一点，与直线b可确定个平面；第2类，在直线b上任取一点，与直线a可确定个平面.故可确定＋＝9（个）不同的平面.
6.14 解析：从6人中任选4人的选法种数为＝15，其中没有女生的选法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
7.{2，3，4} 解析：由－n＜5，得－n＜5，
∴n2－3n－10＜0.解得－2＜n＜5.
由题设条件知n≥2，且n∈N*，
∴n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}.
8.62 27 解析：由题意知由组合数公式得
解得
9.解：（1）甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，有＝70种选法.
（2）至少有1女且至多有3男时，应分三类：
第1类是3男2女，有种选法；
第2类是2男3女，有种选法；
第3类是1男4女，有种选法.
由分类加法计数原理知，共有＋＋＝186（种）选法.
10.解：（1）由排列数和组合数公式，原方程可化为3·＝5·，则＝，
即为（x－3）（x－6）＝40.所以x2－9x－22＝0，解之可得x＝11或x＝－2.经检验知x＝11是原方程的解，所以方程的解为x＝11.
（2）由组合数的定义知所以7≤r≤9.又r∈N*，所以r＝7，8，9，
当r＝7时，原式＝＋＝46；
当r＝8时，原式＝＋＝20；
当r＝9时，原式＝＋＝46.
11.C 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建＝28条公路.
12.ABD 根据组合数的性质或组合数的计算公式＝，可知A、B选项正确；
＝，而m＝，故C选项错误；
＋m＝＋＝＋＝＝，故D选项正确.故选A、B、D.
13.120 解析：∵＝，∴m＝11，∴＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝＝120.
14.解：（1）从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝＝45.
（2）可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种方法；
第2类，选出的2名是女教师有种方法.
根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21（种）不同的选法.
15.24 7 解析：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有＝24（个），当下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况；当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中随机选择两个档位各拨一颗，有＝6（种）情况，所以所拨数字小于600的有1＋6＝7（个）.
16.解：（1）原式可化简为＋1＝，即＝.
即
＝·，
整理得n2－3n－54＝0，解得n＝9或n＝－6（舍去），
所以n＝9即为所求.
（2）原不等式化简可以得－＜
.
又x≥5，可得x2－11x－12＜0，解得5≤x＜12.
又x∈N*，∴x∈{5，6，7，8，9，10，11}.
1 / 2第一课时 组合及组合数公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式 数学运算
3.能够运用组合知识解决一些简单的实际应用问题 逻辑推理
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上台发言.
【问题】 （1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？
（2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？
（3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？
知识点一 组合和组合数的定义
1.一般地，从n个不同对象中取出m（m≤n）个对象并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个 .
2.从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的 ，用符号 表示.
提醒 （1）排列与组合的异同点
排列 组合
相同点 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关
（2）对组合与组合数的再理解：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，一个“组合”是指“从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中，任取出m个元素的所有组合的个数”，它是一个数.
知识点二 组合数公式
1.＝ ＝ ＝ （n，m∈N，且m≤n）.
2.规定：＝ .
知识点三 组合数的性质
1.＝ .
2.＋＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.（ ）
（2）从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为.（ ）
（3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法.（ ）
2.＋＋＋＝（ ）
A.31 B.32
C.33 D.34
3.若＝，则＝（ ）
A.380 B.190
C.18 D.9
4.若＝＋，则n的值是（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
题型一 组合的概念
【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
（1）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？
（2）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
（3）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
（4）从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
尝试解答
通性通法
1.根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合.
2.区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
【跟踪训练】
从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合.
题型二 组合数公式及应用
【例2】 根据要求完成下列各题：
（1）求7－4的值；
（2）解方程：－＝；
（3）解不等式：2＜3.
尝试解答
通性通法
应用组合数公式的注意点
进行组合数的相关计算时，注意以下几点：
（1）与排列数公式一样，组合数的第一个公式一般用于计算，第二个公式一般用于证明、解方程（不等式）等；
（2）要注意公式＝的逆向运用；
（3）对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题，但在求出结果后应注意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数中下标n大于或等于该组合数的上标m，又要保证n，m均为正整数.
【跟踪训练】
解方程：（1）＝；
（2）＋＝.
题型三 利用组合数公式证明恒等式
【例3】 设m，n∈N*，n≥m，求证：（m＋1）＋（m＋2）＋（m＋3）＋…＋n＋（n＋1）＝（m＋1）.
