3.2 数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
1.生日悖论
如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高.对于60或者更多的人，这种概率要大于99%.从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论.大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%.计算与此相关的概率被称为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击.
2.生日悖论的解释
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的.如在前面所提到的例子，23个人可以产生＝253种不同的搭配，而这每一种搭配都有成功相等的可能.从这样的角度看，在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议.
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中会和你有相同生日的概率便不是50%了，而是变得非常低.原因是这时候只能产生22种不同的搭配.生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少.
一般地，n个人中至少2人生日相同的概率估计：P＝1－.
当n＝10时，P＝12%，当n＝20时，P＝41%，当n＝30时，P＝70%，当n＝50时，P＝97%，当n＝100时，P＝99.999 96%.
伯特纳德箱的悖论
伯特纳德设想有三个箱子，一个装着两枚金币，一个装着两枚银币，一个装一枚银币一枚金币.三个箱子混杂，然后随意取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3.
然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的.这就是说，箱子里的不可能是两枚银币.因此，它必然是两枚金币；或一枚金币，一枚银币.由于这两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2.如果我们取出的是银币，也会得出同样的结论.
取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里.
这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的.如果你抛掷三枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两个是—样的，另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的.由于它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会就是相等的.这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是.
我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的：
H H H T H H
H H T T H T
H T H T T H
H T T T T T
看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹.因此正确的概率应是＝.
碰运气
M：下一次你去游乐场，可别参加“碰运气”游戏！很多人去玩这种游戏都上当了，因为他们以为他们不会失误的.
M：“碰运气”游戏是在一个笼子里装三个骰子，翻转摇晃笼子就使骰子滚动.玩的人可以赌从1到6任何一个数，只要一个骰子出现他说的数时，他就得到他赌的钱数.参与者往往这样想：如果这个笼子里只有一个骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次.如果有两个骰子，则六次中就会出现两次.有三个骰子时，六次中就会有三次赢，这是对等的赌博！
M：“可是，我的机会还要好一些！如果我赌一个数，比如5，赌一块钱.要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块钱；若是三个骰子都是5，我就赢3块.这个游戏肯定对我有利！”
M：由于主顾这样想，难怪赌场操纵者会变成百万富翁！你能说明为什么“碰运气”游戏会使赌场主赢得大笔赌金吗？“碰运气”是在美国和海外很多赌场中玩的赌戏.在英国，这种赌博可追溯到十九世纪初，当时称为“汗巾”.近来称为“鸟笼”.在英国和澳大利亚的酒馆，这种赌博的三个骰子上印的是一个黑桃，一个方块，一个红心，一个梅花，—个王冠，一个锚，并称为王冠和锚.
在游乐场中，操纵者为招徕顾客而高声叫道：“每次三个人赢，三个人输！”这给人一个强烈印象，好像它是公平的.可是如果三个骰子每次显出的数字都不相同，则这种赌戏确实是公正的.在每摇一次笼子之后，操纵者就可从三个输家手中赢三块钱（假定每次赌
一块钱），付给三个赢家三块钱.可是，操纵者所幸的是，常常在两个或三个骰子上显出同样的数.如果有两个骰子是同一个数，那么他收进四块钱，付出三块钱，赚回一块钱.如果有三个骰子是同样的数，则他就收进五块钱，付出三块钱，赚回两块钱.正是这些双重数和三重数使赌场老板赚了大钱.
用公式来计算赌场主赢的比例是件需要技巧的工作.普通的学生最好是把三个骰子落下的全部216种可能情况全部列出.这时，他们会发现其中只有120种情况是三个骰子的点数不同，90种是两个点数一样，6种是三个点数都一样.假定这个赌戏玩了216次，产生了所有216种结果.每一次游戏，六个人对六个不同的数各赌一块钱.赌场主在216次赌博中收集到216×6＝1 296块钱.
当三个骰子点数不同时，他得付出6块钱（三个赢家每人两块钱），总共120个这种情况，故他付出6×120＝720块钱.当出现两个骰子的点数相同时（总共有90种情况），他须付给一个点数的人2×90＝180块钱.付给有两个一样的点数的人3×90＝270块钱.当三个骰子都是一个点数时（共六种情况），他须付出6×4＝24块钱.这样，他总共付出1 194块钱，净赚102元.
将102元除以1 266元，得出赌场主的利率为7.8%.这就意味着，他可以期望在一段长时间赌博之后，对每一赌徒的1块钱赌金，他将会得到7.8分多一点.一个赌徒压赌的任何一个数，在216种情况中，只有91种情况是他这个数至少出现一次，所以他赢得一块钱的概率是，比小得多.
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3.2
数学探究活动：生日悖论的解释与模拟
1. 生日悖论
如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的
生日相同的概率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学
班级（30人）中，存在两人生日相同的可能性更高.对于60或者
更多的人，这种概率要大于99%.从引起逻辑矛盾的角度来说生
日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的
意义上，它才称得上是一个悖论.大多数人会认为，23人中有2
人生日相同的概率应该远远小于50%.计算与此相关的概率被称
为生日问题，在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的
密码攻击方法：生日攻击.
2. 生日悖论的解释
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的.如
在前面所提到的例子，23个人可以产生 ＝253种不同的搭配，
而这每一种搭配都有成功相等的可能.从这样的角度看，在253种搭
配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议.