尝试解答
通性通法
组合数的性质1可以用来进行转化，减少计算量；组合数的性质2主要用于计算或化简多个组合数连加，此时往往需要先用性质1进行适当的转化，使得有两个组合数为下标相同，上标差1的形式，再反复运用性质2即可化成最简形式.
【跟踪训练】
证明：（1）m＝n；
（2）＝＝.
题型四 简单组合问题的应用
【例4】 在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人不能参加”，有多少种不同的选法？
2.（变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？
通性通法
解答简单的组合问题的思考方法
（1）弄清要做的这件事是什么事；
（2）看选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
（3）结合两计数原理，利用组合数公式求出结果.
1.（多选）给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？
其中是组合问题的是（ ）
A.① B.②
C.③ D.没有
2.若m，n∈N*，且n≥m，则（ ）
A.≥ B.＞
C.＝ D.≠
3.＋＋＋＋＋的值为 .
4.不等式＜的解集为 .
5.计算：（1）（＋）÷；
（2）＋＋…＋；
（3）＋.
第一课时 组合及组合数公式
【基础知识·重落实】
知识点一
1.组合 2.组合数
知识点二
1. 2.1
知识点三
1. 2.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）√
2.D ＋＋＋＝＋＋＋＝3＋6＋10＋15＝34.
3.B ∵＝，∴n＝18，∴＝＝＝＝190.
4.B ∵＝＋＝，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.
（2）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别.
（3）是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别.
（4）是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有顺序的区别.
跟踪训练
解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
【例2】 解：（1）7－4＝7×－4×＝0.
（2）由题意知m的取值范围是0≤m≤5且m∈N，
故－＝，
即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m）.
∴m2－23m＋42＝0，
解得m＝2或m＝21（舍）.
故原方程的解为m＝2.
（3）∵2＜3，∴2＜3，
∴＜3×.
又∵∴x≥2，
∴＜，∴2≤x＜，且x∈N*，
∴x＝2，3，4，5，∴不等式的解集为{2，3，4，5}.
跟踪训练
解：（1）由原方程得x＋1＝2x－3或x＋1＋2x－3＝13，
解得x＝4或x＝5.
经检验，x＝4或x＝5是原方程的解.
故原方程的解为x＝4或x＝5.
（2）原方程可化为＝，即＝，
∴＝，
∴＝，
∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x＝－3（舍）.
经检验，x＝4是原方程的解.
【例3】 证明：当n＝m时，结论显然成立.
当n＞m时，（k＋1）＝
＝（m＋1）·
＝（m＋1），k＝m＋1，m＋2，…，n.
又＋＝，
所以（k＋1）＝（m＋1）（－），k＝m＋1，m＋2，…，n.
因此，（m＋1）＋（m＋2）＋（m＋3）＋…＋（n＋1）＝（m＋1）＋[（m＋2）＋（m＋3）·＋…＋（n＋1）]＝（m＋1）＋（m＋1）·[（－）＋（－）＋…＋（－）]＝（m＋1）.
跟踪训练
证明：（1）m＝m·＝
＝n·＝n.
（2）＝·＝＝，
＝·＝＝，
故＝＝.
【例4】 解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问题，共有＝28种不同的选法.
母题探究
1.解：甲、乙二人不能参加，则只需从另外的8人中选4人，共有＝70种不同的选法.
2.解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，有＝2种选法；再从另外8人中选3人，有种选法.共有＝112种不同的选法.
随堂检测
1.BC ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B、C.
2.A 由题意可知≥1，又＝·，故≥.
3.32 解析：法一 原式＝1＋5＋＋＋5＋1＝32.
法二 原式＝2（＋＋）＝2（＋）＝2×＝32.
4.{3，4，5，6，7} 解析：由题意知3≤n≤12，且n∈N*，由题意得＜，解得n＜7.5，∵n∈N*，∴n＝3，4，5，6，7.
5.解：（1）原式＝÷＝÷（）＝＝.
（2）原式＝＋＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝…＝＋＝＝165.
（3）依题意n必须满足且n∈N*，
解得≤n≤.∵n∈N*，∴n＝6.
∴原式＝＋＝31.
4 / 4(共64张PPT)
第一课时
组合及组合数公式
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，理解组合的概念 数学抽象
2.能利用计数原理推导组合数公式 数学运算
3.能够运用组合知识解决一些简单的实际应用问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上
台发言.
（2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？
（3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？
【问题】 （1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？
知识点一 组合和组合数的定义
1. 一般地，从 n 个不同对象中取出 m （ m ≤ n ）个对象并成一组，称
为从 n 个不同对象中取出 m 个对象的一个 .
2. 从 n 个不同对象中取出 m 个对象的所有组合的个数，称为从 n 个不
同对象中取出 m 个对象的 ，用符号 表示.
组合
组合数
提醒 （1）排列与组合的异同点
排列 组合
相同点 从 n 个不同元素中取出 m （ m ≤ n ）个元素
不同点 与元素的顺序有关 与元素的顺序无关
（2）对组合与组合数的再理解：“组合”与“组合数”是两个不同
的概念，一个“组合”是指“从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤
n ）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；
“组合数”是指“从 n 个不同元素中，任取出 m 个元素的所有组
合的个数”，它是一个数.
知识点三 组合数的性质
1. ＝ .
2. ＋ ＝ .
知识点二 组合数公式
1. ＝ ＝ ＝ （ n ，
m ∈N，且 m ≤ n ）.
2. 规定： ＝ .
1
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.
（ √ ）
（2）从 a1， a2， a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，
所有组合的个数为 . （ √ ）
（3）从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法.
（ √ ）
√
√
√
2. ＋ ＋ ＋ ＝（ ）
A. 31 B. 32
C. 33 D. 34
解析： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝3＋6＋10
＋15＝34.
3. 若 ＝ ，则 ＝（ ）
A. 380 B. 190
C. 18 D. 9
解析： ∵ ＝ ，∴ n ＝18，∴ ＝ ＝ ＝ ＝
190.
4. 若 ＝ ＋ ，则 n 的值是（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： ∵ ＝ ＋ ＝ ，∴ n ＋1＝3＋4，解得 n ＝6.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 组合的概念
【例1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题：
（1）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需
要进行多少场次？
解： 是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁
先谁后，没有顺序的区别.
（2）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少
种可能？
解： 是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得
亚军、乙队得冠军是不一样的，有顺序的区别.
（3）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
解： 是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别.
（4）从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
解： 是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表有
顺序的区别.
通性通法
1. 根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完
成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排
列，与顺序无关的是组合.
2. 区分有无顺序的方法
把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素
的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是
排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题.
【跟踪训练】
从5个不同的元素 a ， b ， c ， d ， e 中取出2个，写出所有不同
的组合.
解：要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为ab ， ac ， ad ， ae ， bc ，bd ， be ， cd ， ce ， de .
题型二 组合数公式及应用
【例2】 根据要求完成下列各题：
（1）求7 －4 的值；
解： 7 －4 ＝7× －4× ＝0.
（2）解方程： － ＝ ；
解： 由题意知 m 的取值范围是0≤ m ≤5且 m ∈N，
故 － ＝ ，
即60－10（6－ m ）＝（7－ m ）（6－ m ）.
∴ m2－23 m ＋42＝0，
解得 m ＝2或 m ＝21（舍）.
故原方程的解为 m ＝2.
（3）解不等式：2 ＜3 .
解： ∵2 ＜3 ，∴2 ＜3 ，
∴ ＜3× .
又∵∴ x ≥2，
∴ ＜ ，∴2≤ x ＜ ，且 x ∈N*，
∴ x ＝2，3，4，5，∴不等式的解集为{2，3，4，5}.
通性通法
应用组合数公式的注意点
进行组合数的相关计算时，注意以下几点：
（1）与排列数公式一样，组合数的第一个公式一般用于计算，第二
个公式一般用于证明、解方程（不等式）等；
（2）要注意公式 ＝ 的逆向运用；
（3）对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公
式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题，但在求出
结果后应注意验证能不能使组合数有意义，既要保证组合数
中下标 n 大于或等于该组合数的上标 m ，又要保证 n ， m 均为正
整数.
【跟踪训练】
解方程：（1） ＝ ；
解： 由原方程得 x ＋1＝2 x －3或 x ＋1＋2 x －3＝13，
解得 x ＝4或 x ＝5.
经检验， x ＝4或 x ＝5是原方程的解.
故原方程的解为 x ＝4或 x ＝5.
解：原方程可化为 ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ x2－ x －12＝0，解得 x ＝4或 x ＝－3（舍）.
经检验， x ＝4是原方程的解.
（2） ＋ ＝ .
题型三 利用组合数公式证明恒等式
【例3】 设 m ， n ∈N*， n ≥ m ，求证：（ m ＋1） ＋（ m ＋2）
＋（ m ＋3） ＋…＋ n ＋（ n ＋1） ＝（ m ＋1）
.
证明：当 n ＝ m 时，结论显然成立.