换一个角度，如果你进入了一个有着22个人的房间，房间里的人中
会和你有相同生日的概率便不是50%了，而是变得非常低.原因是
这时候只能产生22种不同的搭配.生日问题实际上是在问任何23个
人中会有两人生日相同的概率是多少.
一般地， n 个人中至少2人生日相同的概率估计： P ＝1－
.
当 n ＝10时， P ＝12%，当 n ＝20时， P ＝41%，当 n ＝30时， P ＝
70%，当 n ＝50时， P ＝97%，当 n ＝100时， P ＝99.999 96%.
伯特纳德箱的悖论
伯特纳德设想有三个箱子，一个装着两枚金币，一个装着两枚银
币，一个装一枚银币一枚金币.三个箱子混杂，然后随意取一个箱
子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3.
然而，假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，看到它是金的.这
就是说，箱子里的不可能是两枚银币.因此，它必然是两枚金币；
或一枚金币，一枚银币.由于这两个箱子中任何一个被选中的机会
相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2.如果我
们取出的是银币，也会得出同样的结论.
取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的
概率呢？显然这是不可能的，这样就说明了上面错在哪里.
这里有一个相关的悖论学生们是会觉得很有意思的.如果你抛掷三
枚硬币，它们掉下来后完全一致的概率是什么？三个当中至少有两
个是—样的，另外那个要么与这两个一样，要么就是不同的.由于
它出现这两种情况的机会均等，故它与另两个硬币是否一致的机会
就是相等的.这样，看起来所有三个硬币都一样的概率就是 .
我们只要将八种可能的情况列表如下，就可表明这种推论是错的：
H H H T H H
H H T T H T
H T H T T H
H T T T T T
看得出来，只有两种情况是三个硬币都取同样花纹.因此正确的概
率应是 ＝ .
碰运气
M ：下一次你去游乐场，可别参加“碰运气”游戏！很多人去玩
这种游戏都上当了，因为他们以为他们不会失误的.
M ：“碰运气”游戏是在一个笼子里装三个骰子，翻转摇晃笼子
就使骰子滚动.玩的人可以赌从1到6任何一个数，只要一个骰子出
现他说的数时，他就得到他赌的钱数.参与者往往这样想：如果这
个笼子里只有一个骰子，我赌的数就只能在六次中出现一次.如果
有两个骰子，则六次中就会出现两次.有三个骰子时，六次中就会
有三次赢，这是对等的赌博！
M ：“可是，我的机会还要好一些！如果我赌一个数，比如5，赌
一块钱.要是有两个骰子点数是5的话，我就赢两块钱；若是三个骰
子都是5，我就赢3块.这个游戏肯定对我有利！”
M ：由于主顾这样想，难怪赌场操纵者会变成百万富翁！你能说
明为什么“碰运气”游戏会使赌场主赢得大笔赌金吗？“碰运气”
是在美国和海外很多赌场中玩的赌戏.在英国，这种赌博可追溯到
十九世纪初，当时称为“汗巾”.近来称为“鸟笼”.在英国和澳大
利亚的酒馆，这种赌博的三个骰子上印的是一个黑桃，一个方块，
一个红心，一个梅花，—个王冠，一个锚，并称为王冠和锚.
在游乐场中，操纵者为招徕顾客而高声叫道：“每次三个人赢，三
个人输！”这给人一个强烈印象，好像它是公平的.可是如果三个
骰子每次显出的数字都不相同，则这种赌戏确实是公正的.在每摇
一次笼子之后，操纵者就可从三个输家手中赢三块钱（假定每次赌
一块钱），付给三个赢家三块钱.可是，操纵者所幸的是，常常在
两个或三个骰子上显出同样的数.如果有两个骰子是同一个数，那
么他收进四块钱，付出三块钱，赚回一块钱.如果有三个骰子是同
样的数，则他就收进五块钱，付出三块钱，赚回两块钱.正是这些
双重数和三重数使赌场老板赚了大钱.
用公式来计算赌场主赢的比例是件需要技巧的工作.普通的学生最好
是把三个骰子落下的全部216种可能情况全部列出.这时，他们会发现
其中只有120种情况是三个骰子的点数不同，90种是两个点数一样，6
种是三个点数都一样.假定这个赌戏玩了216次，产生了所有216种结
果.每一次游戏，六个人对六个不同的数各赌一块钱.赌场主在216次
赌博中收集到216×6＝1 296块钱.
当三个骰子点数不同时，他得付出6块钱（三个赢家每人两块
钱），总共120个这种情况，故他付出6×120＝720块钱.当出现两
个骰子的点数相同时（总共有90种情况），他须付给一个点数的人
2×90＝180块钱.付给有两个一样的点数的人3×90＝270块钱.当三
个骰子都是一个点数时（共六种情况），他须付出6×4＝24块钱.
这样，他总共付出1 194块钱，净赚102元.
将102元除以1 266元，得出赌场主的利率为7.8%.这就意味着，他
可以期望在一段长时间赌博之后，对每一赌徒的1块钱赌金，他将
会得到7.8分多一点.一个赌徒压赌的任何一个数，在216种情况
中，只有91种情况是他这个数至少出现一次，所以他赢得一块钱的
概率是 ，比 小得多.
谢 谢 观 看！