当 n ＞ m 时，（ k ＋1） ＝
＝（ m ＋1）·
＝（ m ＋1） ， k ＝ m ＋1， m ＋2，…， n .
又 ＋ ＝ ，
所以（ k ＋1） ＝（ m ＋1）（ － ）， k ＝ m ＋1， m ＋
2，…， n .
因此，（ m ＋1） ＋（ m ＋2） ＋（ m ＋3） ＋…＋（ n
＋1）
＝（ m ＋1） ＋[（ m ＋2） ＋（ m ＋3） ＋…＋（ n ＋
1） ]
＝（ m ＋1） ＋（ m ＋1）[（ － ）＋（ －
）＋…＋（ － ）]
＝（ m ＋1） .
通性通法
组合数的性质1可以用来进行转化，减少计算量；组合数的性质2
主要用于计算或化简多个组合数连加，此时往往需要先用性质1进行
适当的转化，使得有两个组合数为下标相同，上标差1的形式，再反
复运用性质2即可化成最简形式.
【跟踪训练】
证明：（1） m ＝ n ；
证明： m ＝ m · ＝
＝ n · ＝ n .
（2） ＝ ＝ .
证明： ＝ · ＝ ＝ ，
＝ · ＝ ＝ ，故 ＝
＝ .
题型四 简单组合问题的应用
【例4】 在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要
从中选出4人参加县级培训.甲、乙二人必须参加，有多少种不同
的选法？
解：甲、乙二人必须参加，则只需要从另外8人中选2人，是组合问
题，共有 ＝28种不同的选法.
【母题探究】
1. （变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二
人不能参加”，有多少种不同的选法？
解：甲、乙二人不能参加，则只需从另外的8人中选4人，共有
＝70种不同的选法.
2. （变条件）本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二
人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？
解：甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙中选1人，
有 ＝2种选法；再从另外8人中选3人，有 种选法.共有 ＝
112种不同的选法.
通性通法
解答简单的组合问题的思考方法
（1）弄清要做的这件事是什么事；
（2）看选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；
（3）结合两计数原理，利用组合数公式求出结果.
1. （多选）给出下列问题：
①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调
查，有多少种不同的选法？
②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选
法？
③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结
果有多少种？
其中是组合问题的是（ ）
A. ① B. ②
C. ③ D. 没有
解析： ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是
组合问题，故选B、C.
2. 若 m ， n ∈N*，且 n ≥ m ，则（ ）
A. ≥ B. ＞
C. ＝ D. ≠
解析： 由题意可知 ≥1，又 ＝ · ，故 ≥ .
3. ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 的值为 .
解析：法一 原式＝1＋5＋ ＋ ＋5＋1＝32.
32
法二 原式＝2（ ＋ ＋ ）＝2（ ＋ ）＝2× ＝
32.
4. 不等式 ＜ 的解集为 .
解析：由题意知3≤ n ≤12，且 n ∈N*，由题意得 ＜
，解得 n ＜7.5，∵ n ∈N*，∴ n ＝3，4，5，6，7.
{3，4，5，6，7}
5. 计算：（1）（ ＋ ）÷ ；
解： 原式＝ ÷ ＝ ÷（ ）＝ ＝ .
（2） ＋ ＋…＋ ；
解： 原式＝ ＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋
＋…＋ ＝…＝ ＋ ＝ ＝165.
（3） ＋ .
解： 依题意 n 必须满足且 n ∈N*，
解得 ≤ n ≤ .∵ n ∈N*，∴ n ＝6.
∴原式＝ ＋ ＝31.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. ＋2 ＋ 等于（ ）
A. B. C. D.
解析： ＋2 ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝
＋ ＝ ＝ ，故选D.
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2. 若 ＝12 ，则 n 等于（ ）
A. 8 B. 5或6
C. 3或4 D. 4
解析： 因为 ＝ n （ n －1）（ n －2）， ＝ n （ n －1），
所以 n （ n －1）（ n －2）＝12× n （ n －1），由 n ∈N*，且 n
≥3，解得 n ＝8.
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3. （多选）下列等式中，正确的是（ ）
A. （ n ＋1） ＝ B. ＝（ n －2）！
C. ＝ D. ＝
解析： 通过计算得到选项A、B、D的左右两边都是相等的.
对于选项C， ＝ ，所以选项C是错误的，故选A、B、D.
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4. 若 ＝42，则 的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 35 D. 20
解析： 因为 ＝42，所以 ×1×2＝42，即 n （ n －
1）＝42.解得 n ＝7（负值舍去），所以 ＝ ＝ ＝
＝35，故选C.
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5. 异面直线 a ， b 上分别有4个点和5个点，由这9个点可以确定的平面
个数是（ ）
A. 20 B. 9
C. D. ＋
解析： 分两类：第1类，在直线 a 上任取一点，与直线 b 可确定
个平面；第2类，在直线 b 上任取一点，与直线 a 可确定 个平
面.故可确定 ＋ ＝9（个）不同的平面.
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6. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果
要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 .
答案：
解析：从6人中任选4人的选法种数为 ＝15，其中没有女生的选
法有1种，故至少有1名女生的选法种数为15－1＝14.
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7. 不等式 － n ＜5的解集为 .
解析：由 － n ＜5，得 － n ＜5，
∴ n2－3 n －10＜0.
解得－2＜ n ＜5.由题设条件知 n ≥2，且 n ∈N*，
∴ n ＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}.
{2，3，4}
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8. 若 ∶ ∶ ＝3∶4∶5，则 n ＝ ， m ＝ .
解析：由题意知
由组合数公式得解得
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9. 要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不
同的选法？
（1）甲当选且乙不当选；
解： 甲当选且乙不当选，只需从余下的8人中任选4人，
有 ＝70种选法.
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（2）至少有1女且至多有3男当选.
解： 至少有1女且至多有3男时，应分三类：
第1类是3男2女，有 种选法；
第2类是2男3女，有 种选法；
第3类是1男4女，有 种选法.
由分类加法计数原理知，共有 ＋ ＋ ＝186
（种）选法.
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10. （1）解方程：3 ＝5 ；
解： 由排列数和组合数公式，原方程可化为3·
＝5· ，则 ＝ ，
即为（ x －3）（ x －6）＝40.所以 x2－9 x －22＝0，解之可
得 x ＝11或 x ＝－2.经检验知 x ＝11是原方程的解，所以方程
的解为 x ＝11.
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（2）求 ＋ 的值.
解： 由组合数的定义知所以7≤ r
≤9.又 r ∈N*，所以 r ＝7，8，9，
当 r ＝7时，原式＝ ＋ ＝46；
当 r ＝8时，原式＝ ＋ ＝20；
当 r ＝9时，原式＝ ＋ ＝46.
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11. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何
三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共
需建公路的条数为（ ）
A. 4 B. 8 C. 28 D. 64
解析： 由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要
建 ＝28条公路.
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12. （多选）关于排列组合数，下列结论正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝ ＋
C. ＝ m D. ＋ m ＝
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解析： 根据组合数的性质或组合数的计算公式 ＝
，可知A、B选项正确；
＝ ，而 m ＝ ，故C选项错误；
＋ m ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＝ ，故D选项正确.故选A、B、D.
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13. 已知 ＝ ，则 ＋ ＋ ＋ ＋
＝ .
解析：∵ ＝ ，∴ m ＝11，∴ ＋ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝
＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝120.
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14. 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名.
（1）现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
解： 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是
从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即 ＝
＝45.
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（2）选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的
选法？
解： 可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有 种方法；
第2类，选出的2名是女教师有 种方法.
根据分类加法计数原理，共有 ＋ ＝15＋6＝21（种）
不同的选法.
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15. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周
为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以
梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每
珠作数一.算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠.例如，在十
位档拨一颗上珠和一颗下珠，个位档拨一颗上珠，则表示数字
65，若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随
机选择两个档位各拨一颗上珠，则可能出现的数字个数
为 ，其中所拨数字小于600的有 个.
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解析：在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠，再随
机选择两个档位各拨一颗上珠，所有的数有 ＝24（个），当
下珠拨的是百位档时，上珠只能拨个位档和十位档，有1种情况；
当下珠拨的是个位档或十位档时，上珠可以从个、十、百位档中
随机选择两个档位各拨一颗，有 ＝6（种）情况，所以所拨
数字小于600的有1＋6＝7（个）.
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16. （1）已知 ＝ ，求正整数 n 的值；
解： 原式可化简为 ＋1＝ ，即 ＝ .
即
＝ · ，
整理得 n2－3 n －54＝0，解得 n ＝9或 n ＝－6（舍去），
所以 n ＝9即为所求.
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（2）解不等式： － ＜ .
解： 原不等式化简可以得 －
＜ .
又 x ≥5，可得 x2－11 x －12＜0，解得5≤ x ＜12.
又 x ∈N*，∴ x ∈{5，6，7，8，9，10，11}.
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谢 谢 观 看！
